2020-2021学年江苏省连云港市高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省连云港市高二（下）期末数学试卷，共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省连云港市高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）若，，且为纯虚数，则实数的值是　　
A． B． C．3 D．8
2．（5分）若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有　　
A．6种 B．24种 C．64种 D．81种
3．（5分）若在的展开式中，第4项为常数项，则的值是　　
A．15 B．16 C．17 D．18
4．（5分）已知加工某一零件共需两道工序，第1，2道工序的不合格品率分别为和，且各道工序互不影响，则加工出来的零件为不合格品的概率是　　
A． B． C． D．
5．（5分）已知随机变量服从正态分布，若，则　　
A．0.12 B．0.22 C．0.32 D．0.42
6．（5分）正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是　　
A． B． C．20 D．21
7．（5分）某班举行了由6名学生参加的“弘扬中华文化”演讲比赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次）．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从回答分析，6人的名次排列情况可能有　　
A．216种 B．240种 C．288种 D．384种
8．（5分）体积为的三棱柱，所有顶点都在球的表面上，侧棱底面，底面△是正三角形，与底面所成的角是．则球的表面积是　　
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（5分）设，是复数，则下列命题中正确的是　　
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．（5分）在正四棱柱中，，分别是，的中点，则　　
A．与垂直 B．与垂直 C．与异面 D．与异面
11．（5分）现有3名男生和4名女生，在下列不同条件下进行排列，则　　
A．排成前后两排，前排3人后排4人的排法共有5400种
B．全体排成一排，甲不站排头也不站排尾的排法共有3600种
C．全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有576种
D．全体排成一排，男生互不相邻的排法共有1440种
12．（5分）如图，是由具有公共直角边的两块直角三角板组成的三角形，，．现将沿斜边翻折成△不在平面内）．若，分别为和的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是　　

A．平面
B．与不可能垂直
C．二面角正切值的最大值为
D．直线与所成角的取值范围为
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若某地的财政收入与支出满足线性回归方程（单位：亿元），其中，，．若今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过 　　亿元．
14．（5分）若，则　　．
15．（5分）已知复数，满足，，，则　　．
16．（5分）已知正方形的边长为4，将沿对角线折起，使平面平面，得到三棱锥．若为的中点，点，分别为，上的动点（不包括端点），且，则当点到平面的距离为 　　时，三棱锥的体积取得最大值，且最大值是 　　．
四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）在①，②，③是实数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
已知是虚数，且_____，求．
18．（12分）（1）求的近似值；（结果精确到
（2）设，且，若能被13整除，求的值．
19．（12分）如图，有一块正四棱柱的木料，，分别为，的中点，，．
（1）作出过，，的平面与正四棱柱木料的截面，并求出该截面的周长；
（2）求点到平面的距离．

20．（12分）为研究不同的给药方式（口服与注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果如表所示（单位：人）．

有效
无效
合计
口服
40
10
50
注射
30
20
50
合计
70
30
100
（1）根据所选择的100个病人的数据，能否有的把握认为给药方式和药的效果有关？
（2）现从样本的注射病人中按分层抽样方法取出5人，再从这5人中随机抽取3人，求至少2人有效的概率．
参考公式：，其中．
参考数据：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.01

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
21．（12分）如图，四棱锥的底面是矩形，平面平面，点在线段上，，．
（1）当为线段的中点时，求证：平面平面；
（2）当时，求锐二面角的余弦值．

22．（12分）某单位在“全民健身日”举行了一场趣味运动会，其中一个项目为投篮游戏．游戏的规则如下：每局游戏需投篮3次，若投中的次数多于未投中的次数，该局得3分，否则得1分．已知甲投篮的命中率为，且每次投篮的结果相互独立．
（1）求甲在一局游戏中投篮命中次数的分布列与期望；
（2）若参与者连续玩局投篮游戏获得的分数的平均值大于2，即可获得一份大奖．现有和两种选择，要想获奖概率最大，甲应该如何选择？请说明理由．

