2023年湖南省郴州市资兴市中考二模数学试题（含解析）

2023年湖南省郴州市资兴市中考二模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．的相反数是（　　）

A．2023 B． C． D．

2．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

3．粮食是人类赖以生存的物质基础，2022年我国粮食总产量再创新高，达68653万吨，该数据可用科学记数法表示为（    ）

A．吨 B．吨 C．吨 D．吨

4．下列事件中是必然事件的是（   ）

A．翻开九年级（下）数学教材，恰好翻到68页 B．在一张纸上任意画两条直线，这两条直线必相交

C．在一个只装有白球的盒子里摸出黑球 D．三角形的内角和等于180°

5．计算的结果是（    ）

A．3 B． C．1 D．

6．如图，点A，B，C在上，，则的度数为（   ）

A． B． C． D．

7．将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为（　　）

A． B． C． D．

8．如图，是双曲线上的一点，点是的中点，过点作轴的垂线，垂足为，交双曲线于点，则的面积是(     )

A． B． C． D．

二、填空题

9．函数中，自变量的取值范围是_____．

10．计算：_______．

11．因式分解：_____．

12．郴州正稳步推进碧道建设，营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群”的生态廊道，使之成为老百姓美好生活的好去处．到今年底各县市区完成碧道试点建设的长度分别为（单位：千米）：，这组数据的众数是__________．

13．若是方程的根，则____________．

14．如图，在平行四边形ABCD中，，，，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为______．

15．扇形的半径为2，圆心角为90°，则该扇形的面积（结果保留）为____________．

16．如图，在平行四边形中，，点G、H分别是边上的动点，连接，点E是上的中点，点F是上的中点，连接，则的最大值与最小值的差为______________．

三、解答题

17．计算：

18．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．

19．如图，，求证：.

20．某校为积极响应“福城圣地，郴州有礼”城市品牌建设，在每周五下午第三节课开展了丰富多彩的走班选课活动．其中综合实践类共开设了“礼行”“礼知”“礼思”“礼艺”“礼源”等五门课程，要求全校学生必须参与其中一门课程．为了解学生参与综合实践类课程活动情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果绘制了如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图．

(1)随机抽取的学生共有______名，在扇形统计图中，选择“礼行”课程的学生人数所对应的扇形圆心角的度数________．并补全条形统计图．

(2)若该校共有学生2400人，估计其中参与“礼源”课程的学生共有多少人？

(3)小军计划从“礼行”“礼知”“礼思”“礼艺”“礼源”等五门课程中，任选两门参加，求选到“礼行”和“礼思”两门课程的概率．（要求画树状图或列表求概率）

21．某数学兴趣小组到高椅岭风景区对巨石阵（巨石阵中高者）的高度进行测量．如图所示，巨石阵中高者在高55m的小山上，在A处测得巨石阵中高者的底部E的仰角为34°，再沿方向前进40m到达B处，测得巨石阵中高者的顶部D的仰角为，求巨石阵中高者的高度．

（精确到1m．参考数据：）

22．“30天无理由退货”是营造我省“诚信旅游”良好环境，进一步提升旅游形象的创新举措．机场车站、出租车、景区、手机短信……，“30天无理由退货”的提示随处可见，它已成为一张云南旅行的“安心卡”，极大地提高了旅游服务的品质．刚刚过去的“五•一”假期，旅游线路、住宿、餐饮、生活服务、购物等旅游消费的供给更加多元，同步的是云南旅游市场强劲复苏．某旅行社今年5月1日租用A、B两种客房一天，供当天使用．下面是有关信息：

