2023年浙江省杭州市钱塘新区中考数学三模试卷（含解析）

2023年浙江省杭州市钱塘新区中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  杭州第届亚运会的主场馆为奥体中心体育场，总建筑面积平方米，数据可以用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，，，，则的度数是(    )
 

A.
B.
C.
D.

4.  下列各式中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若关于的不等式的解集为，则的值可以取(    )

A.  B.  C.  D.

6.  一组数据：，，，，若添加一个数据，则不发生变化的统计量是(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

7.  我国古代数学著作孙子算经中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步问人与车各几何？其大意是：每车坐人，两车空出来；每车坐人，多出人无车坐问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  在中，，，以为圆心，的长为半径作弧，分别交，于点、再分别以、为圆心，适当长度为半径画弧，两弧交于点连接，并延长交于过作于点，垂足为，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距米的、两点处，观测对岸的标志物，测得、，那么这条河的宽度是(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

10.  已知二次函数，当时，随的增大而增大，则(    )

A. 当时，的最大值为 B. 当时，的最大值为
C. 当时，的最大值为 D. 当时，的最大值为

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  因式分解：          ．

12.  若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______ ．

13.  一个布袋里装有个只有颜色不同的球，其中个红球，个白球从布袋里摸出个球记下颜色后放回，再随机摸出个球，则两次摸到的球颜色相同的概率是______ ．

14.  点是正比例函数上一点，把点向右平移个单位，向下平移个单位后的点仍在正比例函数的图象上，则的值为______ ．

15.  如图，在锐角三角形中，，是的外接圆，连接，，延长交于点，若，则的值为______ ．

16.  在边长为的正方形中，点为上一点，连接，将沿着折叠得到，连接、若，且，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
圆圆与方方两位同学解方程的过程如下框：

你认为他们的解法是否正确？若错误，请写出你认为正确的解答过程．

18.  本小题分
为了解某区初中生每周锻炼身体的时长单位：小时的情况，在全区随机抽取部分初中生进行调查，按五个组别：组，组，组，组，组进行整理，绘制如下两幅不完整的统计图．

根据图中提供的信息，解决下列问题：
求出抽样调查的学生总人数，并补全频数分布直方图．
求组所在扇形的圆心角．
根据抽样调查结果，请你估计该区名初中生中锻炼时长在组范围内的人数．

19.  本小题分
如图，在中，为斜边的中点，为上一点，且，为的中点．
求证：．
若，求的长．

20.  本小题分
已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
求，的值和反比例函数的表达式．
请根据图象，直接写出时的取值范围．
设，且，当时，；当时，圆圆说：“一定大于“你认为圆圆的说法正确吗？为什么？

21.  本小题分
如图，在矩形中，是边的中点，，垂足为点．
求证：．
若，求的长．
连接，判断的形状，并说明理由．

22.  本小题分
已知函数其中、为常数．
当，且函数图象经过点时，求函数的表达式及顶点坐标．
若该函数图象的顶点坐标为，且经过另一点，求的值．
若该函数图象经过，，三个不同点，记，，求证：．

23.  本小题分
如图，是的直径，半径，点在上，连接并延长交于点，连接．
求的值．
当时，求的值．
若，与的面积分别记为，，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是．
故选：．
乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
根据平行线的性质可得，然后根据三角形的外角可得，从而可得，最后进行计算即可解答．
【解答】
解：如图：
，
，
是的一个外角，
，
，
，
，
，
，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用二次根式的化简的法则，立方根对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的化简，立方根，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：关于的不等式的解集为，
，
解得，
故选：．
由关于的不等式的解集为，知，解之可得答案．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

6.【答案】 

【解析】解：、原来数据的平均数是，添加数字后平均数为，故不符合题意；
B、原来数据的中位数是，添加数字后中位数仍为，故符合题意；
C、原来数据的众数是，添加数字后众数为和，故不符合题意；
D、原来数据的方差，
添加数字后的方差，故方差发生了变化，故不符合题意；
故选：．
依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．
本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设车辆，根据题意得：．
故选：．
设车辆，根据乘车人数不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图所示：由题意可得：，
在和中，
，
≌，
，，
，，，
，
设，
则，，
故，
解得：．
故选：．
直接利用基本作图方法得出：，再利用全等三角形的判定与性质得出，，结合勾股定理得出答案．
此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确应用勾股定理是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：作，交于点，
，、，
，
，，
，，
，
解得，
故选：．
根据锐角三角函数，可以得到，，然后根据，即可得到．
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
抛物线对称轴为直线，
当时，
当时，随的增大而增大，
，
，即，
，
最大值为，故A选项错误，选项正确；
当时，
当时，随的增大而增大，
，
，即，
，
此时无最大值，故C、选项错误．
故选：．
根据抛物线解析式求得其对称轴为直线，分两种情况：当时，由当时，随的增大而增大可得，进而得到，以此判断、选项；当时，当时，随的增大而增大可得，进而得到，以此判断、选项．
本题考查了二次函数的性质，解题关键是熟知二次函数的性质，掌握通过配方求最值问题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
由于多项式有二项，没有公因式，考虑运用平方差公式分解．
本题考查了因式分解的平方差公式，两项若没有公因式，一般考虑平方差公式
【解答】
解：

  

12.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
解得：，
故答案为：．
根据分式有意义的条件列不等式组求解．
本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件分母不能为零是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次摸到的球颜色相同的结果有种，
两次摸到的球颜色相同的概率是，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中两次摸到的球颜色相同的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】 

