2020-2021学年江苏省南京一中高一（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省南京一中高一（下）期末数学试卷，共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省南京一中高一（下）期末数学试卷
一、单选题（每题5分共40分）
1．（5分）设，，，若，则实数的值等于　　
A． B． C． D．
2．（5分）一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具向上抛掷一次，设事件表示向上的一面出现奇数点，事件表示向上的一面出现的点数不超过2，事件表示向上的一面出现的点数不小于4，则　　
A．与是互斥而非对立事件 B．与是对立事件
C．与是互斥而非对立事件 D．与是对立事件
3．（5分）阿基米德，公元前287年一公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家．他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为，则圆柱的表面积为　　

A． B． C． D．
4．（5分）如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统．当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知、、正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为　　

A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576
5．（5分）若样本数据，，，的标准差为8，则数据，，，的标准差为　　
A．8 B．15 C．16 D．32
6．（5分）如图，在正三棱柱中，若，则与平面所成角的大小为　　

A． B． C． D．
7．（5分）已知，且，则的值为　　
A． B． C． D．
8．（5分）在中，内角、、所对边分别为、、，若，则的大小是　　
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分共20分）
9．（5分），是两个平面，，是两条直线，有下列四个命题，其中正确的有　　
A．如果，与所成的角相等，那么
B．如果，，那么
C．如果，，那么
D．如果，，，那么
10．（5分）如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．
11．（5分）对于，下列说法中正确的是　　
A．若，则
B．若，则是直角三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若，则是锐角三角形
12．（5分）点是正方体中侧面正方形内的一个动点，则下面结论正确的是　　

A．满足的点的轨迹为线段
B．点存在无数个位置满足直线平面
C．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是
D．若正方体的棱长为1，三棱锥的体积的最大值为
三、填空题（每题5分共20分）
13．（5分）苏州市6月1日起正式实施的《生活垃圾分类管理条例》将城市生活垃圾分为“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”和“其他垃圾”四大类．某社区为了分析不同年龄段的人群对垃圾分类知识的了解情况，对辖区内的居民进行分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、900人、700人，若在老年人中的抽样人数是35，则在青年人中的抽样人数是 　　．
14．（5分）已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的模为　　
15．（5分）已知三棱锥，满足，，，且，若该三棱锥外接球的半径为，是外接球上一动点，则点到平面的距离的最大值为　 　．
16．（5分）将底面直径为8，高为的圆锥体石块打磨成一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为　　．
四、解答题
17．（10分）已知向量，的夹角为，且，．若，，
（1）求；（用，表示）；
（2）求的值．
18．（12分）某校高一年级1000名学生期中考试生物学科成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组情况如表：
组号
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
分组

，
，
，
，
（1）求生物成绩在，内的人数；
（2）若同组中的每个数据用该组区同中点值代替，根据频率分布直方图，估计这1000名学生生物成绩的平均分；
（3）现有5名同学，其中3人的成绩在第三组内，2人的成绩在第四组内，从这5名同学中随机抽取2名，求这2名同学来自不同组的概率．

19．（12分）如图，在直三棱柱中，，，点为中点，连接、交于点，点为中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求点到平面的距离．

20．（12分）已知，其中．
（1）求的值；
（2）求的值．
21．（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，．平面平面，．
（1）若平面平面，求证：；
（2）求证：平面平面；
（3）若二面角的正切值为，求四棱锥的体积．

22．（12分）某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圈上一点（异于，，点在线段上，且满足．已知，，设．
（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大．当为何值时，取得最大值，并求该最大值．


2020-2021学年江苏省南京一中高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每题5分共40分）
1．（5分）设，，，若，则实数的值等于　　
A． B． C． D．
【分析】由题意可得的坐标，进而由垂直关系可得的方程，解方程可得．
【解答】解：，，

，，
，解得
故选：．
【点评】本题考查数量积和向量的垂直关系，属基础题．
2．（5分）一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具向上抛掷一次，设事件表示向上的一面出现奇数点，事件表示向上的一面出现的点数不超过2，事件表示向上的一面出现的点数不小于4，则　　
A．与是互斥而非对立事件 B．与是对立事件
C．与是互斥而非对立事件 D．与是对立事件
【分析】由已知得与能同时，与不能同时发生，但能同时不发生，由此利用对立事件、互斥事件的定义能求出结果．
【解答】解：一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具向上抛掷一次，
设事件表示向上的一面出现奇数点，则事件包含的基本事件有：1，3，5，
事件表示向上的一面出现的点数不超过2，则事件包含的基本事件有：1，2，
事件表示向上的一面出现的点数不小于4，则事件包含的基本人：4，5，6，
与能同时发生，故与不是互斥事件，故和错误；
与不能同时发生，但能同时不发生，故与是互斥而非对立事件，故正确，错误．
故选：．
【点评】本题考查互斥事件、对立事件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件的定义的合理运用．
3．（5分）阿基米德，公元前287年一公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家．他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为，则圆柱的表面积为　　

