2023年山东省菏泽市单县中考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年山东省菏泽市单县中考三模数学试题（含解析），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省菏泽市单县中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．若的绝对值是，那么等于（ ）
A． B． C． D．
2．下面几何体的左视图为（    ）

A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（    ）
A． B．
C． D．
4．一副三角板如图所示摆放，若，则的度数是（ ）

A．80° B．95° C．100° D．110°
5．如图，在平面直角坐标系中，已知，，，ABC与DEF位似，原点O是位似中心，则E点的坐标是（    ）

A． B． C． D．
6．已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（    ）
A． B． C． D．
7．如图，点I是△ABC的内心，若∠AIB＝125°，则∠C等于（　　）

A．65° B．70° C．75° D．80°
8．如图①，在矩形中，H为边上的一点，点M从点A出发沿折线运动到点B停止，点N从点A出发沿运动到点B停止，它们的运动速度都是，若点M、N同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知S与t之间函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（    ）

①当时，是等边三角形．
②在运动过程中，使得为等腰三角形的点M一共有3个．
③当时，．
④当时，．
⑤当时，．
A．①③④ B．①③⑤ C．①②④ D．③④⑤

二、填空题
9．在国家大数据战略的引领下，我国在人工智能领域取得显著成就．某大数据中心存储约58000000000本电子书籍，将58000000000用科学记数法表示应为________．
10．函数y=中自变量x的取值范围是________．
11．若正多边形的一个中心角为，则这个正多边形的一个内角等于________．
12．若，则代数式的值等于_____．
13．如图，A，B两点分别在x轴正半轴，y轴正半轴上且，，将△AOB沿AB翻折得ADB，反比例函数的图像恰好经过D点，则k的值是_____．

14．如图，正方形ABCD中，点O为AC中点，线段EF经过点O，∠FOC＝60°，点G在线段OC上，，连接EG．以下结论：①；②∠AEF＝75°；③；④若，则的面积为3．其中正确的是______．（填写所有正确结论的序号）


三、解答题
15．计算：．
16．先化简，再求值：其中满足方程．
17．如图，在四边形中，，．

(1)求的度数；
(2)平分交于点，．求证：．
18．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点C．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)点P在x轴上，且满足，求点P的坐标．
19．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东方向上，他沿西北方向前进米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）

(1)求点D与点A的距离；
(2)求隧道的长度．（结果保留根号）
20．今年4月23日是第26个世界读书日．八（1）班举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园”主题活动．准备订购一批新的图书鲁迅文集（套）和四大名著（套）．
（1）采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价的贵25元．花费1000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费1500元购买鲁迅文集（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？
（2）若购买鲁迅文集和四大名著共10套（两类图书都要买），总费用不超过570元，问该班有哪几种购买方案？
21．某校在一次“红心向党”教育活动中，组织了学生参加知识竞赛，成绩分为A（优秀）、B（良好）、C（合格）、D（不合格）四个等级，学校随机抽查了部分学生的竞赛成绩，绘制了如下统计图．

(1)求A等级所对应扇形的圆心角度数，并补全条形统计图；
(2)该校共有2500名学生参加了知识竞赛，请你估计该校竞赛成绩为“优秀”的学生人数；
(3)学校准备再开展一次知识竞赛，要求每班派一人参加，某班要从在这次竞赛成绩为优秀的小华和小红中选一人参加，班长设计了如下游戏来确定人选，游戏规则是：把三个完全相同的乒乓球分别标上数字1、2、3，然后放到一个不透明的盒子中摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小华参加，否则小红参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平？
22．如图，是⊙O的直径，弦，垂足为H，E为上一点，过点E作⊙O的切线，分别交的延长线于点F，G，连接，交于点P．

（1）求证：；
（2）连接，若，求的长．
23．如图，和是有公共顶点的直角三角形，，点为射线，的交点．
  
（1）如图1，若和是等腰三角形，求证：；
（2）如图2，若，问：（1）中的结论是否成立？请说明理．
（3）在（1）的条件下，，，若把绕点旋转，当时，请直接写出的长度．
24．如图，抛物线经过，两点．
  
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图1，为抛物线上在第二象限内的一点，若面积为，求点的坐标；
(3)如图2，为抛物线的顶点，试说明；在线段上存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，请直接写出符合条件的点的坐标；

