2023年C9中学联盟高考数学模拟试卷（含解析）

这是一份2023年C9中学联盟高考数学模拟试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年C9中学联盟高考数学模拟试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知全集，，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知复数满足，则(    )A.  B.  C.  D. 3.  函数的图象大致为(    )A.  B.
C.  D. 4.  天文学家、数学家梅文鼎，为清代“历算第一名家”和“开山之祖”，在其著作平三角举要中给出了利用三角形的外接圆证明正弦定理的方法如图所示，在梅文鼎证明正弦定理时的构图中，为锐角三角形外接圆的圆心若，则(    )
 A.  B.  C.  D. 5.  为了了解双减政策的执行情况，某地教育主管部门安排甲、乙、丙、丁四个人到、、三所学校进行调研，每个学校至少安排一人若甲不去学校，则不同的安排方法有(    )A. 种 B. 种 C. 种 D. 种6.  已知菱形的边长为，，则将菱形以其中一条边所在的直线为轴，旋转一周所形成的几何体的体积为(    )A.  B.  C.  D. 7.  若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知函数的图象关于直线对称，若存在，，，，满足，其中，，则的最小值为(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  已知为坐标原点，点，则下列说法中正确的是(    )A.  B.
C.  D. 10.  已知抛物线：的准线方程为，圆：，直线与交于，两点，与交于，两点在第一象限，为坐标原点，则下列说法中正确的是(    )A.  B.
C. 若，则 D. ，为定值11.  欧拉函数的函数值等于所有不超过，且与互素两个数的最大公约数为的正整数的个数，例如，欧拉函数具有以下性质：如果，是互素的正整数，那么下列说法中正确的是(    )A.  B. 若为素数，则
C. 若为奇数，则 D. 若，则12.  已知，是两个事件，且，则事件，相互独立的充分条件可以是(    )A.
B.
C.
D. 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  能够说明“若，则”是假命题的一组实数，，的值依次为______ ．14.  害虫防控对于提高农作物产量具有重要意义已知某种害虫产卵数单位：个与温度单位：有关，测得一组数据，可用模型进行拟合，利用变换得到的线性回归方程为若，则的值为______ ．15.  已知是双曲线的左焦点，是的右顶点，过点作轴的垂线交双曲线的一条渐近线于点，连接交另一条渐近线于点若，则双曲线的离心率为______ ．16.  在平行四边形中，，，，，分别为直线，上的动点，记，两点之间的最小距离为，将沿折叠，直到三棱锥的体积最大时，不再继续折叠在折叠过程中，的最小值为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
已知函数，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．
求函数的单调递减区间；
记锐角三角形内角，，的对边分别为，，，已知，求的取值范围．18.  本小题分
已知数列满足，．
证明为常数列，并求数列的通项公式；
设为数列落在区间，内的项的个数，求数列的前项和．19.  本小题分
如图，在直四棱柱中，四边形为平行四边形，，．
证明：与平面的交点为的重心；
再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知条件，求直线与平面所成角的正弦值．
条件：；
条件：面与面所成角的正切值为．
20.  本小题分
某学校从全体师生中随机抽取位男生、位女生、位教师一起参加社会实践活动．
假设位男生身高均不相同，记其身高的第百分位数为，从学校全体男生中随机选取人，记为人中身高不超过的人数，以频率估计概率求的分布列及数学期望；
从参加社会实践活动的人中一次性随机选出位，记被选出的人中恰好有个男生的概率为，求使得取得最大值的的值．21.  本小题分
已知，分别是椭圆的左、右顶点，过作两条互相垂直的直线，，分别交椭圆于，两点，面积的最大值为．
求椭圆的方程；
若直线与交于点，直线与交于点．
求直线的方程；
记，的面积分别为，，求的最大值．22.  本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间；
记曲线在，两点处的切线斜率分别为，，直线的斜率为，其中，，求证：当时，有．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：因为，，
所以，
因为，所以，
故．
故选：．
由补集的定义求出，，再由交集的定义即可求解．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：因为，则，
所以．
故选：．
根据题意，由复数的运算化简复数，再由复数的模长公式即可得到结果．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：记，其定义域为，
所以，
所以为奇函数，其图象关于原点对称，故排除、，
，故C错误，A正确．
故选：．
通过函数的奇偶性和特殊点的函数值，排除法得到正确答案．
本题主要考查了函数的定义域，奇偶性在函数图像判断中的应用，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：由圆的性质可知，，
而，
则．
故选：．
易知，，再利用诱导公式以及二倍角公式即可得解．
本题考查三角函数的求值，考查运算求解能力，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：当去学校人时，则先从乙、丙、丁 人中选人去学校，
然后剩下人到、两校各去人，则不同的安排方法有种，
当去学校人时，则先从乙、丙、丁 人中选人去学校，
然后从剩下人分成两组到、两校，则不同的安排方法有种，
由分类加法原理可得共种不同的方法，
故选：．
分去学校人和人两种情况讨论求解即可．
本题主要考查了排列组合知识，考查了分类加法计数原理的应用，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：根据题意，旋转一周所形成的几何体如图，
该几何体上部分为圆锥，下部分为在圆柱内挖去一个与上部分相同的圆锥，
其体积等于中间圆柱的体积，
且中间圆柱的高，底面圆的半径，
故要求几何体的体积．
故选：．
根据题意，分析可得该几何体上部分为圆锥，下部分为在圆柱内挖去一个与上部分相同的圆锥，根据圆柱的体积公式即可求解．
本题考查组合体的体积计算，涉及圆柱的体积公式，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：设，，依题意只需求公切线斜率即可．
，，设切点分别为，，
则切线方程为，即．
，即．
则，由得，
代入得：，则，
故公切线斜率为或，如图，

