备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义-专题20 三角函数的图象与性质
展开1、“五点法”作图原理
在确定正弦函数的图像时,起关键作用的5个点是.
在确定余弦函数的图像时,起关键作用的5个点是.
2、三角函数的图像与性质
3、与的图像与性质
(1)最小正周期:.
(2)定义域与值域:,的定义域为R,值域为[-A,A].
(3)最值
假设.
①对于,
②对于,
(4)对称轴与对称中心.
假设.
①对于,
②对于,
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大(小)值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置.
(5)单调性.
假设.
①对于,
②对于,
(6)平移与伸缩
(,)的图象,可以用下面的方法得到:
= 1 \* GB3 ①画出函数的图象;
= 2 \* GB3 ②把的图象向左()或向右()平移个单位长度,得到函数的图象;
= 3 \* GB3 ③把图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象;
= 4 \* GB3 ④把图象上各点的纵坐标变为原来的倍(横坐标不变),得到函数的图象.
【典例例题】
例1.(2023春·甘肃天水·高三校考开学考试)函数的图象关于直线对称,则的值不可能是( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】由题意,,,
,,,D不符合要求.
故选:D.
例2.(2023·辽宁沈阳·高二学业考试)已知函数的最大值和最小值分别为( )
A.3,1B.3,C.,D.,1
【答案】B
【解析】对于
当,即时,函数取最大值,且最大值为3;
当,即时,函数取最小值,且最小值为;
故选:B.
例3.(2023秋·广东广州·高一统考期末)函数的一部分图象如下图所示,此函数的解析式为( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】由函数的图像可知,,,故,解得,由“五点作图法”得,解得,所以.
故选A.
例4.(2023春·江西·高三校联考阶段练习)函数的一个单调递减区间为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】令,
解得,
即函数的单调递减区间为,
取可得,为函数的单调递减区间,B正确;
取可得,为函数的单调递减区间,
令,
解得,
即函数的单调递增区间为,
取可得,为函数的单调递增区间,A错误;
因为在上单调递增,C错误;
取可得,为函数的单调递增区间,
所以在上单调递增,D错误
故选:B.
例5.(2023秋·江苏南京·高一南京师大附中校考期末)将函数的图象向右平移个单位长度,在纵坐标不变的情况下,再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍,得到函数的图象,则函数所具有的性质是( )
A.图象关于直线对称
B.图象关于点成中心对称
C.的一个单调递增区间为
D.曲线与直线的所有交点中,相邻交点距离的最小值为
【答案】D
【解析】函数的图象向右平移个单位长度得到,
纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍得到,
对于A,因为
所以直线不是的对称轴,故错误;
对于B,
所以图象不关于点成中心对称,故错误;
对于C,当,则,
因为正弦函数在不单调,故不是的一个单调递增区间,故错误;
对于D,当时,则或,
则或,则相邻交点距离最小值为,故D正确
故选:D.
例6.(2023秋·浙江·高三期末)将函数的图象向右平移个单位得到一个奇函数的图象,则的取值可以是( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】函数为奇函数,
则,取,则.
故选:D
例7.(2023春·河南洛阳·高三栾川县第一高级中学校考开学考试)已知函数,有如下命题:
①将的图象向左平移个单位长度可以得到的图象;
②将的图象向左平移个单位长度可以得到的图象;
③与的图象关于直线对称;
④与的图象关于直线对称,
则上述命题中正确的序号是( )
A.②③B.②④C.①③D.①④
【答案】D
【解析】,
,
对①,将的图象向左平移个单位长度可以得到
,所以①正确;
对②,将的图象向左平移个单位长度可以得到
,所以②不正确;
对③,因为
所以与的图象不关于直线对称,所以③错误;
对④,因为
所以与的图象关于直线对称,所以④正确.
故选:D.
