八年级下期末数学试卷及答案

这是一份八年级下期末数学试卷及答案，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
八年级下学期期末测试题
一、单选题
1. 化简的结果是（ ）
A. B. C. 2 D. 4
2. 下列说法不能得到直角三角形的（ ）
A. 三个角度之比为 1：2：3 的三角形 B. 三个边长之比为 3：4：5 的三角形
C. 三个边长之比为 8：16：17 的三角形 D. 三个角度之比为 1：1：2 的三角形
3. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
4. 下列坐标平面内的点，在直线的是（ ）
A. B. C. D.
5. 某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%.小桐的三项成绩（百分制）依次为95，90，85.则小桐这学期的体育成绩是（ ）
A. 88.5 B. 86.5 C. 90 D. 90.5
6. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点，根据图象可知，不等式的解集是（ ）

A. B. C. D.
7. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．设直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，且，则大正方形面积与小正方形面积之比为（ ）

A 25∶9 B. 25∶1 C. 4∶3 D. 16∶9
8. 如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，AC⊥BC，且AB＝5，AD＝3，则OA的长是（　　）

A. B. 2 C. 2 D. 4
9. 已知一次函数y＝kx+1的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（　　）
A. （﹣2，0） B. （2，﹣1） C. （1，1） D. （3，2）
10. 如图，正方形中，、是对角线上的两点，，，则四边形的面积为（ ）．

A. 12 B. 6 C. D.
11. 如图，P是面积为S的内任意一点，的面积为，的面积为，则（ ）

A. B.
C. D. 的大小与P点位置有关
12. 一对变量满足如图的函数关系．设计以下问题情境：
①小明从家骑车以600米/分速度匀速骑了2.5分钟，在原地停留了2分钟，然后以1000米/分的速度匀速骑回家．设所用时间为x分钟，离家的距离为y千米；
②有一个容积为1.5升的开口空瓶，小张以0.6升/秒的速度匀速向这个空瓶注水，注满后停止，等2秒后，再以1升/秒的速度匀速倒空瓶中的水．设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y升；
③在矩形中，，点P从点A出发．沿路线运动至点A停止．设点P的运动路程为x，的面积为y．其中，符合图中函数关系的情境个数为（ ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
二、填空题
13. 若二次根式有意义，则的取值范围是______．
14. 中华民族的文化博大精深、源远流长，中华汉字寓意深广．为弘扬中华优秀传统文化，太原市某校开展了一次书法大赛活动，经过6轮激烈的角逐，小明和小红两人进入决赛，两人的成绩如图所示，他们成绩的方差分别为与，则________．（填“＞”、“＝”或“＜”）

15. 如图，点，点，点为线段上一个动点，作轴于点，作轴于点，连接，当取最小值时，则四边形的面积为______．

16. 《九章算术》是中国传统数学重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面________尺高．

17. 如图1，在矩形中，动点P从点A出发，沿的方向在AB和BC上运动，记，点D到直线PA的距离为y，且y关于x的函数图象如图2所示．当的面积与的面积相等时，y的值为__________________．

18. 如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且．若点P在对角线BD上移动，则的最小值是 _________ ．

三、解答题
19 计算
（1）； （2）
20. 如图所示，一架25米长的梯子AC斜靠在一面竖直的墙AB上，这时梯子底端C到墙的距离BC为7米．
（1）求这个梯子的顶端距地面的高度AB的长；
（2）如果梯子的顶端A沿墙下滑4米到点，小明说梯子的底端C在水平方向向右也滑动4米．你认为小明说的对吗?请说明你的理由．

21. 某中学开展演讲比赛活动，八年级(1)班、八年级(2)班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩(满分100分)如下图：八年级(1)班成绩为条形统计图，八年级(2)班成绩为扇形统计图．

①根据上图填写下表
班别
平均数(分)
中位数(分)
众数(分)
八年级(1)班
85
________
85
八年级(2)班
85
80
______
②如果要在复赛成绩的十名选手中决定在同一班中选五名参加比赛活动，你认为哪个班实力更强一些？通过计算，说明理由．
22. 如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M在线段OA和射线AC上运动．
（1）求直线AB的解析式．
（2）求△OAC的面积．
（3）是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．

23. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．

（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．
24. 如图，在正方形ABCD中，点E为BC上一动点，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于点G，连接DG．

