2023年山东省临沂市中考数学试卷附解析

这是一份2023年山东省临沂市中考数学试卷附解析，共29页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年山东省临沂市中考数学试卷附解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）计算（﹣7）﹣（﹣5）的结果是（　　）
A．﹣12 B．12 C．﹣2 D．2
2．（3分）如图中用量角器测得∠ABC的度数是（　　）

A．50° B．80° C．130° D．150°
3．（3分）如图是我国某一古建筑的主视图，最符合视图特点的建筑物的图片是（　　）

A．
B．
C．
D．
4．（3分）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣6，2），则点B的坐标为（　　）

A．（6，2） B．（﹣6，﹣2） C．（2，6） D．（2，﹣6）
5．（3分）在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂线m，再过P作m的垂线n，则直线l与n的位置关系是（　　）
A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定
6．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．3a﹣2a＝1 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（a5）2＝a7 D．3a3•2a2＝6a5
7．（3分）将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（　　）
A．60° B．90° C．180° D．360°
8．（3分）设m＝5﹣，则实数m所在的范围是（　　）
A．m＜﹣5 B．﹣5＜m＜﹣4 C．﹣4＜m＜﹣3 D．m＞﹣3
9．（3分）在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目．一段工程施工需要运送土石方总量为105m3，设土石方日平均运送量为V（单位：m3/天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（　　）
A．反比例函数关系 B．正比例函数关系
C．一次函数关系 D．二次函数关系
11．（3分）对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（　　）

A．k＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．k＝﹣b
12．（3分）在实数a，b，c中，若a+b＝0，b﹣c＞c﹣a＞0，则下列结论：①|a|＞|b|，②a＞0，③b＜0，④c＜0，正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为 　 　．
14．（3分）观察下列式子：
1×3+1＝22；
2×4+1＝32；
3×5+1＝42；
…
按照上述规律，　 　＝n2．
15．（3分）如图，三角形纸片ABC中，AC＝6，BC＝9，分别沿与BC，AC平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是 　 　．

16．（3分）小明利用学习函数获得的经验研究函数y＝x2+的性质，得到如下结论：
①当x＜﹣1时，x越小，函数值越小；
②当﹣1＜x＜0时，x越大，函数值越小；
③当0＜x＜1时，x越小，函数值越大；
④当x＞1时，x越大，函数值越大．
其中正确的是 　 　（只填写序号）．
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
17．（12分）（1）解不等式5﹣2x＜，并在数轴上表示解集；
（2）下面是某同学计算﹣a﹣1的解题过程：
解：﹣a﹣1
＝﹣…①
＝…②
＝…③
＝＝1…④
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．




18．（8分）某中学九年级共有600名学生，从中随机抽取了20名学生进行信息技术操作测试，测试成绩（单位：分）如下：
81 90 82 89 99 95 91 83 92 93
87 92 94 88 92 87 100 86 85 96
（1）请按组距为5将数据分组，列出频数分布表，画出频数分布直方图；
频数分布表
成绩分组
　 　
　 　
　 　
　 　
划记
　 　
　 　
　 　
　 　
频数
　 　
　 　
　 　
　 　

（2）①这组数据的中位数是 　 　；
②分析数据分布的情况（写出一条即可） 　 　；
（3）若85分以上（不含85分）成绩为优秀等次，请预估该校九年级学生在同等难度的信息技术操作考试中达到优秀等次的人数．




19．（8分）如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？
（参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin58°≈0.848，cos58°≈0.530，tan58°≈1.6）




20．（10分）大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金．当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金．
（1）这台M型平板电脑价值多少元？
（2）小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？







21．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，AB＝AC，AE∥BC，E为BD的延长线与AE的交点．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝75°，BC＝2，求的长．




22．（12分）如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB+BD．
（1）写出AB与BD的数量关系．
（2）延长BC到E，使CE＝BC，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF．求证：EF⊥AB．
（3）在（2）的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH．







23．（12分）综合与实践：
问题情境
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：

数据整理：
（1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价（元/盆）
　 　
　 　
　 　
　 　
　 　
日销售量（盆）
　 　
　 　
　 　
　 　
　 　
模型建立
（2）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系．
拓广应用
（3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？

2023年山东省临沂市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）计算（﹣7）﹣（﹣5）的结果是（　　）
A．﹣12 B．12 C．﹣2 D．2
【答案】C
【分析】利用有理数的减法法则运算即可．
【解答】解：原式＝（﹣7）+5
＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键．
2．（3分）如图中用量角器测得∠ABC的度数是（　　）

