山东省新高考质量检测联盟2024届高三第一次质量检测数学试题（A）及参考答案

这是一份山东省新高考质量检测联盟2024届高三第一次质量检测数学试题（A）及参考答案，共14页。试卷主要包含了已知事件A，B满足，，则，随机变量ξ的分布列如表等内容，欢迎下载使用。
2024届高三第一次质量检测数学试题（A）本试卷共4页，22小题，全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡和试卷指定位置上2．作答选择题前，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：（本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1．若曲线在点处的切线与直线垂直，则a的值为（    ）A． B． C． D．12．甲、乙两所学校各有3名志愿者参加一次公益活动，活动结束后，站成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一个学校的两名志愿者不相邻，则不同的站法种数有（    ）A．36 B．72 C．144 D．2883．设，则（    ）A．84 B．56 C．36 D．284．某医院对10名入院人员进行新冠病毒感染筛查，若采用单管检验需检验10次；若采用10合一混管检验，检验结果为阴性则只要检验1次，如果检验结果为阳性，就要再全部进行单管检验．记10合一混管检验次数为ξ，当时，10名人员均为阴性的概率为（    ）A．0.01 B．0.02 C．0.1 D．0.25．某兴趣小组研究光照时长和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉后，下列说法正确的是（    ）A．相关系数r变小  B．决定系数变小C．残差平方和变大  D．解释变量x与预报变量y的相关性变强6．已知事件A，B满足，，则（    ）A．若，则 B．若A与B互斥，则C．若A与B相互独立，则 D．若，则A与B不相互独立7．某人在n次射击中击中目标的次数为X，，其中，击中奇数次为事件A，则（    ）A．若，，则取最大值时B．当时，取得最小值C．当时，随着n的增大而增大D．当时，随着n的增大而减小8．已知函数，，若存在，使得成立，则的最小值为（    ）A． B． C． D．二、多项选择题：（本大题共4小题；每小题4分，共16分．每小题有多个选项符合题目求．全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分）9．“天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌．为了解学生对“天宫课堂”的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据，则（    ） 喜欢天宫课堂不喜欢天宫课堂男生8020女生7030参考公式及数据：①，，②当时，．A．从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率为B．用样本的频率估计概率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率为C．根据小概率值的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联D．对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试，男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，则参加测试的学生成绩的均值为8510．随机变量ξ的分布列如表：其中，下列说法正确的是（    ）012PxA．  B．C．有最大值  D．随y的增大而减小11．设甲袋中有3个红球和4个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，记事件“从甲袋中任取1球是红球”，记事件“从乙袋中任取2球全是白球”，则（    ）A．事件A与事件B相互独立 B．C．  D．12．已知a，，，，则（    ）A．对于任意的实数a，存在b，使得f（x）与g（x）有互相平行的切线B．对于给定的实数，存在a，b，使得成立C．在上的最小值为0，则的最大值为D．存在a，b，使得对于任意恒成立三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．某学校门口现有2辆共享电动单车，8辆共享自行车．现从中一次性随机租用3辆，则恰好有2辆共享自行车被租用的概率为______．14．若，则______．15．某校高二学生的一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩X，记该同学的成绩为事件A，记该同学的成绩为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率______．（结果用分数表示）附参考数据：，；16．若，则实数m最大值为______．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y（单位：cm）与父亲身高x（单位：cm）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：父亲身高160170175185190儿子身高170174175180186（1）根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程，并利用回归直线方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律?（2）记，，其中为预测值，为观测值，为对应的残差．求（1）中儿子身高的残差的和、并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立?若成立加以证明：若不成立说明理由．参考数据及公式：，，，，．18．（12分）已知函数，，其中．（1）讨论方程实数解的个数；（2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围．19．（12分）已知甲箱、乙箱均有6件产品，其中甲箱中有4件正品，2件次品；乙箱中有3件正品，3件次品．