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四川省高考数学模拟试卷与解析(文科)
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这是一份四川省高考数学模拟试卷与解析(文科)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省高考数学模拟试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U=R，集合A={x|（x+1）（x﹣3）＜0}，B={x|x﹣1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．{x|x≤﹣1或x≥3} B．{x|x＜1或x≥3} C．{x|x≤1} D．{x|x≤﹣1}
2．等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．在集合{x|0≤x≤a，a＞0}中随机取一个实数m，若|m|＜2的概率为，则实数a的值为（ ）
A．5 B．6 C．9 D．12
4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F到E的渐近线的距离为，则E的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．3
6．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=则f（3）=（ ）
A．3 B．2 C．log29 D．log27
7．已知MOD函数是一个求余函数，记MOD（m，n）表示m除以n的余数，例如MOD（8，3）=2．如图是某个算法的程序框图，若输入m的值为48时，则输出i的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．已知函数（其中ω＞0）图象的一条对称轴方程为x=，则ω的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．10 D．16
9．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（ ）
A．ca＞cb B．ac＜bc C． D．logac＞logbc
10．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（ ）
A．若m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交
B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥β
C．若m⊂α，n∥α，m，n共面于β，则m∥n
D．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线
11．抛物线y2=4x的焦点为F，点A（5，3），M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．6+
12．如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AB=2，AD=DC=1，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中x，y∈R，则4x﹣y的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知复数z满足z（1+i）=2，则|z|= ．
14．某厂在生产某产品的过程中，产量x（吨）与生产能耗y（吨）的对应数据如表所示．根据最小二乘法求得回归直线方程为=0.7x+a．当产量为80吨时，预计需要生产能耗为 吨．
x
30
40
50
60
y
25
30
40
45
15．设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域为R；命题q：当时，恒成立，如果命题“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是 ．
16．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为 日．（结果保留一位小数，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2．
（Ⅰ） 求角A的大小；
（Ⅱ） 若a=，△ABC的面积为，求b+c的值．
18．（12分）共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分直方图．
（Ⅰ） 求图中x的值；
（Ⅱ） 已知满意度评分值在[90，100]内的男生数与女生数的比为2：1，若在满意度评分值为[90，100]的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的两人中至少有一名女生的概率．
19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等边三角形，且AA1⊥平面ABC，D为AB的中点．
（Ⅰ） 求证：直线BC1∥平面A1CD；
（Ⅱ） 若AB=BB1=2，E是BB1的中点，求三棱锥A1﹣CDE的体积．
20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆Ω：的离心率为，直线l：y=2上的点和椭圆Ω上的点的距离的最小值为1．
（Ⅰ） 求椭圆Ω的方程；
（Ⅱ） 已知椭圆Ω的上顶点为A，点B，C是Ω上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F．记直线AC与AB的斜率分别为k1，k2
①求证：k1•k2为定值；
②求△CEF的面积的最小值．
21．（12分）已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1），其中a∈R．
（Ⅰ） 当a=﹣1时，求证：f（x）≤0；
（Ⅱ） 对任意t≥e，存在x∈（0，+∞），使tlnt+（t﹣1）[f（x）+a]＞0成立，求a的取值范围．
（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）
请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）
22．（10分）已知在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ．
（Ⅰ） 求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；
（Ⅱ） 点A，B分别在曲线C1，C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．
[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）
23．已知函数f（x）=|x+1|．
（Ⅰ） 解不等式f（x+8）≥10﹣f（x）；
（Ⅱ） 若|x|＞1，|y|＜1，求证：f（y）＜|x|•f（）．
四川省高考数学模拟试卷（文科）试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U=R，集合A={x|（x+1）（x﹣3）＜0}，B={x|x﹣1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．{x|x≤﹣1或x≥3} B．{x|x＜1或x≥3} C．{x|x≤1} D．{x|x≤﹣1}
【考点】Venn图表达集合的关系及运算．
【分析】由阴影部分表示的集合为∁U（A∪B），然后根据集合的运算即可．
【解答】解：由图象可知阴影部分对应的集合为∁U（A∪B），
A={x|（x+1）（x﹣3）＜0}=（﹣1，3），
∵B={x|x﹣1≥0}，
∴A∪B=（﹣1，+∞），
则∁U（A∪B）=（﹣∞，﹣1]，
故选D．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图确定集合的关系是解决本题的关键．
2．等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】设数列{an}的公差为d，则由题意可得 2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．
