专题04因式分解-2022-2023学年八年级数学下学期期末考点大串讲（北师大版）

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专题04因式分解

一．因式分解的意义（共2小题） 二．公因式（共2小题）
三．因式分解-提公因式法（共7小题） 四．因式分解-运用公式法（共4小题）
五．提公因式法与公式法的综合运用（共3小题） 六．因式分解-分组分解法（共6小题）
七．因式分解-十字相乘法等（共4小题） 八．实数范围内分解因式（共3小题）
九．因式分解的应用（共7小题）

1.因式分解定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式.
2.因式分解的方法：

要点诠释：落实好方法的综合运用：
首先提取公因式，然后考虑用公式；
两项平方或立方，三项完全或十字；
四项以上想分组，分组分得要合适；
几种方法反复试，最后须是连乘式；
因式分解要彻底，一次一次又一次.

一．因式分解的意义（共2小题）
1．（2022春•深圳期中）下列从左边到右边的变形，其中是因式分解的是（　　）
A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2 B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1
C．2x﹣8＝2（4﹣x） D．﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
【解答】解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
B、不合因式分解的定义，故本选项错误；
C、左边≠右边，不是因式分解，故本选项错误；
D、符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的意义．正确把握因式分解的定义是解题关键．
2．（2022春•沙坪坝区校级期中）如果x﹣2是多项式x2﹣4x+k的一个因式．则k的值为（　　）
A．﹣4 B．1 C．4 D．8
【分析】设另一个因式是x+a，根据多项式乘多项式法则求出（x﹣2）（x+a）＝x2+（a﹣2）x﹣2a，根据因式分解得出a﹣2＝﹣4，k＝﹣2a，再求出答案即可．
【解答】解：设另一个因式是x+a，
则（x﹣2）（x+a）
＝x2+ax﹣2x﹣2a
＝x2+（a﹣2）x﹣2a，
∵x﹣2是多项式x2﹣4x+k的一个因式，
∴a﹣2＝﹣4，
解得：a＝﹣2，
∴k＝﹣2a＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的定义和整式的乘法，能灵活运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．
二．公因式（共2小题）
3．（2022春•清城区校级期中）多项式12ab2c+8a3b的公因式是（　　）
A．4a2 B．4abc C．2a2 D．4ab
【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．
【解答】解：12ab2c+8a3b＝4ab（3bc+2a2），
4ab是公因式，
故选：D．
【点评】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”．
4．（2022春•乐安县期中）多项式4x（m﹣n）+2y（m﹣n）2的公因式是 　2（m﹣n）　．
【分析】找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，即可确定公因式．
【解答】解：4x（m﹣n）+2y（n﹣m）2的公因式是2（m﹣n）．
故答案为：2（m﹣n）．
【点评】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义及确定方法是解题的关键．
三．因式分解-提公因式法（共7小题）
5．（2022春•金牛区校级期中）分解因式：m（a﹣2）+（2﹣a）＝　（a﹣2）（m﹣1）　．
【分析】直接提取公因式（a﹣2），进而分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝m（a﹣2）﹣（a﹣2）
＝（a﹣2）（m﹣1）．
故答案为：（a﹣2）（m﹣1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
6．（2022春•历城区期中）把多项式2x2﹣4x分解因式，应提取的公因式是（　　）
A．x B．2 C．x2 D．2x
【分析】根据公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的，即可确定公因式．
【解答】解：2x2﹣4x＝2x（x﹣2），
∴公因式是2x，
故选：D．
【点评】本题考查了提取公因式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
7．（2022春•三元区期中）分解因式：6a2b﹣3ab＝　3ab（2a﹣1）　．
【分析】提取公因式3a进行因式分解即可．
【解答】解：6a2b﹣3ab＝3ab（2a﹣1），
故答案为：3ab（2a﹣1）．
【点评】本题主要考查了因式分解—提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
8．（2022春•源城区校级期中）分解因式：2x3y2﹣4x2y＝　2x2y（xy﹣2）　．
【分析】直接提取公因式2x2y，进而分解因式即可．
【解答】解：2x3y2﹣4x2y＝2x2y（xy﹣2）．
故答案为：2x2y（xy﹣2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
9．（2022春•青羊区校级期中）分解因式：4a3b2﹣2a2b＝　2a2b（2ab﹣1）　．
【分析】直接提取公因式2a2b，进而分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝2a2b（2ab﹣1）．
故答案为：2a2b（2ab﹣1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
10．（2022春•龙华区期中）如图，边长为a、b的长方形周长为20，面积为16，则a2b+ab2的值为（　　）

