2023年吉林省长春市绿园区中考数学二模试卷（含答案）

2023年吉林省长春市绿园区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  据教育部消息，目前我国建成世界规模最大职业教育体系，共有职业学校万所，在校生超过万人数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  用一个平面截长方体，得到如图的几何体，它在我国古代数学名著九章算术中被称为“堑堵”“堑堵”的俯视图是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形若，，与地面垂直且，则灯顶到地面的高度为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，，为的两条弦，连接，，为的延长线上一点，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  小丽同学要找到到三角形三个顶点距离相等的点，根据下列各图中圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  反比例函数第一象限内的图象如图所示，、均为直角三角形，，且，其中点、在反比例函数的图象上，点、在轴上，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.  因式分解： ______ ．

10.  已知关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是______ ．

11.  将一块含角的三角尺和一把直尺按如图所示的方式放置如果，那么的度数是______

12.  如图，在矩形中，，为的中点，连接，，分别以点，为圆心，的长为半径画弧，分别与，，相交，则图中阴影部分的面积为______ 结果保留

13.  我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺，则竿长______尺．

14.  如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，其边长为，若点为函数的图象上的点，，则的值为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

16.  本小题分
一个不透明的口袋中装有四个小球，分别标记数字、、、这四个小球除数字不同外其余均相同小萱同学从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀，再从口袋中随机摸出一个小球记下数字，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求出小萱同学两次摸出小球上数字之和为的概率．

17.  本小题分
图、图均是由个边长相等的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点、、均在格点上只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．

在图中，在边上找一点，连结，使．
在图中，在边上找一点，连结，使．

18.  本小题分
端午节是中华民族的传统佳节，人们素有吃粽子的习俗．某超市在节前准备购进、两种品牌的粽子进行销售，据了解，用元购买品牌粽子的数量比用元购买品牌粽子的数量多袋，且每袋品牌粽子的价格是每袋品牌粽子价格的倍，求每袋品牌粽子的价格．

19.  本小题分
如图，在四边形中，，对角线，交于点，，且
平分，过点作交的延长线于点．
求证：四边形是菱形；
若，，求的面积．

20.  本小题分
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．
【实践发现】同学们随机收集甲种树、乙种树的树叶各片，通过测量得到这些树叶的长单位：，宽单位：的数据后，分别计算每片树叶自身的长宽比，整理数据如下：

【实践探究】分析数据如下：

【问题解决】
______ ， ______ ， ______ ．
同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为甲种树树叶的形状差别大”同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现乙种树树叶的长约为宽的两倍”以上两位同学的说法中，相对合理的是同学．
现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自于甲种树、乙种树中的哪种树？并给出你的理由．

21.  本小题分
某学校组织春游，租用甲、乙两辆大巴车，从学校出发，去距离学校千米的某风景区，甲车先出发，一段时间后乙车再出发，两车在同一条笔直的路上匀速行驶，乙车超过甲车后不久出现故障，停车检修当甲车追上乙车时，乙车恰好修完，两车又立刻以各自原来的速度继续行驶，如图是甲、乙两车行驶的路程单位：与甲车行驶时间单位：之间的函数图象．
______ ，乙车的速度是______ ．
求线段所在直线的函数解析式．
直接写出乙车出现故障前与甲车相距时的值．

22.  本小题分
【问题呈现】如图，点、分别在正方形的边、上，，试判断、、之间的数量关系小聪同学延长至点，使，连结可证≌进而得到≌，从而得出、、之间的数量关系为______ 不需要证明．

【类比引申】如图，四边形中，，，，点、分别在边、上，请回答当与满足什么关系时，仍有【问题呈现】中、、之间的数量关系，并给出证明．
【探究应用】如图，在四边形中，，，，，点、分别在线段、上，且，，直接写出线段的长．