例8.(多选题)(2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试)已知函数,则( )
A.的最小正周期为
B.的一个对称中心坐标为
C.的图象可由函数的图象向左平移个单位得到
D.在区间上单调递减
【答案】ABD
【解析】对A,,
由周期公式可得,A正确;
对B,因为,故为对称中心,B正确;
对C,的图象向左平移个单位得到,C错误;
对D,当,,
根据正弦函数的图象与性质可知,在单调递减,故D正确.
故选:ABD.
例9.(2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末)若函数在区间上有3个零点,则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】,
由函数在区间上有3个零点,可以转化为直线和函数在上有三个不同的交点,
因为,所以,
当时,即当时,函数单调递增,
函数值从增加到;
当时,即当时,函数单调递减,
函数值从减少到;
当时,即当时,函数单调递增,
函数值从增加到,
当时,即当时,函数单调递减,
函数值从减小到,
所以函数在上的函数图象如下图所示:
因此要想直线和函数在上有三个不同的交点,
只需,
故答案为:
例10.(2023·高三课时练习)函数()的图像的相邻两支截直线所得线段长为,则的值是______.
【答案】
【解析】因为函数()的图像的相邻两支截直线所得线段长为,
所以该函数的最小正周期为,
因为,所以,即,
因此,
故答案为:
例11.(2023·辽宁沈阳·高二学业考试)已知函数.
(1)求函数的最小正周期;
(2)求函数的最大值及相应自变量x的值.
【解析】(1),
函数的最小正周期;
(2)当,即时,
函数取最大值,且最大值为2.
【技能提升训练】
一、单选题
1.(2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测)若函数在上是增函数,则实数a的取值范围是( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】因为,所以有且,,
因为函数在上是增函数,
所以.
故选:A
2.(2023春·河南·高三商丘市回民中学校联考开学考试)将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,下列说法正确的是( ).
A.为奇函数B.在上单调递减
C.在上的值域为D.点是图象的一个对称中心
【答案】D
【解析】由题知,
,所以A错误;
因为,,在上先增后减,所以B错误;
因为,,,所以C错误;
因为,所以点是图象的一个对称中心,所以D正确.
故选:D.
3.(2023·全国·高三专题练习)函数f(x)=的定义域为( )
A. (k∈Z)B. (k∈Z)
C. (k∈Z)D. (k∈Z)
【答案】B
【解析】由题意,得,
,
所以,
解得,
所以函数的定义域为,
故选:B
4.(2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测)函数的最大值为( )
A.1B.3C.5D.
【答案】B
【解析】根据题意,
所以,故,
所以函数的最大值为3.
故选:B.
5.(2023秋·广西南宁·高三南宁二中校考期末)已知函数的两个相邻的对称中心的间距为,现的图象向左平移个单位后得到一个奇函数,则的一个可能取值为( )
A.B.C.0D.
【答案】D
【解析】由于函数的两条相邻的对称轴的间距为,该函数的最小正周期为π,即有,
则,将函数的图象向左平移个单位后,
得到函数,而函数为奇函数,
则,当时,,D正确,不存在整数k使得选项A,B,C成立.
故选:D
6.(2023春·河南焦作·高二统考开学考试)把函数图象上所有点的横坐标都伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再把图象向右平移2个单位长度,此时图象对应的函数为,则( )
A.B.C.0D.
【答案】C
【解析】解:由题知,函数图象上所有点的横坐标都伸长为原来的2倍,
可得的图象,再把图象向右平移2个单位长度,
可得,
即的图象,故最小正周期,
,
则
,
.
故选:C
7.(2023秋·广东湛江·高二统考期末)已知,则的最小值与最小正周期分别是( )
A.,B.,C.,D.,
【答案】A
【解析】,
故最小正周期为,最小值为.
故选:A.
8.(2023秋·江苏徐州·高一统考期末)若函数在区间内仅有1个零点,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由题意知,
令,解得,
得函数的3个相邻的对称点分别为,
因为函数在内仅有一个零点,
所以,,
解得,,当时,,得.
故选:C.
