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    备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义-专题20 三角函数的图象与性质
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    备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义-专题20 三角函数的图象与性质

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    这是一份备战2024高考数学艺体生一轮复习讲义-专题20 三角函数的图象与性质,文件包含专题20三角函数的图象与性质解析版docx、专题20三角函数的图象与性质原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共62页, 欢迎下载使用。

    1、“五点法”作图原理
    在确定正弦函数的图像时,起关键作用的5个点是.
    在确定余弦函数的图像时,起关键作用的5个点是.
    2、三角函数的图像与性质
    3、与的图像与性质
    (1)最小正周期:.
    (2)定义域与值域:,的定义域为R,值域为[-A,A].
    (3)最值
    假设.
    ①对于,
    ②对于,
    (4)对称轴与对称中心.
    假设.
    ①对于,
    ②对于,
    正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大(小)值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置.
    (5)单调性.
    假设.
    ①对于,
    ②对于,
    (6)平移与伸缩
    (,)的图象,可以用下面的方法得到:
    = 1 \* GB3 ①画出函数的图象;
    = 2 \* GB3 ②把的图象向左()或向右()平移个单位长度,得到函数的图象;
    = 3 \* GB3 ③把图象上各点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象;
    = 4 \* GB3 ④把图象上各点的纵坐标变为原来的倍(横坐标不变),得到函数的图象.
    【典例例题】
    例1.(2023春·甘肃天水·高三校考开学考试)函数的图象关于直线对称,则的值不可能是( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】由题意,,,
    ,,,D不符合要求.
    故选:D.
    例2.(2023·辽宁沈阳·高二学业考试)已知函数的最大值和最小值分别为( )
    A.3,1B.3,C.,D.,1
    【答案】B
    【解析】对于
    当,即时,函数取最大值,且最大值为3;
    当,即时,函数取最小值,且最小值为;
    故选:B.
    例3.(2023秋·广东广州·高一统考期末)函数的一部分图象如下图所示,此函数的解析式为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【解析】由函数的图像可知,,,故,解得,由“五点作图法”得,解得,所以.
    故选A.
    例4.(2023春·江西·高三校联考阶段练习)函数的一个单调递减区间为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】令,
    解得,
    即函数的单调递减区间为,
    取可得,为函数的单调递减区间,B正确;
    取可得,为函数的单调递减区间,
    令,
    解得,
    即函数的单调递增区间为,
    取可得,为函数的单调递增区间,A错误;
    因为在上单调递增,C错误;
    取可得,为函数的单调递增区间,
    所以在上单调递增,D错误
    故选:B.
    例5.(2023秋·江苏南京·高一南京师大附中校考期末)将函数的图象向右平移个单位长度,在纵坐标不变的情况下,再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍,得到函数的图象,则函数所具有的性质是( )
    A.图象关于直线对称
    B.图象关于点成中心对称
    C.的一个单调递增区间为
    D.曲线与直线的所有交点中,相邻交点距离的最小值为
    【答案】D
    【解析】函数的图象向右平移个单位长度得到,
    纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍得到,
    对于A,因为
    所以直线不是的对称轴,故错误;
    对于B,
    所以图象不关于点成中心对称,故错误;
    对于C,当,则,
    因为正弦函数在不单调,故不是的一个单调递增区间,故错误;
    对于D,当时,则或,
    则或,则相邻交点距离最小值为,故D正确
    故选:D.
    例6.(2023秋·浙江·高三期末)将函数的图象向右平移个单位得到一个奇函数的图象,则的取值可以是( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】函数为奇函数,
    则,取,则.
    故选:D
    例7.(2023春·河南洛阳·高三栾川县第一高级中学校考开学考试)已知函数,有如下命题:
    ①将的图象向左平移个单位长度可以得到的图象;
    ②将的图象向左平移个单位长度可以得到的图象;
    ③与的图象关于直线对称;
    ④与的图象关于直线对称,
    则上述命题中正确的序号是( )
    A.②③B.②④C.①③D.①④
    【答案】D
    【解析】,