A． B． C． D．
【分析】设球的半径，由球的体积求出球的半径，进而求出圆柱的底面半径和高，由圆柱的表面积公式求出圆柱的表面积．
【解答】解：设球的半径为，由题意，所以，
所以可得圆柱的底面半径为，高为，
所以圆柱的表面积，
故选：．
【点评】本题考查球的体积公式的应用及圆柱的表面积公式，属于基础题．
4．（5分）如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统．当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知、、正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为　　

A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576
【分析】首先记、、正常工作分别为事件、、，易得当正常工作与、至少有一个正常工作为相互独立事件，而“、至少有一个正常工作”与“、都不正常工作”为对立事件，易得、至少有一个正常工作的概率；由相互独立事件的概率公式，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，记、、正常工作分别为事件、、；
则（A）；
、至少有一个正常工作的概率为；
则系统正常工作的概率为；
故选：．
【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，涉及互为对立事件的概率关系，解题时注意区分、分析事件之间的关系．
5．（5分）若样本数据，，，的标准差为8，则数据，，，的标准差为　　
A．8 B．15 C．16 D．32
【分析】根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的方差关系进行求解即可．
【解答】解：样本数据，，，的标准差为8，
，即，
数据，，，的方差为，
则对应的标准差为，
故选：．
【点评】本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键．
6．（5分）如图，在正三棱柱中，若，则与平面所成角的大小为　　

A． B． C． D．
【分析】取中点，连接，，则平面，于是为所求角，设，，利用勾股定理计算，得出．
【解答】解：取中点，连接，，则平面，
为所求角，
设，，则．．
．
．
故选：．

【点评】本题考查了棱柱的结构特征，线面角的计算，属于中档题．
7．（5分）已知，且，则的值为　　
A． B． C． D．
【分析】由题意利用两角和差的三角公式，化简所给的式子，求得，从而求得的值．
【解答】解：，
，
而已知，
，即．
，，，则，
故选：．
【点评】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，属于基础题．
8．（5分）在中，内角、、所对边分别为、、，若，则的大小是　　
A． B． C． D．
【分析】由已知结合正弦定理可得，，，的关系，然后结合两角和的正切公式即可求解，进而可求．
【解答】解：由正弦定理可知，，，，为三角形外接圆半径），
因为，
所以，，且，，都为锐角，
所以，
所以，
整理可得，，
故，．
故选：．
【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正切公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．
二、多选题（每题5分共20分）
9．（5分），是两个平面，，是两条直线，有下列四个命题，其中正确的有　　
A．如果，与所成的角相等，那么
B．如果，，那么
C．如果，，那么
D．如果，，，那么
【分析】利用空间中线线、线面、面面位置关系对四个选项逐一判断即可．
【解答】解：对于，若直线，可以关于的垂线对称，则，与所成的角相等，但是与不平行，故选项错误；
对于，因为，，那么，故选项正确；
对于，如果，，则可能在内，故选项错误；
对于，如果，，则或，又，所以，故选项正确．
故选：．
【点评】本题以命题的真假判断为载体考查了空间中线线、线面、面面位置关系的运用，考查空间想象能力、推理论证能力，属于基础题．
10．（5分）如图所示，四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，则下列结论正确的是　　

A． B． C． D．
【分析】直接根据向量的三角形法则和基本定理逐个判断即可
【解答】解：因为四边形为梯形，其中，，，分别为，的中点，
；对
为的中线；
；对
；的、对
；错；
故正确的有
故选：．
【点评】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用．属于基础题
11．（5分）对于，下列说法中正确的是　　
A．若，则
B．若，则是直角三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若，则是锐角三角形
【分析】对于，由正弦定理和三角形的边角关系，可判断；
对于，根据三角函数的诱导公式进行化简判断正误．
对于，根据正弦定理、三角函数的倍角公式进行化简判断即可；
对于，根据正弦定理、和差公式、等腰三角形的定义判断即可；
【解答】解：对于，在中，，
即有，为的外接圆的半径），即，则，
故正确；
对于，若，则，
，．即或，
不一定为直角三角形，
故错误，
对于，，则，则，
，
或，
或，
是等腰三角形或是直角三角形，
故错误；
对于，，
，
又，，是的内角，
内角、、都是锐角，
故正确；
综上，所有正确命题为．
故选：．
【点评】本题考查了解三角形、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．（5分）点是正方体中侧面正方形内的一个动点，则下面结论正确的是　　