【解析】解：设点的横坐标为，则点的坐标为，
将点向右平移个单位，向下平移个单位后得到的点的坐标为，
点仍在正比例函数的图象上，
，
解得：
故答案为：．
首先设点的坐标为，然后得出点向右平移个单位，向下平移个单位后的点的坐标为，最后将点代入正比例函数的解析式即可求出的值．
此题主要考查了正比例函数的图象，点的平移，解答此题的关键是设出点的坐标，并得出点平移后的坐标．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，延长，交于点，连接，

，，
，
，
，是的外接圆，
，，
，
，
，
≌，
，
是的直径，
，，
：：．
故答案为：．
延长，交于点，连接，根据等腰三角形的性质和三角形外接圆的性质证≌，推出，再由圆周角定理得，最后根据余弦定义即可解答．
本题考查了三角形外接圆外接的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识．灵活运用圆周角定理及全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过作于，
，

正方形边长为，
，，
，
，即：，
，即，
由勾股定理可得：，
，
解得或舍，
，即：，
同理可得：，则，
，
由折叠可知，，则，
由勾股定理可得：，即：，
解得：，即：，
故答案为：．
过点作，由正方形的性质可得，，利用，，可得，，由勾股定理可得 ，，可知，，由折叠可知，，则，由勾股定理可得：，即：，解出方程求出，即可得．
本题考查正方形的性质，翻折的性质，勾股定理及解直角三角形，作垂线构造直角三角形是解决问题的关键．
 

17.【答案】解：圆圆的解法错误，方方的解法错误；
正确的解法是：，
移项得：，
，
或，
解得：，． 

【解析】先移项，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
 

18.【答案】解：人，即抽样调查的学生总人数是人，
组的人数为：人，
补全条形统计图如下：

组所对应的圆心角的度数为：，
答：组所在扇形的圆心角的度数为；
人，
答：该区名初中生中锻炼时长在组范围内的人数大约有人． 

【解析】根据两个统计图可知，样本中组的人数是人，占调查总认识的，由频率可求出答案；进而求出组人数，补全条形统计图；
求出组所占抽样调查总人数的百分比即可；
根据频率进行计算即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图，掌握频率是正确解答的前提．
 

19.【答案】证明：为斜边的中点，为的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
；
解：由知是的中位线，
，
，
是斜边中点，是直角三角形，
，
． 

【解析】由三角形中位线定理推出，得到，由，得到，因此；
由三角形中位线定理得到，因此，由直角三角形斜边中线的性质得到，故BD．
本题考查直角三角形斜边的中线，三角形中位线定理，等腰三角形，关键是由三角形中位线定理得到，，由角三角形斜边中线的性质，得到．
 

20.【答案】解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，
，，
，，
，，
把代入反比例函数，得，
，
反比例函数的表达式是；
观察图象，时的取值范围是或；
圆圆的说法不正确，
理由如下：设，且，
则，，
当时，，
当时，，
，
圆圆的说法不正确．
方法二：
当时，，当时，，
，
当时，则，
，
当时，则，
，
当时，则，
，
圆圆的说法不正确． 

【解析】把，分别代入一次函数中，即可求得、的值，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
根据交点坐标，结合图象即可求得；
设，且，将，，代入解析式，可求和，即可判断．
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，数形结合是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形为矩形，
，，，
∽，
，
点为的中点，
，
，
即：，
，
．
解：过点作于点，

，
，
又点为的中点，
为的中位线，
，，
由知：，
，
，
，
设，，，
则，，，，
，
，
又，
，
，
又，
∽，
，
即：，
，
在中，，，，
由勾股定理得：，
即：，
，
在中，，，，
由勾股定理得：，
即：
，
解得：舍去负值，
．
解：是等腰三角形．理由如下：
由知：，，
为线段的垂直平分线，
，
是等腰三角形． 

【解析】先证和相似得，再根据点为的中点得，据此即可得出结论；
过点作于点，先证为的中位线得，，进而根据的结论得，设，，，则，，，，再证和相似可得，然后在中由勾股定理得，在中由勾股定理得，据此可求出，进而可得的长；
是等腰三角形．由知：，，则为线段的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质可得出结论．
此题主要考查了矩形的性质，相似形的判定和性质，三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的对应边成比例．
 

22.【答案】解：依题意，有，
解得：，
该函数的表达式为，
，
该函数图象的顶点坐标为；
函数中，二次项系数为，
该函数图象的顶点坐标为，设抛物线解析式为，
的图象经过另一点，
，
，
解得：或；
函数图象经过，，三个不同点，
，，
，
，

，
，
． 

【解析】待定系数法求解析式即可求解；
该函数图象的顶点坐标为，设抛物线解析式为，将代入，进而解方程即可求解；
分别表示出，，，根据整式的减法计算，，进而求值．
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，二次函数值的大小比较；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：连接，
半径，
，
，
，
，
，
，
；
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积的面积，
的面积的面积，
． 

【解析】由圆周角定理求出，由等腰三角形的性质推出；
由直角三角形的性质得到，由等腰三角形的性质得到，即可求出的值；
由，得到的面积的面积，因此的面积的面积，即可解决问题．
本题考查圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的面积，关键是由圆周角定理，由等腰三角形的性质即可求出；由直角三角形的性质，等腰三角形的性质求出、与的数量关系，即可求出的值；由，即可得到的面积的面积．