    对①,将的图象向左平移个单位长度可以得到
    ,所以①正确;
    对②,将的图象向左平移个单位长度可以得到
    ,所以②不正确;
    对③,因为
    所以与的图象不关于直线对称,所以③错误;
    对④,因为
    所以与的图象关于直线对称,所以④正确.
    故选:D.
    例8.(多选题)(2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试)已知函数,则( )
    A.的最小正周期为
    B.的一个对称中心坐标为
    C.的图象可由函数的图象向左平移个单位得到
    D.在区间上单调递减
    【答案】ABD
    【解析】对A,,
    由周期公式可得,A正确;
    对B,因为,故为对称中心,B正确;
    对C,的图象向左平移个单位得到,C错误;
    对D,当,,
    根据正弦函数的图象与性质可知,在单调递减,故D正确.
    故选:ABD.
    例9.(2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末)若函数在区间上有3个零点,则实数的取值范围是__________.
    【答案】
    【解析】,
    由函数在区间上有3个零点,可以转化为直线和函数在上有三个不同的交点,
    因为,所以,
    当时,即当时,函数单调递增,
    函数值从增加到;
    当时,即当时,函数单调递减,
    函数值从减少到;
    当时,即当时,函数单调递增,
    函数值从增加到,
    当时,即当时,函数单调递减,
    函数值从减小到,
    所以函数在上的函数图象如下图所示:
    因此要想直线和函数在上有三个不同的交点,
    只需,
    故答案为:
    例10.(2023·高三课时练习)函数()的图像的相邻两支截直线所得线段长为,则的值是______.
    【答案】
    【解析】因为函数()的图像的相邻两支截直线所得线段长为,
    所以该函数的最小正周期为,
    因为,所以,即,
    因此,
    故答案为:
    例11.(2023·辽宁沈阳·高二学业考试)已知函数.
    (1)求函数的最小正周期;
    (2)求函数的最大值及相应自变量x的值.
    【解析】(1),
    函数的最小正周期;
    (2)当,即时,
    函数取最大值,且最大值为2.
    【技能提升训练】
    一、单选题
    1.(2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测)若函数在上是增函数,则实数a的取值范围是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【解析】因为,所以有且,,
    因为函数在上是增函数,
    所以.
    故选:A
    2.(2023春·河南·高三商丘市回民中学校联考开学考试)将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,下列说法正确的是( ).
    A.为奇函数B.在上单调递减
    C.在上的值域为D.点是图象的一个对称中心
    【答案】D
    【解析】由题知,
    ,所以A错误;
    因为,,在上先增后减,所以B错误;
    因为,,,所以C错误;
    因为,所以点是图象的一个对称中心,所以D正确.
    故选:D.
    3.(2023·全国·高三专题练习)函数f(x)=的定义域为( )
    A. (k∈Z)B. (k∈Z)
    C. (k∈Z)D. (k∈Z)
    【答案】B
    【解析】由题意,得,

    所以,
    解得,
    所以函数的定义域为,
    故选:B
    4.(2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测)函数的最大值为( )
    A.1B.3C.5D.
    【答案】B
    【解析】根据题意,
    所以,故,
    所以函数的最大值为3.
    故选:B.
    5.(2023秋·广西南宁·高三南宁二中校考期末)已知函数的两个相邻的对称中心的间距为,现的图象向左平移个单位后得到一个奇函数,则的一个可能取值为( )
    A.B.C.0D.
    【答案】D
    【解析】由于函数的两条相邻的对称轴的间距为,该函数的最小正周期为π,即有,
    则,将函数的图象向左平移个单位后,
    得到函数,而函数为奇函数,
    则,当时,,D正确,不存在整数k使得选项A,B,C成立.
    故选:D
    6.(2023春·河南焦作·高二统考开学考试)把函数图象上所有点的横坐标都伸长为原来的2倍,纵坐标不变,再把图象向右平移2个单位长度,此时图象对应的函数为,则( )
    A.B.C.0D.
    【答案】C
    【解析】解:由题知,函数图象上所有点的横坐标都伸长为原来的2倍,
    可得的图象,再把图象向右平移2个单位长度,
    可得,
    即的图象,故最小正周期,
    ,