A．50° B．80° C．130° D．150°
【答案】C
【分析】本题根据∠ABC的位置和量角器的使用方法可得出答案．
【解答】解：根据∠ABC起始位置BA，另一条边BC可得：∠ABC＝130°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了学生量角器的使用方法，结合∠ABC的位置进行思考是解题关键．
3．（3分）如图是我国某一古建筑的主视图，最符合视图特点的建筑物的图片是（　　）

A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的图形，可得答案．
【解答】解：根据圆锥的主视图是等腰三角形，圆台的主视图是等腰梯形，可知最符合视图特点的建筑物的图片是B．
故选：B．
【点评】本题考查由三视图判断几何体，理解视图的意义是正确判断的前提．
4．（3分）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣6，2），则点B的坐标为（　　）

A．（6，2） B．（﹣6，﹣2） C．（2，6） D．（2，﹣6）
【答案】A
【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此可得答案．
【解答】解：若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（﹣6，2），则点B的坐标为（6，2）．
故选：A．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
5．（3分）在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂线m，再过P作m的垂线n，则直线l与n的位置关系是（　　）
A．相交 B．相交且垂直 C．平行 D．不能确定
【答案】C
【分析】根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，即可得出答案．
【解答】解：∵l⊥m，n⊥m，
∴l∥n．
故选：C．
【点评】本题考查了垂线和平行线，熟练掌握同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行是关键．
6．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．3a﹣2a＝1 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（a5）2＝a7 D．3a3•2a2＝6a5
【答案】D
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘单项式的法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、3a﹣2a＝a，故A不符合题意；
B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故B不符合题意；
C、（a5）2＝a10，故C不符合题意；
D、3a3•2a2＝6a5，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7．（3分）将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（　　）
A．60° B．90° C．180° D．360°
【答案】B
【分析】求出正六边形的中心角的度数，再根据中心角的整数倍进行判断即可．
【解答】解：由于正六边形的中心角为＝60°，
所以正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角可以为60°或60°的整数倍，即可以为60°，120°，180°，240°，300°，360°，不可能是90°，
故选：B．
【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质以及正多边形中心角的计算方法是解决问题的关键．
8．（3分）设m＝5﹣，则实数m所在的范围是（　　）
A．m＜﹣5 B．﹣5＜m＜﹣4 C．﹣4＜m＜﹣3 D．m＞﹣3
【答案】B
【分析】将原式进行化简后判断其在哪两个连续整数之间即可．
【解答】解：m＝5﹣
＝﹣3
＝﹣3
＝﹣2
＝﹣，
∵16＜20＜25，
∴＜＜，
即4＜＜5，
那么﹣5＜﹣＜﹣4，
则﹣5＜m＜﹣4，
故选：B．
【点评】本题考查无理数的估算，将原式计算后得出结果为﹣是解题的关键．
9．（3分）在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出所选的学生恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
10．（3分）正在建设中的临滕高速是我省“十四五”重点建设项目．一段工程施工需要运送土石方总量为105m3，设土石方日平均运送量为V（单位：m3/天），完成运送任务所需要的时间为t（单位：天），则V与t满足（　　）
A．反比例函数关系 B．正比例函数关系
C．一次函数关系 D．二次函数关系
【答案】A
【分析】列出V与t的关系式，根据反比例函数的定义可得答案．
【解答】解：根据题意得：Vt＝105，
∴V＝，V与t满足反比例函数关系；
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握反比例函数的定义．
11．（3分）对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（　　）

