湖南省高考数学模拟试卷与解析(理科)

这是一份湖南省高考数学模拟试卷与解析(理科)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖南省高考数学模拟试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知全集U为实数集，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩（∁UB）为（　　）
A．{x|1≤x＜3} B．{x|x＜3} C．{x|x≤﹣1} D．{x|﹣1＜x＜1}
2．i是虚数单位，若复数z满足zi=﹣1+i，则复数z的实部与虚部的和是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，给出下列命题：
①；②；③；④．
其中的正确命题序号是（　　）
A．②③ B．①②③ C．②④ D．①②④
4．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（　　）

A．1﹣ B． C． D．1﹣
5．已知点A（3，0），过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=﹣1垂直相交于点B，若|PB|=|PA|，则点P的横坐标为（　　）
A．1 B． C．2 D．
6．某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（　　）

A．4π B．π C．π D．20π
7．函数f（x）=的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
8．执行如图所示的程序框图，如果输入的N是10，那么输出的S是（　　）

A．2 B．﹣1 C．﹣1 D．2﹣1
9．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（guǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.1寸表示115寸1分（1寸=10分）．
节气
冬至
小寒
（大雪）
大寒
（小雪）
立春
（立冬）
雨水
（霜降）
惊蛰
（寒露）
春分
（秋分）
清明
（白露）
谷雨
（处暑）
立夏
（立秋）
小满
（大暑）
芒种
（小暑）
夏至
晷影长
（寸）
135
125
115.1
105.2
95.3

75.5
66.5

45.7
35.8
25.9
16.0
已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为（　　）
A．72.4寸 B．81.4寸 C．82.0寸 D．91.6寸
10．设F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（+）⋅=0（O为坐标原点），且2||=3||，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
11．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数对（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”，给出下列四个集合：
①M={（x，y）|y=}；
②M={（x，y）|y=sinx+1}；
③={（x，y）|y=2x﹣2}；
④M={（x，y）|y=log2x}
其中是“垂直对点集”的序号是（　　）
A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
12．定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立； （2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x；记函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），若函数g（x）恰有两个零点，则实数k的取值范围是（　　）
A．[1，2） B． C． D．　
二、填空题
13．若两个非零向量满足，则向量与的夹角是　　．
14．已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则实数a=　　．
15．我们可以利用数列{an}的递推公式an=（n∈N+），求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则a64+a65=　　．
16．实数x、y满足，若z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则a的取值范围是　　．　
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上且满足PC=3PM，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．

19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年618期间，某购物平台的销售业绩高达516亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．
（Ⅰ）先完成关于商品和服务评价的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：
①求对商品和服务全好评的次数X的分布列；
②求X的数学期望和方差．
附临界值表：
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.897
10.828
K2的观测值：k=（其中n=a+b+c+d）
关于商品和服务评价的2×2列联表：

对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
a=80
b=　　
　　
对商品不满意
c=　　
d=10
　　
合计
　　
　　
n=200
20．（12分）已知椭圆的长轴长为6，离心率为，F2为椭圆的右焦点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）点M在圆x2+y2=8上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=8的切线交椭圆于P，Q两点，判断△PF2Q的周长是否为定值并说明理由．

21．（12分）已知函数f（x）=的图象为曲线C，函数g（x）=ax+b的图象为直线l．
（1）当a=2，b=﹣3时，求F（x）=f（x）﹣g（x）的最大值；
（2）设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为x1，x2，且x1≠x2，求证：（x1+x2）g（x1+x2）＞2．
　
请考生在22、23题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】
22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．
　
【选修4-5：不等式选讲】
23．设函数f（x）=|x﹣a|﹣2|x﹣1|．
（Ⅰ）当a=3时，解不等式f（x）≥1；
（Ⅱ）若f（x）﹣|2x﹣5|≤0对任意的x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．
　
湖南省高考数学模拟试卷（理科）试题解析
　一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知全集U为实数集，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩（∁UB）为（　　）
A．{x|1≤x＜3} B．{x|x＜3} C．{x|x≤﹣1} D．{x|﹣1＜x＜1}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】解不等式求出集合A，求函数定义域得出集合B，再根据交集与补集的定义写出A∩（∁UB）．
【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，
B={x|y=ln（1﹣x）}={x|1﹣x＞0}={x|x＜1}，
则∁UB={x|x≥1}，
所以A∩（∁UB）={x|1≤x＜3}．
故选：A．
【点评】本题考查了集合的基本运算与不等式和函数定义域的应用问题，是基础题目．
　
2．i是虚数单位，若复数z满足zi=﹣1+i，则复数z的实部与虚部的和是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的乘法求出复数z，然后求解结果即可．
【解答】解：复数z满足zi=﹣1+i，
可得z===1+i．
复数z的实部与虚部的和是：1+1=2．
故选：C．
【点评】本题考查复数的基本运算以及基本概念，考查计算能力．
　
3．已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，给出下列命题：
①；②；③；④．
其中的正确命题序号是（　　）
A．②③ B．①②③ C．②④ D．①②④
【考点】命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．
【分析】由线面垂直及线线垂直的几何特征可判断①的真假；由线面垂直的性质定理可判断②的真假；根据线面垂直的性质定理及面面平行的判定方法可判断③的真假；由面面平行的性质及几何特征可判断④的真假，进而得到答案．
【解答】解：或n⊂α，故①错误；
由线面垂直的性质定理可得，故②正确；
根据线面垂直的性质定理及面面平行的判定方法可得，故③正确；
由面面平行的性质及几何特征可得或m，n异面，故④错误；
故选A
【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线线关系，线面关系及面面关系的判定，性质，及几何特征是解答本题的关键．
　
4．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（　　）

