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天津市第四十一中学 2022-2023学年高一下学期期末数学试题
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高一年级数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共100分,考试用时90分钟,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:本卷共9题,每小题3分,共27分.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 实部为﹣2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面内的A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】【详解】试题分析:实部为-2,虚部为1的复数在复平面对应的点坐标为,位于第二象限,故选B.考点:复平面. 2. 在频率分布直方图中,各个长方形的面积表示 ( )A. 落在相应各组的数据的频数B. 相应各组的频率C. 该样本所分成的组数D. 该样本的样本容量【答案】B【解析】【详解】频率分布直方图中,各个长方形的面积表示相应数据的频率,它等于这组的频数除以样本容量的值,样本容量是这组数据的所有数据的个数.频率分布直方图中,各个长方形的面积表示相应数据的频率,它等于这组的频数除以样本容量的值,小长方形个数表示该样本所分成的组数,故选B.点评:本题考查频率分步直方图,考查频率、频数和样本容量之间的关系,考查最基本的概念,本题是一个基础题.3. 已知,,,若,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设,将向量的坐标代入中,利用向量的坐标的加法、减法和数乘运算可以得到.【详解】设,因为,所以,所以,所以,解得: ,,所以故选:D.4. 如图,将无盖正方体纸盒展开,直线AB,CD在原正方体中的位置关系是( )A. 平行 B. 相交且垂直C. 相交成60° D. 异面直线【答案】C【解析】【分析】把展开图还原成正方体可得的位置关系.【详解】把展开图恢复成如图所示的正方体,其中,为等边三角形,所以.故选:C.5. 已知,为单位向量,当向量与的夹角等于时,则向量在向量上的投影向量为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过投影公式进行计算即可.【详解】解:由定义可得向量在向量上的投影为,所以向量在向量上的投影向量为.故选:D.6. 从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件,下列事件是互斥事件但不是对立事件的是( )A. 恰好有1件次品和恰好有2件次品 B. 至少有1件次品和全是次品C. 至少有1件正品和至少有1件次品 D. 至少有1件次品和全是正品【答案】A【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的定义,即可判断.【详解】A. 由条件可知,恰好有1件次品和恰好有2件次品是互斥事件,但不是对立事件,故A正确;B.至少有1件次品和全是次品不是互斥事件,故B错误;C.至少有1件正品和至少有1件次品不是互斥事件,故C错误;D. 至少有1件次品和全是正品是对立事件,故D错误.故选:A7. 两条异面直线与同一平面所成的角,不可能是( )A. 两个角均为锐角 B. 一个角为,一个角为C. 两个角均为 D. 两个角均为【答案】D【解析】【分析】根据异面直线和直线与平面所成角的概念逐个分析可得答案.【详解】对于A,两个角可能均为锐角,故A不正确;对于B,可能一个角为,一个角为,故B不正确;对于C,可能两个角均为,故C不正确;对于D,如果两个角均为,则两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行,不是异面直线,故这两个角不可能均为,故D正确.故选:D.8. 袋子中有大小和质地完全相同的4个球,其中2个红球,2个白球,不放回地从中依次随机摸出2个球.设A=“两个球颜色相同”,B=“两个球颜色不同”,则( )A. P(A)=P(B) B. 2 P(A)= P(B)C. P(A)=2 P(B) D. 3 P(A)= P(B)【答案】B【解析】【分析】应用独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式求事件、的概率,进而判断它们的数量关系.【详解】由题设,事件可能有{红,红},{白,白},∴,事件可能有{红,白},{白,红},∴,∴2 P(A)= P(B).故选:B9. 如图,圆柱中,是侧面的母线,AB是底面的直径,C是底面圆上一点,则( )A. 平面 B. 平面C. 平面 D. 平面【答案】A【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理及定义判断即可;【详解】解:依题意平面,平面,所以,又是底面圆的直径,所以,,平面,所以平面,故A正确;对于B:显然与不垂直,则不可能垂直平面,故B错误;对于C:显然与不垂直,则不可能垂直平面,故C错误;对于D:显然与不垂直,则不可能垂直平面,故D错误;故选:AⅡ卷注意事项:本卷共11题,共73分.二、填空题:本大题共6个小题,每小题4分,共24分.10. 是虚数单位,复数满足,则的虚部为_____.【答案】-1【解析】【分析】根据,利用复数的除法化简求解.【详解】因为,所以,所以的虚部为-1,故答案为:-111. 某中学有高中生3500人,初中生1500人.为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本,已知从高中生中抽取70人,则为____.【答案】100.【解析】【详解】试题分析:计算分层抽样的抽取比例和总体个数,利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n值.详解:分层抽样的抽取比例为,总体个数为3500+1500=5000,∴样本容量n=5000×=100.故答案为100.点睛:本题考查了分层抽样方法,熟练掌握分层抽样方法特征是关键.分层抽样适用于总体内的个体间有明显差异,将特性相同的分为一类.12. 如图,已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1,则四棱锥A1–BB1D1D的体积为__________.【答案】【解析】【分析】由题意分别求得底面积和高,然后求解其体积即可.【详解】如图所示,连结,交于点,很明显平面,则是四棱锥的高,且,,结合四棱锥体积公式可得其体积为,故答案为.点睛:本题主要考查棱锥体积的计算,空间想象能力等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13. 从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率为________.【答案】0.2【解析】【详解】从1,2,3,4,5中任意取两个不同的数共有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)10种.其中和为5的有(1,4),(2,3)2种.由古典概型概率公式知所求概率为=. 14. 