【解答】解：设数列{an}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，
故选B．
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．
3．在集合{x|0≤x≤a，a＞0}中随机取一个实数m，若|m|＜2的概率为，则实数a的值为（ ）
A．5 B．6 C．9 D．12
【考点】几何概型．
【分析】利用几何概型的公式，利用区间长度的比值得到关于a 的等式解之即可．
【解答】解：由题意|m|＜2的概率为，
则=，解得a=6；
故选：B．
【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，求出对应的区间长度是解决本题的关键，比较基础．
4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】首先由几何体还原几何体，是下面是底面为正方体，上面是半径为的半球，由此计算体积．
【解答】解：由几何体的三视图得到几何体为组合体，下面是底面为正方体，上面是半径为的半球，
所以几何体的体积为2×2×2+=8+
故选C．
【点评】本题考查了组合体的三视图以及体积的计算；关键是明确几何体的形状，由体积公式计算．
5．双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F到E的渐近线的距离为，则E的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．3
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得焦点F到渐近线ay﹣bx=0的距离为b，结合题意可得b=，由双曲线的几何性质可得c==2a，进而由双曲线离心率公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线E：﹣=1的焦点在x轴上，则其渐近线方程为y=±x，即ay±bx=0，
设F（c，0），F到渐近线ay﹣bx=0的距离d===b，
又由双曲线E：﹣=1的一个焦点F到E的渐近线的距离为，
则b=，
c==2a，
故双曲线的离心率e==2；
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意“双曲线的焦点到其渐近线的距离为b”．
6．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=则f（3）=（ ）
A．3 B．2 C．log29 D．log27
【考点】分段函数的应用．
【分析】由已知中f（x）=，将x=3代入可得答案．
【解答】解：∵f（x）=，
∴f（3）=f（2）=f（1）=f（0）=log28=3，
故选：A
【点评】本题考查的知识点是函数求值，分段函数的应用，难度不大，属于基础题．
7．已知MOD函数是一个求余函数，记MOD（m，n）表示m除以n的余数，例如MOD（8，3）=2．如图是某个算法的程序框图，若输入m的值为48时，则输出i的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，根据题意，依次计算MOD（m，n）的值，由题意∈N*，从而得解．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得：
n=2，i=0，m=48，
满足条件n≤48，满足条件MOD（48，2）=0，i=1，n=3，
满足条件n≤48，满足条件MOD（48，3）=0，i=2，n=4，
满足条件n≤48，满足条件MOD（48，4）=0，i=3，n=5，
满足条件n≤48，不满足条件MOD（48，5）=0，n=6，
…
∵∈N*，可得：2，3，4，6，8，12，16，24，48，
∴共要循环9次，故i=9．
故选：C．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的MOD（m，n）的值是解题的关键．
8．已知函数（其中ω＞0）图象的一条对称轴方程为x=，则ω的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．10 D．16
【考点】正弦函数的图象．
【分析】由题意利用正弦函数的图象的对称性可得ω•+=kπ+，k∈Z，由此求得ω的最小值．
【解答】解：根据函数（其中ω＞0）图象的一条对称轴方程为x=，
可得ω•+=kπ+，k∈Z，即ω=12k+4，故ω的最小值为4，
故选：B．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
9．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（ ）
A．ca＞cb B．ac＜bc C． D．logac＞logbc
【考点】不等式比较大小；不等式的基本性质．
【分析】根据题意，依次分析选项：对于A、构造函数y=cx，由指数函数的性质分析可得A错误，对于B、构造函数y=xc，由幂函数的性质分析可得B错误，对于C、由作差法比较可得C错误，对于D、由作差法利用对数函数的运算性质分析可得D正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A、构造函数y=cx，由于0＜c＜1，则函数y=cx是减函数，又由a＞b＞1，则有ca＞cb，故A错误；
对于B、构造函数y=xc，由于0＜c＜1，则函数y=xc是增函数，又由a＞b＞1，则有ac＞bc，故B错误；
对于C、﹣==，又由0＜c＜1，a＞b＞1，则（a﹣c）＞0、（b﹣c）＞0、（b﹣a）＜0，进而有﹣＜0，故有＜，故C错误；
对于D、logac﹣logbc=﹣=lgc（），又由0＜c＜1，a＞b＞1，则有lgc＜0，lga＞lgb＞0，则有logac﹣logbc=﹣=lgc（）＞0，即有logac＞logbc，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查不等式比较大小，关键是掌握不等式的性质并灵活运用．
10．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（ ）
A．若m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交
B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥β
C．若m⊂α，n∥α，m，n共面于β，则m∥n
D．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】根据空间直线和平面平行或垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可．
【解答】解：A．α∥β时，m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，可以成立，故A错误，
B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β，因为n∥α，则n∥β或n⊂β，故B错误，
C．利用线面平行的性质定理，可得C正确，
D．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交直线，故D不正确，
故选：C．
【点评】本题主要考查与空间直线和平面位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．
11．抛物线y2=4x的焦点为F，点A（5，3），M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．6+
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】求△MAF周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值．设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义，可知|MF|=|MD|，因此问题转化为求|MA|+|MD|的最小值，根据平面几何知识，当D、M、A三点共线时|MA|+|MD|最小，由此即可求出|MA|+|MF|的最小值．
