易错点03 函数概念与基本函数【解析版】-备战2022年高考数学考试易错题

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易错点03  函数概念与基本函数易错点1：求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则；研究与函数有关的问题时，一定要先明确函数的定义域是什么，才能进行下一步工作。易错点2：判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；易错点3： 根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负 )；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.易错点4：指对型函数比较大小要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）.易错点5：用函数图象解题时作图不准“数形结合”是重要思想方法之一，以其准确、快速、灵活及操作性强等诸多优点颇受数学学习者的青睐。但我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形“失真”，从而得出错误的答案。易错点6：在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件；要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）；易错点7：抽象函数的推理不严谨致误；所谓抽象函数问题，是指没有具体地给出函数的解析式，只给出它的一些特征或性质。解决这类问题常涉及到函数的概念和函数的各种性质，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点;解决抽象函数的方法有：换元法、方程组法、待定系数法、赋值法、转化法、递推法等；考点一：函数的单调性和奇偶性1．(2021年高考全国甲卷理科)设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则(　　)A． B． C． D．【答案】D【解析】因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．思路一：从定义入手．所以．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D．2．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）下列函数中是增函数的为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】1.对于A，为上的减函数，不合题意，舍.对于B，为上的减函数，不合题意，舍.对于C，在为减函数，不合题意，舍.对于D，为上的增函数，符合题意，故选：D.3．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B4．(2021年高考全国乙卷理科)设函数，则下列函数中为奇函数的是 (　　)A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数．故选：B5. （2021新高考2卷）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（   ）A B. C. D.【答案】B【解析】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B6．（2021年上海卷）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数(   ) A． B． C． D．【答案】A【解析】由题易知，只有既是奇函数又是减函数，故选A 考点二：指对型函数比较大小1. （2021年天津卷5）设，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.【答案】D【解析】，，，，，，.故选：D.2.（2021年新高考2卷7）已知，，，则下列判断正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，即.故选：C.3．（2020年全国2卷11）若，则 A．  B．  C．  D．【答案】A【解析】．设，则，所以函数在上单调递增，因为，所以，所以，从而，故选A．4．（2021年全国1卷理12）若，则 A． B． C． D．【答案】B【解析】由指数与对数运算可得：，又因为，即，令，由指对函数单调性可得在内单调递增，由可得：，所以选B.5．（2019全国Ⅲ理11）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则    A．  B．C．  D．【答案】C【解析】 是定义域为的偶函数，所以，
因为，，所以，
又在上单调递减，所以. 故选C．6.（2015年全国2卷12）设函数f’(x)是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（  ）A.   B.  C.  D.【答案】【解析】令，因为为奇函数，所以为偶函数，由于，当时， ，所以在上单调递减，根据对称性在上单调递增，又，，数形结合可知，使得成立的的取值范围是． 考点三、函数的图像与性质1. （2021年天津卷3）函数的图像大致为A.  B.C.  D.【答案】B【解析】设，则函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数，排除AC；当时，，所以，排除D.故选：B.2.（2019全国Ⅲ理7）函数在的图像大致为A． B． C．  D．【解析】 因为，
所以是上的奇函数，因此排除C，
又，因此排除A，D．故选B．3．（2021年浙江卷7）已知函数，则图象为右图的函数可能是（    ）. A． B．  C．  D． 【答案】D   【解析】是偶函数，是奇函数，由于图象是奇函数，所以C，D正确，由于，则，C选项不符合，故选D．4．（2021年全国甲卷16）已知函数的部分图象如图所示，则满足条件的最小正整数为_____________.【答案】2【解析】由，得，，将代入得，，，所以.等价于，等价于或，由图像得最小整数，所以  ★5.（2015年全国2卷）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为（   ）  【答案】B【解析】由于，故排除选项C、D；当点在上时，．不难发现的图像是非线性，排除A．故选B.★6.（2014年全国1卷） 如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是 圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为（  ） 【答案】C【解析】由题意知，，当时，；当时，，故选C． 考点四、分段函数1．（2021年浙江卷12）已知，函数若则         ． 【答案】2 【解析】，即．解得．2．（2015新课标Ⅱ）设函数，则A．3        B．6         C．9       D．12【答案】C【解析】由于，，所以．3.（2017新课标Ⅲ）设函数则满足的的取值范围是________．【答案】【解析】当时，不等式为恒成立；当，不等式恒成立；当时，不等式为，解得，即；综上，的取值范围为． 4．(2014新课标)设函数则使得成立的的取值范围是______． 【答案】【解析】当时，由得，∴；当时，由得，∴，综上．5. （2021年天津卷9）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是A.  B.C.  D.【答案】A【解析】最多有2个根，所以至少有4个根，由可得，由可得，（1）时，当时，有4个零点，即；当，有5个零点，即；当，有6个零点，即；（2）当时，，，当时，，无零点；当时，，有1个零点；当时，令，则，此时有2个零点；所以若时，有1个零点.综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足或或，则可解得a的取值范围是. 6.(2018全国卷Ⅰ)已知函数，．若 存在2个零点，则a的取值范围是（   ）A．[–1，0）    B．[0，+∞）  C．[–1，+∞）  D．[1，+∞）【答案】C【解析】函数存在 2个零点，即关于的方程有2 个不同的实根，即函数的图象与直线有2个交点，作出直线与函数的图象，如图所示，由图可知，，解得，故选C．   1.函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（  ）.A．[-2,2]        B．[-1,2]      C．[0,4]      D．[1,3]【答案】D【解析】由函数为奇函数，得，不等式即为，又在单调递减，所以得，即，选D． 2．设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（  ）A．是偶函数            B．||是奇函数C．||是奇函数           D．||是奇函数【答案】B【解析】为奇函数，为偶函数，故为奇函数，||为奇函数，||为偶函数，||为偶函数，故选B． 3．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是(   )A．     B．   C．    D． 【答案】B【解析】为奇函数，在上为减函数，在上为减函数．4.已知，，，则（  ）A.  B.  C.  D.【答案】A【解析】因为，，，且幂函数在上单调递增，指数函数在上单调递增，所以，故选A．5.若，则（   ）A.             B.C.  D.【答案】C【解析】选项A，考虑幂函数，因为，所以为增函数，又，所以，A错．对于选项B，，又是减函数，所以B错．对于选项D，由对数函数的性质可知D错，故选C． 6．设函数，则A．3        B．6         C．9       D．12【答案】C【解析】由于，，所以．7.函数在的图像大致为B． B． C．  D．【答案】B【解析】 因为，
所以是上的奇函数，因此排除C，
又，因此排除A，D．故选B．8.偶函数的图像关于直线对称，，则=___【答案】3【解析】∵函数的图像关于直线对称，所以，，又，所以，则．9．函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于________. 【答案】2【解析】图像法求解．的对称中心是也是的中心，他们的图像在的左侧有4个交点，则右侧必有4个交点．不妨把他们的横坐标由小到大设为，则10．已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．【答案】2【解析】由图可知，即，所以；由五点法可得，即；所以．因为，；所以由可得或；因为，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，解得，令，可得，可得的最小正整数为2． 方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2．故答案为：2．