河北省张家口市宣化第一中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含答案

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期中考试数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 设全集2，3，4，，集合3，，，则

A.  B. 2，
C. 2，3，4， D.

2. 命题：“，”的否定是

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3. 设，则“”是“”的

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

4. 下列集合中不是空集的是

A.  B. 且
C.  D.

5. 下列各组函数为同一函数的是

A. ， B. ，
C. ， D.

6. 下列各函数在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是

A.  B.  C.  D.

7. 下列命题中，正确的是

A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，则

8. 已知集合，且，则a等于

A.  B.  C. 3 D. 或

9. 已知，则函数的解析式为

A.  B.
C.  D.

10. 若两个正实数x，y满足 ，且不等式 有解，则实数m的取值范围

A.  B.
C.  D.

11. 若，，且，则的值等于

A.  B. 2或 C. 2 D.

12. 已知函数为R上的奇函数，当时，，则的解集为

A. ， B.
C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若函数在处取最小值，则______．
14. 已知是偶函数，且时，，若，则的值是______．
15. 已知函数，则______．
16. 已知函数对任意的，有，设函数，且在区间上单调递增．若，则实数a的取值范围为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知全集，集合，．
    求和；
    求；
    定义，且，求，．
    
    
    
    
    
    
     
18. 分别计算下列数值
    ；
    已知，，求．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知函数．
    求的定义域；
    判断函数的奇偶性；
    证明：当时，．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知函数．
    Ⅰ当时，恒成立，求实数a的取值范围；
    Ⅱ若对一切，恒成立，求实数x的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
21. 近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费单位：万元与太阳能电池板的面积单位：平方米成正比，比例系数约为为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费单位：万元与安装的这种太阳能电池板的面积单位：平方米之间的函数关系是k为常数记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．
    试解释的实际意义，并建立F关于x的函数关系式；
    当x为多少平方米时，F取得最小值？最小值是多少万元？
    
    
    
    
    
    
     
22. 设函数是定义域R的奇函数．
    求k值；
    若，试判断函数单调性并求使不等式在定义域上恒成立的t的取值范围；
    若，且在上最小值为，求m的值．
     

2020-2021学年上学期宣化一中高一年级

期中考试数学试卷答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：
2，．
故选：B．
先求出，再由集合的并运算求出．
本题考查集合的运算，解题时要结合题设条件，仔细分析，耐心求解．
2.【答案】A
 

【解析】解：根据特称命题的否定是全称命题得命题：“，”的否定是：
，，
故选：A
根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3.【答案】A
 

【解析】解：由得或，
则“”是“”的充分不必要条件，
故选：A
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据方程根之间的关系是解决本题的关键．
4.【答案】A
 

【解析】解：A有一个元素0，
B空集，
C，，，无解，空集
D，，故空集，
故选：A．
根据选项求出不等式的解集，判断即可
本题考查空集的定义，不等式的运算，基础题．
5.【答案】C
 

【解析】解：对于A，，与的定义域不同，不是同一函数；
对于B，，与的定义域不同，不是同一函数；
对于C，，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于D，，与的定义域不同，不是同一函数．
故选：C．
根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，这样的两个函数是同一函数；进行判断即可．
本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，只需判断它们的定义域是否相同，对应关系是否也相同，是基础题．
6.【答案】A
 

【解析】解：结合幂函数的性质可知，为奇函数且在R上单调递减，符合题意；
在定义域上不单调，不符合  题意；
为奇函数，但是在定义域R上不单调，不符合题意；
为非奇非偶函数，不符合．
故选：A．
结合函数奇偶性及单调性的定义对各选项进行判断即可．
本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础试题．
7.【答案】C
 

【解析】解：令，，，，显然A、D不成立，
对于B：若，显然不成立，
对于C：由，得：，故C正确，
故选：C．
根据特殊值法判断A、D，根据不等式的性质判断B，C即可．
本题考查了不等式的性质，考查特殊值法的应用，是一道基础题．
8.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查元素与集合的关系，以及集合元素的互异性，属于基础题．
根据元素与集合的关系分情况讨论，结合集合元素的互异性，即可求出结果．

【解答】
解：集合，且，
当时，，
，
此时集合，不满足集合元素的互异性，故不符合题意，舍去；
当时，或，
若，则，此时集合，不满足集合元素的互异性，故不符合题意，舍去，
若，则，此时集合，符合题意，
综上所述，，
故选：B．
9.【答案】A
 

【解析】解：，
设，，则，
，，
函数的解析式为．
故选：A．
设，，则，从而，，由此能求出函数的解析式．
本题考查函数的解析式的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
10.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．对于不等式的有解问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．属于中档题．
将不等式有解，转化为求，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案．
【解答】

解：不等式有解，
，
，，且，
，
当且仅当，即，时取“”，
，
故，即，
解得或，
实数m的取值范围是．
故选：B．

11.【答案】C
 

【解析】解：，
，
，
，
，，
，
．
故选：C．
由，知，故，所以，由，，知，由此能求出的值．
本题考查有理数指数幂的运算性质，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
12.【答案】C
 

