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    2020-2021学年江苏省南京十三中高一(下)期中数学试卷

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    这是一份2020-2021学年江苏省南京十三中高一(下)期中数学试卷,共20页。试卷主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2020-2021学年江苏省南京十三中高一(下)期中数学试卷

    一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。

    15分),则  

    A B C D

    25分)已知实数满足,若恒成立,那么的取值范围是  

    A B C D

    35分)中,的对边分别是.若,则的最大值为  

    A3 B C D

    45分)素数也叫质数,部分素数可写成“”的形式是素数),法国数学家马丁梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位,因此后人将“”形式是素数)的素数称为梅森素数.已知第20个梅森素数为,第19个梅森素数为,则下列各数中与最接近的数为  (参考数据:

    A B C D

    55分)中,角的对边分别是,点上,,则的面积的最大值为  

    A B C4 D6

    65分)欧拉公式为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系根据欧拉公式可知,表示的复数在复平面中位于  

    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

    75分)如图,点为正方形的中心,为正三角形,平面平面是线段的中点,则  

    A,且直线是相交直线 

    B,且直线是相交直线 

    C,且直线是异面直线 

    D,且直线是异面直线

    85分)定义在上的偶函数对任意实数都有,且当时,,则函数的零点个数为  

    A5 B6 C10 D12

    二、多项选择题:本大题共4题,每小题5分,共20分.

    95分)正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,以为顶点的多边形为正五边形且,下列关系中正确的是  

    A B C D

    105分)下列命题中正确的有  

    A.空间内三点确定一个平面 

    B.棱柱的侧面一定是平行四边形 

    C.分别在两个相交平面内的两条直线如果相交,则交点只可能在两个平面的交线上 

    D.一条直线与三角形的两边都相交,则这条直线必在三角形所在的平面内

    115分)在四面体中,分别为的中点,则下列说法中正确的是  

    A四点共面 B 

    C D.四边形为梯形

    125分)已知函数的图象上存在关于轴对称的点,则下列的取值满足条件的是  

    A B1 C D

    三、填空题:本大题共4题,每小题5分,共20分.

    135分)已知,则的最小值是  

    145分)中,设角对应的边分别为,记的面积为,且,则的最大值为  

    155分)高斯是德国著名的数学家,享有“数学王子”之称,以他的名字“高斯”命名的成果达100多个,其中的一个成果是:设,则称为高斯函数,表示不超过的最大整数,如,并用表示的非负纯小数.若方程有且仅有4个实数根,则正实数的取值范围为  

    165分)在正三棱锥中,,过的平面将其体积平分,则棱与平面所成角的余弦值为  

    四、解答题:本大题共6小题,其中1710分,其余每小题10分,共70分.

    1710分)在平面四边形

    1)求的面积;

    2)设的中点,且,求四边形周长的最大值.

    1812分)如图,是正方形,是正方形的中心,底面的中点.求证:

    (Ⅰ)平面

    (Ⅱ)平面平面

    1912分)已知向量

    1)若,求的值;

    2)若,当时,求函数的最大值;

    2012分)的内角所对应的边分别为

    (Ⅰ)若成等差数列,证明:

    (Ⅱ)若成等比数列,求的最小值.

    2112分)已知函数的最小正周期为

    (Ⅰ)求函数的单调增区间;

    (Ⅱ)将函数的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数的图象.若上至少含有10个零点,求的最小值.

    2212分)已知A)表示非空集合中的元素的个数.

    1)定义AB,若,设实数的所有可能取值构成集合,求的值;

    2)已知集合23,对于的子集,若存在不大于1000的正整数,使得对于中的任意一对元素,都有,求的最大值.


    2020-2021学年江苏省南京十三中高一(下)期中数学试卷

    参考答案与试题解析

    一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。

    1【分析】直接利用对数的运算性质化简即可得答案.

    【解答】解:

    故选:

    2【分析】作出不等式组对应的平面区域,根据不等式恒成立,利用参数分离法转化为求直线斜率的最小值即可.

    【解答】解:作出实数满足,对应的平面区域如图,

    则由图象知

    由不等式恒成立,

    ,即

    的几何意义是区域内的点到定点的斜率,

    由图象知的斜率最小,

    此时的最小值为

    即实数的取值范围是

    故选:

    3【分析】根据正弦定理的性质求出,求出的解析式,结合三角函数的性质求出的最大值即可.