23.  本小题分
在中，，，，点是边上的一点，且动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度匀速运动，连结，作点关于直线的对称点，连结、设点的运动时间为秒．
线段的长为______ ．
用含的代数式表示线段的长．
连结，求的最小值．
当时，直接写出的值．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点点是该抛物线上一点，其横坐标为，过点作垂直于轴的直线，点、均在直线上，且点的横坐标为，点的横坐标为，当点、不重合时，以为边向下作正方形．
求该抛物线对应的函数解析式．
当点是该抛物线的顶点时，求正方形的面积．
当点恰好落在正方形的边含顶点上时，求的值．
当正方形的边含顶点与该抛物线恰有两个公共点时，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是，
即．
故选A．
根据负数的绝对值等于它的相反数解答即可．
本题考查了绝对值的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
 

3.【答案】 

【解析】解：“堑堵”的俯视图是一个矩形，
故选：．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

5.【答案】 

【解析】解：连接，延长交于点，
由题意可知：，
在中，
，
，
点到地面的高度为：，
，
，
故选：．
连接，延长交于点，由题意可知：，然后利用锐角三角函数的定义可求出的长度．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是正确理解锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，在优弧上取点，连接，，

，，
，
，
，
，
故选：．
根据圆内接四边形的性质、邻补角定义可先求出弧所对应的圆周角的度数，进而可得答案．
本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：可用直尺成功找到此点的是选项，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
本题考查了作图基本作图，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
又、均为直角三角形，，
∽，
设两三角形相似比为；，
设点坐标为；，，
，
，
解得：，不合题意舍去，
故选：．
利用相似三角形的判定与性质表示出，点坐标，进而利用函数图象上点的坐标性质得出的值．
此题主要考查了反比例函数综合以及相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质表示出点坐标是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提取公因式，再用公式法因式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
，
解得：，
故答案为：．
根据“关于的方程有两个不相等的实数根”，结合判别式公式，得到关于的一元一次不等式，解之即可．
本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
根据平行线的性质及三角形外角性质求解即可．
【解答】
解：如图，

，，
，
，，
，
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：，为的中点，
，，
，
阴影部分的面积为．
故答案为：．
用三角形的面积减去两个扇形的面积即可．
此题主要考查了扇形面积求法以及等腰直角三角形的性质，应用扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设竿长尺，则绳索长尺，
依题意得：，
解得：，
竿长尺．
故答案为：．
设竿长尺，则绳索长尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短尺”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，作轴于．
四边形是正方形，
．
又，
，
．
，将代入函数，得，
．
故答案为：．


根据矩形的性质，计算出点的坐标，将其代入二次函数，求出值即可．
本题比较简单，通过函数图象与几何图形结合的形式，考查二次函数图象上点的坐标特征．
 

15.【答案】解：


，
当，时，原式． 

【解析】先利用平方差公式、单项式乘多项式法则计算，再去括号，合并同类项即可将式子化简，最后把，的值代入即可求解．
本题主要考查整式的混合运算化简求值、平方差公式，熟练掌握整式的混合运算法则和运算顺序是解题关键．
 

16.【答案】解：画树状图为：

共有种等可能的结果，其中两次摸出小球上数字之和为的结果数为，
所以小萱同学两次摸出小球上数字之和为的概率． 

【解析】先画树状图为展示所有种等可能的结果，再找出两次摸出小球上数字之和为的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．
 

17.【答案】解：将点右侧第个格点标记为，点左侧第个格点标记为连接、、、连接，与交于点，连接．
，且，
四边形为平行四边形．
又，
▱为矩形．
与是矩形的两条对角线，
与相互平分，
点为的中点，
，
．
点为要作的点．

将点右侧第个格点标记为，点左侧第个格点标记为连接、连，与交于点，连接．
，
，，
∽，
，
点为要作的点． 

【解析】利用矩形对角线互相平分的性质，找到的中点即可；
利用三角形相似，找到符合条件的点．
本题为作图题，主要考查三角形的面积，其中用到了矩形的性质及三角形相似的性质．
 

18.【答案】解：设每袋品牌粽子的价格为元，则每袋品牌粽子的价格为元，
依题意得：，
解得：．
经检验， 是原方程的解，且符合题意．
答：每袋品牌粽子的价格为元． 

【解析】设每袋品牌粽子的价格为元，则每袋品牌粽子的价格为元，利用数量总价单价，结合用元购买品牌粽子的数量比用元购买品牌粽子的数量多袋，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出每袋品牌粽子的价格．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，
，
，
，
，
≌，
，
又，
四边形为平行四边形，
又平分，
，
，
，
四边形是菱形；
解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
的面积． 