参考答案：
1．C
【分析】根据绝对值的性质可求出的值，再根据乘方运算法则即可求解．
【详解】解：的绝对值是，
∴，
当时，；
当时，；
综上分析可知，．
故选：．
【点睛】本题主要考查绝对值与乘方的综合，掌握绝对值的性质与乘方运算的法则是解题的关键．
2．D
【分析】根据图示确定几何体的左视图即可得到答案．
【详解】解：左视图是一个矩形，矩形的内部有一条横向的虚线．
故选：D．
【点睛】本题考查三视图的画法；用到的知识点为：三视图分别是从物体正面，左面，上面看得到的平面图形；注意实际存在又没有被其他棱所挡，在所在方向看不到的棱应用虚线表示．
3．D
【分析】根据算术平方根的性质、同底数幂除法、合并同类项法则及幂的乘方法则逐一计算即可得答案．
【详解】A.，故该选项计算错误，不符合题意，
B.，故该选项计算错误，不符合题意，
C.+=，故该选项计算错误，不符合题意，
D.，故该选项计算正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查算术平方根的性质、同底数幂除法、合并同类项法则及幂的乘方法则，熟练掌握运算法则是解题关键．
4．B
【分析】由三角形的外角性质得到∠3=∠4=35°，再根据三角形的外角性质求解即可．
【详解】解：如图，∠A=90°-30°=60°，

∵∠3=∠1-45°=80°-45°=35°，
∴∠3=∠4=35°，
∴∠2=∠A+∠4=60°+35°=95°，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键．
5．D
【分析】根据位似图形的概念得到ABDE，求出，根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵A（1，0），D（3，0），
∴OA＝1，OD＝3，
∵△ABC与△DEF位似，
∴ABDE，
∴＝＝，
∴△ABC与△DEF的位似比为1：3，
∵点B的坐标为（2，1），
∴E点的坐标为（2×3，1×3），
即E点的坐标为（6，3），
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据相似三角形的性质求出△ABC与△DEF的位似比是解题的关键．
6．C
【分析】把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出、的大小关系．
【详解】解：∵点，）是反比例函数的图象时的两点，
∴．
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
7．B
【分析】根据三角形内角和定理得到∠IAB+∠IBA=55°，根据内心的概念得到∠CAB+∠ABC=110°，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵∠AIB＝125°，
∴∠IAB+∠IBA＝55°，
∵点I是△ABC的内心，
∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠ABC，
∴∠CAB+∠ABC＝110°，
∴∠C＝180°﹣（∠CAB+∠ABC）＝70°，
故选B．
【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解题的关键．
8．A
【分析】由图②可知：当0＜t≤6时，点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止不动；由点M、N两点的运动速度为1cm/s，所以可得AH=AB=6cm，利用四边形ABCD是矩形可知CD=AB=6cm；当6≤t≤9时，S=且保持不变，说明点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9-6）秒，可得HC=3cm，即点H为CD的中点；利用以上的信息对每个结论进行分析判断后得出结论．
【详解】解：由图②可知：点M、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在点H处，点N在点B处并停止不动，如图，

①∵点M、N两点的运动速度为1cm/s，
∴AH=AB=6cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=6cm．
∵当t=6s时，S=cm2，
∴×AB×BC=．
∴BC=．
∵当6≤t≤9时，S=且保持不变，
∴点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为（9-6）秒，
∴HC=3cm，即点H为CD的中点．
∴BH=．
∴AB=AH=BH=6，
∴△ABM为等边三角形．
∴∠HAB=60°．
∵点M、N同时开始运动，速度均为1cm/s，
∴AM=AN，
∴当0＜t≤6时，△AMN为等边三角形．
故①正确；
②如图，当点M在AD的垂直平分线上时，△ADM为等腰三角形：

此时有两个符合条件的点；
当AD=AM时，△ADM为等腰三角形，如图：

当DA=DM时，△ADM为等腰三角形，如图：

综上所述，在运动过程中，使得△ADM为等腰三角形的点M一共有4个．
∴②不正确；
③过点M作ME⊥AB于点E，如图，

由题意：AM=AN=t，
由①知：∠HAB=60°．
在Rt△AME中，
∵sin∠MAE=，
∴ME=AM•sin60°=t，
∴S=AN×ME=．
∴③正确；
④当t=9+时，CM=，如图，

由①知：BC=，
∴MB=BC-CM=．
∵AB=6，
∴tan∠MAB=，
∴∠MAB=30°．
∵∠HAB=60°，
∴∠DAH=90°-60°=30°．
∴∠DAH=∠BAM．
∵∠D=∠B=90°，
∴△ADH∽△ABM．
∴④正确；
⑤当9＜t＜9+时，此时点M在边BC上，如图，

此时MB=9+-t，
∴S=．
∴⑤不正确；
综上，结论正确的有：①③④．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，主要涉及函数图象上点的坐标的实际意义，三角形的面积，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，相似三角形的判定，特殊角的三角函数值．对于动点问题，依据已知条件画出符合题意的图形并求得相应线段的长度是解题的关键．
9．5.8×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：将58000000000用科学记数法表示应为5.8×1010．
故答案为：5.8×1010．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．x≥﹣2且x≠2
【分析】根据函数的解析式的自变量的取值范围就是使函数的解析式有意义来列出式子，求出其值就可以了．
【详解】解：由题意，得：