    ,
    .
    故选:C
    7.(2023秋·广东湛江·高二统考期末)已知,则的最小值与最小正周期分别是( )
    A.,B.,C.,D.,
    【答案】A
    【解析】,
    故最小正周期为,最小值为.
    故选:A.
    8.(2023秋·江苏徐州·高一统考期末)若函数在区间内仅有1个零点,则的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】由题意知,
    令,解得,
    得函数的3个相邻的对称点分别为,
    因为函数在内仅有一个零点,
    所以,,
    解得,,当时,,得.
    故选:C.
    9.(2023·陕西榆林·校考模拟预测)将函数的图像分别向左、向右各平移个单位长度后,所得的两个图像的对称轴重合,则的最小值为( )
    A.3B.C.6D.
    【答案】D
    【解析】∵将函数的图像分别向左、向右各平移个单位长度后,
    所得的两个函数图像的对称轴重合,故当最小时,
    有 ,
    解得:,
    故选:D.
    10.(2023秋·全国·高三校联考阶段练习)函数的图象关于直线对称,将f(x)的图象向左平移个单位长度后与函数图象重合,则关于,下列说法正确的是( )
    A.函数图象关于对称B.函数图象关于对称
    C.在单调递减D.最小正周期为
    【答案】B
    【解析】关于对称,则,,
    解得:,,又,故只有当时,满足要求,
    所以,将的图象向左平移个单位长度得到.
    令,则对称轴为,显然不满足,故A错误;
    令,则,
    所以对称中心为,显然时,,故B正确;
    令,整理得,
    所以单调递减区间为,当时,单调递减区间为,
    显然,C不正确;
    最小正周期,故D不正确.
    故选:B.
    11.(2023秋·河北唐山·高一滦南县第一中学校考期末)函数,则下列结论正确的是( )
    A.是偶函数B.是奇函数
    C.是奇函数D.是奇函数
    【答案】C
    【解析】选项A: 因为的定义域为R,
    又,
    所以是奇函数,故A错误;
    选项B: 因为的定义域为R,
    又,
    所以是偶函数,故B错误;
    选项C: 因为的定义域为R,
    又,
    所以是奇函数,故C正确;
    选项D: 因为的定义域为R,
    又,
    所以是偶函数,故D错误.
    故选:C.
    12.(2023秋·山东济宁·高一曲阜一中校考期末)下列函数:,,,,中,最小正周期是π有( )个.
    A.1B.2C.3D.4
    【答案】A
    【解析】对于,令,,令,,
    所以的最小正周期不是;
    ,其最小正周期为;
    的最小正周期为,所以的最小正周期为;
    的最小正周期为,所以的最小正周期为;
    的最小正周期为;
    综上所述,共1个,
    故选:A
    13.(2023秋·江西景德镇·高三统考阶段练习)若将函数的图像向右移后关于原点中心对称,则的可能是( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】由条件可知,函数关于点对称,
    则,,得,,
    当,,
    故选:A
    14.(2023秋·四川宜宾·高二四川省宜宾市南溪第一中学校校考期末)设直线的斜率为,且,则直线的倾斜角的取值范围为 ( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【解析】设直线的倾斜角为,
    则有,,
    作出()的图象,如图所示:
    由此可得.
    故选:A.
    15.(2023·高一课时练习)关于函数,下列说法正确的是( )
    A.是奇函数B.最小正周期为
    C.为图象的一个对称中心D.其图象由的图象右移个单位得到
    【答案】C
    【解析】A,由,则,
    解得,定义域为,
    定义域不关于原点对称,故A错误.
    B,由解析式可得,故B错误;
    C,由正切函数的中心对称点可得,
    解得,当时,,故C正确;
    D,的图象右移个单位得到,故D错误.
    故选:C
    16.(2023·全国·高三专题练习)已知函数的部分图象如图所示,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】观察函数图象得,函数的周期,则,
    而,即,则有,
    因此,即有,
    所以.
    故选:C
    17.(2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末)将函数的图像向左平移个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到函数的图像,则的解析式为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【解析】函数的图像向左平移个单位长度,
    可得,
    再向上平移4个单位长度,可得.
    故选:A.