【解答】解：求△MAF周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，
设点M在准线上的射影为D，
根据抛物线的定义，可知|MF|=|MD|
因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值
根据平面几何知识，可得当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，
因此最小值为xA﹣（﹣1）=5+1=6，
∵|AF|==5，
∴△MAF周长的最小值为11，
故选B．
【点评】考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，是解题的关键．
12．如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AB=2，AD=DC=1，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中x，y∈R，则4x﹣y的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【考点】简单线性规划．
【分析】建立直角坐标系，写出点的坐标，求出BD的方程，求出圆的方程；设出P的坐标，求出三个向量的坐标，将P的坐标代入圆内方程求出4x﹣y范围．
【解答】解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则
A（0，0），D（0，1），C（1，1），B（2，0），
直线BD的方程为x+2y﹣2=0，C到BD的距离d=
∴圆弧以点C为圆心的圆方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=，
设P（m，n）则=（m，n），
=（0，1），=（2，0），=（﹣1，1）
若，
∴（m，n）=（2x﹣y，y）
∴m=2x﹣y，n=y
∵P在圆内或圆上
∴（2x﹣y﹣1）2+（y﹣1）2≤，
设4x﹣y=t，则y=4x﹣t，代入上式整理得80x2﹣（48t+32）x+8t2+7≤0，
设f（x）=80x2﹣（48t+32）x+8t2+7≤0，x∈[，]，
则，
解得2≤t≤3+，
故4x﹣y的最大值为3+，
故选：B
【点评】本题考通过建立直角坐标系将问题代数化、考查直线与圆相切的条件、考查向量的坐标公式，属于中档题
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知复数z满足z（1+i）=2，则|z|= ．
【考点】复数求模．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解．
【解答】解：∵z（1+i）=2，
∴，
则|z|=．
故答案为：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．
14．某厂在生产某产品的过程中，产量x（吨）与生产能耗y（吨）的对应数据如表所示．根据最小二乘法求得回归直线方程为=0.7x+a．当产量为80吨时，预计需要生产能耗为 59.5 吨．
x
30
40
50
60
y
25
30
40
45
【考点】线性回归方程．
【分析】求出x，y的平均数，代入y关于x的线性回归方程，求出a，把x=80代入，能求出当产量为80吨时，预计需要生成的能耗．
【解答】解：由题意， =45， =35，代入=0.7x+a，可得a=3.5，
∴当产量为80吨时，预计需要生成能耗为0.7×80+3.5=59.5，
故答案为：59.5．
【点评】本题考查了最小二乘法，考查了线性回归方程，解答的关键是知道回归直线一定经过样本中心点，是基础题．
15．设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域为R；命题q：当时，恒成立，如果命题“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是 （1，2） ．
【考点】复合命题的真假．
【分析】对于命题p：a≤0时，函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域不为R．由函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域为R，则，解得a范围．对于命题q：当时，利用基本不等式的性质可得：x+≥2，根据恒成立，可得a的求值范围．如果命题“p∧q”为真命题，可得实数a的取值范围．
【解答】解：对于命题p：a≤0时，函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域不为R．
由函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域为R，则，解得a＞1．
对于命题q：当时，x+≥2，当且仅当x=1时取等号．由当时，恒成立，
∴a＜2．
如果命题“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是1＜a＜2．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查了对数函数的定义域、一元二次不等式的解集与判别式的关系、基本不等式的性质、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为 2.6 日．（结果保留一位小数，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）
【考点】数列的应用．
【分析】设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{an}，其a1=3，公比为，其前n项和为An．莞（植物名）的长度组成等比数列{bn}，其b1=1，公比为2，其前n项和为Bn．利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得出．
【解答】解：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{an}，其a1=3，公比为，其前n项和为An．
莞（植物名）的长度组成等比数列{bn}，其b1=1，公比为2，
其前n项和为Bn．则An=，Bn=，
由题意可得： =，化为：2n+=7，
解得2n=6，2n=1（舍去）．
∴n==1+≈2.6．
∴估计2.6日蒲、莞长度相等，
故答案为：2.6．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）（2017•资阳模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2．
（Ⅰ） 求角A的大小；
（Ⅱ） 若a=，△ABC的面积为，求b+c的值．
【考点】三角形中的几何计算．
【分析】（Ⅰ） 求出，即可求角A的大小；
（Ⅱ） 若a=，△ABC的面积为，利用余弦定理及三角形的面积公式，求b+c的值．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得，（2分）
化简得，
整理得，即，（4分）
由于0＜B+C＜π，则，所以．（6分）
（Ⅱ）因为，所以bc=2．（8分）
根据余弦定理得，（10分）
即7=（b+c）2﹣2，所以b+c=3．（12分）
【点评】本题考查三角函数知识的运用，考查三角形面积的计算，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
18．（12分）（2017•资阳模拟）共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分直方图．
（Ⅰ） 求图中x的值；
（Ⅱ） 已知满意度评分值在[90，100]内的男生数与女生数的比为2：1，若在满意度评分值为[90，100]的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的两人中至少有一名女生的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
【分析】（I）利用频率分布直方图的性质即可得出．