【解析】证明≌，由全等三角形的性质得出，由平行四边形的判定及菱形的判定可得出结论；
由勾股定理求出，根据菱形的面积可求出的长，根据三角形面积公式可得出答案．
本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】     

【解析】解：；
把片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为、，故；
片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是，故；
故答案为：；；；
，
树种的形状差别小，故A同学说法不合理；
乙树种的长宽比的平均数，中位数是，众数是，
同学说法合理．
故答案为：；
一片长，宽的树叶，长宽比接近，
这片树叶更可能来自乙树种．
根据中位数和众数的定义解答即可；
根据题目给出的数据判断即可；
根据树叶的长宽比判断即可．
本题考查了众数，中位数，平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：由图象得，甲的函数图象是线段，可设，经过，
，
解得：，
，
当时，
，
．
故答案为：，．
当时，
，
解得：，
，
乙行驶的时间为，
，
，
设段的函数解析式，则有
，
解得：，
段的函数解析式．
乙出发前乙在甲后．
，
，
乙车追上甲车后与甲车相距．
，
，
，
，
乙车追上甲车与甲车相距．
根据图象可求，从而可求，进而可求乙的速度；
由可求，，即可求解；
由可求已追上甲时家出发的时间，进而可求解．
本题考查了一次函数的在行程问题中的应用，正确理解自变量和因变量的意义是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：【问题呈现】，
证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，即，
≌，
，，
，
，
，
，
≌，
．
【类比引申】，
证明：如图，延长到点，使，连接，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
≌，
．
【探究应用】线段的长，
理由：如图，延长到点，使，
，
，
，，，
，，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
延长交于点，则，
，
，，
，
，
，
，
，
，
线段的长．
【问题呈现】由正方形的性质得，，则，而，即可证明≌，得，，再由，推导出，即可证明≌，则；
【类比引申】由【问题呈现】中与的数量关系，可知当时，，先证明≌，得，，可推导了，再证明≌，则；
【探究应用】延长到点，使，由，，得，可证明是等边三角形，则，则是等边三角形，延长交于点，则，，所以，，则，所以，于是得，所以．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、同角的补角相等、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形、类比与转化等数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：，，，
，
；
当点在线段上时，，，
当点在线段上时，，；
如图，当点，，共线时，有最小值，

在中，，
，
的最小值为；
 当点在线段上时，过点作于点，

，，
，
点与点关于直线对称，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
当点在线段上时，如图，同理可得，

，
，
，
，
，
综上所述，的值为或．
由勾股定理求出，则可得出答案；
分两种情况，当点在线段上时，当点在线段上时，由题意可得出答案；
当点，，共线时，有最小值，由勾股定理求出的长，则可得出答案；
当点在线段上时，过点作于点，设，得出，由得出，可求出答案；当点在线段上时，如图，，由直角三角形的性质可得出答案．
本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，全等三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：把、代入，得：
，
解得：，
抛物线的解析式为：；

，
抛物线的顶点坐标为：，
，
，，
，
；

当点在上时，
，
解得：，舍去，
当点在上时，
由，得舍去，
当点在上时，
，
解得：，舍去，
当点在上时，
由，得舍去，
的值为或；

或；
当点与点关于对称轴对称时，
，解得，
此时正方形与抛物线只有一个公共点；
当恰好经过抛物线的顶点时，
，
解得：，舍去，
此时正方形与抛物线恰好有三个交点；
在时，此时正方形与抛物线恰有两个公共点；
当点在抛物线上方时，
，
解得：，
此时正方形与抛物线都有两个交点；
综上所述，或时，正方形与抛物线恰有两个公共点． 

【解析】把、代入，即可求解；
根据点是抛物线的顶点这一特殊情况求解即可；
分类讨论，分点分别在正方形的四条边上进行求解，注意把不符合题意的舍去；
解题时注意数形结合，关键是找出各种情况的临界点．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意、正确分类是解题的关键，学会用运动变化的观点思考解决问题，属于中考压轴题．