（1）试求∠EDG的度数；
（2）如图2，若E为BC的中点，正方形ABCD边长为8，求线段AG的长；
（3）当DE＝DG时，令CE＝a，则BE＝　　．（用含a代数式表示）



八年级下学期期末测试题
一、单选题
1. 化简的结果是（ ）
A. B. C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的性质化简即可求解．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
2. 下列说法不能得到直角三角形的（ ）
A. 三个角度之比为 1：2：3 的三角形 B. 三个边长之比为 3：4：5 的三角形
C. 三个边长之比为 8：16：17 的三角形 D. 三个角度之比为 1：1：2 的三角形
【答案】C
【解析】
【分析】三角形内角和180°，根据比例判断A、D选项中是否有90°的角，根据勾股定理的逆定理判断B、C选项中边长是否符合直角三角形的关系.
【详解】A中，三个角之比为1:2:3，则这三个角分别为：30°、60°、90°，是直角三角形；
D中，三个角之比为1:1:2，则这三个角分别为：45°、45°、90°，是直角三角形；
B中，三边之比为3:4:5，设这三条边长为：3x、4x、5x，满足：，是直角三角形；
C中，三边之比为8:16:17，设这三条边长为：8x、16x、17x，，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形
故选：C
【点睛】本题考查直角三角形的判定，常见方法有2种；
（1）有一个角是直角的三角形；
（2）三边长满足勾股定理逆定理.
3. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据开方运算，可得阴影的边长，根据乘方，可得大正方形的面积，根据面积的和差，可得答案．
【详解】解：∵两个空白小正方形的面积是、
∴两个空白小正方形的边长是、
∴大正方形的边长是
∴大正方形的面积是
∴阴影部分的面积是．
故选：A
【点睛】本题考查了开方运算在几何图形中的应用，根据已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键．
4. 下列坐标平面内的点，在直线的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把题目中四个选项的点分别代入函数解析式，判断左右是否相等即可．
【详解】解：A.当x=-1时，y=-（-1）+3=4≠2，故点（-1，2）不在直线y=-x+3上，此选项不符合题意；
B. .当x=-1时，y=-（-1）+3=4≠-2，故点（-1，-2）不在直线y=-x+3上，此选项不符合题意；
C. .当x=1时，y=-1+3=2，故点（1，2）在直线y=-x+3上，此选项符合题意；
D. .当x=1时，y=-1+3=2，故点（1，-2）不在直线y=-x+3上，此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，注意：图象上的点的坐标要适合直线解析式．
5. 某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%.小桐的三项成绩（百分制）依次为95，90，85.则小桐这学期的体育成绩是（ ）
A. 88.5 B. 86.5 C. 90 D. 90.5
【答案】A
【解析】
【分析】根据加权平均数的计算公式，用95分，90分，85分别乘以它们的百分比，再求和即可．
【详解】根据题意得：95×20%+90×30%+85×50%=88.5（分），
即小彤这学期的体育成绩为88.5分．
故选A．
【点睛】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握公式是解题关键.
6. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点，根据图象可知，不等式的解集是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象求得交点坐标，根据直线的图象位于直线图象的上方，即可求解．
详解】由题意可知：直线与直线相交于，
结合函数图象可知当时，
直线的图象位于直线图象的上方，
即关于的不等式的解集为：．
故选A．
【点睛】本题考查了根据两直线交点坐标求不等式的解集，数形结合是解题的关键．
7. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．设直角三角形较长的直角边为，较短的直角边为，且，则大正方形面积与小正方形面积之比为（ ）

A. 25∶9 B. 25∶1 C. 4∶3 D. 16∶9
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理可以求得a2＋b2等于大正方形的面积，小方形的边长=a-b，根据比例式即可求解．
【详解】解∶∵，不妨设a=4x，b=3x，
由题可知a2＋b2等于大正方形的面积=25x2，
∵小方形的边长=a-b，
∴小正方形的面积=(a-b)2= x2，
∴大正方形面积与小正方形面积之比为=25：1，
故选B．
【点睛】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键．
8. 如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，AC⊥BC，且AB＝5，AD＝3，则OA的长是（　　）