（II）根据分层抽样，求出女生和男生得人数，再一一列举出所有得基本事件，找到所抽取的2人中至少有1名女生的基本事件，根据概率公式计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）由（0.008+0.021+0.035+0.030+x）×10=1，解得x=0.006．（4分）
（Ⅱ）满意度评分值在[90，100]内有100×0.006×10=6人，
其中女生2人，男生4人．
设其中女生为a1，a2，男生为b1，b2，b3，b4，从中任取两人，所有的基本事件为（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b2，b3），（b2，b4），（b3，b4）共15个，
至少有1人年龄在[20，30）内的有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4）共9个．
所以，抽取的两人中至少有一名女生的概率为，即为．（12分）
【点评】本题考查分层抽样，以及古典概型的概率公式，考查数据处理能力和分析问题、解决问题的能力，属于中档题．
19．（12分）（2017•资阳模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等边三角形，且AA1⊥平面ABC，D为AB的中点．
（Ⅰ） 求证：直线BC1∥平面A1CD；
（Ⅱ） 若AB=BB1=2，E是BB1的中点，求三棱锥A1﹣CDE的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）连接AC1，交A1C于点F，由三角形中位线定理可得BC1∥DF，再由线面平行的判定可得BC1∥平面A1CD；
（Ⅱ）直接利用等积法求三棱锥A1﹣CDE的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：连接AC1，交A1C于点F，
则F为AC1的中点，又D为AB的中点，
∴BC1∥DF，
又BC1⊄平面A1CD，DF⊂平面A1CD，
∴BC1∥平面A1CD；
（Ⅱ）解：三棱锥A1﹣CDE的体积．
其中三棱锥A1﹣CDE的高h等于点C到平面ABB1A1的距离，可知．
又．
∴．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．
20．（12分）（2017•资阳模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆Ω：的离心率为，直线l：y=2上的点和椭圆Ω上的点的距离的最小值为1．
（Ⅰ） 求椭圆Ω的方程；
（Ⅱ） 已知椭圆Ω的上顶点为A，点B，C是Ω上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F．记直线AC与AB的斜率分别为k1，k2
①求证：k1•k2为定值；
②求△CEF的面积的最小值．
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）由题知b=1，由，b=1，联立解出即可得出．
（Ⅱ）①证法一：设B（x0，y0）（y0＞0），则，因为点B，C关于原点对称，则C（﹣x0，﹣y0），利用斜率计算公式即可得出．
证法二：直线AC的方程为y=k1x+1，与椭圆方程联立可得坐标，即可得出．
②直线AC的方程为y=k1x+1，直线AB的方程为y=k2x+1，不妨设k1＞0，则k2＜0，令y=2，得，可得△CEF的面积．
【解答】解：（Ⅰ）由题知b=1，由，
所以a2=2，b2=1．
故椭圆的方程为． （3分）
（Ⅱ）①证法一：设B（x0，y0）（y0＞0），则，
因为点B，C关于原点对称，则C（﹣x0，﹣y0），
所以．（6分）
证法二：直线AC的方程为y=k1x+1，
由得，
解得，同理，
因为B，O，C三点共线，则由，
整理得（k1+k2）（2k1k2+1）=0，
所以．（6分）
②直线AC的方程为y=k1x+1，直线AB的方程为y=k2x+1，不妨设k1＞0，则k2＜0，
令y=2，得，
而，
所以，△CEF的面积=
=．（8分）
由得，
则S△CEF=，当且仅当取得等号，
所以△CEF的面积的最小值为．（12分）
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、项斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21．（12分）（2017•资阳模拟）已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1），其中a∈R．
（Ⅰ） 当a=﹣1时，求证：f（x）≤0；
（Ⅱ） 对任意t≥e，存在x∈（0，+∞），使tlnt+（t﹣1）[f（x）+a]＞0成立，求a的取值范围．
（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数f（x）的最大值，证明结论即可；
（Ⅱ）问题转化为证明，设，根据函数的单调性求出a的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=lnx﹣x+1（x＞0），
则，令f'（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
故当x=1时，函数f（x）取得极大值，也为最大值，所以f（x）max=f（1）=0，
所以，f（x）≤0，得证．（4分）
（II）原题即对任意t≥e，存在x∈（0，+∞），使成立，
只需．
设，则，
令u（t）=t﹣1﹣lnt，则对于t≥e恒成立，
所以u（t）=t﹣1﹣lnt为[e，+∞）上的增函数，
于是u（t）=t﹣1﹣lnt≥u（e）=e﹣2＞0，即对于t≥e恒成立，
所以为[e，+∞）上的增函数，则．（8分）
令p（x）=﹣f（x）﹣a，则p（x）=﹣lnx﹣a（x﹣1）﹣a=﹣lnx﹣ax，
当a≥0时，p（x）=﹣lnx﹣ax为（0，+∞）的减函数，且其值域为R，符合题意．
当a＜0时，，由p'（x）=0得，
由p'（x）＞0得，则p（x）在上为增函数；
由p'（x）＜0得，则p（x）在上为减函数，
所以，
从而由，解得．
综上所述，a的取值范围是．（12分）
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）
22．（10分）（2017•资阳模拟）已知在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ．
（Ⅰ） 求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；
（Ⅱ） 点A，B分别在曲线C1，C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ）由消去θ化为普通方程，由ρ=2sinθ，得ρ2=2ρsinθ，得x2+y2=2y，联立求出交点的直角坐标，化为极坐标得答案；
（Ⅱ） 由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大，求出|AB|及O到AB的距离代入三角形的面积公式得答案．
【解答】解：（Ⅰ）由得
则曲线C1的普通方程为（x+1）2+y2=1．
又由ρ=2sinθ，得ρ2=2ρsinθ，得x2+y2=2y．
把两式作差得，y=﹣x，代入x2+y2=2y，
可得交点坐标为为（0，0），（﹣1，1）．
（Ⅱ） 由平面几何知识可知，
当A，C1，C2，B依次排列且共线时，|AB|最大，此时，
直线AB的方程为x﹣y+1=0，则O到AB的距离为，
所以△OAB的面积为．（10分）
【点评】本题考查了参数方程化普通方程，极坐标与直角坐标的互化，考查学生的计算能力，是中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）
23．（2017•资阳模拟）已知函数f（x）=|x+1|．
（Ⅰ） 解不等式f（x+8）≥10﹣f（x）；
（Ⅱ） 若|x|＞1，|y|＜1，求证：f（y）＜|x|•f（）．
【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ） 分类讨论，解不等式f（x+8）≥10﹣f（x）；
（Ⅱ）利用分析法证明不等式．
【解答】（Ⅰ）解：原不等式即为|x+9|≥10﹣|x+1|．
当x＜﹣9时，则﹣x﹣9≥10+x+1，解得x≤﹣10；
当﹣9≤x≤﹣1时，则x+9≥10+x+1，此时不成立；
当x＞﹣1时，则x+9≥10﹣x﹣1，解得x≥0．
所以原不等式的解集为{x|x≤﹣10或x≥0}．