请根据上述信息，分别求今年5月1日该旅行社租用的A、B两种客房每间客房的租金．

23．如图，是的外接圆，是的直径，E是延长线上一点，连接，且．

(1)求证：是的切线；

(2)若，，求的长．

24．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表：

描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．

(1)如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；

(2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：

①点在函数图象上，则 ， ；（填“＞”，“＝”或“＜”）

②当函数值时，求自变量x的值；

③若直线与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围．

25．已知：如图1，在面积为3的正方形中，E、F分别是和边上的两点，于点G，且．

（1）求证：；

（2）求出和重叠部分（即）的面积；

（3）现将绕点A逆时针方向旋转到（如图2），使点E落在边上的点处，问在旋转前后与重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．

26．如图，抛物线 与轴交于，两点，过点的直线交抛物线于点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点是直线下方抛物线的一个动点，当面积最大时，求点的坐标及面积最大值．

(3)若点是抛物线上的动点，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．

参考答案：

1．A

【分析】利用相反数的定义判断．

【详解】解：的相反数是2023．

故选：A．

【点睛】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．

2．B

【分析】利用中心对称图形的定义直接判断．

【详解】解：根据中心对称图形的定义，四个选项中，只有B选项的图形绕着某点旋转180°后能与原来的图形重合，

故选B．

【点睛】本题考查中心对称图形的判定，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．

3．D

【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．

【详解】解：68653万吨吨吨．

故选：D

【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．

4．D

【分析】根据随机事件的概念及三角形内角和可进行求解．

【详解】解：A、翻开九年级（下）数学教材，恰好翻到68页，属于随机事件，故不符合题意；

B、在一张纸上任意画两条直线，这两条直线必相交，属于随机事件，故不符合题意；

C、在一个只装有白球的盒子里摸出黑球，属于随机事件，故不符合题意；

D、三角形的内角和等于，属于必然事件，故符合题意；

故选D．

【点睛】本题主要考查随机事件，熟练掌握随机事件的相关概念是解题的关键．

5．A

【分析】先根据分式的减法运算法则计算，再提取公因式3，最后约分化简即可．

【详解】原式，

．

故选A．

【点睛】本题考查分式的减法．掌握分式的减法运算法则是解答本题的关键．

6．B

【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出答案．

【详解】解：∵，

∴，

故选：B．

【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角与圆心角的关系，熟知同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解本题的关键．

7．C

【分析】利用三角形外角性质（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和）解题或利用三角形内角和解题皆可.

【详解】如图：

∵，

∴，

∵，

∴，

故选C．

【点睛】本题考查了一副三角板所对应的角度是、、、和三角形外角的性质.本题容易，解法很灵活.

8．C

【分析】根据点是的中点，根据三角形中线的可得， ，进而可得，根据点在双曲线上，轴，可得，进而即可求解．

【详解】点是的中点，

，

，

，

点在双曲线上， 轴，

，

故选：C．

【点睛】本题考查了三角形中线的性质，反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．

9．

【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可.

【详解】解：依题意，得，

解得：，

故答案为．

【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．

10．

【分析】根据同底数幂的乘法法则，即可得出答案．

【详解】解：

故答案为：．

【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法，正确掌握运算法则是解题关键．

11．．

【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，

先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：．

12．5

【分析】根据众数的定义即可解答．

【详解】解：因为5出现5次，出现次数最多，所以众数为5．

故答案为5．

【点睛】本题主要考查了众数的定义，掌握一组数据中出现次数最多的数据为众数是解答本题的关键．

13．1

【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=1代入方程得到a的值．

【详解】把x=1代入方程，得1−2+a=0，

解得a=1，

故答案为：1．

【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．

14．10

【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，根据平行线分线段成比例可得为的中线，然后勾股定理求得，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得的长，进而根据菱形的性质即可求解．

【详解】解：如图，设与的交点为，

根据作图可得，且平分，

，

四边形是平行四边形，

，

，

又， ，

，

，

，

四边形是平行四边形，

垂直平分，

，

四边形是菱形，

，，

，

，

为的中点，

中， ，，

，

，

四边形AECF的周长为．

故答案为：．

【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，菱形的性质与判定，勾股定理，平行线分线段成比例，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．

