河南省焦作市2022-2023学年高二下学期期末数学试题

焦作市普通高中2022—2023学年（下）高二年级期末考试

数学

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．若复数，则（    ）

A．0 B．1 C． D．2

3．已知向量，，若，则实数m＝（    ）

A．－5 B．5 C． D．

4．已知等比数列中，，，则（    ）

A．16 B．4 C．2 D．1

5．已知抛物线C：的焦点为F，A是C上一点，O为坐标原点，若，则△AOF的面积为（    ）

A． B．3 C． D．6

6．已知角满足，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数的图象的一个对称中心的横坐标在区间内，且两个相邻对称中心之间的距离大于，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数存在零点a，函数存在零点b，且，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．2014—2022年（2022年为上半年）中国国内生产总值（GDP）统计如下，且已知2022年全年中国国内生产总值（GDP）为121.01万亿元，则下列结论中正确的是（    ）

A．2022年下半年中国GDP为64.75万亿元

B．2022年中国GDP大于2014年与2015年的GDP之和

C．2014—2021年中国GDP同比增长率超过10%的有2017年、2018年、2021年

D．2014—2021年中国GDP同比增长最快的是2021年

10．已知函数，则下列结论中正确的是（    ）

A．当时，是R上的增函数

B．当时，直线y＝a与的图象没有公共点

C．当时，的单调递减区间为

D．当有一个极值点为0时，的极大值为

11．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，P，Q为C上的动点，的最大值为6，则下列结论中正确的是（    ）

A．椭圆C的短轴长为

B．当P，Q分别在x轴的上方和下方时四边形的周长的取值范围是

C．存在四个不同的点P，使得

D．若为锐角三角形，则点P横坐标的取值范围是

12．如图，在三棱柱中，AB⊥BC，平面ABC，BC＝2，三棱锥的外接球O的表面积为，记直线AC与所成的角为，直线与平面ABC所成的角为，则下列结论中正确的是（    ）

A．  B．三棱柱的体积的最大值为6

C．球心O到平面的距离为 D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若的展开式中的系数为15，则实数a＝______．

14．某足球队共有30名球员练习点球，其中前锋6人，中场16人，后卫8人．若前锋点球进门的概率均是0.9，中场点球进门的概率均是0.8，后卫点球进门的概率均是0.7，则任选一名球员点球进门的概率是______．（结果保留两位小数）

15．已知函数的定义域为R，是偶函数，当时，，则不等式的解集为______．

16．已知在四面体P－ABC中，PA＝PB＝PC＝BC＝6，，则该四面体外接球的体积为______．

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知在等差数列中，，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）若是等比数列，且，，求数列的前n项和．

18．（12分）

已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（Ⅰ）求C；

（Ⅱ）若c＝2，△ABC的面积为，求证：△ABC是正三角形．

19．（12分）

如图，在长方体中，，AD＝8，交于点O．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求直线AB与平面所成角的正弦值．

20．（12分）

2023年5月15日至21日是第二个全国家庭教育宣传周，为进一步促进家校共育，某校举行“家教伴成长，协同育新人”主题活动，最终评出了8位“最美家长”，其中有6位妈妈，2位爸爸，学校准备从这8位“最美家长”中每次随机选出一人做家庭教育经验分享．

（Ⅰ）若每位“最美家长”最多做一次家庭教育经验分享，记第一次抽到妈妈为事件A，第二次抽到爸爸为事件B，求和；

（Ⅱ）现需要每天从这8位“最美家长”中随机选1人，连续4天分别为低年级、中年级、高年级和全体教师各做1场经验分享，1天只做1场，且人选可以重复，记这4天中爸爸做经验分享的天数为X，求X的分布列和数学期望．

21．（12分）

已知函数．

（Ⅰ）证明：在上单调递减；

（Ⅱ）若函数（为的导函数），且单调递增，求实数a的取值范围．

22．（12分）

已知点在双曲线C：上，过C的右焦点F的动直线l与C交于A，B两点．

（Ⅰ）若点，分别为C的左、右顶点，Q为C上异于，的点，求（k表示斜率）的值；

（Ⅱ）证明以AB为直径的圆恒过x轴上的定点，并求该定点的坐标．

焦作市普通高中2022—2023学年（下）高二年级期末考试

数学·答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．

1．A  2．B  3．D  4．C  5．A  6．C

7．B  8．D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．ACD   10．ABC  11．AD   12．BD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．或1   14．0.79   15．  16．

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解析  （Ⅰ）设的公差为d．

由得解得

所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，

则，．

因为是等比数列，所以公比为，

所以，所以．

所以．

18．解析  （Ⅰ）由及正弦定理得，

所以，

所以，

所以．

因为，所以，所以．

因为，所以．

（Ⅱ）因为，所以ab＝4．

由余弦定理可得，所以，即，

所以a＋b＝4，所以a＝b＝2，所以a＝b＝c，

所以△ABC是正三角形．

19．解析  （Ⅰ）如图，连接，BD．

因为且，

所以四边形为平行四边形，所以．

又平面，平面，

所以平面．

同理可证，平面．

又，，平面，所以平面平面，

又平面，所以平面．

（Ⅱ）以A为坐标原点，直线AB，AD，分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，．

设平面的法向量为．

由得

令y＝1，得平面的一个法向量为．

设直线AB与平面所成的角为，

则，

故直线AB与平面所成角的正弦值为．

20．解析  （Ⅰ）根据题意可知，，

．

（Ⅱ）爸爸做经验分享的天数X的所有可能取值为0，1，2，3，4，且，

故，，，，，

故X的分布列为：

根据二项分布的期望公式可知，．

21．解析  （Ⅰ）由题可知的定义域为，．

令，则，．

令，得，令，得．

故在上单调递增，在上单调递减，

故．

所以对任意恒成立，

所以在上单调递减．

（Ⅱ）由题可知，

则．

因为单调递增，所以，

即．

令，

则，．

当时，，此时单调递增，

当时，，此时单调递减，

所以，则，解得．

所以a的取值范围为．

22．解析  （Ⅰ）∵点在双曲线C：上

∴，解得，

∴双曲线C的方程为，则，．

设Q点坐标为，则，，

∴．

∵点Q在双曲线C上，∴，

∴．

（Ⅱ）设以AB为直径的圆与x轴的交点为．

由（Ⅰ）可知双曲线的右焦点F为．

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，，

∵，∴，

整理得到①．

由消去y可得．

∵直线l与双曲线C有两个不同的交点，

∴且，

∴．

由题设有①对任意的总成立，

∵，，

∴①可转化为，

整理得到对任意的总成立，

故解得，即点M的坐标为．

当直线l的斜率不存在时，l：x＝2，

此时，或，，

则，即M在以AB为直径的圆上．

综上，以AB为直径的圆恒过x轴上的定点，且定点的坐标为．