2023年浙江省绍兴市上虞区中考数学适应性试卷（含解析）

2023年浙江省绍兴市上虞区中考数学适应性试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数，，，中，最小的实数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  根据全国第七次人口普查结果表明，年绍兴市常住人口总数约为，数字用科学记数法表示是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  由七个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，则它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  在一个不透明的袋子里，装有个红球，个白球，个黄球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为白球的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，直线，分别与直线交于，两点，把一块含角的三角板按如图所示的位置摆放，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  已知二次方程的两根为和，则对于二次函数，下列叙述正确的是(    )

A. 当时，函数的最大值是 B. 当时，函数的最大值是
C. 当时，函数的最小值是 D. 当时，函数的最小值是

8.  如图，菱形中，点为对称中心，点从点出发沿向点移动，移动到点停止，作射线，交边于点，则四边形形状的变化依次为(    )

A. 平行四边形正方形平行四边形矩形
B. 平行四边形矩形平行四边形菱形
C. 平行四边形正方形菱形矩形
D. 平行四边形菱形正方形矩形

9.  已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

10.  如图，边长为的正六边形中，是边的中点，连结交于点，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.  分解因式： ______ ．

12.  关于的不等式的解是______ ．

13.  我国古代数学问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，问井深几尺？则该问题中的井深是______ 尺

14.  在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连结则的度数是______ ．

15.  已知点在反比例函数的图象上，点在轴正半轴上，若为等腰直角三角形，则的长为______ ．

16.  如图，在矩形中，，，与交于点，交边，于点，，且，则 ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．
解方程组

18.  本小题分
总务处为合理配置学校的体育器材，委托体育教研组调查了解学生对篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳等五项体育活动的喜欢程度体育教研组随机抽查了部分学生，对同学们最喜欢的体育项目每人只选一项进行问卷调查，并将统计数据绘制成如下两幅不完整的统计图．

解答下列问题：
填空： ______ ，这次问卷调查共抽取了______ 名学生进行调查．
补全图中的条形统计图．
若全校共有名学生，则该校约有多少名学生喜爱打篮球？

19.  本小题分
水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小敏进行了以下的实验研究：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，表是小敏内收集到的一组数据．

为了描述漏水量与漏水时间的关系，现有以下三种函数模型供选择：，，．
在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象．

当容器内水量显示的读数为时，求漏水时间．
在这种漏水状态下，请你估算一天的漏水量．

20.  本小题分
如图，数学兴趣小组的几位同学在山坡坡脚处测得一座建筑物顶点的仰角为，沿山坡向上走到处再测得该建筑物顶点的仰角为测得，与的延长线交于点，同学们用测倾器测得山坡的坡度为即
求该建筑物的高度的长．
求山坡上点处的铅直高度测倾器的高度忽略不计，结果保留根号的形式．

21.  本小题分
如图，为的直径，是延长线上一点，且，为的切线，为切点，连结．
求的长结果保留．
求证：为等腰三角形．

22.  本小题分
如图，中，，，为斜边上的一动点不包含，两端点，以为对称轴将翻折得到，连结．
如图，当时，求的长．
当翻折得到的中有一边与垂直时，求的长．

 

23.  本小题分
在平面直角坐标系中，当和时，二次函数是常数，的函数值相等．
若该函数的最大值为，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
若该函数的图象与轴有且只有一个交点，求，的值．
记中的抛物线为，将抛物线向上平移个单位得到抛物线，当时，抛物线的最大值与最小值之差为，求的值．

24.  本小题分
如图，菱形中，，，是边上一动点不与点，重合，连结，点关于直线的对称点为，连结并延长交直线于点，是的中点，连结，．
填空： ______ ； ______ ．
如图，将题中条件“”改成“”，其余条件均不变，连结，猜想，，这三条线段间的数量关系，并对你的猜想加以证明．
在的条件下，连结．
若动点运动到边的中点处时，求的面积．
在动点的整个运动过程中，求面积的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
最小的实数是，
故选：．
先根据实数的大小比较法则比较大小，再得出选项即可．
本题考查了实数的大小比较和算术平方根，能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键，注意：正数都大于，负数都小于，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】