【解析】解：因为函数为R上的奇函数，当时，，
当时，，则，
所以时，，，
则由可得，或，或，
解可得或或．
综上可得，不等式的解集为．
故选：C．
先根据已知奇函数的性质可求时函数的解析式，然后结合指数函数的单调性即可求解．
本题主要考查了利用奇函数的定义求解函数解析式，解不等式，属于函数性质的综合应用．
13.【答案】3
 

【解析】解：
当时，即时等号成立．
处取最小值，

故答案为：3
将化成，使，然后利用基本不等式可求出最小值，注意等号成立的条件，可求出a的值．
本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，注意“一正、二定、三相等”，属于基础题．
14.【答案】6
 

【解析】解：根据题意，是偶函数，且时，，
若，则，则，
则有时，，则，
又由是偶函数，则；
故答案为：6
根据题意，由函数的奇偶性解析式分析可得，解可得，即可得函数在的解析式，据此结合函数的奇偶性分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是求出函数的解析式，属于基础题．
15.【答案】2
 

【解析】解：函数，
．
故答案为：2．
推导出，由此能求出结果．
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】
 

【解析】解：因为函数对任意的，有，
由，可得，
即，
所以为奇函数，
又在区间上单调递增．根据奇函数的对称性可知，在R上单调递增，
若，则，
所以，
解可得．
故答案为
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．
17.【答案】解：集合，，
，，
或，
定义，且，
，
．
 

【解析】本题考查的知识点是交，并，补的混合运算，熟练掌握集合的运算规则是解答的关键，属于基础题．
根据集合交集、并集、补集的运算法则，代入计算可得答案；
根据新定义即可求出答案．
18.【答案】解原式；
因为，
所以，因为，所以，
所以，
又因为，所以 ，
所以．
 

【解析】利用指数幂的运算性质即可得出．
先利用已知条件求出，所以，又因为，所以 ，从而求出结果．
本题考查了指数幂的运算性质，属于中档题．
19.【答案】解：由，可得，的定义域是；
解：，
，函数是奇函数；
证明：当时，，．
 

【解析】由分母不为0，可得的定义域；
利用奇函数的定义，判断函数的奇偶性；
当时，，即可证明．
本题考查函数的定义域，奇偶性的判断，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20.【答案】解：Ⅰ，
对恒成立，即对恒成立，
令，
，
的对称轴为，
根据对称轴与区间的位置关系，分以下三种情况讨论：
当，即时，
在上单调递增，
，
，
无解；
当时，即时，
在上单调递减，
，
，解得，
实数a的取值范围为；
当，即时，
，
，解得，
实数a的取值范围为．
综合可得，实数a的取值范围是；
Ⅱ 对一切恒成立，且，
对一切恒成立，
令，
要使在区间恒成立，
则，即，解得或，
实数x的取值范围是．
 

【解析】Ⅰ对恒成立，令，即求，根据二次函数的对称轴为与区间的位置关系，可以分成三种情况讨论，利用开口向上的二次函数离对称轴越近函数值越小，即可得到，从而得到实数a的取值范围；
Ⅱ对一切恒成立，即对一切恒成立，令，利用一次函数的性质，列出关于x的不等关系式组，求解不等式组，即可得到实数x的取值范围．
本题考查了函数的恒成立问题，二次函数在闭区间上的最值问题．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．本题选用了最值法求解，即求二次函数的最值．二次函数在闭区间上的最值，要注意数形结合的应用，注意抓住二次函数的开口方向，对称轴与区间的位置关系进行求解．属于中档题．
21.【答案】解：的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，
即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费分
由，得 分
所以，分
因为，分
当且仅当，即时取等号 分
所以当x为55平方米时，F取得最小值为万元分
 

【解析】的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，依题意，，可求得k，从而得到F关于x的函数关系式；
利用基本不等式即可求得F取得的最小值及F取得最小值时x的值．
本题考查函数最值的应用，着重考查分析与理解能力，考查基本不等式的应用，属于难题．
22.【答案】解：是定义域为R的奇函数，，分
，分
函数且，
，，又，
分
由于单调递增，单调递减，故在R上单调递增．
不等式化为．
，即 恒成立，分
，解得分
，，即，，或舍去分
．
令，由可知，故，显然是增函数．
，，
令 分
若，当时，，分
若，当时，，解得，舍去分
综上可知分
 

【解析】根据奇函数的性质可得，由此求得k值．
由且，，求得，在R上单调递增，不等式化为，，即 恒成立，由求得t的取值范围．
由求得a的值，可得的解析式，令，可知为增函数，，令，，分类讨论求出的最小值，再由最小值等于，求得m的值．
本题考查函数的单调性、奇偶性，考查恒成立问题，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．