A. B. 2 C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到BC=AD=3，根据勾股定理求出AC，由平行四边形的性质可得出OA．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=3，OB=OD，OA=OC，
∵AC⊥BC，
∴AC=，
∴OA= AC=2，
故选B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理,解决本题的关键是要熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理．
9. 已知一次函数y＝kx+1的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（　　）
A. （﹣2，0） B. （2，﹣1） C. （1，1） D. （3，2）
【答案】B
【解析】
【分析】先根据一次函数增减性判断出的符号，再对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：一次函数的函数值随的增大而减小，
．
、当，时，，解得，此点不符合题意；
、当，时，，解得，此点符合题意；
、当，时，，解得，此点不符合题意；
、当，时，，解得，此点不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．
10. 如图，正方形中，、是对角线上的两点，，，则四边形的面积为（ ）．

A. 12 B. 6 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接AC，由正方形性质得到AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD，进而得到OE＝OF，根据菱形的判定证得四边形AECF是菱形，根据菱形的面积公式两对角线的积的一半即可求得结果．
【详解】解：连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，AC＝BD＝6，
∴AO＝CO＝BO＝DO，
∵BE＝DF＝4，
∴BF＝DE＝BD−BE＝2，
∴OE＝OF，EF＝DF−DE＝2，
∴四边形AECF是菱形，
∴菱形AECF的面积＝AC•EF＝×6×2＝6，
故选：B．

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的判定和面积公式，能够证得四边形AECF是菱形是解决问题的关键．
11. 如图，P是面积为S的内任意一点，的面积为，的面积为，则（ ）

A. B.
C. D. 的大小与P点位置有关
【答案】C
【解析】
【分析】过点P作AD的垂线PF，交AD于F，再延长FP交BC于点E，表示出S1+ S2，得到即可．
【详解】解：如图，过点P作AD垂线PF，交AD于F，再延长FP交BC于点E，
根据平行四边形的性质可知PE⊥BC，AD=BC，
∴S1=AD×PF，S2=BC×PE，
∴S1+ S2
=AD×PF+BC×PE
=AD×（PE+PE）
=AD×EF
=S，
故选C．

【点睛】本题考查了三角形的面积和平行四边形的性质，解题的关键是作出平行四边形过点P的高．
12. 一对变量满足如图的函数关系．设计以下问题情境：
①小明从家骑车以600米/分的速度匀速骑了2.5分钟，在原地停留了2分钟，然后以1000米/分的速度匀速骑回家．设所用时间为x分钟，离家的距离为y千米；
②有一个容积为1.5升的开口空瓶，小张以0.6升/秒的速度匀速向这个空瓶注水，注满后停止，等2秒后，再以1升/秒的速度匀速倒空瓶中的水．设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y升；
③在矩形中，，点P从点A出发．沿路线运动至点A停止．设点P的运动路程为x，的面积为y．其中，符合图中函数关系的情境个数为（ ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】由题意及函数图象可直接进行判断①②，③由题意作出图形，然后再根据矩形的性质、勾股定理及三角形面积计算公式可进行判断．
【详解】解：①设所用时间为x分钟，离家的距离为y千米，
600×25=1500（米）=1.5千米，1500÷1000=1.5分钟，
∵4.5-2.5=2分钟，6-4.5=1.5分钟，
∴①符合该函数关系；
②设所用时间为x秒，瓶内水的体积为y升，
∴0.6×2.5=1.5升，1.5÷1=1.5秒，
∴②符合该函数关系；
③如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，，
∴，
∴，
设点P的运动路程为x，的面积为y，
由题意可得当点P从点A运动到点C时，的面积逐渐增大，直到运动到点C时，达到最大，即为，
当点P在线段CD上运动时，的面积保持不变，此时x的范围为，
当点P在线段DA上时，则的面积逐渐减小，当点P与点A重合时，的面积为0，此时x=6，
∴③也符合该函数关系；
∴符合图中函数关系的情境个数为3个；
故选A．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象与性质及矩形的性质、勾股定理，熟练掌握一次函数的图象与性质及矩形的性质、勾股定理是解题的关键．
二、填空题
13. 若二次根式有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据被开方数即可求解．
【详解】，
∴．
故答案为
【点睛】本题考查二次根式的意义：熟练掌握二次根式中被开方数是非负数的条件是解题的关键．
14. 中华民族的文化博大精深、源远流长，中华汉字寓意深广．为弘扬中华优秀传统文化，太原市某校开展了一次书法大赛活动，经过6轮激烈的角逐，小明和小红两人进入决赛，两人的成绩如图所示，他们成绩的方差分别为与，则________．（填“＞”、“＝”或“＜”）