    【解答】解:中,

    由正弦定理得:

    其中

    的最大值是

    故选:

    4【分析】,令,化指数式为对数式求解.

    【解答】解:

    ,则

    最接近的数为

    故选:

    5【分析】由正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得,结合,可求,结合范围,可得,设,则,在中分别利用余弦定理,由,可得,再根据,可得,可得,根据基本不等式可得,进而根据三角形的面积公式即可求解.

    【解答】解:在中,

    由正弦定理可得,可得

    由于

    所以,由,可得

    ,则

    中分别利用余弦定理,可得

    由于,可得

    再根据,可得

    所以,根据基本不等式可得

    所以,当且仅当时等号成立,

    所以的面积

    故选:

    6【分析】直接由欧拉公式,可得,则答案可求.

    【解答】解:由欧拉公式,可得

    表示的复数位于复平面中的第二象限.

    故选:

    7【分析】推导出边上的中线,边上的中线,从而直线是相交直线,设,则,从而

    【解答】解:为正方形的中心,为正三角形,平面平面是线段的中点,

    平面平面

    边上的中线,边上的中线,

    直线是相交直线,

    ,则

    故选:

    8【分析】的交点个数等价于函数的零点个数,数形结合可得答案.

    【解答】解:时,

    函数的零点个数即

    的交点个数,

    画出函数的图象,如图示:

    结合图象,的交点个数是10个,

    故函数的零点个数为10

    故选:

    二、多项选择题:本大题共4题,每小题5分,共20分.

    9【分析】结合向量的概念,平面向量的加法,减法,数乘向量的几何意义分别检验各选项即可判断.

    【解答】解:因为

    正确;

    错误;

    正确;

    ,则,不合题意,错误.

    故选:

    10【分析】利用公理及推论,棱柱的定义等逐一判断即可.

    【解答】解:对于选项,要强调该三点不在同一直线上,故错误;

    对于选项,由棱柱的定义可知,其侧面一定是平行四边形,故正确;

    对于选项,交点分别含于两条直线,也分别含于两个平面,必然在交线上,故正确;

    对于选项,要强调该直线不经过给定两边的交点,故错误.

    故选:

    11【分析】根据题意及中位线定理和等角定理可以一一判断.

    【解答】解:由中位线定理,易知

    对于,由公理4易得,所以四点共面,故正确;

    对于,根据等角定理,得,故正确;

    对于,由等角定理,知,所以,故正确;

    由三角形的中位线定理及公理 4

    所以,所以四边 为平行四边形,故不正确.

    故选:

    12【分析】函数图象上存在关于轴对称的点,就是有解,也就是函数与函数有交点,在同一坐标系内画函数,结合图象解题可得.

    【解答】解:由题意知,方程上有解,

    上有解,

    即函数上有交点,

    函数的图象是把由函数的图象向左平移且平移到过点后开始,两函数的图象有交点,

    把点代入得,

    故选:

    三、填空题:本大题共4题,每小题5分,共20分.

    13【分析】方法一、由已知求得,代入所求式子,整理后,运用基本不等式可得所求最小值;

    方法二、由,运用基本不等式,计算可得所求最小值.

    【解答】解:方法一、由,可得

    ,可得

    ,当且仅当

    可得的最小值为

    方法二、

    当且仅当,即时取得等号,

    可得的最小值为

    故答案为:

    14【分析】利用余弦定理,求出,结合函数的单调性求出的最大值.

    【解答】解:

    ,令

    所以递增,递减,

    所以

    所以的最大值为

    当且仅当时,取等号,

    故答案为:

    15【分析】作出函数的图象,由图象可知要使方程有且仅有4个实数根,则直线应在直线之间(含,不含,由此建立关于得不等式,解出即可.

    【解答】解:由题意可得函数轴正半轴的大致图象如下图所示,

    函数为经过定点的直线,

    要使方程有且仅有4个实数根,则直线应在直线之间(含,不含

    ,解得

    故答案为:

    16【分析】的中点分别为,由题意得平面就是平面,由中线长公式知,直线在平面上的射影是直线,由此能求出棱与平面所成角的余弦值.

    【解答】解:设的中点分别为,连接

    由题意得平面就是平面

    由中线长公式知:

    由题意知直线在平面上的射影是直线

    与平面所成角的余弦值为

    四、解答题:本大题共6小题,其中1710分,其余每小题10分,共70分.