2020-2021学年江苏省连云港市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）若，，且为纯虚数，则实数的值是　　
A． B． C．3 D．8
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解值．
【解答】解：，，
为纯虚数，
，解得．
故选：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
2．（5分）若4名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有　　
A．6种 B．24种 C．64种 D．81种
【分析】先分析每名学生的报名情况，再用分步计数原理进行计算即可．
【解答】解：由题可知每名学生都可以选报数学、物理、化学兴趣小组的其中一项，
所以每名学生有三种可能，所以4名学生不同的报名方式由种，
故选：．
【点评】本题考查了分步计数原理，属于基础题．
3．（5分）若在的展开式中，第4项为常数项，则的值是　　
A．15 B．16 C．17 D．18
【分析】先写出二项展开式的通项，，当可得，中可求
【解答】解：由题意可得，
令可得，


故选：．
【点评】本题主要考查了二项展开式的通项的应用，解题的关键是灵活应用基本公式
4．（5分）已知加工某一零件共需两道工序，第1，2道工序的不合格品率分别为和，且各道工序互不影响，则加工出来的零件为不合格品的概率是　　
A． B． C． D．
【分析】根据题意，分别计算第1道和第2道工序的合格品率，由此计算加工出来的零件为合格品的概率，由对立事件的概率性质计算可得答案．
【解答】解：根据题意，第1道工序的不合格品率分别为，则其合格品的概率，
第2道工序的不合格品率分别为，则其合格品的概率，
则加工出来的零件为合格品的概率，
则加工出来的零件为不合格品的概率；
故选：．
【点评】本题考查相互独立事件的概率计算，涉及对立事件的性质，属于基础题．
5．（5分）已知随机变量服从正态分布，若，则　　
A．0.12 B．0.22 C．0.32 D．0.42
【分析】由，结合对称性可知，，从而求得的值．
【解答】解：随机变量服从正态分布，且，
由对称性可知，，又，，
故选：．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．
6．（5分）正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是　　
A． B． C．20 D．21
【分析】首先求得棱台的高度，然后利用体积公式求得其体积即可．
【解答】解：由棱台的几何特征可得其高度为：，
则其体积：．
故选：．
【点评】本题主要考查棱台的结构特征，棱台的体积公式等知识，属于中等题．
7．（5分）某班举行了由6名学生参加的“弘扬中华文化”演讲比赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次）．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从回答分析，6人的名次排列情况可能有　　
A．216种 B．240种 C．288种 D．384种
【分析】根据题中，甲和乙都没有得到冠军，说明甲和乙的排名都不是第一名，乙当然不会是最差的，说明乙不是最后一名，由此对甲乙的名次进行分析计算即可．
【解答】解：由题可知，甲和乙都不是冠军，所以冠军有4种可能性，
乙不是最后一名，所以最后一名有4种可能性，
所以6人的名次排列情况可能有种．
故选：．
【点评】本题考查了分步计数原理，排列组合的综合应用，属于中档题．
8．（5分）体积为的三棱柱，所有顶点都在球的表面上，侧棱底面，底面△是正三角形，与底面所成的角是．则球的表面积是　　
A． B． C． D．
【分析】利用与底面所成的角是，可得正三棱柱的底面边长与侧棱长相等，根据三棱柱体积求出正三棱柱的底边长，进而求出底面△的外接圆的半径，再由勾股定理求得球的半径，即可求出球的表面积．
【解答】解：由题意可知三棱柱为正三棱柱，设正三棱柱的底边长为，
与底面所成的角是，侧棱，
正三棱柱的体积是，
，得，
底面△的外接圆的半径为，
则球的半径为，
球的表面积是．
故选：．

【点评】本题考查多面体外接球的表面积，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（5分）设，是复数，则下列命题中正确的是　　
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【分析】由复数的模及复数的基本概念判断与；举例说明错误．
【解答】解：由，得，则，，故正确；
若，则，错误，如，，故错误；
若，则，，故正确；
取，，满足，但，故错误．
故选：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．
10．（5分）在正四棱柱中，，分别是，的中点，则　　
A．与垂直 B．与垂直 C．与异面 D．与异面
【分析】分别取、的中点、，连接、、，证明，再由正四棱住的结构特征判断与；由平行公理及异面直线的定义判断．
【解答】解：如图，

分别取、的中点、，连接、、，
则，，，，
且，可得四边形为平行四边形，则．
由正四棱住的结构特征可知，底面，则，
可得与垂直，故正确；
在正四棱柱中，，而，
可得与垂直，故正确；
，故错误；
，平面，平面，平面，
可得与无交点，若与平行，则与平行，与和相交矛盾，
故正确．
故选：．