解：由图可得，
题目中组合体的主视图是，
故选：．
【分析】本题考查简单组合体的三视图，解答本题的关键是画出相应的图形．
根据题目中的组合体，可以画出主视图，本题得以解决．  

4.【答案】 

【解析】解：总共有个球，其中白球有个，摸到每个球的可能性都相等，
摸到白球的概率，
故选：．
根据白球可能出现的结果数所有可能出现的结果数即可得出答案．
本题考查了概率公式，掌握摸到白球的概率白球可能出现的结果数所有可能出现的结果数是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，故选项A错误，不符合题意；
 ，故选项B正确，符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，

，
，
又，
，
故选：．
依据，即可得到，再根据，即可得出从．
此题主要考查了平行线的性质，解本题的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
 

7.【答案】 

【解析】解：二次方程的两根为和，
，
解得，
二次函数，
，
当时，有最小值，最小值为，
故选：．
根据二次方程的两根为和，求出，的值，从而得出函数解析式，再根据函数的性质求最值．
本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的最值，关键是求函数解析式．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，点为对称中心，
这个四边形先是平行四边形，当对角线相等时是菱形，然后又是平行四边形，最后点与点重合时是菱形．
故选：．
根据对称中心的定义，菱形的性质，可得四边形形状的变化情况．
本题考查了中心对称、菱形的性质、平行四边形的判定与性质以及菱形的判定，根据对角线的情况熟练判定各种四边形的形状是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
一次函数的图象如图，

若，则或，选项错误；
若，则或，选项错误；
若，则或，选项错误；
若，则，选项正确．
故选：．
根据一次函数图象的性质，函数值随自变量的变化而变化的规律判断选项的正误．
本题考查了一次函数图象上点的特点，解题的关键是掌握一次函数图象的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，交于，交于，由正六边形的对称性可知，，，，
，
是的中位线，
，
点是的中点，
，
六边形是正六边形，
，，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
故选：．
连接、，根据正六边形的性质可得出是三角形的中位线，进而得到，由正六边形的性质可求出，，利用相似三角形的判定和性质，得出
，进而得出，求出三角形的面积即可．
此题考查的是正多边形和圆，正六边形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提，求出：：是解决问题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用平方差公式分解即可求得答案．
此题考查了平方差公式分解因式的知识．题目比较简单，解题需细心．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
．
故答案为：．
不等式去括号，移项，合并同类项，把系数化为，即可求出解．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设绳长是尺，井深是尺，依题意有
，
解得，．
故井深是尺．
故答案为：．
可设绳长为尺，井深为尺，根据等量关系：绳长的井深尺；绳长的井深尺；列出方程组求解即可．
本题考查了二元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程组，再求解．
 

14.【答案】或 

【解析】解：以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点或，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
．
的度数是或．
故答案为：或．
分两种情况，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质即可求解．
本题考查等腰三角形的性质，关键是要分两种情况讨论．
 

15.【答案】或 

【解析】解：当时，此时；
在函数上，
，
，
即，
；
当时，此时；
在函数上，
，
，
即，
，
当时，点落在轴上，故不合题意，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可．
本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论的思想，当时，求出点的坐标是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点，在上取点，合，连接，在上取点，使，连接，

在矩形中，，，，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
解得，
，
在中，．
．
故答案为：．
先通过作辅助线构造一条和相等的线段，再构造三角形相似，利用相似三角形的性质求出线段的长，最后利用勾股定理求出的长度．
本题综合考查了矩形的性质和相似三角形的判定和性质，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
 

17.【答案】解：


；

，
，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
所以方程组的解． 

【解析】先根据特殊角的三角函数值，算术平方根，零指数幂进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
得出，求出，再把代入求出即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，实数的混合运算，解二元一次方程组等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解的关键，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：，
，
喜欢跳绳的占，有人，
名，
共抽取了名学生；
故答案为：，；
喜欢乒乓球的：名，
条形统计图如图所示；


，
该校约有名学生喜爱打篮球．
由扇形统计图的知识，可求得的值，继而求得抽取了的学生数，
总数减去其它即可得乒乓球人数，可补全条形统计图；
利用样本估计总体的方法，即可求得答案；
本题考查了条形统计图，观察条形统计图、扇形统计图获得有效信息是解题关键．
 