由图象可知，．
故选：．
设，，求两个曲线公切线的斜率即可．
本题考查不等式的恒成立问题，考查导数的几何意义，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
 8.【答案】 【解析】解：由，其中，
由，
则，
则，
故，
则，
对，都有，
要使最小，则尽可能多让取最高点，
又，
故，如下图取值即可，

由图象可知，的最小值为．
故选：．
先由辅助角公式可得，分析题干可知要使最小，则尽可能多让取最高点，结合图象即可得到答案．
本题考查正弦型函数的图象及性质，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：因为点，
所以，，即，A正确；
因为，，
则，
，
则，即，故B正确；
，
则，故C正确；
，故D错误．
故选：．
分别求出对应的向量坐标，利用向量长度以及向量数量积的定义进行验证即可．
本题主要考查向量模长以及向量数量积的运算，利用向量坐标公式以及两角和差的三角公式进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
 10.【答案】 【解析】解：

对于，因为抛物线：的准线方程为，所以，得，所以A错误；
对于，设，，，，
由，得，
则，，
所以

，
因为直线恒过圆心，所以，所以，
所以，所以B正确；
对于，因为直线过抛物线的焦点，所以，
因为，，所以，解得，所以C错误；
对于，因为直线过抛物线的焦点，
所以，
所以，为定值，所以D正确．
故选：．
对于，由抛物线的准线方程可求出的值进行判断，对于，将直线方程与抛物线方程联立，消元后利用根与系数的关系，再求出，由于直线过圆心，则由圆的性质可得，从而可进行判断，对于，利用弦长公式求出，而，然后由题意列方程可求出的值，对于，由题意可得，再结合抛物线的性质化简计算即可．
本题主要考查了直线与抛物线相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
 11.【答案】 【解析】解：在不超过的正整数中与互素的正整数有，，，，
所以，
在不超过的正整数中与互素的正整数有，，，，
所以，
与互素，所以，故A正确；
若为素数，则与其前面个正整数互素，所以，故B正确；
因为，，故C错误；
因为在不超过且与互素的正整数有，，，，，共有个，
所以，故D正确．
故选：．
用欧拉函数的定义及性质逐一判断即可．
本题以新定义为载体，主要考查了函数性质的综合应用，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：若，则事件，没有共同部分，即互斥，得不出事件，相互独立，错；
由，得，
则，
得，即，
则事件，相互独立，B正确；
由，即，
得，即，则事件，相互独立，C正确；
 由，
且，
式两边平方，并利用式可得，
，
结合，可得，

，
则，
所以，
，
所以，
即事件，相互独立，D正确．
故选：．
利用条件概率公式，互斥的性质，相互独立的判断，逐个选项分析即可求解．
本题考查互斥的应用，考查条件概率的性质，考查学生推理能力和运算能力，属于中档题．
 13.【答案】答案不唯一 【解析】解：取，，，则满足，且，
所以“若，则”是假命题．
故答案为：答案不唯一．
根据不等式的性质举反例即可．
本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：对两边同时取对数可得，
即，可得，，
由，可得，，
代入，可得，即，所以．
故答案为：．
将非线性模型两边同时取对数可得，再将样本中心点代入回归方程可得，即可计算出．
本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，属于中档题．
 15.【答案】 【解析】解：由题意得右焦点，
设一渐近线的方程为，
则另一渐近线的方程为，
由的方程为，
过点作轴的垂线交双曲线的一条渐近线于点，不妨在第一象限，可得的横坐标为，
由的方程为，联立方程，
可得的横坐标为．
由，则可得，
化为，
可得，
故答案为：．
由题意得右焦点，求出渐近线的方程，渐近线的方程，由垂直的条件可得的坐标，求解的方程，代入渐近线方程，可得的横坐标，由向量共线的坐标表示，结合离心率公式，解方程可得离心率．
本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用：求渐近线方程，同时考查向量的共线的坐标表示，求得点、的横坐标是解题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：根据题意可知，如下图所示；