A．满足的点的轨迹为线段
B．点存在无数个位置满足直线平面
C．在线段上存在点，使异面直线与所成的角是
D．若正方体的棱长为1，三棱锥的体积的最大值为
【分析】对于：由正方体的性质可知，可得平面，从而可得点在线段上时，有，即可判断是否正确；
对于：由正方体的性质可得平面平面，则当点在上是，均有平面，即可判断是否正确；
对于：异面直线与所成的角为，当在线段上运动时，点取的中点时，最小，即正切值为，即可判断是否正确；
对于：由正方体的性质得，平面，若正方体的棱长为1，则点与重合时，三棱锥的体积取得最大，从而可得三棱锥的体积最大，即可判断是否正确．
【解答】解：对于：如图，正方体中，平面，平面，
所以，
因为，
所以平面，
所以当点在线段上时，有，
所以点的轨迹为线段，所以正确；
对于：在正方体中，
因为，平面，平面，
所以平面，
同理平面，
而，
所以平面平面，
所以当点在上是，均有平面，
所以点存在无数个位置满足直线平面，所以正确；
对于：异面直线与所成的角为，
当在线段上运动时，点取的中点时，最小，
所以正切值为，
所以不存在点，使异面直线与所成的角为，所以错误；
对于：由正方体的性质得，平面，
若正方体的棱长为1，则点与重合时，
三棱锥的体积取得最大，其值为，所以正确．
故选：．

【点评】本题考查正方体为模型判断线线垂直，线面平行，求异面直线所在的角等，属于中档题．
三、填空题（每题5分共20分）
13．（5分）苏州市6月1日起正式实施的《生活垃圾分类管理条例》将城市生活垃圾分为“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”和“其他垃圾”四大类．某社区为了分析不同年龄段的人群对垃圾分类知识的了解情况，对辖区内的居民进行分层抽样调查．已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、900人、700人，若在老年人中的抽样人数是35，则在青年人中的抽样人数是 　40　．
【分析】先求出抽取的比例，再用青年人的人数乘以此比例，即为所求．
【解答】解：由题可知，抽取的比例为，
故青年人应该抽取人数为，
故答案为：40．
【点评】本题主要考查分层呢个抽样的定义和方法，属于基础题．
14．（5分）已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的模为　　
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得，代入复数模的公式计算．
【解答】解：由，得，
．
故答案为：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
15．（5分）已知三棱锥，满足，，，且，若该三棱锥外接球的半径为，是外接球上一动点，则点到平面的距离的最大值为　　．
【分析】由题意，三棱锥的外接球即为以，，为长宽高的正方体的外接球，求出球心到平面的距离，即可求出点到平面的距离的最大值．
【解答】解：三棱锥中，，，，且，
三棱锥的外接球即为以，，为长宽高的正方体的外接球，
该三棱锥外接球的半径为，
正方体的体对角线长为，
球心到平面的距离为
点到平面的距离的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查点到平面的距离的最大值，考查学生的计算能力，求出球心到平面的距离是关键．
16．（5分）将底面直径为8，高为的圆锥体石块打磨成一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为　　．
【分析】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥，设圆柱的高为，底面半径为，用表示，从而求出圆柱侧面积的最大值．
【解答】解：欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥；
设圆柱的高为，底面半径为，
则，解得；
所以；
当时，取得最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转体的侧面积最值问题，也考查了推理与计算能力，是基础题．
四、解答题
17．（10分）已知向量，的夹角为，且，．若，，
（1）求；（用，表示）；
（2）求的值．
【分析】（1）根据两个向量的加法法则，把两个基底的系数分别相加，得到结果．
（2）求向量的模长，先把向量平方，根据向量的运算法则，表示出向量的平方，再开方就可以得到向量的模长．
【解答】解；（1），，
，
（2）向量，的夹角为，且，．
，

【点评】本题考查向量的运算法则，向量的平面向量的基本定理及其意义，考查向量的模长和向量的加法运算，本题是一个基础题．
18．（12分）某校高一年级1000名学生期中考试生物学科成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组情况如表：
组号
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
分组

，
，
，
，
（1）求生物成绩在，内的人数；
（2）若同组中的每个数据用该组区同中点值代替，根据频率分布直方图，估计这1000名学生生物成绩的平均分；
（3）现有5名同学，其中3人的成绩在第三组内，2人的成绩在第四组内，从这5名同学中随机抽取2名，求这2名同学来自不同组的概率．