19.【答案】解：设，
将，代入得：
，
解得：，
，
描点并画图象如图所示；
当时，，
解得，
故当容器内水量显示的读数为时，漏水时间为；
，
当时，
，
故在这种漏水状态下，可估算一天的漏水量为． 

【解析】先设出与的一次函数关系式，用待定系数法求出、即可；
把代入中解析式即可；
根据题意列式计算即可．
本题主要考查一次函数的应用，关键是对知识的掌握与运用．
 

20.【答案】解：在中，
，，
，
即，
．
答：该建筑物的高度的长为
如图，过点作于点，过点作于点．

设．
在中，
，
，，
又，
，
，
即，
解得：．
山坡上点处的铅直高度为． 

【解析】直接利用正切函数的定义列式求值即可；
过点作于点，过点作于点设，利用三角函数关系设法用表示和，再利用列方程求解即可．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角，解直角三角形的应用坡度坡角，解题的关键是构造直角三角形，利用三角函数关系求值，或列方程求解．
 

21.【答案】解：连接，如图，
为的切线，
，
，
，
，，
，
，
的长；
证明：，
，
由知，
，
，
，
，
为等腰三角形． 

【解析】连接，如图，先根据切线的性质得到，再利用余弦的定义求出，然后根据弧长公式计算的长；
由得到，则利用三角形外角性质得到，所以，从而可判断为等腰三角形．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的判定与弧长的计算．
 

22.【答案】解：，，，
，
，
，，
，
，
，
由折叠得，，
，
点在上，
，
的长是．
当时，由得；
当时，如图，设于点，则，
由得，，
，
，
，
，
当时，如图，则，
由折叠得，
作于点，则，，，
，
，
，，
，
综上所述，的长是或或． 

【解析】由，，，根据勾股定理得，由，得，则，即可求得，；
分三种情况讨论，一是当时，由得；二是当时，设于点，由得，，则，，所以；三是当时，则，由折叠得，作于点，由，，得，所以，，则．
此题重点考查勾股定理、轴对称的性质、根据面积等式求线段的长度、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：当和时，的函数值相等，
该二次函数图象的对称轴为直线，
又该函数的最大值为，
故可设函数解析式为，即，
，
解得，
该函数的表达式为，
图象的顶点坐标为；
二次函数的图象与轴有且只有一个交点，
二次方程满足，
又，
，
把代入得，
，
解得舍去或，
；
由可知，，
将抛物线向上平移个单位得到抛物线，
即，
由于时，抛物线的最大值与最小值之差为，因此分以下情况讨论：
当时，
，，
，即，
解得： 不合题意，舍去
，
当时，
，，显然，故不合题意，
当时，
，
，即，
解得：， 两解均不合题意，故舍去，
综上：． 

【解析】根据当和时，的函数值相等，求出抛物线对称轴，再根据该函数的最大值为，写出抛物线解析式的顶点式，再把解析式化为一般式比较系数即可；
根据函数的图象与轴有且只有一个交点，得出二次方程的判别式，再根据对称轴为，从而解得，的值；
根据得出抛物线解析式，再根据平移的性质得出平移后的解析式，再分三种情况讨论．
本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换等知识，关键是对知识的掌握和运用．
 

24.【答案】   

【解析】解：四边形是菱形，
，，
点关于直线的对称点为，
，，
，
为的中点，
，
，
≌，
，
．
故答案为：，；
结论：．
如图，将题中条件“”改成“”，其余条件均不变，则菱形成为正方形．
过点作交延长线于，

．
在正方形中，，，
．
由题意可知，是的中点，点关于直线的对称点为，
，，
，
．
．
在和中，
，
≌，
，
；
如图，过点作于点，

为的中点，
，
，
，
，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
；
在动点的整个运动过程中，当点恰好在对角线上时，面积达到最大值．

，，
，
．
．
即面积的最大值为．
由菱形的性质得出，，由轴对称的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
过点作交延长线于，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
过点作于点，证明∽，得出，求出，，证明∽，由相似三角形的性质得出，求出，根据三角形的面积公式可得出答案；
在动点的整个运动过程中，当点恰好在对角线上时，面积达到最大值．求出，由三角形面积公式可得出答案．
此题是四边形综合题，考查了轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．