15．

【分析】根据扇形面积公式可直接进行求解．

【详解】解：由题意得：该扇形的面积为；

故答案为．

【点睛】本题主要考查扇形面积公式，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．

16．

【分析】连接，过点A作，垂足为M，根据三角形中位线定理得出，再由勾股定理分别求出的长度即可求解．

【详解】解：连接，过点A作，垂足为M，

∵点E是上的中点，点F是上的中点，

∴为的中位线，

∴，

∵四边形是平行四边形，，

∴，

∴

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

在中，由勾股定理得，

∴的最大值为，最小值为，

∴的最大值与最小值的差为，

故答案为：．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，能够作出适当的辅助线是解题的关键．

17．1

【分析】先化简零指数幂，绝对值，负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，然后算乘法，最后算加减．

【详解】解：原式=

【点睛】本题考查实数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值，掌握零指数幂，负整数指数幂的运算法则是解题关键．

18．，数轴见解析

【分析】根据一元一次不等式组的性质解出取值范围，在数轴上表示出来即可．

【详解】解：，

，

，

．

不等式①的解集为．

，

，

，

．

不等式②的解集为．

不等式组的解集在数轴上表示为：

不等式组的解集为 ．

故答案为：．

【点睛】本题考查了一元一次不等式组的性质，解题的关键在于熟练掌握一元一次不等式组的性质．

19．证明见解析

【分析】要证明AC∥DF，只要证明∠ACB=∠DFE即可，要证明∠ACB=∠DFE，只要证明△ABC≌△DEF即可，根据题目中的条件可以证明△ABC≌△DEF，本题得以解决．

【详解】

在与中，

【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，掌握判定法则是解题关键

20．(1)40，，图见解析

(2)480人

(3)，图见解析

【分析】（1）根据“礼艺”所占百分比即可求出其他四门课所占百分比，四门课的人数除以其所占百分比即可求出抽取学生的总人数，从而补全图形；用乘以“礼行”所占百分比即可求出所对应的圆心角度数．

（2）根据“礼源”所占百分比乘以总人数即可求出参与“礼源”课程的学生．

（3）根据题意一次画树状图或者列表，再利用概率公式即可求解．

【详解】（1）解：由题意得，

“礼行”“礼知”“礼思”“礼源”四门课所占的百分比为：，

礼行”“礼知”“礼思”“礼源”四门课的人数为：（人），

抽取的学生共有（人）．

“礼艺”的人数为：（人）．

“礼行”课程的学生人数所对应的扇形圆心角的度数为：．

补全条形统计图如下：

故答案为：40，，图见解析．

（2）解：由题意得，（人）．

故答案为：480人．

（3）解：树状图：

所以共的20种选课的可能，其中选到“礼行”和“礼思”两门课程的可能情况有2种，故选到“礼行”和“礼思”两门课程的概率为 ．

列表法

所以共的20种选课的可能，其中选到“礼行”和“礼思”两门课程的可能情况有2种，故选到“礼行”和“礼思”两门课程的概率为 ．

故答案为： ．

【点睛】本题考查了扇形统计图圆心角、用样本估计总本，树状图求概率，解题的关键在于结合图形正确理解题意和获取关键信息．

21．

【分析】由 ，可得，求解，由，可得，从而可得答案．

【详解】解：∵，，，

∴ ，

∴，

∵，

∴ ，

在中，，

∴ ，

∴ ．

答：巨石阵中最高者的高度约为．

【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，理解仰角的含义是解本题的关键．

22．租用的B种客房每间客房的租金为160元，则租用的A种客房每间客房的租金为200元

【分析】设租用的B种客房每间客房的租金为元，则租用的A种客房每间客房的租金为元，根据用2000元租到A客房的数量与用1600元租到的B客房的数量相等，列出方程，求解即可．