9.(2023·陕西榆林·校考模拟预测)将函数的图像分别向左、向右各平移个单位长度后,所得的两个图像的对称轴重合,则的最小值为( )
A.3B.C.6D.
【答案】D
【解析】∵将函数的图像分别向左、向右各平移个单位长度后,
所得的两个函数图像的对称轴重合,故当最小时,
有 ,
解得:,
故选:D.
10.(2023秋·全国·高三校联考阶段练习)函数的图象关于直线对称,将f(x)的图象向左平移个单位长度后与函数图象重合,则关于,下列说法正确的是( )
A.函数图象关于对称B.函数图象关于对称
C.在单调递减D.最小正周期为
【答案】B
【解析】关于对称,则,,
解得:,,又,故只有当时,满足要求,
所以,将的图象向左平移个单位长度得到.
令,则对称轴为,显然不满足,故A错误;
令,则,
所以对称中心为,显然时,,故B正确;
令,整理得,
所以单调递减区间为,当时,单调递减区间为,
显然,C不正确;
最小正周期,故D不正确.
故选:B.
11.(2023秋·河北唐山·高一滦南县第一中学校考期末)函数,则下列结论正确的是( )
A.是偶函数B.是奇函数
C.是奇函数D.是奇函数
【答案】C
【解析】选项A: 因为的定义域为R,
又,
所以是奇函数,故A错误;
选项B: 因为的定义域为R,
又,
所以是偶函数,故B错误;
选项C: 因为的定义域为R,
又,
所以是奇函数,故C正确;
选项D: 因为的定义域为R,
又,
所以是偶函数,故D错误.
故选:C.
12.(2023秋·山东济宁·高一曲阜一中校考期末)下列函数:,,,,中,最小正周期是π有( )个.
A.1B.2C.3D.4
【答案】A
【解析】对于,令,,令,,
所以的最小正周期不是;
,其最小正周期为;
的最小正周期为,所以的最小正周期为;
的最小正周期为,所以的最小正周期为;
的最小正周期为;
综上所述,共1个,
故选:A
13.(2023秋·江西景德镇·高三统考阶段练习)若将函数的图像向右移后关于原点中心对称,则的可能是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由条件可知,函数关于点对称,
则,,得,,
当,,
故选:A
14.(2023秋·四川宜宾·高二四川省宜宾市南溪第一中学校校考期末)设直线的斜率为,且,则直线的倾斜角的取值范围为 ( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】设直线的倾斜角为,
则有,,
作出()的图象,如图所示:
由此可得.
故选:A.
15.(2023·高一课时练习)关于函数,下列说法正确的是( )
A.是奇函数B.最小正周期为
C.为图象的一个对称中心D.其图象由的图象右移个单位得到
【答案】C
【解析】A,由,则,
解得,定义域为,
定义域不关于原点对称,故A错误.
B,由解析式可得,故B错误;
C,由正切函数的中心对称点可得,
解得,当时,,故C正确;
D,的图象右移个单位得到,故D错误.
故选:C
16.(2023·全国·高三专题练习)已知函数的部分图象如图所示,则( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】观察函数图象得,函数的周期,则,
而,即,则有,
因此,即有,
所以.
故选:C
17.(2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末)将函数的图像向左平移个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到函数的图像,则的解析式为( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】函数的图像向左平移个单位长度,
可得,
再向上平移4个单位长度,可得.
故选:A.
18.(2023秋·广东湛江·高一统考期末)将函数的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】函数的周期为,
图象向右平移个周期,即平移后,
所得图象对应的函数为,
即.
故选:D.
19.(2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末)将函数的图像向右平移个单位长度得到的图象与原图象重合,则的最小值为( )
A.2B.3C.4D.6
【答案】B
【解析】由题有,
则,得,结合,得.
故选:B
20.(2023秋·天津河西·高一校考期末)为了得到函数的图象,可以将函数的图象( )
A.向左平移个单位B.向左平移个单位
C.向右平移个单位D.向右平移个单位
【答案】B
【解析】因为,
所以为了得到函数的图象,可以将函数的图象向左平移个单位.