    18.(2023秋·广东湛江·高一统考期末)将函数的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【解析】函数的周期为,
    图象向右平移个周期,即平移后,
    所得图象对应的函数为,
    即.
    故选:D.
    19.(2023秋·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末)将函数的图像向右平移个单位长度得到的图象与原图象重合,则的最小值为( )
    A.2B.3C.4D.6
    【答案】B
    【解析】由题有,
    则,得,结合,得.
    故选:B
    20.(2023秋·天津河西·高一校考期末)为了得到函数的图象,可以将函数的图象( )
    A.向左平移个单位B.向左平移个单位
    C.向右平移个单位D.向右平移个单位
    【答案】B
    【解析】因为,
    所以为了得到函数的图象,可以将函数的图象向左平移个单位.
    故选:B.
    21.(2023秋·山东临沂·高一校考期末)为了得到函数的图像,只需将函数的图象( )
    A.左移个单位长度B.左移个单位长度
    C.右移个单位长度D.右移个单位长度
    【答案】D
    【解析】因为,
    所以为了得到函数的图像,
    只需将函数的图象右移个单位长度,
    故选:D.
    22.(2023秋·江苏扬州·高一校考期末)要得到函数的图象,只需将的图象上所有的点( )
    A.横坐标变为原来的(纵坐标不变)
    B.横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)
    C.横坐标变为原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位长度
    D.横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位长度
    【答案】C
    【解析】对于AC,先将的图象上所有的点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到的图像,
    再将图象上所有的点向左平移个单位长度得到的图像,故A错误,C正确;
    对于BD,先将的图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)得到的图像,后续平移变换必得不到的图像,故BD错误.
    故选:C.
    23.(2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末)已知函数(,,)的部分图象如图所示,下列说法中错误的是( )
    A.函数的图象关于点对称
    B.函数的图象关于直线对称
    C.函数在上单调递增
    D.函数的图象向右平移个单位可得函数的图象
    【答案】D
    【解析】,,即,,故,
    函数周期T,有,即,解得,而,
    则,即,因此,
    故.
    对于A选项,令,,解得,,对称中心为,,当时,对称中心为,故A正确;
    对于B选项,根据,,解得,,当时,,故B正确;
    对于C选项,由,得的单调递增区间为,,又,,故C正确;
    对于D选项,函数图象上所有的点向右平移个单位,得到函数,故D错误.
    故选:D.
    二、多选题
    24.(2023春·湖南株洲·高一株洲二中校考开学考试)已知函数,则下列结论正确的是( ).
    A.函数的图像关于直线对称
    B.函数的图像关于点对称
    C.函数在区间上单调递减
    D.函数在上有3个零点
    【答案】ABC
    【解析】因为,
    所以函数的图像关于直线对称,选项A正确;
    因为,
    所以函数的图像关于点对称,选项B正确;
    当时,,
    所以函数在区间上单调递减,选项C正确;
    当时,,
    因为函数在区间上只有2个零点,
    所以函数在上只有2个零点,选项D错误,
    故选:ABC
    25.(2023秋·河北唐山·高一滦南县第一中学校考期末)设函数,若函数为偶函数,则的值可以是( )
    A.B.C.D.
    【答案】BC
    【解析】因为,
    所以,又函数为偶函数,
    所以,即,
    所以的值可以是,.
    故选:BC.
    26.(2023春·广东汕头·高三统考开学考试)函数的最小正周期为,若为的零点,则( )
    A.
    B.函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到
    C.在内有4个极值点
    D.函数在仅有1个零点
    【答案】BC
    【解析】解:由题知,,
    所以,所以,
    所以,因为,
    所以,即,
    因为为的零点,
    所以,
    即,
    解得: ,
    因为,所以,
    故,
    故,故选项A错误;
    因为,
    向右平移个单位后可得:
    ,
    故选项B正确;
    因为,
    令,