A．1﹣ B． C． D．1﹣
【考点】几何概型．
【分析】由题意，直接看顶部形状，及正方形内切一个圆，正方形面积为4，圆为π，即可求出“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率．
【解答】解：由题意，正方形的面积为22=4．圆的面积为π．
所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1﹣，
故选：A．
【点评】本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
　
5．已知点A（3，0），过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=﹣1垂直相交于点B，若|PB|=|PA|，则点P的横坐标为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】利用抛物线的定义，结合|PB|=|PA|，即可求出点P的横坐标．
【解答】解：由题意，可知F（1，0），
∵过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=﹣1垂直相交于点B，
∴|PB|=|PF|
∵|PB|=|PA|，
∴|PF|=|PA|，
∴P的横坐标为2，
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的定义与性质，考查学生的计算能力，比较基础．
　
6．某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（　　）

A．4π B．π C．π D．20π
【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．
【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积．
【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，
三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，
r==，球的表面积4πr2=4π×=π．
故选：B．
【点评】本题考查了由三视图求三棱柱的外接球的表面积，利用棱柱的几何特征求外接球的半径是解题的关键．
　
7．函数f（x）=的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【分析】由函数的解析式，可求出函数的定义域，可排除B，D答案；分析x∈（﹣2，﹣1）时，函数值的符号，进而可以确定函数图象的位置后可可排除C答案．
【解答】解：若使函数的解析式有意义
则，即
即函数的定义域为（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）
可排除B，D答案
当x∈（﹣2，﹣1）时，sinx＜0，ln（x+2）＜0
则＞0
可排除C答案
故选A
【点评】本题考查的知识点是函数的图象，熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判定是解答的关键．
　
8．执行如图所示的程序框图，如果输入的N是10，那么输出的S是（　　）

A．2 B．﹣1 C．﹣1 D．2﹣1
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序框图可知程序框图的功能是求，S=+++…++的值，用裂项法即可得解．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
N=10，S=0，k=1
S=，
满足条件k＜10，k=2，S=+，
满足条件k＜10，k=3，S=++，
…
满足条件k＜10，k=10，S=+++…++=+…+=﹣1，
不满足条件k＜10，退出循环，输出S的值为﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了数列的求和，属于基本知识的考查．
　
9．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷（guǐ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.1寸表示115寸1分（1寸=10分）．
节气
冬至
小寒
（大雪）
大寒
（小雪）
立春
（立冬）
雨水
（霜降）
惊蛰
（寒露）
春分
（秋分）
清明
（白露）
谷雨
（处暑）
立夏
（立秋）
小满
（大暑）
芒种
（小暑）
夏至
晷影长
（寸）
135
125
115.1
105.2
95.3