故选:B.
21.(2023秋·山东临沂·高一校考期末)为了得到函数的图像,只需将函数的图象( )
A.左移个单位长度B.左移个单位长度
C.右移个单位长度D.右移个单位长度
【答案】D
【解析】因为,
所以为了得到函数的图像,
只需将函数的图象右移个单位长度,
故选:D.
22.(2023秋·江苏扬州·高一校考期末)要得到函数的图象,只需将的图象上所有的点( )
A.横坐标变为原来的(纵坐标不变)
B.横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)
C.横坐标变为原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度
D.横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度
【答案】C
【解析】对于AC,先将的图象上所有的点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到的图像,
再将图象上所有的点向左平移个单位长度得到的图像,故A错误,C正确;
对于BD,先将的图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)得到的图像,后续平移变换必得不到的图像,故BD错误.
故选:C.
23.(2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末)已知函数(,,)的部分图象如图所示,下列说法中错误的是( )
A.函数的图象关于点对称
B.函数的图象关于直线对称
C.函数在上单调递增
D.函数的图象向右平移个单位可得函数的图象
【答案】D
【解析】,,即,,故,
函数周期T,有,即,解得,而,
则,即,因此,
故.
对于A选项,令,,解得,,对称中心为,,当时,对称中心为,故A正确;
对于B选项,根据,,解得,,当时,,故B正确;
对于C选项,由,得的单调递增区间为,,又,,故C正确;
对于D选项,函数图象上所有的点向右平移个单位,得到函数,故D错误.
故选:D.
二、多选题
24.(2023春·湖南株洲·高一株洲二中校考开学考试)已知函数,则下列结论正确的是( ).
A.函数的图像关于直线对称
B.函数的图像关于点对称
C.函数在区间上单调递减
D.函数在上有3个零点
【答案】ABC
【解析】因为,
所以函数的图像关于直线对称,选项A正确;
因为,
所以函数的图像关于点对称,选项B正确;
当时,,
所以函数在区间上单调递减,选项C正确;
当时,,
因为函数在区间上只有2个零点,
所以函数在上只有2个零点,选项D错误,
故选:ABC
25.(2023秋·河北唐山·高一滦南县第一中学校考期末)设函数,若函数为偶函数,则的值可以是( )
A.B.C.D.
【答案】BC
【解析】因为,
所以,又函数为偶函数,
所以,即,
所以的值可以是,.
故选:BC.
26.(2023春·广东汕头·高三统考开学考试)函数的最小正周期为,若为的零点,则( )
A.
B.函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到
C.在内有4个极值点
D.函数在仅有1个零点
【答案】BC
【解析】解:由题知,,
所以,所以,
所以,因为,
所以,即,
因为为的零点,
所以,
即,
解得: ,
因为,所以,
故,
故,故选项A错误;
因为,
向右平移个单位后可得:
,
故选项B正确;
因为,
令,
则在的极值点有:
共4个,
即在内有4个极值点,
故选项C正确;
因为,,
令,
则在的零点,
即的根,即或共2个,
则在有2个零点,
故选项D错误.
故选:BC
27.(2023秋·河北沧州·高一统考期末)已知函数为偶函数,则( )
A.的图象关于直线对称
B.的最小正周期是
C.的图象关于点对称
D.在区间上是增函数
【答案】ABD
【解析】因为为偶函数,所以,
又,所以,即.
对于A,由,得.当时,,故的图象关于直线对称,正确;
对于B,的最小正周期是B正确;
对于C,图象的对称中心为C错误;
对于D,令,则,即是的一个单调增区间;由于在上单调递增,D正确.
故选:ABD.
28.(2023秋·山东·高一山东省实验中学校考期末)已知函数:①,②,③,④,其中周期为,且在上单调递增的是( )
A.①B.②C.③D.④
【答案】AC
【解析】函数的周期为,且在上单调递增,故①正确;
函数不是周期函数,故②不正确;
函数的周期为,且在上单调递增,故③正确;
函数的周期为,故④不正确.