A．k＞0 B．kb＜0 C．k+b＞0 D．k＝﹣b
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征判断即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第二象限，
∴b＜0，
又∵函数图象经过点（2，0），
∴图象经过第一、三、四象限，
∴k＞0，k＝﹣b，
∴kb＜0，
∴错误的是k+b＞0．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式y＝kx+b中，k与b对函数图象的影响是解题的关键．
12．（3分）在实数a，b，c中，若a+b＝0，b﹣c＞c﹣a＞0，则下列结论：①|a|＞|b|，②a＞0，③b＜0，④c＜0，正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】利用绝对值的意义，相反数的意义和不等式的性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵a+b＝0，b﹣c＞c﹣a＞0，
∴2c＜a+b＝0，
∴c＜0．
∵c﹣a＞0，
∴c＞a，
∴a＜0，
∵a+b＝0，
∴b＝﹣a＞0，
∴a，b互为相反数，
∴|a|＝|b|，
综上，正确的结论有：④，
∴正确的个数有一个．
故选：A．
【点评】本题主要考查了实数大小的半径，绝对值的意义，不等式的性质，正数与负数，相反数的意义，正确掌握上述法则与性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为 　24　．
【答案】24．
【分析】由菱形的性质得到AC⊥BD，由△DAC的面积＝AC•OD，△BAC的面积＝AC•OB，得到菱形ABCD的面积＝AC•（OD+OB）＝AC•BD，即可求出菱形的面积．
【解答】解：如图：菱形ABCD中AC＝8，BD＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴△DAC的面积＝AC•OD，△BAC的面积＝AC•OB，
∴菱形ABCD的面积＝△DAC的面积+△BAC的面积＝AC•（OD+OB）＝AC•BD＝×8×6＝24．
故答案为：24．

【点评】本题考查菱形的性质，三角形的面积，关键是由三角形面积公式，得到菱形ABCD的面积＝AC•BD．
14．（3分）观察下列式子：
1×3+1＝22；
2×4+1＝32；
3×5+1＝42；
…
按照上述规律，　（n﹣1）（n+1）+1　＝n2．
【答案】（n﹣1）（n+1）+1．
【分析】根据数字的变化规律，写出第（n﹣1）个等式即可．
【解答】解：观察下列式子：
1×3+1＝22；
2×4+1＝32；
3×5+1＝42；
…；
按照上述规律，（n﹣1）（n+1）+1＝n2．
故答案为：（n﹣1）（n+1）+1．
【点评】本题考查了数字的变化，根据数字的变化找出其规律是解本题的关键．
15．（3分）如图，三角形纸片ABC中，AC＝6，BC＝9，分别沿与BC，AC平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是 　14　．

【答案】14．
【分析】根据DE∥BC，DF∥AC，可得四边形DECF为平行四边形，△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，所以＝＝，＝＝，因为AC＝6，BC＝9，所以DE＝3，DF＝4，即可得出答案．
【解答】解：如图，

∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DECF为平行四边形，△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，
∴＝＝，＝＝，
∵AC＝6，BC＝9，
∴DE＝3，DF＝4，
∴平行四边形纸片的周长是2×（3+4）＝14．
故答案为：14．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，掌握相似三角形的判定和性质．
16．（3分）小明利用学习函数获得的经验研究函数y＝x2+的性质，得到如下结论：
①当x＜﹣1时，x越小，函数值越小；
②当﹣1＜x＜0时，x越大，函数值越小；
③当0＜x＜1时，x越小，函数值越大；
④当x＞1时，x越大，函数值越大．
其中正确的是 　②③④　（只填写序号）．
【答案】②③④．
【分析】由题意，利用导数的性质分析y＝x2+的增减性即可得解．
【解答】解：由题意，
∵y＝x2+，
∴y'＝2x﹣＝．
令y'＝0，
∴2x3﹣2＝0．
∴x＝1．
∴当x＜0或0＜x＜1时，y'＜0，则此时y随x增大而减小；
又当x≥1时，y'≥0，则此时y随x增大而增大．
∴当x＜﹣1时，x越小，函数值越大，故①错误．
当﹣1＜x＜0时，x越大，函数值越小，故②正确．
当0＜x＜1时，x越小，函数值越大，故③正确．
当x＞1时，x越大，函数值越大，故④正确．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了探究函数的增减性问题，解题时需要灵活运用方法是关键．
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
17．（12分）（1）解不等式5﹣2x＜，并在数轴上表示解集；
（2）下面是某同学计算﹣a﹣1的解题过程：
解：﹣a﹣1
＝﹣…①
＝…②
＝…③
＝＝1…④
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．
【答案】（1）x＞3，解集在数轴上表示见解答；
（2）上述解题过程从第①步开始出现错误，正确的解题过程见解答．
【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答；
（2）利用异分母分式的加减法法则，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）5﹣2x＜，
2（5﹣2x）＜1﹣x，
10﹣4x＜1﹣x，
﹣4x+x＜1﹣10，
﹣3x＜﹣9，
x＞3，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：