    则在的极值点有:
    共4个,
    即在内有4个极值点,
    故选项C正确;
    因为,,
    令,
    则在的零点,
    即的根,即或共2个,
    则在有2个零点,
    故选项D错误.
    故选:BC
    27.(2023秋·河北沧州·高一统考期末)已知函数为偶函数,则( )
    A.的图象关于直线对称
    B.的最小正周期是
    C.的图象关于点对称
    D.在区间上是增函数
    【答案】ABD
    【解析】因为为偶函数,所以,
    又,所以,即.
    对于A,由,得.当时,,故的图象关于直线对称,正确;
    对于B,的最小正周期是B正确;
    对于C,图象的对称中心为C错误;
    对于D,令,则,即是的一个单调增区间;由于在上单调递增,D正确.
    故选:ABD.
    28.(2023秋·山东·高一山东省实验中学校考期末)已知函数:①,②,③,④,其中周期为,且在上单调递增的是( )
    A.①B.②C.③D.④
    【答案】AC
    【解析】函数的周期为,且在上单调递增,故①正确;
    函数不是周期函数,故②不正确;
    函数的周期为,且在上单调递增,故③正确;
    函数的周期为,故④不正确.
    故选:AC.
    29.(2023秋·重庆北碚·高一统考期末)若将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则下列说法正确的是( )
    A.的最小正周期为B.在上单调递减
    C.不是函数图象的对称轴D.在上的最小值为
    【答案】ACD
    【解析】将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数
    的图象,
    对A,的最小正周期为,故A正确;
    对B,当 时, 时,故在上有增有减,故B错误;
    对C,,故不是图象的一条对称轴,故C正确;
    对D,当时,,且当,即时,取最小值为,故D正确.
    故选:ACD.
    30.(2023秋·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末)已知函数,则( )
    A.函数的最小正周期
    B.函数在上单调递增
    C.函数在上的值域为
    D.函数的图像关于直线对称
    【答案】BD
    【解析】因为,
    作出函数的大致图象,
    函数的最小正周期,故A错误;
    由图象可知函数的增区间为,故函数在上单调递增,故B正确;
    当时,,,故C错误;
    因为,所以函数的图像关于直线对称,故D正确.
    故选:BD.
    31.(2023秋·湖南娄底·高三校联考期末)下列选项中,是函数的单调递增区间的有( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】BC
    【解析】令
    可得
    函数的单调递增区间为
    令,函数的单调递增区间为,B正确;
    令,函数的单调递增区间为,C正确,
    故选:BC.
    32.(2023秋·山西运城·高一康杰中学校考期末)已知函数,将函数的图象向左平移个单位长度,然后纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,得到函数的图象,则下列描述中正确的是( ).
    A.函数的图象关于点成中心对称
    B.函数的最小正周期为2
    C.函数的单调增区间为,
    D.函数的图象没有对称轴
    【答案】ABD
    【解析】将函数的图象向左平移个单位长度可得函数,
    然后纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,得到函数,
    令解得,当时,
    所以函数的图象关于点成中心对称,A正确;
    函数的最小正周期为,B正确;
    令解得,
    所以函数的单调增区间为,,C错误;
    正切函数不是轴对称图形,D正确,
    故选:ABD.
    33.(2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考开学考试)已知函数,则下列命题中正确的有( )
    A.的最小正周期为
    B.的定义域为
    C.图象的对称中心为,
    D.的单调递增区间为,
    【答案】ACD
    【解析】由题知,函数,
    所以的最小正周期为,故A正确;
    的定义域满足,即
    所以的定义域为,故B错误;
    图象的对称中心应满足,即,
    所以图象的对称中心为,,故C正确;
    的单调递增区间应满足,即,,
    所以的单调递增区间为,,故D正确;
    故选:ACD
    34.(江苏省南通市2023届高三下学期第一次调研测试数学试题)函数的部分图象如图所示,则( )
    A.
    B.
    C.的图象关于点对称
    D.在区间上单调递增
    【答案】ACD
    【解析】,,由于,
    所以,所以A选项正确,B选项错误.