故选:AC.
29.(2023秋·重庆北碚·高一统考期末)若将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则下列说法正确的是( )
A.的最小正周期为B.在上单调递减
C.不是函数图象的对称轴D.在上的最小值为
【答案】ACD
【解析】将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数
的图象,
对A,的最小正周期为,故A正确;
对B,当 时, 时,故在上有增有减,故B错误;
对C,,故不是图象的一条对称轴,故C正确;
对D,当时,,且当,即时,取最小值为,故D正确.
故选:ACD.
30.(2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末)已知函数,则( )
A.函数的最小正周期
B.函数在上单调递增
C.函数在上的值域为
D.函数的图像关于直线对称
【答案】BD
【解析】因为,
作出函数的大致图象,
函数的最小正周期,故A错误;
由图象可知函数的增区间为,故函数在上单调递增,故B正确;
当时,,,故C错误;
因为,所以函数的图像关于直线对称,故D正确.
故选:BD.
31.(2023秋·湖南娄底·高三校联考期末)下列选项中,是函数的单调递增区间的有( )
A.B.
C.D.
【答案】BC
【解析】令
可得
函数的单调递增区间为
令,函数的单调递增区间为,B正确;
令,函数的单调递增区间为,C正确,
故选:BC.
32.(2023秋·山西运城·高一康杰中学校考期末)已知函数,将函数的图象向左平移个单位长度,然后纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,得到函数的图象,则下列描述中正确的是( ).
A.函数的图象关于点成中心对称
B.函数的最小正周期为2
C.函数的单调增区间为,
D.函数的图象没有对称轴
【答案】ABD
【解析】将函数的图象向左平移个单位长度可得函数,
然后纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,得到函数,
令解得,当时,
所以函数的图象关于点成中心对称,A正确;
函数的最小正周期为,B正确;
令解得,
所以函数的单调增区间为,,C错误;
正切函数不是轴对称图形,D正确,
故选:ABD.
33.(2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考开学考试)已知函数,则下列命题中正确的有( )
A.的最小正周期为
B.的定义域为
C.图象的对称中心为,
D.的单调递增区间为,
【答案】ACD
【解析】由题知,函数,
所以的最小正周期为,故A正确;
的定义域满足,即
所以的定义域为,故B错误;
图象的对称中心应满足,即,
所以图象的对称中心为,,故C正确;
的单调递增区间应满足,即,,
所以的单调递增区间为,,故D正确;
故选:ACD
34.(江苏省南通市2023届高三下学期第一次调研测试数学试题)函数的部分图象如图所示,则( )
A.
B.
C.的图象关于点对称
D.在区间上单调递增
【答案】ACD
【解析】,,由于,
所以,所以A选项正确,B选项错误.
,
当时,得,所以关于对称,C选项正确,
,
当时,得在上递增,则在区间上单调递增,所以D选项正确.
故选:ACD
三、填空题
35.(2023·高一课时练习)设函数,若,则______.
【答案】
【解析】,则,
,
故答案为:.
36.(2023秋·湖南娄底·高一校考期末)已知的部分图象如图所示,则__________.
【答案】
【解析】由图可得,解得.
又,解得.
因为的图象经过,
所以,解得.
故.
故答案为:.
37.(2023·高三课时练习)已知函数(,)的图像经过点和,则函数的图像的对称轴方程是______.
【答案】
【解析】因为该函数的图像经过点和,
所以有,或,
由,由
,
两式相减,得,因为,
所以令,得,
所以,因为,
所以令,得,即,
令,
所以对称轴为:,
故答案为:
38.(2023秋·江西吉安·高三统考期末)记函数()的最小正周期为,且的图象关于对称,当取最小值时,_______.