（Ⅱ）证明：要证，即，只需证明．
则有==
==．
因为|x|2＞1，|y|2＜1，则=，
所以，原不等式得证．（10分）
【点评】本题考查不等式的解法，考查不等式的证明，考查分析法的运用，属于中档题．
四川省高考数学模拟试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U=R，集合A={x|（x+1）（x﹣3）＜0}，B={x|x﹣1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．{x|x≤﹣1或x≥3} B．{x|x＜1或x≥3} C．{x|x≤1} D．{x|x≤﹣1}
2．等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．在集合{x|0≤x≤a，a＞0}中随机取一个实数m，若|m|＜2的概率为，则实数a的值为（ ）
A．5 B．6 C．9 D．12
4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F到E的渐近线的距离为，则E的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．3
6．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=则f（3）=（ ）
A．3 B．2 C．log29 D．log27
7．已知MOD函数是一个求余函数，记MOD（m，n）表示m除以n的余数，例如MOD（8，3）=2．如图是某个算法的程序框图，若输入m的值为48时，则输出i的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．已知函数（其中ω＞0）图象的一条对称轴方程为x=，则ω的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．10 D．16
9．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（ ）
A．ca＞cb B．ac＜bc C． D．logac＞logbc
10．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（ ）
A．若m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交
B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥β
C．若m⊂α，n∥α，m，n共面于β，则m∥n
D．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线
11．抛物线y2=4x的焦点为F，点A（5，3），M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．6+
12．如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AB=2，AD=DC=1，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中x，y∈R，则4x﹣y的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知复数z满足z（1+i）=2，则|z|= ．
14．某厂在生产某产品的过程中，产量x（吨）与生产能耗y（吨）的对应数据如表所示．根据最小二乘法求得回归直线方程为=0.7x+a．当产量为80吨时，预计需要生产能耗为 吨．
x
30
40
50
60
y
25
30
40
45
15．设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域为R；命题q：当时，恒成立，如果命题“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是 ．
16．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为 日．（结果保留一位小数，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2．
（Ⅰ） 求角A的大小；
（Ⅱ） 若a=，△ABC的面积为，求b+c的值．
18．（12分）共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分直方图．
（Ⅰ） 求图中x的值；
（Ⅱ） 已知满意度评分值在[90，100]内的男生数与女生数的比为2：1，若在满意度评分值为[90，100]的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的两人中至少有一名女生的概率．
19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等边三角形，且AA1⊥平面ABC，D为AB的中点．
（Ⅰ） 求证：直线BC1∥平面A1CD；
（Ⅱ） 若AB=BB1=2，E是BB1的中点，求三棱锥A1﹣CDE的体积．
20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆Ω：的离心率为，直线l：y=2上的点和椭圆Ω上的点的距离的最小值为1．
（Ⅰ） 求椭圆Ω的方程；
（Ⅱ） 已知椭圆Ω的上顶点为A，点B，C是Ω上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F．记直线AC与AB的斜率分别为k1，k2
①求证：k1•k2为定值；
②求△CEF的面积的最小值．
21．（12分）已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1），其中a∈R．
（Ⅰ） 当a=﹣1时，求证：f（x）≤0；
（Ⅱ） 对任意t≥e，存在x∈（0，+∞），使tlnt+（t﹣1）[f（x）+a]＞0成立，求a的取值范围．
（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）
请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）
22．（10分）已知在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ．
（Ⅰ） 求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；
（Ⅱ） 点A，B分别在曲线C1，C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．
[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）
23．已知函数f（x）=|x+1|．
（Ⅰ） 解不等式f（x+8）≥10﹣f（x）；
（Ⅱ） 若|x|＞1，|y|＜1，求证：f（y）＜|x|•f（）．
四川省高考数学模拟试卷（文科）试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集U=R，集合A={x|（x+1）（x﹣3）＜0}，B={x|x﹣1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．{x|x≤﹣1或x≥3} B．{x|x＜1或x≥3} C．{x|x≤1} D．{x|x≤﹣1}
【考点】Venn图表达集合的关系及运算．
【分析】由阴影部分表示的集合为∁U（A∪B），然后根据集合的运算即可．
【解答】解：由图象可知阴影部分对应的集合为∁U（A∪B），
A={x|（x+1）（x﹣3）＜0}=（﹣1，3），
∵B={x|x﹣1≥0}，
∴A∪B=（﹣1，+∞），
则∁U（A∪B）=（﹣∞，﹣1]，
故选D．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图确定集合的关系是解决本题的关键．
2．等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】设数列{an}的公差为d，则由题意可得 2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．
【解答】解：设数列{an}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，