已知,,是直线,给出下列命题:①若,,则;②若,,则;③若,,则;④若与异面,则至多有一条直线与,都垂直.其中真命题是______(写出所有正确命题的序号).【答案】①③【解析】【分析】根据空间中线线的位置关系判断即可;【详解】解:已知,,是直线,给出下列命题:①若,,根据平行线的传递性可得:,正确;②若,,则与平行、相交或为异面直线,因此不正确;③若,,则,正确;④若与异面,则有无数条直线与,都垂直,因此不正确.其中真命题是 ①③.故答案为:①③.15. 在中,,,. 若,,且,则的值为______________.【答案】【解析】【详解】 ,则.【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量的基本定理,利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量,利用向量的定比分点公式表示向量,计算数量积,选取基地很重要,本题的已知模和夹角,选作基地易于计算数量积.三、解答题:本大题共5小题,共49分、解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16. 如图,在平行四边形ABCD中,点E是AB的中点,点F,G分别是AD,BC的三等分点.设.(1)用表示;(2)如果,EF,EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论.【答案】(1),;(2),证明见解析【解析】【分析】(1)根据平面向量运算法则,依次代换即可表示;(2)根据(1)的表示形式计算,则.【详解】解:(1)(2).证明如下:由(1)知,,【点睛】此题考查平面向量的线性运算和数量积的计算,通过非零向量数量积为零判定向量垂直.17. 在中,内角A、B、C所对的边分别为,,,已知.(Ⅰ)求角B的大小; (Ⅱ)设,,求.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】【分析】(Ⅰ) 在△ABC中,利用正弦定理及其.可得,利用和差公式化简整理可得B.(Ⅱ)在△ABC中,利用余弦定理即可得出b.【详解】(Ⅰ) 在△ABC中,由正弦定理,又.可得,∴sinBcosBsinB,则.又∵B∈(0,π),可得.(Ⅱ) 在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,,∴b2=a2+c2﹣2accosB=4+9﹣2×2×3×cos7,解得.点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.18. 为了了解某学校高一年级的712名学生身高的情况,现从该学校386名女生中抽取一个样本容量为27的样本,其观测数据(单位:cm)如下:163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0 162.5154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0(1)计算女生身高的样本平均数;(2)若该学校男生平均身高为170.6cm,试估计该校高一年级学生的平均身高;(3)根据女生的样本数据估计该学校高一年级女生身高的第75百分位数.【答案】(1) cm (2) cm (3) cm【解析】分析】(1)(2)根据平均数公式计算可得;(3)首先将数据从小到大排列,再按照百分位数计算规则计算可得;【小问1详解】解:依题意可得 所以平均数为(cm),即样本中女生身高的平均数为 cm.【小问2详解】解:依题意可得高一年级学生的平均身高约为(cm).【小问3详解】解:依题意将样本数据从小到大排列为:148、149、154、154、155、155、155.5、157、157、158、158、159、161、161、162、162.5、162.5、163、163、164、164、164、165、170、171、172、172因为,所以第百分位数为第个数据,为,即由样本数据估计该学校高一年级女生身高的第75百分位数为 cm.19. 从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求,的概率;(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.【答案】(1),;(2)【解析】【分析】直接利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值.【详解】解:(1)由题意可知,.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为,所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为.【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式,考查计算能力,属于中档题.20. 如图,在四面体ABCD中,△ABC是等边三角形,平面ABC⊥平面ABD,点M为棱AB的中点,AB=2,AD=,∠BAD=90°.(Ⅰ)求证:AD⊥BC;(Ⅱ)求异面直线BC与MD所成角的余弦值;(Ⅲ)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ);(Ⅲ).【解析】【详解】分析:(Ⅰ)由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面ABC,则AD⊥BC.(Ⅱ)取棱AC的中点N,连接MN,ND.由几何关系可知∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.计算可得.则异面直线BC与MD所成角的余弦值为.(Ⅲ)连接CM.由题意可知CM⊥平面ABD.则∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角.计算可得.即直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.详解:(Ⅰ)证明:由平面ABC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,可得AD⊥平面ABC,故AD⊥BC.(Ⅱ)取棱AC的中点N,连接MN,ND.又因为M为棱AB的中点,故MN∥BC.所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角.在Rt△DAM中,AM=1,故DM=.因为AD⊥平面ABC,故AD⊥AC.在Rt△DAN中,AN=1,故DN=.在等腰三角形DMN中,MN=1,可得.所以,异面直线BC与MD所成角的余弦值为.(Ⅲ)连接CM.因为△ABC为等边三角形,M为边AB的中点,故CM⊥AB,CM=.又因为平面ABC⊥平面ABD,而CM平面ABC,故CM⊥平面ABD.所以,∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角.在Rt△CAD中,CD==4.在Rt△CMD中,.所以,直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.点睛:本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.
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