【答案】＜
【解析】
【分析】根据折线统计图，可得小红同学的成绩波动较大，即可求解．
【详解】解：由折线统计图得小红同学的成绩波动较大，
∴．
故答案为：＜．
【点睛】本题主要考查了方差的定义，熟练掌握一组数据波动越大，方差越大是解题的关键．
15. 如图，点，点，点为线段上一个动点，作轴于点，作轴于点，连接，当取最小值时，则四边形的面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】首先连接OP，易得四边形ONPM是矩形，即可得在中，当OP⊥AB时OP最短，即MN最小，然后利用勾股定理与三角形的面积的求解，则四边形的面积可求．
【详解】解：如图，连接OP．

由已知可得：．
∴四边形ONPM是矩形．
∴，
在中，当时OP最短，即MN最小．
∵即
根据勾股定理可得：．
∵
∴
∴
即当点P运动到使OP⊥AB于点P时，MN最小，最小值为
在中，根据勾股定理可得：
∴
∵
∴
∴
在中
∴
∴
故答案为：
【点睛】此题考查了矩形的判定与性质、勾股定理与三角形面积问题．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
16. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面________尺高．

【答案】
【解析】
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可．
【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，
根据勾股定理得：x2+32=（10-x）2，
解得：；
故答案为：．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
17. 如图1，在矩形中，动点P从点A出发，沿的方向在AB和BC上运动，记，点D到直线PA的距离为y，且y关于x的函数图象如图2所示．当的面积与的面积相等时，y的值为__________________．

【答案】
【解析】
【分析】根据图像信息,得AD=2，AB=1，当x＞1时，y=，当的面积与的面积相等时，点P恰好是BC的中点，计算x=，代入函数解析式即可求得y值．
【详解】根据图像信息,得当点P在AB上运动时，∵四边形ABCD是矩形，
∴x=0，此时点D到PA的距离就是AD，
∴AD=2，
当x=1时，y=2，
∴AB=1，
设的面积为S，当x＞1时，y=，
根据图像，得（1，2）是图像上一点，
∴2S=2即S=1，
∴y=，
当的面积与的面积相等时，点P恰好是BC的中点，
故AB=1,PB=1,
∴x=，
∴y==．
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数的图像，矩形的性质，反比例函数解析式的确定，勾股定理，
准确获取函数图像的解题信息，灵活运用勾股定理，反比例函数解析式是解题的关键．
18. 如图，正方形ABCD的边长为3，点E在边AB上，且．若点P在对角线BD上移动，则的最小值是 _________ ．

【答案】
【解析】
【详解】解：过点E作EM垂直BD，交BC于点M，连接AM交BD与点P，

根据正方形的对称性可得点E、点M关于BD对称，此时AP+EP的值最小，
∵BE=1，
∴BM=1，
根据勾股定理可求得AM= ，
由AP+EP=AM即可得PA+PE的最小值是，
故答案为：．
三、解答题
19. 计算
（1）； （2）
【答案】（1）；（2）9．
【解析】
【分析】（1）先将二次根式化简，再合并计算即可；
（2）先利用完全平方公式，二次根式的性质化简，再合并计算即可．
【详解】解：（1）
＝
＝
（2）
＝
＝9．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练运用二次根式的运算法则是解题的关键．
20. 如图所示，一架25米长的梯子AC斜靠在一面竖直的墙AB上，这时梯子底端C到墙的距离BC为7米．
（1）求这个梯子的顶端距地面的高度AB的长；
（2）如果梯子的顶端A沿墙下滑4米到点，小明说梯子的底端C在水平方向向右也滑动4米．你认为小明说的对吗?请说明你的理由．

【答案】（1）；（2）小明说的不对，见解析
【解析】
【分析】（1）在中，利用勾股定理解答即可；
（2）先求出梯子顶端下滑后距离地面的高度，然后在，利用勾股定理解答即可．
【详解】解：（1）根据勾股定理：梯子顶端距离地面的高度为：；
（2）小明说的不对，理由如下：梯子下滑了4米，即梯子顶端距离地面的高度为，
根据勾股定理得：，解得=．
即梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是构建直角三角形，熟记勾股定理．
21. 某中学开展演讲比赛活动，八年级(1)班、八年级(2)班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩(满分100分)如下图：八年级(1)班成绩为条形统计图，八年级(2)班成绩为扇形统计图．