    17【分析】1)连接,在中,设,由余弦定理可得,解得,可得的值,进而根据三角形的面积公式即可求解.

    2)由的中点,可得的边的中线,又,可得,利用勾股定理可求,根据基本不等式可求,即可求解四边形的周长的最大值.

    【解答】解:(1)连接,在中,由余弦定理可得

    ,则,即

    解得(舍去),

    所以

    所以

    2)由的中点,可得的边的中线,

    ,可得

    所以

    所以

    所以,当且仅当时等号成立,

    所以,即四边形的周长的最大值为

    18【分析】根据线面平行的判定定理证出即可;根据面面垂直的判定定理证明即可.

    【解答】证明:的中点,的中点,

    ,又平面

    平面

    平面

    底面

    ,且

    平面,而平面

    平面平面

    19【分析】1)利用共线向量数量积的坐标运算可得,求得,再利用二倍角的正切公式可得的值;

    2)由,利用正弦函数的性质可求得当时,函数的最大值.

    【解答】解:(1)因为向量

    ,所以

    所以

    所以

    2)因为

    所以

    因为

    所以

    ,即时,函数取最大值为

    20【分析】(Ⅰ)由成等差数列,利用等差数列的性质列出关系式,利用正弦定理化简,再利用诱导公式变形即可得证;

    (Ⅱ)由成等比数列,利用等比数列的性质列出关系式,再利用余弦定理表示出,将得出的关系式代入,并利用基本不等式变形即可确定出的最小值.

    【解答】解:(Ⅰ)成等差数列,

    利用正弦定理化简得:

    (Ⅱ)成等比数列,

    当且仅当时等号成立,

    的最小值为

    21【分析】根据二倍角的三角函数公式与辅助角公式化简得,利用周期公式算出,得函数解析式为.再由正弦函数单调区间的公式,解关于的不等式即可得到函数的单调增区间;

    根据函数图象平移的公式,得出函数的解析式为.由此解,利用正弦函数的图象解出,可见在每个周期上恰有两个零点,若上至少含有10个零点,则大于或等于在原点右侧的第10个零点,由此即可算出的最小值.

    【解答】解:(Ⅰ)由题意,可得

    函数的最小正周期为,解之得

    由此可得函数的解析式为

    ,解之得

    函数的单调增区间是

    (Ⅱ)将函数的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,可得函数的图象,

    ,可得的解析式为

    ,得,可得

    解之得

    函数在每个周期上恰有两个零点,

    上至少含有10个零点,则不小于第10个零点的横坐标即可,

    的最小值为

    22【分析】1)先分析中有1个或者3个元素,即方程有一个根或者三个根,分析方程的根的情况,可得到可取的值,即可得答案

    2)定义具有性质,集合一定具有性质,设集合中有个元素,任给,则中必有一个不超过1000

    从而得到集合中必有一个集合至少存在一半元素不超过1000,然后利用性质的定义进行分析,即可求得,即,解得

    【解答】1)解析:因为,有两个元素,,且

    所以中有一个或者三个元素.

    中有一个元素时,有一个解,可得

    中有3个元素时,易知有三个解,其中的两个为

    有一个解时,令△,可得

    有两个解且其中一个和0或者相等时也满足条件,

    此时,显然不等于0

    所以,解得

    综上所述,的取值可以为,所以构成的集合的元素个数为5,即

    2)集合23对于的子集若存在不大于1000的正整数,使得对于中的任意一对元素,都有,可定义具有性质

    那么集合一定具有性质

    首先因为,任取,其中

    因为,所以23

    从而,即,所以

    具有性质,可知存在不大于1000的正整数,使得对于中的任意一对元素,都有

    从集合中任取一对元素

    其中,则有

    所以一定具有性质

    设集合中有个元素,

    任给,则中必有一个不超过1000

    所以集合中必有一个集合至少存在一半元素不超过1000

    不妨设集合中有个元素不超过1000

    具有性质,可知存在正整数

    使得对于中的任意一对元素,都有

    所以一定有

    2

    即集合中至少有个元素不在子集中,

    因此,所以,解得

    266566613341999时,

    ,则易知对集合的任意一对元素,都有

    而此时集合中有1333个元素,

    因此的最大值1333

    声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布

    日期:2022/3/11 19:12:29;用户:高中数学6;邮箱:tdjyzx38@xyh.com;学号:42412367

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