75.5
66.5

45.7
35.8
25.9
16.0
已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为（　　）
A．72.4寸 B．81.4寸 C．82.0寸 D．91.6寸
【考点】函数与方程的综合运用．
【分析】设晷影长为等差数列{an}，公差为d，a1=130.0，a13=14.8，利用等差数列的通项公式即可得出．
【解答】解：设晷影长为等差数列{an}，公差为d，a1=130.0，a13=14.8，
则130.0+12d=14.8，解得d=﹣9.6．
∴a6=130.0﹣9.6×5=82.0．
∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸．
故选：C．
【点评】本题考查了函数的性质、等差数列的通项公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
　
10．设F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（+）⋅=0（O为坐标原点），且2||=3||，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由向量减法法则和数量积的运算性质，可得==c，从而得到△PF1F2是以为F1F2斜边的直角三角形．由此结合，运用勾股定理算出c， c，再根据双曲线的定义得到2a的值，即可得到该双曲线的离心率．
【解答】解：∵ =
∴，
得﹣=0，所以==c
∴△PF1F2中，边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半，可得⊥
∵，
∴设，，（λ＞0）
得（3λ）2+（2λ）2=4c2，解得λ=c
∴c， c
由双曲线的定义，得2a=||=c
∴双曲线的离心率为e==
故选A
【点评】本题给出双曲线上一点P满足∠F1PF2为直角，且两直角边之比为，求双曲线的离心率，着重考查了向量的运算和双曲线的定义与简单几何性质等知识，属于中档题．
　
11．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意实数对（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”，给出下列四个集合：
①M={（x，y）|y=}；
②M={（x，y）|y=sinx+1}；
③={（x，y）|y=2x﹣2}；
④M={（x，y）|y=log2x}
其中是“垂直对点集”的序号是（　　）
A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
【考点】集合的表示法．
【分析】利用数形结合的方法解决，根据题意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}是“垂直对点集”，就是在函数图象上任取一点A，得直线OA，过原点与OA垂直的直线OB，若OB总与函数图象相交即可．
【解答】解：由题意，若集合M={（x，y）|y=f（x）}满足：
对于任意A（x1，y1）∈M，存在B（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，
因此．所以，若M是“垂直对点集”，
那么在M图象上任取一点A，过原点与直线OA垂直的直线OB总与函数图象相交于点B．
对于①：M={（x，y）|y=}，其图象是过一、二象限，且关于y轴对称，
所以对于图象上的点A，在图象上存在点B，使得OB⊥OA，所以①符合题意；
对于②：M={（x，y）|y=sinx+1}，画出函数图象，
在图象上任取一点A，连OA，过原点作直线OA的垂线OB，
因为y=sinx+1的图象沿x轴向左向右无限延展，且与x轴相切，
因此直线OB总会与y=sinx+1的图象相交．
所以M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直对点集”，故②符合题意；
对于③：M={（x，y）|y=2x﹣2}，其图象过点（0，﹣1），
且向右向上无限延展，向左向下无限延展，
所以，据图可知，在图象上任取一点A，连OA，
过原点作OA的垂线OB必与y=ex﹣2的图象相交，即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，
故M={（x，y）|y=2x﹣2}是“垂直对点集”．故③符合题意；
对于④：M={x，y）|y=log2x}，对于函数y=log2x，
过原点做出其图象的切线OT（切点T在第一象限），
则过切点T做OT的垂线，则垂线必不过原点，
所以对切点T，不存在点M，使得OM⊥OT，
所以M={（x，y）|y=log2x}不是“垂直对点集”；故④不符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查“垂直对点集”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
　
12．定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立； （2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x；记函数g（x）=f（x）﹣k（x﹣1），若函数g（x）恰有两个零点，则实数k的取值范围是（　　）
A．[1，2） B． C． D．
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）=﹣x+2b，x∈（b，2b]，又因为f（x）=k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，再结合函数的图象根据题意求出参数的范围即可
【解答】解：因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x
所以f（x）=﹣x+2b，x∈（b，2b]．
由题意得f（x）=k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，
如图所示红色的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合）