【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，考查异面直线的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
11．（5分）现有3名男生和4名女生，在下列不同条件下进行排列，则　　
A．排成前后两排，前排3人后排4人的排法共有5400种
B．全体排成一排，甲不站排头也不站排尾的排法共有3600种
C．全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有576种
D．全体排成一排，男生互不相邻的排法共有1440种
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于，将7名学生排成前后两排，前排3人后排4人的排法，有种排法，错误；
对于，甲不站排头也不站排尾，有5种情况，将剩下的6人全排列，有种排法，则有种排法，正确；
对于，将4名女生看成一个整体，有种排法，将这个整体与3名男生全排列，有种排法，则有种排法，正确；
对于，先排4名女生，有种排法，排好后有5个空位，在5个人空位中任选3个，安排3名男生，有种排法，则有种排法，正确；
故选：．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题．
12．（5分）如图，是由具有公共直角边的两块直角三角板组成的三角形，，．现将沿斜边翻折成△不在平面内）．若，分别为和的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是　　

A．平面
B．与不可能垂直
C．二面角正切值的最大值为
D．直线与所成角的取值范围为
【分析】对于选项：根据线面平行的判定定理，由为三角形的中位线，即可判断，即可判断平面；
对于选项：根据线面垂直的判断定理，由，当时，平面，则；
对于选项：构造二面角的平面角，即可表示出二面角正切值，根据的取值范围，即可求得二面角正切值的最大值；
对于选项：由可以看成以为轴线，以为平面角的圆锥的母线，即可求得与所成角的取值范围，
【解答】解：对于选项：由，分别为和的中点，则，由平面，平面，
所以平面，故正确；
对于选项：由，则，当时，且，此时满足平面，因此，
所以错误；
对于选项：如图，作于，为直径，作于，连接，
所以，为二面角的平面角，
设，，
所以，
所以错误；
对于选项：如图，作，可以看成以为轴线，以为平面角的圆锥的母线，
所以与夹角为，与夹角为，又不在平面内，
，，
所以与所成角的取值范围，所以正确，
故选：．


【点评】本题考查线面平行与垂直的判定定理，二面角的求法，考查转化思想，计算能力与空间想象能力，属于中档题，
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若某地的财政收入与支出满足线性回归方程（单位：亿元），其中，，．若今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过 　10　亿元．
【分析】将所给数据代入，利用，即可求得结论．
【解答】解：某地的财政收入与支出满足的线性回归模型是（单位：亿元），其中，，．

当时，
，
，
今年支出预计不超出10亿元
故答案为：10．
【点评】本题考查线性回归模型的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
14．（5分）若，则　　．
【分析】在所给的等式中，令，可得，再令，可得，由此可得要求式子的值．
【解答】解：若，则令，可得，
再令，可得，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．
15．（5分）已知复数，满足，，，则　　．
【分析】利用复数模的运算性质即可得出．
【解答】解：，
，
化为：，
则，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了复数模的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16．（5分）已知正方形的边长为4，将沿对角线折起，使平面平面，得到三棱锥．若为的中点，点，分别为，上的动点（不包括端点），且，则当点到平面的距离为 　　时，三棱锥的体积取得最大值，且最大值是 　　．
【分析】由题意首先得到关于体积函数，然后结合基本不等式即可确定体积的最大值．
【解答】解：如图所示，由几何关系可得：平面，令，

作 于点，则，
，
当且仅当，即 时等号成立．
故答案为：．
【点评】本题主要考查棱锥的体积公式，基本不等式求最值的方法等知识，属于中等题．
四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）在①，②，③是实数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
已知是虚数，且_____，求．
【分析】设，，，分别按照三个不同的条件，利用复数相等列式求得与的值，再由复数模的计算公式求解．
【解答】解：若选择①，设，，，则，
由，解得或，
或，则．
若选择②，设，，则，
由，解得，
，则．
若选择③，设，，，则，
是实数，则，
又，，则．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题
18．（12分）（1）求的近似值；（结果精确到
（2）设，且，若能被13整除，求的值．
【分析】（1）根据，按照二项式定理展开，可得结论．
（2）根据，按照二项式定理展开，根据它能被13整除，可得的值．
【解答】解：（1）①．
（2），
其中能被13整除，
只需能被13整除，由，得，故．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．
19．（12分）如图，有一块正四棱柱的木料，，分别为，的中点，，．
（1）作出过，，的平面与正四棱柱木料的截面，并求出该截面的周长；
（2）求点到平面的距离．