【详解】解：设租用的B种客房每间客房的租金为元，则租用的A种客房每间客房的租金为元，由题意得

整理得

解得

经检验，是所列方程的解，且符合题意

答：租用的B种客房每间客房的租金为160元，则租用的A种客房每间客房的租金为200元．

【点睛】本题考查分式方程的应用，找准等量关系，列出方程是解题的关键．

23．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角可得答案；

（2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，继而证明，再根据相似三角形的性质可求出答案．

【详解】（1）证明：连接，

∵是的直径，

∴,

∴,

∵，

∴,

∴，

∴，

∴是的切线；

（2）解：∵与所对的弧都是，

∴,

∵，

∴，

∵，

∴，

∴由勾股定理得，

∵，

∴，

∴，

设，

在中，，

根据勾股定理可得：，

即：，

解得：，

∴．

【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．

24．(1)见解析

(2)①，；②或；③

【分析】（1）根据题意直接运用表格数据进行描点连线即可；

（2）①分别根据反比例函数的性质和图象进行解答即可；②由图象的性质可知当时，分别代入两段函数，求解即可；③根据题意利用图象的性质进行分析即可得出．

【详解】（1）解：如图所示：

（2）解：①∵在上，y随x的增大而增大，

∴，

∵在上，

∴观察图象可得，

故答案为：；

②当时，，

∴（不符合）；

当时，，

∴或；

③由图象可知，直线与函数图象有三个不同的交点时，．

【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；能够通过描点准确的画出函数图象是解题的关键．

25．（1）证明见解析（2）（3）没有变化，理由见解析

【分析】（1）由四边形是正方形，可得，，又由，由同角的余角相等，即可证得，然后利用，即可判定：．

（2）由正方形的面积等于3，即可求得此正方形的边长，由在与中，，，可证得，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．

（3）由正切函数，求得，易证得，可得与在同一直线上，即与的交点是G，然后设与的交点为H，可证得，从而证得结论

【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，

∴，．

∴．

∵，∴．

∴．

在和中，

∵，，，

∴．

（2）解：∵正方形面积为3，∴ ．

在 与中，∵，，

∴．

∴．

又∵，∴．

∴．

（3）解：没有变化．理由如下：

∵ ，，∴．∴．

∵，，，

∴，

∴．

∴与在同一直线上，即与的交点是G．

设与的交点为H，如图，

则，而，，

∴．

∴．

∴在旋转前后与重叠部分的面积没有变化．

【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．

26．(1)

(2)，

(3)存在，点坐标为或或

【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；

（2）过点作轴，垂足为，交于点，先求出点坐标，即可求出直线的解析式，设点坐标为，则点坐标为，点坐标为，，表示出，即可求出最大值；

（3）设点坐标为，点坐标为，以、、、点的平行四边形，，根据平行四边形是中心对称图形，可以分以为对角线时，以为对角线时，以为对角线时三种情况讨论，分别计算出结果即可．

【详解】（1）解：抛物线 与轴交于，两点，

将，代入得，

，

解得：，

抛物线的解析式为；

（2）（2）如图1：过点作轴，垂足为，交于点，

在抛物线上，

，

，

直线经过，，

设直线的表达式为，

，

解得：，

直线的表达式为，

设点坐标为，

则点坐标为，点坐标为，

，

，

，

当时，的面积有最大值，

最大值为；

（3）答：存在.

解：设点坐标为，点坐标为，

以、、、点的平行四边形，，，

根据平行四边形是中心对称图形，可以分三种情况来讨论：

①如图：以为对角线时，，得，

点坐标为，

，得，

点坐标为，

②如图：以为对角线时，，得，

点坐标为，

得，

点坐标为，

③如图：以为对角线时，，得，

点坐标为，

，得，

点坐标为，

点坐标为，，．

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图像和最值，二次函数和平行四边形综合题中存在性问题等知识，解题的关键是对二次函数和平行四边形性质的灵活运用．