解得：x≥﹣2且x≠2．
故答案为x≥﹣2且x≠2．
【点睛】本题是一道有关函数的解析式的题目，考查了函数自变量的取值范围，要求学生理解自变量的取值范围就是使其解析式有意义．
11．140
【分析】根据正多边形的中心角为40°，求出正多边形的边数，再求出其每个外角，即可根据内角和外角的和为180度求出每个内角的度数．
【详解】解：由于正多边形的中心角等于40°，360÷40=9，
所以正多边形为正九边形，
又因为其外角和为360°，
所以其外角为360÷9=40°，
其每个内角为180°-40°=140°．
故答案为140．
【点睛】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力．解答这类题往往一些学生因对正多边形的基本知识不明确，将多边形的中心角和外角、内角混淆．
12．7
【分析】先根据平方差公式将变形为，再把代入求解．
【详解】解：∵
∴





．
故答案为：7．
【点睛】本题考查的是代数式求值，能把变形，再根据平方差公式求解是解答关键．
13．
【分析】根据直角三角形的性质得到AO＝ABcos30°＝＝6，根据折叠的性质得到∠DAB＝∠OAB＝30°，AD＝AO＝6，求得∠DAO＝60°，过D作DC⊥OA于C，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，AB＝，
∴AO＝ABcos30°＝＝6，
∵将△AOB沿AB翻折得△ADB，
∴∠DAB＝∠OAB＝30°，AD＝AO＝6，
∴∠DAO＝60°，
过D作DC⊥OA于C，

∴∠ACD＝90°，
∴AC＝AD＝3，CD＝AD＝，
∴D（3，），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象恰好经过D点，
∴k＝3×＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数点的坐标特征，翻折变换（折叠问题），直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
14．①②③
【分析】由正方形的性质结合题意可知，，即易证，得出，可判断①；由三角形内角和定理即可判断②；过点E作．由含30度角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定结合勾股定理即可判断③；过点F作．易证是等边三角形，即可得出，．由，①结论和③结论可得出，从而可求出，进而可求出，最后根据三角形面积公式即可判断④．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，点O为AC中点，
∴，．
又∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，故②正确；
如图，过点E作．
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，故③正确；
如图，过点F作．
∵，
∴是等边三角形，
∴，．
∵，，，
∴，即，
∴，
∴
∴，故④错误；

综上可知正确的有①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的性质和判定，三角形内角和定理，等腰直角三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质以及等边三角形的判定和性质等知识，较难．正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．
15．
【分析】根据乘方的运算法则，绝对值的性质，特殊角的三角函数值，非零数的负指数幂的运算法则即可求解．
【详解】解：


．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握乘方的运算，绝对值的性质，特殊角的三角函数值，负指数幂的运算法则是解题的关键．
16．，
【分析】运用乘法公式，分式的性质对分式进行化简，再变形得，，代入计算即可求解．
【详解】解：


，
∵，
∴，
∴原式．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，掌握乘法公式与分式混合运算的综合，方程的变形，代入求值等知识是解题的关键．
17．(1)
(2)详见解析

【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解；
（2）根据平分，可得．再由，可得．即可求证．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）证明：∵平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键
18．(1)y=-，
(2)（-3，0）或（5，0）

【分析】（1）把点A坐标代入反比例函数解析式可求出k2，再令y=-，可求出n，把A和B坐标代入一次函数解析式，利用待定系数法可求解；
（2）△APB的面积=△ACP的面积+△BCP的面积，设出点P的横坐标，根据△APB的面积为9可建立方程，求解即可．
【详解】（1）∵反比例函数的图象过点A（-1，3），
∴k2=-1×3=-3；
∵反比例函数y=-的图象过点B（n，-），
∴-n=-3，解得n=2，
∵一次函数y=k1x+b（k1≠0）过点A（-1，3），B（2，-），
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为：；
（2）∵一次函数的解析式为：与x轴交于点C，
∴令y=0，得x=1
∴C（1，0），
如图，设点P的坐标为（t，0），

∴CP=|t-1|，
∴S△APB=S△ACP+S△PBC


=9，
解得t=-3或t=5，
∴点P的坐标为（-3，0）或（5，0）．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积问题等知识，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及一次函数与反比例函数的性质．
19．(1)点D与点A的距离为300米
(2)隧道的长为米

【分析】（1）根据方位角图，易知，，解即可求解；
（2）过点D作于点E．分别解，求出和，即可求出隧道的长
【详解】（1）由题意可知：，
在中，
∴（米）
答：点D与点A的距离为300米．
（2）过点D作于点E．