故选B．
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．
3．在集合{x|0≤x≤a，a＞0}中随机取一个实数m，若|m|＜2的概率为，则实数a的值为（ ）
A．5 B．6 C．9 D．12
【考点】几何概型．
【分析】利用几何概型的公式，利用区间长度的比值得到关于a 的等式解之即可．
【解答】解：由题意|m|＜2的概率为，
则=，解得a=6；
故选：B．
【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，求出对应的区间长度是解决本题的关键，比较基础．
4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】首先由几何体还原几何体，是下面是底面为正方体，上面是半径为的半球，由此计算体积．
【解答】解：由几何体的三视图得到几何体为组合体，下面是底面为正方体，上面是半径为的半球，
所以几何体的体积为2×2×2+=8+
故选C．
【点评】本题考查了组合体的三视图以及体积的计算；关键是明确几何体的形状，由体积公式计算．
5．双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F到E的渐近线的距离为，则E的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．3
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得焦点F到渐近线ay﹣bx=0的距离为b，结合题意可得b=，由双曲线的几何性质可得c==2a，进而由双曲线离心率公式计算可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线E：﹣=1的焦点在x轴上，则其渐近线方程为y=±x，即ay±bx=0，
设F（c，0），F到渐近线ay﹣bx=0的距离d===b，
又由双曲线E：﹣=1的一个焦点F到E的渐近线的距离为，
则b=，
c==2a，
故双曲线的离心率e==2；
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意“双曲线的焦点到其渐近线的距离为b”．
6．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=则f（3）=（ ）
A．3 B．2 C．log29 D．log27
【考点】分段函数的应用．
【分析】由已知中f（x）=，将x=3代入可得答案．
【解答】解：∵f（x）=，
∴f（3）=f（2）=f（1）=f（0）=log28=3，
故选：A
【点评】本题考查的知识点是函数求值，分段函数的应用，难度不大，属于基础题．
7．已知MOD函数是一个求余函数，记MOD（m，n）表示m除以n的余数，例如MOD（8，3）=2．如图是某个算法的程序框图，若输入m的值为48时，则输出i的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，根据题意，依次计算MOD（m，n）的值，由题意∈N*，从而得解．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得：
n=2，i=0，m=48，
满足条件n≤48，满足条件MOD（48，2）=0，i=1，n=3，
满足条件n≤48，满足条件MOD（48，3）=0，i=2，n=4，
满足条件n≤48，满足条件MOD（48，4）=0，i=3，n=5，
满足条件n≤48，不满足条件MOD（48，5）=0，n=6，
…
∵∈N*，可得：2，3，4，6，8，12，16，24，48，
∴共要循环9次，故i=9．
故选：C．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的MOD（m，n）的值是解题的关键．
8．已知函数（其中ω＞0）图象的一条对称轴方程为x=，则ω的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．10 D．16
【考点】正弦函数的图象．
【分析】由题意利用正弦函数的图象的对称性可得ω•+=kπ+，k∈Z，由此求得ω的最小值．
【解答】解：根据函数（其中ω＞0）图象的一条对称轴方程为x=，
可得ω•+=kπ+，k∈Z，即ω=12k+4，故ω的最小值为4，
故选：B．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
9．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（ ）
A．ca＞cb B．ac＜bc C． D．logac＞logbc
【考点】不等式比较大小；不等式的基本性质．
【分析】根据题意，依次分析选项：对于A、构造函数y=cx，由指数函数的性质分析可得A错误，对于B、构造函数y=xc，由幂函数的性质分析可得B错误，对于C、由作差法比较可得C错误，对于D、由作差法利用对数函数的运算性质分析可得D正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A、构造函数y=cx，由于0＜c＜1，则函数y=cx是减函数，又由a＞b＞1，则有ca＞cb，故A错误；
对于B、构造函数y=xc，由于0＜c＜1，则函数y=xc是增函数，又由a＞b＞1，则有ac＞bc，故B错误；
对于C、﹣==，又由0＜c＜1，a＞b＞1，则（a﹣c）＞0、（b﹣c）＞0、（b﹣a）＜0，进而有﹣＜0，故有＜，故C错误；
对于D、logac﹣logbc=﹣=lgc（），又由0＜c＜1，a＞b＞1，则有lgc＜0，lga＞lgb＞0，则有logac﹣logbc=﹣=lgc（）＞0，即有logac＞logbc，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查不等式比较大小，关键是掌握不等式的性质并灵活运用．
10．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（ ）
A．若m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交
B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥β
C．若m⊂α，n∥α，m，n共面于β，则m∥n
D．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】根据空间直线和平面平行或垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可．
【解答】解：A．α∥β时，m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，可以成立，故A错误，
B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β，因为n∥α，则n∥β或n⊂β，故B错误，
C．利用线面平行的性质定理，可得C正确，
D．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交直线，故D不正确，
故选：C．
【点评】本题主要考查与空间直线和平面位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．
11．抛物线y2=4x的焦点为F，点A（5，3），M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．6+
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】求△MAF周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值．设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义，可知|MF|=|MD|，因此问题转化为求|MA|+|MD|的最小值，根据平面几何知识，当D、M、A三点共线时|MA|+|MD|最小，由此即可求出|MA|+|MF|的最小值．
【解答】解：求△MAF周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，
设点M在准线上的射影为D，