【分析】（1）由频率分布直方图先求出生物成绩在【50，内的频率，由此能求出生物成绩在【50，内的人数．
（2）由频率分布直方图能求出这1000名学生生物成绩的平均分．
（3）设“这2名同学来自不同组”为事件，设第三组的3名同学为，，，第四组的2位同学为，，利用列举法能求出这2名同学来自不同组的概率．
【解答】解：（1）由题意，生物成绩在【50，内的频率为：
，
所以生物成绩在【50，内的人数为．
答：生物成绩在【50，内的人数为50人．
（2）由频率分布直方图，分数在，内的频率为0.05，，内的频率为0.35，
，内的频率为0.3，，的频率为0.2，，的频率为0.1，
所以这1000名学生期中考试生物成绩的平均分的估计值为：
．
答：这1000名学生生物成绩的平均分为74.5．
（3）设“这2名同学来自不同组”为事件，设第三组的3名同学为，，，第四组的2位同学为，，
则样本空间为：
，，，，，，，，，，
事件，，，，，．
所以这2名同学来自不同组的概率．
答：这2名同学来自不同组的概率为．
【点评】本题考查频数、平均分、概率的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19．（12分）如图，在直三棱柱中，，，点为中点，连接、交于点，点为中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求点到平面的距离．

【分析】（1）证明四边形为平行四边形，推出，然后证明平面．
（2）证明．平面，推出，，证明平面．得到，结合，证明平面，然后证明平面平面．
（3）法一：连接，设点到平面的距离为，通过，转化求解点到平面的距离．
方法二：作，垂足为，连接，作，垂足为．推出平面，为点到平面的距离，通过求解三角形求解即可．
【解答】（1）证明：直三棱柱，四边形为平行四边形，
为的中点，
为的中点，，
又平面，平面，
平面．
（2）证明：四边形为平行四边形，，
平行四边形为菱形，即．
三棱柱为直三棱柱，
平面，
平面，，
，
，
，，
，平面，
平面．
平面，，
，，
，平面，平面，
平面，平面平面．
（3）解：法一：（等体积法）连接，设点到平面的距离为，

平面，，平面，
，，为三棱锥高，
在直角△中，，．
在直角△中，，，，
在直角中，，，，，
在等腰△中，，
，，，
，
点到平面的距离为．
方法二：（综合法）作，垂足为，连接，作，垂足为．

平面，平面，
，
，，，平面，
平面，
平面，，
，，，平面，
平面即为点到平面的距离，
在直角中，；在直角△中，，
，
点到平面的距离为．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的判断定理的应用，空间点线面距离的求法，考查空间想象能力，转化思想以及逻辑推理能力．
20．（12分）已知，其中．
（1）求的值；
（2）求的值．
【分析】由条件利用两角和差的正切公式求得的值，再根据，求得的值．
（2）先利用两角和差的正切公式求得的值，再结合的范围，求得的值．
【解答】解：（1），，，
，而，
解得．
（2），
，，，
又，，，，
．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正切公式的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．
21．（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，．平面平面，．
（1）若平面平面，求证：；
（2）求证：平面平面；
（3）若二面角的正切值为，求四棱锥的体积．

【分析】（1）由，可得平面，再利用线面平行的性质定理可证得；
（2）推导出，，可得平面，再由线面垂直的性质定理可证得平面平面；
（3）根据已知求出的长，再由锥体的体积公式即可得解．
【解答】（1）证明：，平面，平面，
平面，又平面，平面平面，
．
（2）证明：，，，
，，
，，，
，
平面平面，平面，平面平面，，
平面，平面，，
，平面，
平面．平面平面．
（3）解：如图，取中点，连接，作，垂足为，连接，
，，
平面平面，平面，平面平面，，
平面．
平面，，，平面．
平面，，
二面角的平面角为，
，，，
，，
．

【点评】本题主要考查线线平行的判定，面面垂直的判定，锥体体积的求法，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
22．（12分）某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角和以为直径的半圆拼接而成，点为半圈上一点（异于，，点在线段上，且满足．已知，，设．
（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，且达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，且达到最大．当为何值时，取得最大值，并求该最大值．

【分析】（1）设，利用直角三角形的边角关系，求出的解析式，再计算的最大值；
（2）由等积法求出的值，再计算的最大值以及对应的值．
【解答】解：由，在直角中，，；
在直角中，，；
（1），
所以当，即时，的最大值为；
即时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
（2）在直角中，由，
可得；
在直角中，，
所以，，
所以，
所以当时，取得最大值，且最大值为．
【点评】本题考查了解三角形以及三角函数的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
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日期：2021/8/23 17:49:29；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394