四川省成都市蓉城名校联盟2022-2023学年度高一数学下学期期末联考试题（Word版附解析）

2022～2023学年度下期高中2022级期末联考

数 学

考试时间120分钟，满分150分

注意事项： 

1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知为虚数单位，，则复数的虚部为

A．3    B．    C．    D．

2．已知，，则

A．    B．    C．3    D．

3．已知利用斜二测画法绘制某三棱柱的直观图如图所示，则该三棱柱的体积为

A．         B．

C．         D．

4．已知，则在方向上的投影向量为

A．   B．   C．  D．

5．已知，则

A．    B．    C．    D．

6．已知是单位向量，，则与的夹角为

A．    B．    C．    D．

7．如图，在三棱锥中，，为锐角，侧棱，一只小虫从点出发，沿侧面绕棱锥爬行一周后回到点，则小虫爬行的最短距离为

A．         B． 

C．        D．

8．已知点是的内心，，则

A．    B．    C．    D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

9．如图，已知圆锥母线长，底面半径，则下列结论中正确的有

A．圆锥的表面积为

B．圆锥侧面展开图的圆心角为

C．圆锥的体积为

D．圆锥的轴截面是锐角三角形

10．已知函数，则下列结论中正确的有

A．函数解析式化简后为：

B．的对称轴为

C．的对称中心为

D．的单调递增区间为

11．在中，角所对的边分别为，下列命题中正确的有

A．若，则

B．若，则

C．若，则有两组解

D．若，则是钝角三角形

12．如图，四边形是边长为1的正方形，分别是边上的动点，下列命题中正确的有

A．若的周长为2，则的正切值等于1

B．若的面积为，则正切值的最小值为

C．若的周长为2，则的最小值为

D．若的面积为，则的最大值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知，若，则______．

14．已知棱台两底面的面积分别为1和4，截得这个棱台的棱锥的高为6，则这个棱台的体积为______．

15．已知是所在平面内一点，，则与的面积比______．

16．已知是平面内一组基底，，则与所成角的最大值为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

设复数，为虚数单位，且满足．

（1）求复数；

（2）复数是关于的方程的一个根，求实数的值．

18．（12分）

如图，圆柱内接于球，已知球的半径，设圆柱的底面半径为．

（1）以为变量，表示圆柱的表面积和体积；

（2）当为何值时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是多少？

19．（12分）

已知函数的部分图象如图所示．

（1）求的解析式；

（2）若，求的取值范围．

20．（12分）

在中，交于点，设．

（1）用表示；

（2）若，夹角为，求．

21．（12分）

某海岸的哨所在凌晨1点15分发现哨所北偏东方向处的点出现可疑船只，因天气恶劣能见度低，无法对船只进行识别，所以将该船雷达特征信号进行标记并上报周围哨所．早上5点15分位于哨所正西方向的哨所发现了该可疑船只位于哨所北偏西方向处的点，并识别出其为走私船，立刻命令位于哨所正西方向处点的我方缉私船前往拦截，已知缉私船速度大小为．（假设所有船只均保持匀速直线航行）

（1）求走私船的速度大小；

（2）缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船，并求出截获走私船的具体时间．

22．（12分）

在中，角所对的边分别为，已知．

（1）求角；

（2）求的最小值；

2022～2023学年度下期高中2022级期末联考

数学参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．    14．    15．    16．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

解：（1）设，

，   …………………………3分

；      …………………………5分

（2）是方程的一个解，

它的共轭复数也是方程的一个解，      …………………………6分

根据韦达定理：

，          …………………………8分

．             …………………………10分

18．（12分）

解：（1）如图，点为圆柱底面圆圆心，连接，

，     …………………………2分

，        …………………………4分

；      …………………………6分

（2），     …………………………10分

当且仅当，即时，取最大值，最大值为．    …………………………12分

19．（12分）

解：（1），    …………………………2分

，

，，

，           …………………………5分

，       …………………………7分

；          …………………………8分

（2），       …………………………9分

，            …………………………11分

．           …………………………12分

20．（12分）

解：（1），

，   …………………………2分

；       …………………………4分

（2）设，则有

，          …………………………6分

三点共线，

，          …………………………7分

，         …………………………9分

，

夹角为，

．       …………………………12分

21．（12分）

解：（1）位于哨所北偏东方向处，

，

，

，     …………………………2分

，

位于哨所北偏西方向处，

，

，

，        …………………………4分

走私船的速度大小为；       …………………………6分

（2）设在点处截获走私船，截获走私船所需时间为，

，

，     …………………………7分

，

，            …………………………8分

走私船速度为，缉私船速度为，

，

在中，根据余弦定理，

，       …………………………9分

，

化简得，

（舍去），或，           …………………………10分

此时，

，              …………………………11分

缉私船沿北偏西方向行驶，3小时后即早上8点15分可截获走私船．    …………12分

22．（12分）

解：（1），

，       …………………………1分

，

，

，            …………………………2分

为三角形内角，；       …………………………3分

（2）根据正弦定理：，

，    …………………………4分

      …………………………6分

设，

，

原式，单调递减，      …………………………7分

当时，；     …………………………8分

（3），

外接圆半径，         …………………………9分

连接EF交PO于点H，

，

，       …………………………10分

设，

，

，

，       …………………………11分

当且仅当，即时等号成立，

的最小值为．           …………………………12分

解析：

1．解：，虚部为3，故选：A．

2．解：，，故选：C．

3．解：据图判断，三棱柱为底面是直角三角形的直棱柱，底面直角三角形的两条直角边分别为2，2，三棱柱高为2，，故选：D．

4．解：，在方向上的投影向量为：

，故选：A．

5．解：，故选：B．

6．解：，

，故选：C．

7．解：，，将三棱锥沿一条侧棱展开，得到顶角为的多边形，根据余弦定理，最短距离，故选：D．

8．解：如图，连接AO并延长BC于点D，连接CO，是的内心，为的角平分线，根据角平分线定理：，共线，，则有：，，，故选：D．

9．解：A．，

B．圆心角，

C．，

D．，轴截面是钝角三角形，故选：ABC．

10．解：A．，

B．对称轴：，

C．对称中心：可得，

D．单调递增区间：，，故选：ABD．

11．解：A．，

B．，

，

C．只有一组解，

D．，是钝角三角形，故选：BD．

12．解：A．设，则有，

周长为，，

，

B．，当且仅当时，等号成立，

，

C．设，则有，

周长

，

，当且仅当时等号成立，，

D．，，当且仅当时等号成立，故选：ABC．

13．解：，，故答案为．

14．解：根据面积比等于相似比的平方，即，，故答案为7．

15．解：，取中点，，如图易知：，故答案为．

16．解：设，则有：，

设，

，即，，

如图建立直角坐标系，设，以为圆心，为半径作圆，圆上任取一点，则即为，当与圆相切时，取最大值，此时，故答案为．