根据抛物线的定义，可知|MF|=|MD|
因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值
根据平面几何知识，可得当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，
因此最小值为xA﹣（﹣1）=5+1=6，
∵|AF|==5，
∴△MAF周长的最小值为11，
故选B．
【点评】考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，是解题的关键．
12．如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AB=2，AD=DC=1，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中x，y∈R，则4x﹣y的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【考点】简单线性规划．
【分析】建立直角坐标系，写出点的坐标，求出BD的方程，求出圆的方程；设出P的坐标，求出三个向量的坐标，将P的坐标代入圆内方程求出4x﹣y范围．
【解答】解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则
A（0，0），D（0，1），C（1，1），B（2，0），
直线BD的方程为x+2y﹣2=0，C到BD的距离d=
∴圆弧以点C为圆心的圆方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=，
设P（m，n）则=（m，n），
=（0，1），=（2，0），=（﹣1，1）
若，
∴（m，n）=（2x﹣y，y）
∴m=2x﹣y，n=y
∵P在圆内或圆上
∴（2x﹣y﹣1）2+（y﹣1）2≤，
设4x﹣y=t，则y=4x﹣t，代入上式整理得80x2﹣（48t+32）x+8t2+7≤0，
设f（x）=80x2﹣（48t+32）x+8t2+7≤0，x∈[，]，
则，
解得2≤t≤3+，
故4x﹣y的最大值为3+，
故选：B
【点评】本题考通过建立直角坐标系将问题代数化、考查直线与圆相切的条件、考查向量的坐标公式，属于中档题
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知复数z满足z（1+i）=2，则|z|= ．
【考点】复数求模．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解．
【解答】解：∵z（1+i）=2，
∴，
则|z|=．
故答案为：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．
14．某厂在生产某产品的过程中，产量x（吨）与生产能耗y（吨）的对应数据如表所示．根据最小二乘法求得回归直线方程为=0.7x+a．当产量为80吨时，预计需要生产能耗为 59.5 吨．
x
30
40
50
60
y
25
30
40
45
【考点】线性回归方程．
【分析】求出x，y的平均数，代入y关于x的线性回归方程，求出a，把x=80代入，能求出当产量为80吨时，预计需要生成的能耗．
【解答】解：由题意， =45， =35，代入=0.7x+a，可得a=3.5，
∴当产量为80吨时，预计需要生成能耗为0.7×80+3.5=59.5，
故答案为：59.5．
【点评】本题考查了最小二乘法，考查了线性回归方程，解答的关键是知道回归直线一定经过样本中心点，是基础题．
15．设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域为R；命题q：当时，恒成立，如果命题“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是 （1，2） ．
【考点】复合命题的真假．
【分析】对于命题p：a≤0时，函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域不为R．由函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域为R，则，解得a范围．对于命题q：当时，利用基本不等式的性质可得：x+≥2，根据恒成立，可得a的求值范围．如果命题“p∧q”为真命题，可得实数a的取值范围．
【解答】解：对于命题p：a≤0时，函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域不为R．
由函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域为R，则，解得a＞1．
对于命题q：当时，x+≥2，当且仅当x=1时取等号．由当时，恒成立，
∴a＜2．
如果命题“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是1＜a＜2．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查了对数函数的定义域、一元二次不等式的解集与判别式的关系、基本不等式的性质、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为 2.6 日．（结果保留一位小数，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）
【考点】数列的应用．
【分析】设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{an}，其a1=3，公比为，其前n项和为An．莞（植物名）的长度组成等比数列{bn}，其b1=1，公比为2，其前n项和为Bn．利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得出．
【解答】解：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{an}，其a1=3，公比为，其前n项和为An．
莞（植物名）的长度组成等比数列{bn}，其b1=1，公比为2，
其前n项和为Bn．则An=，Bn=，
由题意可得： =，化为：2n+=7，
解得2n=6，2n=1（舍去）．
∴n==1+≈2.6．
∴估计2.6日蒲、莞长度相等，
故答案为：2.6．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）（2017•资阳模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2．
（Ⅰ） 求角A的大小；
（Ⅱ） 若a=，△ABC的面积为，求b+c的值．
【考点】三角形中的几何计算．
【分析】（Ⅰ） 求出，即可求角A的大小；
（Ⅱ） 若a=，△ABC的面积为，利用余弦定理及三角形的面积公式，求b+c的值．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得，（2分）
化简得，
整理得，即，（4分）
由于0＜B+C＜π，则，所以．（6分）
（Ⅱ）因为，所以bc=2．（8分）
根据余弦定理得，（10分）
即7=（b+c）2﹣2，所以b+c=3．（12分）
【点评】本题考查三角函数知识的运用，考查三角形面积的计算，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
18．（12分）（2017•资阳模拟）共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分直方图．
（Ⅰ） 求图中x的值；
（Ⅱ） 已知满意度评分值在[90，100]内的男生数与女生数的比为2：1，若在满意度评分值为[90，100]的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的两人中至少有一名女生的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
【分析】（I）利用频率分布直方图的性质即可得出．
（II）根据分层抽样，求出女生和男生得人数，再一一列举出所有得基本事件，找到所抽取的2人中至少有1名女生的基本事件，根据概率公式计算即可．
【解答】解：（Ⅰ）由（0.008+0.021+0.035+0.030+x）×10=1，解得x=0.006．（4分）
（Ⅱ）满意度评分值在[90，100]内有100×0.006×10=6人，