所以可得k的范围为
故选C．
【点评】解决此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图象与函数的性质，数形结合思想是高中数学的一个重要数学思想，是解决数学问题的必备的解题工具．
　
二、填空题
13．若两个非零向量满足，则向量与的夹角是　120°　．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】将已知等式平方得到的模的关系及，然后利用向量的数量积公式求出的夹角．
【解答】解：
∵==
∴，
∴（+）•（﹣）=﹣2||2，
设的夹角为θ
cosθ=
∵θ∈[0°，180°]
∴θ=120°
故答案为120°
【点评】求两个向量的夹角，一般利用向量的数量积公式来求出夹角的余弦，进一步求出夹角，但一定注意向量夹角的范围为[0°，180°]
　
14．已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则实数a=　﹣6　．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】根据二项式展开式的通项公式，列出方程即可求出r与a的值．
【解答】解：（﹣）5展开式的通项公式为：
Tr+1=••=（﹣a）r••，
令=，解得r=1；
所以展开式中含x项的系数为：
（﹣a）•=30，
解得a=﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式与应用问题，是基础题目．
　
15．我们可以利用数列{an}的递推公式an=（n∈N+），求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则a64+a65=　66　．
【考点】数列递推式．
【分析】借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定，写出数列前几项，即可得到所求值．
【解答】解：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…
∴a64+a65=a32+65=a16+65=a8+65=a4+65=1+65=66．
故答案为：66．
【点评】本题是对数列递推公式应用的考查，解题时要认真审题，仔细观察，注意寻找规律，避免不必要的错误．
　
16．实数x、y满足，若z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则a的取值范围是　[﹣1，1]　．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则A（3，9），B（﹣3，3），C（3，﹣3），
∵z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，
可知目标函数经过A取得最大值，经过C取得最小值，
若a=0，则y=z，此时z=ax+y经过A取得最大值，经过C取得最小值，满足条件，
若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，
要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，
则目标函数的斜率满足﹣a≥kBC=﹣1，
即a≤1，可得a∈（0，1]．
若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，
要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，可得﹣a≤kBA=1
∴﹣1≤a＜0，综上a∈[﹣1，1]
故答案为：[﹣1，1]．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论，是中档题．
　
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）（2017•长沙模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（I）把条件中所给的既有角又有边的等式利用正弦定理变化成只有角的形式，整理逆用两角和的正弦公式，根据三角形内角的关系，得到结果．
（II）利用余弦定理写成关于角A的表示式，整理出两个边的积的范围，表示出三角形的面积，得到面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵，
所以（2c﹣b）•cosA=a•cosB
由正弦定理，得（2sinC﹣sinB）•cosA=sinA•cosB．
整理得2sinC•cosA﹣sinB•cosA=sinA•cosB．
∴2sinC•cosA=sin（A+B）=sinC．
在△ABC中，sinC≠0．
∴，．
（Ⅱ）由余弦定理，．
∴b2+c2﹣20=bc≥2bc﹣20
∴bc≤20，当且仅当b=c时取“=”．
∴三角形的面积．
∴三角形面积的最大值为．
【点评】本题考查正弦定理和余弦定理，本题解题的关键是角和边的灵活互化，两个定理的灵活应用和两角和的公式的正用和逆用．
　
18．（12分）（2017•长沙模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上且满足PC=3PM，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．

【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）推导出PQ⊥AD，∴BQ⊥AD，从而AD⊥平面PBQ，由此能证明平面PQB⊥平面PAD．
（2）以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣BQ﹣C的大小．
【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，
∠BAD=60°，Q是AD的中点．
PA=PD，
∴BD=AD=AB，PQ⊥AD，∴BQ⊥AD，
∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PBQ，
∵AD⊂平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．
解：（2）∵平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上且满足PC=3PM，
∴以Q为原点，QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴，建立空间直角坐标系，
Q（0，0，0），B（0，，0），P（0，0，），C（﹣2，，0），M（﹣，，），
=（0，，0），=（﹣，，），
设平面BQM的法向量=（x，y，z），
则，取z=1，得=（），
平面BQC的法向量=（0，0，1），
设二面角M﹣BQ﹣C的平面角为θ，
则cosθ==，θ=60°，
∴二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°．

【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
　
19．（12分）（2017•长沙模拟）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇．2016年618期间，某购物平台的销售业绩高达516亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．
（Ⅰ）先完成关于商品和服务评价的2×2列联表，再判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
（Ⅱ）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X：
①求对商品和服务全好评的次数X的分布列；
②求X的数学期望和方差．
附临界值表：
P（K2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.897
10.828
K2的观测值：k=（其中n=a+b+c+d）
关于商品和服务评价的2×2列联表：

对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
a=80
b=　40　
　120　
对商品不满意
c=　70　
d=10
　80　
合计
　150　
　50　
n=200
【考点】独立性检验的应用．
【分析】（Ⅰ）由已知列出关于商品和服务评价的2×2列联表，代入公式求得k2的值，对应数表得答案；
（Ⅱ）①每次购物时，对商品和服务全好评的概率为0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，X～B（3，0.4）．求出相应的概率，可得对商品和服务全好评的次数X的分布列（概率用组合数算式表示）；
②利用二项分布的数学期望和方差求X的数学期望和方差．
【解答】解：（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表如下：

对服务好评
对服务不满意
合计
对商品好评
80
40
120
对商品不满意
70
10
80
合计
150
50
200
…2分
K2=≈11.111＞10.828 …4分
故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为商品好评与服务好评有关．…5分
（2）①每次购物时，对商品和服务都好评的概率为0.4，且X的取值可以是0，1，2，3．
其中P（X=0）=0.63=； P（X=1）=C31•0.4•0.62=；…7分
P（X=2）=C32•0.42•0.6=； P（X=3）=C33•0.43=．…9分
X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