（1）现从甲箱中随机抽取两件产品放入乙箱，再从乙箱中随机抽取一件产品，求从乙箱中抽取的这件产品恰好是次品的概率；（2）现需要通过检测将甲箱中的次品找出来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到能将次品全部找出时检测结束，已知每检测一件产品需要费用15元，设X表示能找出甲箱中的所有次品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列与数学期望．20．（12分）已知函数有三个零点．（1）求a的取值范围；（2）设函数的三个零点由小到大依次是，，．证明：． 21．（12分）5G网络是新一轮科技革命最具代表性的技术之一．已知某精密设备制造企业加工5G零件，根据长期检测结果，得知该5G零件设备生产线的产品质量指标值服从正态分布．现从该企业生产的正品中随机抽取100件，测得产品质量指标值的样本数据统计如图．根据大量的产品检测数据．质量指标值样本数据的方差的近似值为100．用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值．已知质量指标值不低于70的样品数为25件．（1）求（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）若质量指标值在内的产品称为优等品，求该企业生产的产品为优等品的概率；（3）已知该企业的5G生产线的质量控制系统由个控制单元组成，每个控制单元正常工作的概率为，各个控制单元之间相互独立，当至少一半以上控制单元正常工作时，该生产线正常运行生产．若再增加1个控制单元，试分析该生产线正常运行概率是否增加?并说明理由．附：，，．22．（12分）已知函数，其中．（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）若存在两个极值点，，的取值范围为，求的取值范围．                  2024届高三第一次质量检测数学试题（A）参考答案及评分标准一、单项选择题：（本大题共8小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）12345678ABACDBCA二、多项选择题：（本大题共4小题；每小题4分，共16分．每小题有多个选项符合题目要求．全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分）9101112BCABCCDABC三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13． 14．240 15． 16．3四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）由题意得，，，，所以回归直线方程为，令得，即时，儿子比父亲高；令得，即时，儿子比父亲矮，可得当父亲身高较高时，儿子平均身高要矮于父亲，即儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋势（意思对即可）（2），，，，，所以，又，所以，结论：对任意具有线性相关关系的变量，证明：．18．解：（1）由可得，，令，，令，可得，当，，函数单调递减，当，，函数单调递增，所以函数在时取得最小值，所以当时，方程无实数解，当时，方程有一个实数解，当时，方程有两个实数解；（2）由题意可知，不等式可化为，，，即当时，恒成立，所以，即，令，，当时，函数与的图象必有一个交点，设交点的横坐标为，则有，即，①若，当时，函数的图象在的上方，所以，在上单调递增，所以，②若，当时， 函数的图象在的下方，，在上单调递减，当，函数的图象在的上方，，在上单调递增，所以，要使当时，不等式恒成立，只需当时，，一方面，令，则在上单调递减，又，所以时，，另一方面，由可得，，令，则在上单调递增，所以当时，，所以时，，综上所述，实数a的取值范围为．19．解：（1）设“从甲箱中抽取的两件产品均为正品”，“从甲箱中抽取的两件产品为一件正品，一件次品”，“从甲箱中抽取的两件产品均为次品”，“从乙箱中抽取的一件产品为次品“，由全概率公式，得．（2）X的所有可能取值为30，45，60，75．则；；；．所以X的分布列为30456075X的数学期望（元）．20．【解析】（1）因为定义域为，又，（ⅰ）当，，单调递减；（ⅱ）当，记，，当，；当，，所以在单调递增，在上单调递减，，又，，所以①当，，单调递减，至多一个零点，与题设矛盾；②当，，由（ⅱ）知，有两个零点，记两零点为m，n，且，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，因为，令，，则，，所以，，∴，，且x趋近0，趋近，x趋近，趋近，所以函数有三零点，综上所述，；（2），这等价于，即，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，由（1）可得，则，，，，所以，，所以，，则满足，，要证，等价于证，易知，令，则，该函数在上单调递减，在上单调递增，下面证明，由，即证，即证，即证即证，，令，，，令，，，所以，所以，，所以，，所以，所以，所以，所以原命题得证．21．解：（1）因为质量指标值不低于70的样品数为25件，所以，所以，因为，所以， 由题意，估计从该企业生产的正品中随机抽取100件的平均数为：，（2）由题意知，样本方差，故，所以产品质量指标值，优等品的概率（3）假设质量控制系统有奇数个控制单元，设，记该生产线正常运行的概率为，若再增加1个元件，则第一类：原系统中至少有个元件正常工作，其正常运行概率为；第二类：原系统中恰好有k个控制单元正常工作，新增1个控制单元正常工作，其正常运行概率为；所以增加一个原件正常运行的概率为，即，因为，所以，即增加1个控制单元设备正常工作的概率变小；假设质量控制系统有偶数个控制单元．设，记该生产线正常运行的概率为，若增加1个元件，则第一类：原系统中至少有上个元件正常工作，其正常运行概率为；第二类：原系统中恰好有个控制单元正常工作，新增1个控制单元正常工作，其正常运行概率为；所以增加一个原件正常运行的概率为，即，因为，所以，即增加1个控制单元设备正常工作的概率变大．22．解：（1）当时，，所以所以，又，所以（2）的定义域是，，，令，则．①当或，即时，恒成立，所以在上单调递增．②当，即时，由，得或；由，得所以在和上单调递增，在上单调递减．综上所述，当时在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减，（3）由（2）当时，有两个极值点，即方程有两个正根，所以，，所以在上是减函数．所以，则，令，则，，所以在上单调递减，又，，所以，由，，又，上单调递减，所以且，所实数的取值范围为．