（2）上述解题过程从第①步开始出现错误，
正确的解题过程如下：
﹣a﹣1
＝﹣（a+1）
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，分式的加减法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（8分）某中学九年级共有600名学生，从中随机抽取了20名学生进行信息技术操作测试，测试成绩（单位：分）如下：
81 90 82 89 99 95 91 83 92 93
87 92 94 88 92 87 100 86 85 96
（1）请按组距为5将数据分组，列出频数分布表，画出频数分布直方图；
频数分布表
成绩分组
　80＜x≤85　
　85＜x≤90　
　90＜x≤95　
　95＜x≤100　
划记
　　
　　
　　
　　
频数
　4　
　6　
　7　
　3　

（2）①这组数据的中位数是 　90.5　；
②分析数据分布的情况（写出一条即可） 　成绩在90＜x≤95的人数最多　；
（3）若85分以上（不含85分）成绩为优秀等次，请预估该校九年级学生在同等难度的信息技术操作考试中达到优秀等次的人数．
【答案】（1）详见解答；
（2）①90.5；②成绩在90≤x＜95的人数最多；
（3）480．
【分析】（1）根据频数分布直方图的画法画出相应的条形统计图即可；
（2）①根据中位数的定义，计算出排序后第10、11两个数的平均数即可；
②根据频数分布直方图可得答案；
（3）求出样本中“优秀”所占的百分比，进而估计总体中“优秀”所占的百分比，再根据频率＝进行计算即可．
【解答】解：（1）画出频数分布直方图如下：
（2）①将这20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝90.5，因此中位数是90.5，
故答案为：90.5；
②从频数分布直方图可知：成绩在90≤x＜95的人数最多，
故答案为：成绩在90＜x≤95的人数最多；
（3）600×＝480（人），
答：该校九年级600名学生中，测试成绩达到优秀等次的人数大约为480人．

【点评】本题考查频数分布直方图，频数分布表，中位数，理解中位数的定义，掌握频数分布直方图的绘制方法是正确解答的前提．
19．（8分）如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？
（参考数据：sin32°≈0.530，cos32°≈0.848，tan32°≈0.625，sin58°≈0.848，cos58°≈0.530，tan58°≈1.6）

【答案】如果船不改变航线继续向西航行，没有触礁危险．
【分析】根据题意画出图形，作AC⊥BC，设AC＝x，根据等腰直角三角形的性质用x表示出BC，根据正切的定义用x表示出CD，结合图形列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，
设AD＝x海里，
由题意得，∠ABD＝32°，∠ACD＝45°，BC＝6海里，
在Rt△ACD中，∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴AD＝CD＝x海里，
在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，
∴BD＝≈＝6+x，
解得，x＝10，
∵10＞9，
∴如果船不改变航线继续向西航行，没有触礁危险．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
20．（10分）大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金．当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金．
（1）这台M型平板电脑价值多少元？
（2）小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？
【答案】（1）这台M型平板电脑价值2100元；
（2）若工作m天，她应获得的报酬为120m元．
【分析】（1）设这台M型平板电脑价值x元，根据题意列出方程求解即可；
（2）根据（1）可求出工作一个月的报酬（现金），再根据工作m天列出代数式即可．
【解答】解：（1）设这台M型平板电脑价值x元，
根据题意得：（x+1500）＝x+300，
解得：x＝2100，
∴这台M型平板电脑价值2100元；
（2）由（1）知，一台M型平板电脑价值2100元，
∴工作一个月，她应获得的报酬为2100+1500＝3600（元），
∴若工作m天，她应获得的报酬为＝120m（元）．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用、列代数式，理解题意，找准题中所蕴含的等量关系列出方程和代数式是解题关键．
21．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，AB＝AC，AE∥BC，E为BD的延长线与AE的交点．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠ABC＝75°，BC＝2，求的长．

【答案】（1）证明见解答；
（2）的长是．
【分析】（1）连接并延长AO交BC于点F，连接OC，则∠OAB＝，∠OAC＝，由AB＝AC得∠ACB＝∠ABC，则∠AOB＝∠AOC，即可证明∠OAB＝∠OAC，所以AF⊥BC，由AE∥BC，得∠OAE＝∠AFB＝90°，即可证明AE是⊙O的切线；
（2）由∠ACB＝∠ABC＝75°，得∠BAC＝30°，则∠BOC＝2∠BAC＝60°，所以△BOC是等边三角形，∠COD＝180°﹣∠BOC＝120°，则OC＝BC＝2，即可根据弧长公式求得的长是．
【解答】（1）证明：连接并延长AO交BC于点F，连接OC，则OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA＝，∠OAC＝∠OCA＝，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵∠AOB＝2∠ACB，∠AOC＝2∠ABC，
∴∠AOB＝∠AOC，
∴＝，
∴∠OAB＝∠OAC，
∴AF⊥BC，
∵AE∥BC，
∴∠OAE＝∠AFB＝90°，
∴OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠ACB＝∠ABC＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，
∴△BOC是等边三角形，∠COD＝180°﹣∠BOC＝120°，
∴OC＝BC＝2，
∴＝＝，
∴的长是．

