2022高考数学选填经典题型汇编 题型35 利用切线求解恒成立、零点问题

题型35   利用切线求解恒成立、零点问题

【方法点拨】

1.利用“形”解决恒成立问题（两个均为曲线），可考虑两曲线在公切点处的取值情况；

2.解决零点问题的最常见思路是转化为两函数图象交点问题，而求解图象交点个数常常利用相切作为“临界状态”.

【典型题示例】

例1   若不等式对一切xR恒成立，其中a，bR，e为自然对数的底数，则a＋b的取值范围是       ．

【答案】(－∞，﹣1]

【分析】思路一：直接转化为为最值问题；

思路二：利用“形”， 不等式对一切xR恒成立，即，设，，因为恒过点，故只需开口朝下，且在点与有相同的公切线即可.

【解析一】令，恒成立，显然a≤0，

 ，则，

，

当a＝0时，在(，0)递增，(0，)递减，符合题意，

a＜0时，在(，)递减，(，0)递增，(0，)递减

x＜，，故符合题意，

综上，a≤0，b＝﹣1，因此a＋b(，﹣1]．

【解析二】不等式可化为，

令，

当时，因为恒过点，故只需直线为在点处的切线即可，易得，此时.

当时，因为恒过点，为使对一切xR恒成立，只需开口朝下，且在点与有相同的公切线即可，

故，此时.

综上，a＋b的取值范围是.

例2    已知e为自然对数的底数，函数的图像恒在直线上方，则实数a的取值范围为       ．

【答案】

【解析】依题意，有：，即恒成立，

a＝0时显然成立，

a＞0时，右边为开口向上的抛物线，不可能恒成立，

所以，要使不等式恒成立，需a≤0.

当a＜0时，设，

易知两函数的凸凹性相反，故只需考虑两函数图象有且仅有一个公共点，即有公切线的“临界状态”时的切点坐标.

设公切点为，则，解之得

∴切点为

为使， 只需，故

又a＜0，所以.

综上，实数a的取值范围为．

例3    函数，是自然对数的底数，存在唯一的零点，则实数的取值范围为　　

A．， B． C．， D．

【答案】A

【分析】分离函数，零点问题转化为两函数 与函数图象有唯一一个交点问题，再使用函数的对称性、导数在零点处的值控制其增减速度，即在零点处的导数值满足（1）（1）即可.

【解析】函数，是自然对数的底数，存在唯一的零点等价于：函数 与函数只有唯一一个交点，

（1），（1），

函数 与函数唯一交点为，

又，且，，

在上恒小于零，即在上为单调递减函数，

又 是最小正周期为2，最大值为的正弦函数，

可得函数 与函数的大致图象如下图：

要使函数 与函数只有唯一一个交点，则（1）（1），

（1），（1），，解得，

又，实数的范围为，．故选：．

【巩固训练】

1.设函数 f(x)＝ax2－a－lnx，其中 a∈R，若不等式 f(x)≥1－a 恒成立，则实数 a 的取值范围为       ．

2.已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为

A． B． C． D．

3.设函数，为正实数，若函数有且只有个零点，则的值为       ．

4.若曲线与曲线存在公共切线，则实数 a 的取值范围为       ．

【答案与提示】

1.【答案】

【提示】即ax2≥1+ lnx，相切为下界值.设切点为（x0，1+ lnx0）

则有，解得，故有.

2.【答案】 C．

【提示】分离参数、分类讨论.当时，，而，故（当时，）；当时，，利用相切求得.

3.【答案】1

【解析】 遇含参问题能分离变量则分离. 函数有且只有个零点，意即与的图象只有一个交点，由于 与均过点，所以的零点为.

所以与在点处相切，

故与相等，所以.

4.【答案】

【提示】取对数转化为曲线与直线有交点，临界状态是相切.