【分析】（1）作辅助线，先判断截面为五边形，再根据题设条件及三角形相似的性质求得各边的长度，由此得到所求周长；
（2）利用，求解即可．
【解答】解：（1）连接，过点作直线，分别交直线，的延长线于，两点，连接，分别交，与，两点，连接，，
则五边形为所求截面，（3分）
在正方形中，，在中，，，故，
由△，故，
故，，故，，（5分）
同理，可求得，，
故五边形周长为：，
则截面周长为．（6分）

（2）分别取，的中点，，连接，，在中，
在，，同理
求得等腰的面积为，求得△的面积为（9分）
设到平面的距离为，由，得，
故，故到平面的距离为．（12分）

【点评】本题考查立体几何中截面周长的求法，考查点到平面的距离，考查推理能力及运算能力，属于中档题．
20．（12分）为研究不同的给药方式（口服与注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果如表所示（单位：人）．

有效
无效
合计
口服
40
10
50
注射
30
20
50
合计
70
30
100
（1）根据所选择的100个病人的数据，能否有的把握认为给药方式和药的效果有关？
（2）现从样本的注射病人中按分层抽样方法取出5人，再从这5人中随机抽取3人，求至少2人有效的概率．
参考公式：，其中．
参考数据：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.01

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
【分析】（1）由表格数据计算观测值，对照附表得出结论．
（2）按分层抽样方法抽取对应的人数，计算所求的概率值即可．
【解答】解：（1）提出假设：给药方式和药的效果无关，
由表格数据得，
因为当成立时，的概率约为0.05，
所以有的把握认为给药方式和药的效果有关．
（2）依题意，从样本的注射病人人）中按分层抽样的方法取出的5人中，
有效的人，无效的有2人，记抽取的3人中有人有效的为事件，
则；．
因为和互斥，所以抽取的这3个病人中至少有2人有效的概率
．
所以其中至少2个病人有效的概率为0.7．
【点评】本题考查了独立性检验，互斥事件的概率计算问题，也考查了数据分析与推理运算能力，是中档题．
21．（12分）如图，四棱锥的底面是矩形，平面平面，点在线段上，，．
（1）当为线段的中点时，求证：平面平面；
（2）当时，求锐二面角的余弦值．

【分析】（1）证明，推出平面，得到，证明，然后证明平面，即可证明平面平面．
（2）连接，，在平面内作的垂线，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出平面的法向量，利用空间向量的数量积求解锐二面角的余弦值即可．
【解答】（1）证明：四棱锥的底面是矩形，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，，（2分）
，，又为的中点，，
又，平面，（4分）
平面，平面平面．（5分）
（2）解：如图，连接，，在平面内作的垂线，建立空间直角坐标系，（6分）

设，，
，0，，，，，，，，，0，，，，则，，
设平面的法向量为，
即令，则，，
是平面的一个法向量，（9分）
设平面的法向量为，
即得（10分）
，
锐二面角的余弦值为（12分）

【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
22．（12分）某单位在“全民健身日”举行了一场趣味运动会，其中一个项目为投篮游戏．游戏的规则如下：每局游戏需投篮3次，若投中的次数多于未投中的次数，该局得3分，否则得1分．已知甲投篮的命中率为，且每次投篮的结果相互独立．
（1）求甲在一局游戏中投篮命中次数的分布列与期望；
（2）若参与者连续玩局投篮游戏获得的分数的平均值大于2，即可获得一份大奖．现有和两种选择，要想获奖概率最大，甲应该如何选择？请说明理由．
【分析】（1）说明，求出概率得到的分布列，然后求解期望．
（2）推出，求出概率的表达式，推出，则，得到结论．
【解答】解：（1）由题意知，
则，
，
，
，（4分）
所以的分布列为

0
1
2
3





．（6分）
（2）由（1）可知在一局游戏中，甲得3分的概率为，得1分的概率为，
若选择，此时要能获得大奖，则需次游戏的总得分大于，
设局游戏中，得3分的局数为，则，即．
易知，
故此时获大奖的概率



（9分）
同理可以求出当，获大奖的概率为（10分）
因为
所以，则
答：甲选择时，获奖的概率更大．（12分）
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
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日期：2021/12/1 14:11:05；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394