【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、平行线的性质、切线的判定定理、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、弧长公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
22．（12分）如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB+BD．
（1）写出AB与BD的数量关系．
（2）延长BC到E，使CE＝BC，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF．求证：EF⊥AB．
（3）在（2）的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH．

【答案】（1）结论：AB＝（+1）BD．理由见解析部分；
（2）（3）证明见解析部分．
【分析】（1）结论：AB＝（+1）BD．在BC上取一点T，使得BT＝BD，连接DT，AT．设AB＝AC＝a，则BC＝a．证明CA＝CT，可得结论；
（2）证明△BCD≌△ECF（SAS），推出∠CBD＝∠E＝45°，BD＝EF，可得BD∥EF，可得结论；
（3）延长CH交EF的延长线于点J．证明△ACH≌△FJH（AAS），可得结论．
【解答】（1）解：结论：AB＝（+1）BD．

理由：在BC上取一点T，使得BT＝BD，连接DT，AT．设AB＝AC＝a，则BC＝a．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∴∠DBT＝45°，
∵BD＝BT，
∴∠BDT＝∠BTD＝67.5°，
∵BC＝AB+BD＝AC+BD＝BT+AC，
∴CT＝CA＝a，
∴BD＝BT＝BC﹣CT＝a﹣a，
∴＝＝+1，
∴AB＝（+1）BD；

（2）证明：如图2中，

在△BCD和△ECF中，
，
∴△BCD≌△ECF（SAS），
∴∠CBD＝∠E＝45°，BD＝EF，
∴BD∥EF，
∵BD⊥AB，
∴EF⊥AB；

（3）证明：延长CH交EF的延长线于点J．

∵∠ACE＝180°﹣∠ACB＝135°，CH平分∠ACE，
∴∠ACH＝∠ECH＝67.5°，
∵∠ACB＝∠E＝45°，
∴AC∥EJ，
∴∠J＝∠ACH＝∠ECJ＝67.5°，
∴CE＝EJ＝CB，
∵BC＝BD+AB，EJ＝EF+FJ，
∴FJ＝AB＝AC，
∵∠AHC＝∠FHJ，∠ACH＝∠J，
∴△ACH≌△FJH（AAS），
∴AH＝FH．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
23．（12分）综合与实践：
问题情境
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：

数据整理：
（1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
售价（元/盆）
　18　
　20　
　22　
　26　
　30　
日销售量（盆）
　54　
　50　
　46　
　38　
　30　
模型建立
（2）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系．
拓广应用
（3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
【答案】（1）18，54；20，50；22，46；26，38；30，30；
（2）y＝﹣2x+90；
（3）①要想每天获得400元的利润，定价为25元或35元；
②售价定为30元时，每天能够获得最大利润450元．
【分析】（1）根据销售单价从小到大排列即可；
（2）设销售量为y盆，售价为x元，y＝kx+b，用待定系数法可得y＝﹣2x+90；
（3）①根据每天获得400元的利润，列方程可得答案；
②设每天获得的利润为w元，得：w＝（x﹣15）（﹣2x+90）＝﹣2x2+120x﹣1350＝﹣2（x﹣30）2+450，由二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）根据销售单价从小到大排列得下表：
售价（元/盆）
18
20
22
26
30
日销售量（盆）
54
50
46
38
30
故答案为：18，54；20，50；22，46；26，38；30，30；
（2）观察表格可知销售量是售价的一次函数；
设销售量为y盆，售价为x元，y＝kx+b，
把（18，54），（20，50）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣2x+90；
（3）①∵每天获得400元的利润，
∴（x﹣15）（﹣2x+90）＝400，
解得x＝25或x＝35，
∴要想每天获得400元的利润，定价为25元或35元；
②设每天获得的利润为w元，
根据题意得：w＝（x﹣15）（﹣2x+90）＝﹣2x2+120x﹣1350＝﹣2（x﹣30）2+450，
∵﹣2＜0，
∴当x＝30时，w取最大值450，
∴售价定为30元时，每天能够获得最大利润450元．
【点评】本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．