∵是东西走向
∴
在中，
∴
在中，
∴
∴（米）
答：隧道的长为米
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
20．（1）鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是50元、75元；（2）见解析
【分析】（1）设鲁迅文集（套）的单价为x元，根据“花费1000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费1500元购买鲁迅文集（套）的数量相同”列方程求解；
（2）设购买鲁迅文集a套，根据“总费用不超过570元”列不等式求解．
【详解】（1）设鲁迅文集（套）的单价为x元，列方程得，
解得，
经检验是方程的解且符合题意，
∴，
答：鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是50元、75元；
（2）设购买鲁迅文集a套，则，解得，
∵且a为正整数，∴、9，
答：该班有两种购买方案．见下表

鲁迅文集（套）
四大名著（套）
方案一
8
2
方案二
9
1
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程和不等式解答．
21．(1)A等级所对应扇形的圆心角度数为144°，补全条形统计图见解析
(2)估计该校竞赛成绩为“优秀”的学生人数为1000人
(3)该游戏规则不公平，说明见解析

【分析】（1）用C等级的人数除以其人数占比求出调查的学生人数，由此即可求解；
（2）用2500乘以样本中优秀的人数占比即可得到答案；
（3）列树状图，分别求出两人获胜的概率即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得调查的学生人数为20÷20%＝100人
∴A等级所对应扇形的圆心角度数为，B等级所对应的人数为100-40-20-5=35人，
补全统计图如下：

（2）解：人
答：估计该校竞赛成绩为“优秀”的学生人数为1000人
（3）解：列树状图如下

共6种等可能结果，其中奇数的结果有4种．
∴P（小华参加），P（小红参加）
∵
∴该游戏规则不公平．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，树状图法求解概率，正确读懂统计图是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接，由切线的性质和垂径定理可得，，利用余角的性质可证，进而可证结论成立；
（2）连接，设的半径为r，由平行线的性质得，由余弦的定义求出的长，再由勾股定理求出和，求出，进而可求出的长．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的切线，
∴，  
∴，
∴．
∵于，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．

（2）解：连接，设的半径为r，
∴直径于，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵在中，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
设OE=4x，OG=5x，则EG==3x，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，以及锐角三角函数的知识，熟练掌握锐角三角函数的知识是解答本题的关键．
23．（1）详见解析；（2）（1）中结论成立，详见解析；（3）或
【分析】（1）利用SAS证，可得出；
（2）根据直角三角形边的关系，可得，从而证，最终得出角度关系；
（3）存在2种情况，一种是点E在线段AB上，另一种是点E在AB的反向延长线上，分别利用相似的关系推导可得．
【详解】（1）和是等腰直角三角形，，
，，．
．
．
（2）（1）中结论成立，理由：
在中，，
，
在中，，
，
．
，
，
．
．
（3）情况一：如下图，点E在线段AB上

由第（1）问可得：△BAD≌△CAE
∴∠ABD=∠ACE
∵∠ADB=∠PDC
∴△ABD∽△PCD
∴
∵AB=AC=6，AD=AE=4,
∴DC=10
∴在Rt△BAD中，DB=
∴DP=
∴PB=
情况二：如下图，点E在BA的延长线上

同理可证：△AEC∽△PEB
∴
∵AB=AC=6，AD=AE=4,
∴EB=10
∴在Rt△AEC中，EC=
∴BP=
∴综上得：的长为或
【点睛】本题考查三角形的全等和相似的证明，并考查了勾股定理的计算，解题关键是找出图形中的全等三角形和相似三角形．
24．(1)
(2)点的坐标为或
(3)说明见解析；点的坐标或

【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）如图所示，过点作平行轴，交于点，设点坐标为，则点坐标为，根据即可求解；
（3）如图所示，过点作垂直轴于点，过点作垂直于点，可得点坐标，直线的解析式，再根据三角函数值的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：把，，代入抛物线解析式得，
解得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：如图所示，过点作平行轴，交于点，
  
∵，，
∴直线解析式为，设点坐标为，则点坐标为，
∴．
∴，
∴，解得：，，
当时，点坐标为；当时，点坐标为；
综上所述：若面积为，点的坐标为或．
（3）解：如图所示，过点作垂直轴于点，过点作垂直于点，
  
∵为抛物线的顶点，
∴点坐标为，
又∵，
∴直线为，，，，
∵，，
∴，，，直线解析式为，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，存在使得以，，为顶点的三角形与相似的点，
其坐标为或．
【点睛】本题主要考查二次函数图像与几何图形的变换的综合，掌握二次函数图像的性质，几何图形的性质，三角函数值的计算方法即可求解．