①根据上图填写下表
班别
平均数(分)
中位数(分)
众数(分)
八年级(1)班
85
________
85
八年级(2)班
85
80
______
②如果要在复赛成绩的十名选手中决定在同一班中选五名参加比赛活动，你认为哪个班实力更强一些？通过计算，说明理由．
【答案】①见解析；②选派八年级(1)班参加比赛．
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数定义求解；（2）运用方差进行决策.
【详解】解：①将八年级(1)班成绩重新排列为75、80、85、85、100，
∴其中位数为85分，
八年级(2)班100分人数最多，
所以其众数为100，
补全表格如下：
班别
平均数(分)
中位数(分)
众数(分)
八年级(1)班
85
85
85
八年级(2)班
85
80
100

②＝×[(85﹣85)2+(75﹣85)2+(80﹣85)2+(85﹣85)2+(100﹣85)2]＝70，
＝×[(70﹣85)2+(100﹣85)2+(100﹣85)2+(75﹣85)2+(80﹣85)2]＝160，
∵八年级(1)班方差小于八年级(2)班的方差，
所以选派八年级(1)班参加比赛．
【点睛】理解中位数和众数定义；运用方差进行决策.
22. 如图，在平面直角坐标系中，过点B（6，0）的直线AB与直线OA相交于点A（4，2），动点M在线段OA和射线AC上运动．
（1）求直线AB的解析式．
（2）求△OAC的面积．
（3）是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x+6；（2）S△OAC＝12；（3）存在，M的坐标是：M1（1，）或M2（1，5）或M3（﹣1，7）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）求得C的坐标，即OC的长，利用三角形的面积公式即可求解；
（3）当△OMC的面积是△OAC的面积的时，根据面积公式即可求得M的横坐标，然后代入解析式即可求得M的坐标．
【详解】解：（1）设直线AB的解析式是，
根据题意得：，
解得：，
则直线的解析式是：；
（2）在y＝﹣x+6中，令x＝0，解得：y＝6，
；
（3）设OA的解析式是y＝mx，则4m＝2，
解得：，
则直线的解析式是：，
∵当△OMC的面积是△OAC的面积的时，
∴当M的横坐标是，
在中，当x＝1时，y＝，则M的坐标是；
在中，x＝1则y＝5，则M的坐标是（1，5）．
则M的坐标是：M1（1，）或M2（1，5）．
当M的横坐标是：﹣1，
在中，当x＝﹣1时，y＝7，则M的坐标是（﹣1，7）；
综上所述：M的坐标是：M1（1，）或M2（1，5）或M3（﹣1，7）．

【点睛】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式以及三角形面积求法等知识，利用M点横坐标为±1分别求出是解题关键．
23. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．

（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）由菱形的性质得AD=AB=BC=10，由勾股定理求出AE=8，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴ ∠AEF＝90°，
∴ 四边形AEFD是矩形；
【小问2详解】
∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，
∴AD＝AB＝BC＝10，
∵EC＝4，
∴BE＝10－4＝6，
在Rt△ABE中，
由勾股定理得:，
在Rt△ACE中，
由勾股定理得：，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练运用菱形的性质和矩形的判定定理是解题的关键．
24. 如图，在正方形ABCD中，点E为BC上一动点，把△DEC沿DE折叠得到△DEF，延长EF交AB于点G，连接DG．

（1）试求∠EDG的度数；
（2）如图2，若E为BC的中点，正方形ABCD边长为8，求线段AG的长；
（3）当DE＝DG时，令CE＝a，则BE＝　　．（用含a的代数式表示）
【答案】（1）45°；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）证明，可得可解；
（2）设，则，在中，由勾股定理可解；
（3）证明，可得，在中，利用勾股定理可解．
【详解】解：（1）如图，

四边形是正方形，
．，
沿折叠得到，
，，，
，
在和中，
，
，

；
（2）由（1）知：，
，
为的中点，
，
设，则，GE=4+x，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：
所以线段的长为；
（3）如图，

四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，
，
沿折叠得到，
，，
为等腰三角形，，
，
在中，，，
，
解得．
故答案为．