    当时,得,所以关于对称,C选项正确,

    当时,得在上递增,则在区间上单调递增,所以D选项正确.
    故选:ACD
    三、填空题
    35.(2023·高一课时练习)设函数,若,则______.
    【答案】
    【解析】,则,

    故答案为:.
    36.(2023秋·湖南娄底·高一校考期末)已知的部分图象如图所示,则__________.
    【答案】
    【解析】由图可得,解得.
    又,解得.
    因为的图象经过,
    所以,解得.
    故.
    故答案为:.
    37.(2023·高三课时练习)已知函数(,)的图像经过点和,则函数的图像的对称轴方程是______.
    【答案】
    【解析】因为该函数的图像经过点和,
    所以有,或,
    由,由

    两式相减,得,因为,
    所以令,得,
    所以,因为,
    所以令,得,即,
    令,
    所以对称轴为:,
    故答案为:
    38.(2023秋·江西吉安·高三统考期末)记函数()的最小正周期为,且的图象关于对称,当取最小值时,_______.
    【答案】
    【解析】由的图象关于对称,则,,
    ∴(),
    又∵,
    ∴当,的最小值为4,
    此时,,
    ∴.
    故答案为:.
    39.(2023·高一课时练习)已知函数在上是严格减函数,则实数的取值范围是______.
    【答案】
    【解析】因为函数在上是严格减函数,
    所以,,,
    .
    故答案为:
    40.(2023·高一课时练习)函数的单调增区间是______.
    【答案】
    【解析】由,
    解得,
    所以函数的单调增区间是.
    故答案为:
    41.(2023·高三课时练习)函数()的图像的相邻两支截直线所得线段长为,则的值是______.
    【答案】
    【解析】因为函数()的图像的相邻两支截直线所得线段长为,
    所以该函数的最小正周期为,
    因为,所以,即,
    因此,
    故答案为:
    42.(2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考期末)函数的周期为,则实数ω的值为 _____.
    【答案】
    【解析】依题意,,解得.
    故答案为:.
    43.(2023·全国·模拟预测)函数的图象的对称中心为_________
    【答案】
    【解析】令,,解得,所以对称中心为.
    故答案为: .
    44.(2023秋·河南郑州·高一校考期末)如图是某市夏季某一天的温度变化曲线,若该曲线近似地满足函数,则下列说法正确的是________.
    ①该函数的周期是16.
    ②该函数图象的一条对称轴是直线
    ③该函数的解析式是
    ④这一天的函数关系式也适用于第二天
    【答案】①②
    【解析】由图象可得:函数最小正周期,①正确;
    故,
    不妨令A>0,
    且,解得:,
    由图象可得:当时,函数取得最大值,故该函数图象的一条对称轴是直线,②正确;
    不妨取,则,
    将代入得:,
    因为,
    解得:,故③错误;
    这一天的函数关系式只适用于当天,不一定适合第二天,④错误.
    故答案为:①②
    45.(2023·全国·高三专题练习)若函数的图像向右平移个单位后是一个奇函数的图像,则正数的最小值为___________;
    【答案】
    【解析】,向右平移个单位后解析式为,
    则要想使得为奇函数,只需,
    解得:,
    因为,所以,,解得:,,
    当时,正数取得最小值,所以.
    故答案为:
    46.(2023·全国·高三专题练习)若函数的图像向右平移个单位长度后与函数的图象重合,则的一个可能的值为___________;
    【答案】(答案不唯一)
    【解析】将函数的图像向右平移个单位长度后,
    得到函数的图像,
    即与函数的图像重合,
    即,,
    所以,,
    故答案为:(答案不唯一).
    47.(2021秋·陕西汉中·高三统考阶段练习)函数的部分图像如图所示,则=______.
    【答案】1
    【解析】根据函数图像,
    ,,解得
    所以.
    又,所以,
    所以,所以,
    又因为,
    所以令,则,
    所以,
    所以.
    故答案为:1.
    四、解答题
    48.(2023秋·河北沧州·高一统考期末)已知函数.
    (1)求函数的单调增区间;
    (2)当时,求的值域.
    【解析】(1)由,
    所以函数的单调增区间是.
    (2)由,可得.
    从而,所以.
    所以的值域为.
    49.(2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考期末)已知函数 ,是函数的一个零点.
    (1)求函数的解析式;
    (2)求函数在上的单调递增区间.
    【解析】(1)因为是函数的一个零点,则,有,
    即,而,于是得,
    所以函数的解析式是.
    (2)当时,,
    则由或得:或,
    所以函数在上的单调递增区间是,.
    50.(2023·高三课时练习)如图,某地一天中6~14时的温度变化曲线近似满足(,,).
    (1)求出这段曲线的函数解析式;
    (2)某行业在该地经营,当温度在区间之间时为最佳营业时间,那么该行业在6~14时,最佳营业时间有多少小时?
    【解析】(1)由题图知,,,得,于是.
    把,代入上式,得,所以这段曲线的函数解析式为,;
    (2)由题意,得,即,解得,,进而得,.
    因为,取,得,所以最佳营业时间有(小时).
    51.(2023·高一单元测试)已知函数.
    (1)求的最小值及最小正周期;
    (2)求使的x的取值范围.
    【解析】(1)因为