【答案】
【解析】由的图象关于对称,则,,
∴(),
又∵,
∴当,的最小值为4,
此时,,
∴.
故答案为:.
39.(2023·高一课时练习)已知函数在上是严格减函数,则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为函数在上是严格减函数,
所以,,,
.
故答案为:
40.(2023·高一课时练习)函数的单调增区间是______.
【答案】
【解析】由,
解得,
所以函数的单调增区间是.
故答案为:
41.(2023·高三课时练习)函数()的图像的相邻两支截直线所得线段长为,则的值是______.
【答案】
【解析】因为函数()的图像的相邻两支截直线所得线段长为,
所以该函数的最小正周期为,
因为,所以,即,
因此,
故答案为:
42.(2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考期末)函数的周期为,则实数ω的值为 _____.
【答案】
【解析】依题意,,解得.
故答案为:.
43.(2023·全国·模拟预测)函数的图象的对称中心为_________
【答案】
【解析】令,,解得,所以对称中心为.
故答案为: .
44.(2023秋·河南郑州·高一校考期末)如图是某市夏季某一天的温度变化曲线,若该曲线近似地满足函数,则下列说法正确的是________.
①该函数的周期是16.
②该函数图象的一条对称轴是直线
③该函数的解析式是
④这一天的函数关系式也适用于第二天
【答案】①②
【解析】由图象可得:函数最小正周期,①正确;
故,
不妨令A>0,
且,解得:,
由图象可得:当时,函数取得最大值,故该函数图象的一条对称轴是直线,②正确;
不妨取,则,
将代入得:,
因为,
解得:,故③错误;
这一天的函数关系式只适用于当天,不一定适合第二天,④错误.
故答案为:①②
45.(2023·全国·高三专题练习)若函数的图像向右平移个单位后是一个奇函数的图像,则正数的最小值为___________;
【答案】
【解析】,向右平移个单位后解析式为,
则要想使得为奇函数,只需,
解得:,
因为,所以,,解得:,,
当时,正数取得最小值,所以.
故答案为:
46.(2023·全国·高三专题练习)若函数的图像向右平移个单位长度后与函数的图象重合,则的一个可能的值为___________;
【答案】(答案不唯一)
【解析】将函数的图像向右平移个单位长度后,
得到函数的图像,
即与函数的图像重合,
即,,
所以,,
故答案为:(答案不唯一).
47.(2021秋·陕西汉中·高三统考阶段练习)函数的部分图像如图所示,则=______.
【答案】1
【解析】根据函数图像,
,,解得
所以.
又,所以,
所以,所以,
又因为,
所以令,则,
所以,
所以.
故答案为:1.
四、解答题
48.(2023秋·河北沧州·高一统考期末)已知函数.
(1)求函数的单调增区间;
(2)当时,求的值域.
【解析】(1)由,
所以函数的单调增区间是.
(2)由,可得.
从而,所以.
所以的值域为.
49.(2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考期末)已知函数 ,是函数的一个零点.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数在上的单调递增区间.
【解析】(1)因为是函数的一个零点,则,有,
即,而,于是得,
所以函数的解析式是.
(2)当时,,
则由或得:或,
所以函数在上的单调递增区间是,.
50.(2023·高三课时练习)如图,某地一天中6~14时的温度变化曲线近似满足(,,).
(1)求出这段曲线的函数解析式;
(2)某行业在该地经营,当温度在区间之间时为最佳营业时间,那么该行业在6~14时,最佳营业时间有多少小时?
【解析】(1)由题图知,,,得,于是.
把,代入上式,得,所以这段曲线的函数解析式为,;
(2)由题意,得,即,解得,,进而得,.
因为,取,得,所以最佳营业时间有(小时).
51.(2023·高一单元测试)已知函数.
(1)求的最小值及最小正周期;
(2)求使的x的取值范围.
【解析】(1)因为
,
当,Z时,即,Z时,,
此时取最小值,且最小是为,最小正周期.
(2)因为,所以,即,
所以,即,Z,
所以的x的取值范围,Z.