…10分
②由于X～B（3，0.4），则E（X）=3×0.4=1.2，D（X）=3×0.4×0.6=0.72…12分．
【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识，对考生的对数据处理的能力有很高要求，是中档题．
　
20．（12分）（2017•长沙模拟）已知椭圆的长轴长为6，离心率为，F2为椭圆的右焦点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）点M在圆x2+y2=8上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=8的切线交椭圆于P，Q两点，判断△PF2Q的周长是否为定值并说明理由．

【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由题意可知：2a=6，，求得a和c的值，由b2=a2﹣c2，求得b，写出椭圆方程；
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），分别求出|F2P|，|F2Q|，结合相切的条件可得|PM|2=|OP|2﹣|OM|2，可得，同理|QF2|+|QM|=3，即可证明；
【解答】解：（I）根据已知，设椭圆的标准方程为，
∴2a=6，a=3，，c=1；
b2=a2﹣c2=8，

（II）△PF2Q的周长是定值，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，
，
∵0＜x1＜3，
∴，（7分）
在圆中，M是切点，
∴，（11分）
∴，
同理|QF2|+|QM|=3，（13分）
∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=3+3=6，
因此△PF2Q的周长是定值6．…（14分）
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、直线与圆相切性质、勾股定理、三角形的周长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
　
21．（12分）（2017•长沙模拟）已知函数f（x）=的图象为曲线C，函数g（x）=ax+b的图象为直线l．
（1）当a=2，b=﹣3时，求F（x）=f（x）﹣g（x）的最大值；
（2）设直线l与曲线C的交点的横坐标分别为x1，x2，且x1≠x2，求证：（x1+x2）g（x1+x2）＞2．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；分析法和综合法．
【分析】（1）由a=2，b=﹣3，知，x∈（0，1），F'（x）＞0，F'（x）单调递增，x∈（1，+∞），F'（x）＜0，F'（x）单调递减，由此能求出F（x）=f（x）﹣g（x）的最大值．
（2）设x1＜x2，要证（x1+x2）g（x1+x2）＞2，只需证，由此入手，能够证明（x1+x2）g（x1+x2）＞2．
【解答】解：（1）∵，
，
x∈（0，1），F'（x）＞0，F'（x）单调递增，
x∈（1，+∞），F'（x）＜0，F'（x）单调递减，
∴F（x）max=F（1）=2
（2）不妨设x1＜x2，要证（x1+x2）g（x1+x2）＞2，只需证，
，，
∵，
∴，即，∴，
令，x∈（x1，+∞）．只需证，
，令，则，G（x）在x∈（x1，+∞）单调递增．
G（x）＞G（x1）=0，∴H′（x）＞0，∴H（x）在x∈（x1，+∞）单调递增．H（x）＞H（x1）=0，
H（x）=（x+x1）ln﹣2（x﹣x1）＞0，∴（x1+x2）g（x1+x2）＞2．
【点评】本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
　
请考生在22、23题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】
22．（10分）（2016•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．
【考点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质．
【分析】（Ⅰ）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C的极坐标方程．
（Ⅱ）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率．
【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）2+y2=25，
∴x2+y2+12x+11=0，
∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，
∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0．
（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），
∴t=，代入y=tsinα，得：直线l的一般方程y=tanα•x，
∵l与C交与A，B两点，|AB|=，圆C的圆心C（﹣6，0），半径r=5，
∴圆心C（﹣6，0）到直线距离d==，
解得tan2α=，∴tanα=±=±．
∴l的斜率k=±．
【点评】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线公式、圆的性质的合理运用．
　
【选修4-5：不等式选讲】
23．（2017•长沙模拟）设函数f（x）=|x﹣a|﹣2|x﹣1|．
（Ⅰ）当a=3时，解不等式f（x）≥1；
（Ⅱ）若f（x）﹣|2x﹣5|≤0对任意的x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（Ⅰ）通过对x取值的分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）利用等价转化思想，可得|x﹣a|≤3，从而可得，即可求出实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）≥1，即|x﹣3|﹣|2x﹣2|≥1
x时，3﹣x+2x﹣2≥1，∴x≥0，∴0≤x≤1；
1＜x＜3时，3﹣x﹣2x+2≥1，∴x≤，∴1＜x≤；
x≥3时，x﹣3﹣2x+2≥1，∴x≤﹣2∴1＜x≤，无解，…
所以f（x）≥1解集为[0，]．…
（Ⅱ）当x∈[1，2]时，f（x）﹣|2x﹣5|≤0可化为|x﹣a|≤3，
∴a﹣3≤x≤a+3，…（7分）
∴，…（8分）
∴﹣1≤a≤4．…（10分）
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想、分类讨论思想与综合运算能力，属于中档题．