其中女生2人，男生4人．
设其中女生为a1，a2，男生为b1，b2，b3，b4，从中任取两人，所有的基本事件为（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b2，b3），（b2，b4），（b3，b4）共15个，
至少有1人年龄在[20，30）内的有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4）共9个．
所以，抽取的两人中至少有一名女生的概率为，即为．（12分）
【点评】本题考查分层抽样，以及古典概型的概率公式，考查数据处理能力和分析问题、解决问题的能力，属于中档题．
19．（12分）（2017•资阳模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等边三角形，且AA1⊥平面ABC，D为AB的中点．
（Ⅰ） 求证：直线BC1∥平面A1CD；
（Ⅱ） 若AB=BB1=2，E是BB1的中点，求三棱锥A1﹣CDE的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）连接AC1，交A1C于点F，由三角形中位线定理可得BC1∥DF，再由线面平行的判定可得BC1∥平面A1CD；
（Ⅱ）直接利用等积法求三棱锥A1﹣CDE的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：连接AC1，交A1C于点F，
则F为AC1的中点，又D为AB的中点，
∴BC1∥DF，
又BC1⊄平面A1CD，DF⊂平面A1CD，
∴BC1∥平面A1CD；
（Ⅱ）解：三棱锥A1﹣CDE的体积．
其中三棱锥A1﹣CDE的高h等于点C到平面ABB1A1的距离，可知．
又．
∴．
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．
20．（12分）（2017•资阳模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆Ω：的离心率为，直线l：y=2上的点和椭圆Ω上的点的距离的最小值为1．
（Ⅰ） 求椭圆Ω的方程；
（Ⅱ） 已知椭圆Ω的上顶点为A，点B，C是Ω上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F．记直线AC与AB的斜率分别为k1，k2
①求证：k1•k2为定值；
②求△CEF的面积的最小值．
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）由题知b=1，由，b=1，联立解出即可得出．
（Ⅱ）①证法一：设B（x0，y0）（y0＞0），则，因为点B，C关于原点对称，则C（﹣x0，﹣y0），利用斜率计算公式即可得出．
证法二：直线AC的方程为y=k1x+1，与椭圆方程联立可得坐标，即可得出．
②直线AC的方程为y=k1x+1，直线AB的方程为y=k2x+1，不妨设k1＞0，则k2＜0，令y=2，得，可得△CEF的面积．
【解答】解：（Ⅰ）由题知b=1，由，
所以a2=2，b2=1．
故椭圆的方程为． （3分）
（Ⅱ）①证法一：设B（x0，y0）（y0＞0），则，
因为点B，C关于原点对称，则C（﹣x0，﹣y0），
所以．（6分）
证法二：直线AC的方程为y=k1x+1，
由得，
解得，同理，
因为B，O，C三点共线，则由，
整理得（k1+k2）（2k1k2+1）=0，
所以．（6分）
②直线AC的方程为y=k1x+1，直线AB的方程为y=k2x+1，不妨设k1＞0，则k2＜0，
令y=2，得，
而，
所以，△CEF的面积=
=．（8分）
由得，
则S△CEF=，当且仅当取得等号，
所以△CEF的面积的最小值为．（12分）
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、项斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
21．（12分）（2017•资阳模拟）已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1），其中a∈R．
（Ⅰ） 当a=﹣1时，求证：f（x）≤0；
（Ⅱ） 对任意t≥e，存在x∈（0，+∞），使tlnt+（t﹣1）[f（x）+a]＞0成立，求a的取值范围．
（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数f（x）的最大值，证明结论即可；
（Ⅱ）问题转化为证明，设，根据函数的单调性求出a的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=lnx﹣x+1（x＞0），
则，令f'（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
故当x=1时，函数f（x）取得极大值，也为最大值，所以f（x）max=f（1）=0，
所以，f（x）≤0，得证．（4分）
（II）原题即对任意t≥e，存在x∈（0，+∞），使成立，
只需．
设，则，
令u（t）=t﹣1﹣lnt，则对于t≥e恒成立，
所以u（t）=t﹣1﹣lnt为[e，+∞）上的增函数，
于是u（t）=t﹣1﹣lnt≥u（e）=e﹣2＞0，即对于t≥e恒成立，
所以为[e，+∞）上的增函数，则．（8分）
令p（x）=﹣f（x）﹣a，则p（x）=﹣lnx﹣a（x﹣1）﹣a=﹣lnx﹣ax，
当a≥0时，p（x）=﹣lnx﹣ax为（0，+∞）的减函数，且其值域为R，符合题意．
当a＜0时，，由p'（x）=0得，
由p'（x）＞0得，则p（x）在上为增函数；
由p'（x）＜0得，则p（x）在上为减函数，
所以，
从而由，解得．
综上所述，a的取值范围是．（12分）
【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）
22．（10分）（2017•资阳模拟）已知在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ．
（Ⅰ） 求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；
（Ⅱ） 点A，B分别在曲线C1，C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ）由消去θ化为普通方程，由ρ=2sinθ，得ρ2=2ρsinθ，得x2+y2=2y，联立求出交点的直角坐标，化为极坐标得答案；
（Ⅱ） 由平面几何知识可知，A，C1，C2，B依次排列且共线时|AB|最大，求出|AB|及O到AB的距离代入三角形的面积公式得答案．
【解答】解：（Ⅰ）由得
则曲线C1的普通方程为（x+1）2+y2=1．
又由ρ=2sinθ，得ρ2=2ρsinθ，得x2+y2=2y．
把两式作差得，y=﹣x，代入x2+y2=2y，
可得交点坐标为为（0，0），（﹣1，1）．
（Ⅱ） 由平面几何知识可知，
当A，C1，C2，B依次排列且共线时，|AB|最大，此时，
直线AB的方程为x﹣y+1=0，则O到AB的距离为，
所以△OAB的面积为．（10分）
【点评】本题考查了参数方程化普通方程，极坐标与直角坐标的互化，考查学生的计算能力，是中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）
23．（2017•资阳模拟）已知函数f（x）=|x+1|．
（Ⅰ） 解不等式f（x+8）≥10﹣f（x）；
（Ⅱ） 若|x|＞1，|y|＜1，求证：f（y）＜|x|•f（）．
【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ） 分类讨论，解不等式f（x+8）≥10﹣f（x）；
（Ⅱ）利用分析法证明不等式．
【解答】（Ⅰ）解：原不等式即为|x+9|≥10﹣|x+1|．
当x＜﹣9时，则﹣x﹣9≥10+x+1，解得x≤﹣10；
当﹣9≤x≤﹣1时，则x+9≥10+x+1，此时不成立；
当x＞﹣1时，则x+9≥10﹣x﹣1，解得x≥0．
所以原不等式的解集为{x|x≤﹣10或x≥0}．
（Ⅱ）证明：要证，即，只需证明．
则有==
==．
因为|x|2＞1，|y|2＜1，则=，
所以，原不等式得证．（10分）
【点评】本题考查不等式的解法，考查不等式的证明，考查分析法的运用，属于中档题．
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