52.(2023秋·河南安阳·高一统考期末)如图所示,某游乐场的摩天轮最高点距离地面85 m,转轮的直径为80 m,摩天轮的一侧不远处有一排楼房(阴影部分).摩天轮开启后转轮顺时针匀速转动,游客在座舱转到最低点时进入座舱,转动后距离地面的高度为,转一周需要40 min.
(1)求在转动一周的过程中,H关于t的函数的解析式;
(2)游客甲进入座舱后观赏周围风景,发现10:14时刚好可以看到楼房顶部,到10:42时水平视线刚好再次被楼房遮挡,求甲进入座舱的时刻并估计楼房的高度.
参考数据:
【解析】(1)根据题意设,其中,
因为摩天轮的最高点距离地面85 m,所以,
转轮的直径为80 m,即半径为40 m,所以,,
转一周需要40 min,即,所以,
因为时,,得,即,取.
所以,.
(其他等价的解析式同样给分)
(2)如图所示.
由条件知,甲从点A转到点C经过的时间为28 min,所以从A点转到最高点B需要的时间为14 min,又易知甲从最低点转到最高点需要的时间为20 min,故甲从最低点转到A点需要的时间为(min),所以甲进入座舱的时刻为10:08 ,
楼房的高度为,
根据参考数据可得,
所以,即估计楼房的高度为21 m.
53.(2023春·湖南衡阳·高一校考开学考试)已知函数满足,其中,将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图像向左平移个单位,得到函数的图像.
(1)求;
(2)求函数的解析式;
(3)求在上的最值及相应的x值.
【解析】(1)函数,
又,
,,解得,
又,;
(2)由(1)知,函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数)的图像;
再将得到的图像向左平移个单位,得到的图像,
函数;
(3)当时,,,
由(2)知,
函数的大致图像如图:
所以当时,取得最小值,
当时,取得最大值.
54.(2023秋·山东聊城·高一校联考期末)已知函数.
(1)完成下列表格,并用五点法在下面直角坐标系中画出在上的简图;
(2)求不等式在全体实数上的解集.
【解析】(1)表格如下:
用五点法在直角坐标系中画出在上的简图如下
(2)由已知,
得
得,
即不等式在全体实数上的解集为
55.(2023·高一课时练习)写出下列不等式的解集.
(1);
(2).
【解析】(1)解:由题知,
根据函数在上图象可知,
只需,
根据的最小正周期,
可得的解集为: ;
(2)根据函数在上图象可知,
只需,
根据的最小正周期,
可得的解集为:.
56.(2023秋·吉林松原·高一校考期末)已知函数.
(1)求的最小正周期和对称轴方程;
(2)若函数在存在零点,求实数的取值范围.
【解析】(1)对于函数
,
所以函数的最小正周期为,
令,解得,
所以函数的对称轴的方程为.
(2)因为函数在存在零点,
即方程在上有解,
当时,可得,可得,
所以,解得,
所以实数的取值范围.
57.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.
(1)求函数的最小正周期和对称中心;
(2)若,方程有两个实数解,求实数m的取值范围.
【解析】(1)
=
=
=
=
所以,最小正周期,
由,得
所以,对称中心为.
(2)因为,所以,
由正弦曲线可得.
58.(2022秋·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期中)已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)试判断函数在区间上的单调性.
【解析】(1)由题意可知,,
,得,解得.
,即,,,
所以,故.
(2)令,解得,;
结合,得出在上递增,在上递减.在上
的图像
定义域
值域(有界性)
最小正周期
(周期性)
奇偶性(对称性)
奇函数
偶函数
单调增区间
单调减区间
对称轴方程
对称中心坐标
最大值及对应自变量值
时
时
最小值及对应自变量值
时
时
函数
正切函数
图像
定义域
值域
周期性
奇偶性
奇函数,图像关于原点对称
单调性
在上是单调增函数
对称轴
无
对称中心
0
0
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