    当,Z时,即,Z时,,
    此时取最小值,且最小是为,最小正周期.
    (2)因为,所以,即,
    所以,即,Z,
    所以的x的取值范围,Z.
    52.(2023秋·河南安阳·高一统考期末)如图所示,某游乐场的摩天轮最高点距离地面85 m,转轮的直径为80 m,摩天轮的一侧不远处有一排楼房(阴影部分).摩天轮开启后转轮顺时针匀速转动,游客在座舱转到最低点时进入座舱,转动后距离地面的高度为,转一周需要40 min.
    (1)求在转动一周的过程中,H关于t的函数的解析式;
    (2)游客甲进入座舱后观赏周围风景,发现10:14时刚好可以看到楼房顶部,到10:42时水平视线刚好再次被楼房遮挡,求甲进入座舱的时刻并估计楼房的高度.
    参考数据:
    【解析】(1)根据题意设,其中,
    因为摩天轮的最高点距离地面85 m,所以,
    转轮的直径为80 m,即半径为40 m,所以,,
    转一周需要40 min,即,所以,
    因为时,,得,即,取.
    所以,.
    (其他等价的解析式同样给分)
    (2)如图所示.
    由条件知,甲从点A转到点C经过的时间为28 min,所以从A点转到最高点B需要的时间为14 min,又易知甲从最低点转到最高点需要的时间为20 min,故甲从最低点转到A点需要的时间为(min),所以甲进入座舱的时刻为10:08 ,
    楼房的高度为,
    根据参考数据可得,
    所以,即估计楼房的高度为21 m.
    53.(2023春·湖南衡阳·高一校考开学考试)已知函数满足,其中,将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图像向左平移个单位,得到函数的图像.
    (1)求;
    (2)求函数的解析式;
    (3)求在上的最值及相应的x值.
    【解析】(1)函数,
    又,
    ,,解得,
    又,;
    (2)由(1)知,函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数)的图像;
    再将得到的图像向左平移个单位,得到的图像,
    函数;
    (3)当时,,,
    由(2)知,
    函数的大致图像如图:
    所以当时,取得最小值,
    当时,取得最大值.
    54.(2023秋·山东聊城·高一校联考期末)已知函数.
    (1)完成下列表格,并用五点法在下面直角坐标系中画出在上的简图;
    (2)求不等式在全体实数上的解集.
    【解析】(1)表格如下:
    用五点法在直角坐标系中画出在上的简图如下
    (2)由已知,

    得,
    即不等式在全体实数上的解集为
    55.(2023·高一课时练习)写出下列不等式的解集.
    (1);
    (2).
    【解析】(1)解:由题知,
    根据函数在上图象可知,
    只需,
    根据的最小正周期,
    可得的解集为: ;
    (2)根据函数在上图象可知,
    只需,
    根据的最小正周期,
    可得的解集为:.
    56.(2023秋·吉林松原·高一校考期末)已知函数.
    (1)求的最小正周期和对称轴方程;
    (2)若函数在存在零点,求实数的取值范围.
    【解析】(1)对于函数

    所以函数的最小正周期为,
    令,解得,
    所以函数的对称轴的方程为.
    (2)因为函数在存在零点,
    即方程在上有解,
    当时,可得,可得,
    所以,解得,
    所以实数的取值范围.
    57.(2023·全国·高三专题练习)已知函数.
    (1)求函数的最小正周期和对称中心;
    (2)若,方程有两个实数解,求实数m的取值范围.
    【解析】(1)
    =
    =
    =
    =
    所以,最小正周期,
    由,得
    所以,对称中心为.
    (2)因为,所以,
    由正弦曲线可得.
    58.(2022秋·重庆南岸·高二重庆市第十一中学校校考期中)已知函数的部分图象如图所示.
    (1)求函数的解析式;
    (2)试判断函数在区间上的单调性.
    【解析】(1)由题意可知,,
    ,得,解得.
    ,即,,,
    所以,故.
    (2)令,解得,;
    结合,得出在上递增,在上递减.在上
    的图像
    定义域
    值域(有界性)
    最小正周期
    (周期性)
    奇偶性(对称性)
    奇函数
    偶函数
    单调增区间
    单调减区间
    对称轴方程
    对称中心坐标
    最大值及对应自变量值


    最小值及对应自变量值


    函数
    正切函数
    图像
    定义域
    值域
    周期性
    奇偶性
    奇函数,图像关于原点对称
    单调性
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    对称轴

    对称中心
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