由，，，利用余弦定理可得，
解得，所以满足，即，则，
又，分别为直线，上的动点，记，两点之间的最小距离为，
则表示两直线，之间的距离，在沿折叠过程中，
直线，由两平行线变成两异面直线，且两直线间的距离越来越近，
当三棱锥的体积最大时，此时平面；即此时，两点之间的距离最小，
即为两异面直线，之间的距离，
以点为坐标原点，分别以，为轴，轴，以过点且与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，
如下图所示：

则．，，，
即，，
设与垂直的一个向量为，
则，令，则，
可得，不妨取，
由两异面直线间的距离公式可得
的最小值为．
故答案为：．
根据平行四边形的边长即角度可得，再由，两点的位置关系以及的几何意义，确定出沿折叠过程中三棱锥的体积最大时平面，建立空间直角坐标系利用两异面直线间的距离公式即可计算出结果．
本题考查空间几何体的性质，考查两点间距离的最小值的求法，属中档题．
 17.【答案】解：将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，得到，
再将得到的图象向左平移个单位长度，
得到，则．
当函数单调递增时，单调递减，
故函数的单调递减区间为．
，，，又为锐角，，．
，．
．
为锐角三角形，
即解得，
，．
的取值范围为． 【解析】根据平移变换得到，注意到与的单调性相反即可；根据正弦定理，将表示出来，利用三角函数求值域的方法求范围即可．
本题考查三角函数的性质，考查正弦定理，属于基础题．
 18.【答案】解：因为，
两边同时除以得：．
所以，即．
所以为常数列．
又，所以，即．
由题意，得，所以，
为数列落在区间，内的项的个数，
．
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
设数列的前项和为，
所以． 【解析】将条件式两边同时除以化简变形即可证到，再由为常数列及首项可求得；
由题中条件求出，得数列是等比数列，从而求出前项和．
本题考查已知数列递推式求通项公式与等比数列的前项和，属于中档题．
 19.【答案】解：证明：如图，连接交于点，连接，

平面，，平面C.
为平面与平面的公共点．
平面平面，．
在矩形中，由∽，得．
在中，为边上的中线，
为的重心．
选条件：，
几何体为直四棱柱，面，，
，，面，
四边形为菱形，
如图，作，垂足为，面，
面，，
面，为与平面所成角，
设，则，
直线与平面所成角的正弦值为．
选条件：平面与平面所成角的正切值为，
平面平面，平面与平面所成角的正切值为，
如图，作交直线于点，连接，则，

二面角的平面角为，，
设，则，，
，为线段的中点与重合，
，，面，
如图，作，则，面，
为与平面所成角，
，
直线与平面所成角的正弦值为． 【解析】连接交于点，连接，推导出为平面与平面的公共点．由∽，得再由为边上的中线，能证明为的重心．
选条件：，推导出面，四边形为菱形，作，则面，面，，面，从而为与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值．
选条件：推导出平面与平面所成角的正切值为，作交直线于点，连接，则，二面角的平面角为，，推导出面，作，则，面，为与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值．
本题考查线面交点、三角形重心、线面角的定义及求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 20.【答案】解：由题意得，身高不超过的概率为，身高超过的概率为，
则所有可能的取值为，，，，
，
，
，
，
所以的分布列为： ．
设事件为“被选出的人中恰好有位男生”，则个人为女生或者老师，
所以，
所以，解得，，
故当时，最大． 【解析】所有可能的取值为，，，，且，根据二项分布的概率公式求解，从而可得分布列与期望；
设事件为“被选出的人中恰好有位男生”，求解即可．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
 21.【答案】解：由题意可得，且，
解得，，
所以椭圆的方程为．
设，，则直线的方程为，
因为直线与直线垂直，
所以直线的方程为，
又因为，
所以，
所以，
所以直线的方程为．
设直线：，
联立，得，
所以，
同理，可得，
联立解得，
同理，可得，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为． 【解析】由题意可知，解得，，即可得出答案．
设，，写出直线的方程为，直线的方程为，又，再计算，即可得出答案．
设直线：，联立椭圆的方程，解得，，解得点坐标，点坐标，则，由基本不等式，即可得出答案．
本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要理清思路，属于中档题．
 22.【答案】解：当时，，
，
所以的增区间为，无减区间；
因为，所以，
所以，
，
要证，只需证，
即证，
不妨设，则只需证，
即证，
设，则只需证，
由可知在上单调递增，
则当时，，所以，
设，则，
所以在上单调递增，所以，
又因为，，所以要证，
只需证，
设，则，
所以在上单调递增．所以，得证． 【解析】时求出可得答案；
求出，，，
要证，设，则只需证，设，则只需证，利用在上单调递性得，设，利用的单调性可得答案．
本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与最值，化归转化思想，属难题．