A．160 B．180 C．320 D．480
【分析】由题意可得：ab＝16，a+b＝10，然后把所求的式子利用提公因式法进行分解，即可解答．
【解答】解：由题意得：
2（a+b）＝20，ab＝16，
∴a+b＝10，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）
＝16×10
＝160，
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握因式分解﹣提公因式法是解题的关键．
11．（2022春•武侯区校级期中）已知a＝1，x+2y＝3，则2ax+4ay＝　6　．
【分析】先进行因式分解，然后再代入求值即可解答．
【解答】解：∵a＝1，x+2y＝3，
∴2ax+4ay＝2a（x+2y）
＝2×1×3
＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，代数式求值，熟练掌握因式分解﹣提公因式法是解题的关键．
四．因式分解-运用公式法（共4小题）
12．（2022春•顺德区校级期中）把x2﹣9分解因式，结果正确的是（　　）
A．x（x﹣9） B．（x+9）（x﹣9） C．（x+3）（x﹣3） D．（x﹣3）2
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．
13．（2022春•皇姑区校级期中）下列各式：①x2﹣6x+9；②25a2+10a﹣1；③x2﹣4x﹣4；④4x2﹣x+，其中不能用完全平方公式因式分解的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用完全平方公式的结构特点逐个分析得结论．
【解答】解：x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，故①能用完全平方公式因式分解；
能利用完全平方公式因式分解的整式需满足：整式是“两数平方和与这两个数积的2倍”．
整式25a2+10a﹣1与x2﹣4x﹣4不满足两数平方和，故②③不能用完全平方公式因式分解；
整式4x2﹣x+的中间项x不是2x与积的2倍，故④不能用完全平方公式因式分解．
故选：C．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握完全平方公式的结构特点是解决本题的关键．
14．（2022春•济南期中）下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（　　）
A．x2﹣x+1 B．1﹣2xy+x2y2 C．a2﹣a D．a2+2ab﹣b2
【分析】根据完全平方式的结构a2+2ab+b2或a2﹣2ab+b2的形式，即可作出判断．
【解答】解：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，故A错误，不符合题意；
1﹣2xy+x2y2＝（1﹣xy）2，故B正确，符合题意；
a2﹣a+＝（a﹣）2，故C错误，不符合题意；
a2+2ab+b2＝（a+b）2，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了完全平方式的结构，正确理解结构是判断的关键．
15．（2022春•高州市期中）下列多项式能使用平方差公式进行因式分解的是（　　）
A．4x2+1 B．﹣m2+1 C．﹣a2﹣b2 D．2x2﹣y2
【分析】根据平方差公式的结构特征进行判断即可．
【解答】解：A.4x2+1，不能使用平方差公式进行因式分解，故A不符合题意；
B．﹣m2+1＝（1+m）（1﹣m），能使用平方差公式进行因式分解，故B符合题意；
C．﹣a2﹣b2，不能使用平方差公式进行因式分解，故C不符合题意；
D.2x2﹣y2，不能使用平方差公式进行因式分解，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．
五．提公因式法与公式法的综合运用（共3小题）
16．（2022春•姑苏区校级期中）下列分解因式正确的是（　　）
A．﹣x2+4x＝﹣x（x+4） B．x2+xy+x＝x（x+y）
C．﹣x2+y2＝（x+y）（y﹣x） D．x2﹣4x+4＝（x+2）（x﹣2）
【分析】利用提公因式法，公式法进行分解逐一判断即可．
【解答】解：A．﹣x2+4x＝﹣x（x﹣4），故A不符合题意；
B．x2+xy+x＝x（x+y+1），故B不符合题意；
C．﹣x2+y2＝（x+y）（y﹣x），故C符合题意；
D．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式是各项含有公因式，必须先提公因式．
17．（2009春•龙川县校级期中）分解因式：8x2﹣18＝　2（2x﹣3）（2x+3）　．
【分析】先提公因式2，再运用平方差公式继续分解．
【解答】解：8x2﹣18，
＝2（4x2﹣9），
＝2（2x﹣3）（2x+3）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，难点在于提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式要彻底．
18．（2022春•通辽期中）因式分解：
（1）ma2﹣mb2
（2）（a+b）﹣2a（a+b）+a2（a+b）
【分析】（1）首先提取公因式m，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）首先提取公因式（a+b），再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）ma2﹣mb2
m（a2﹣b2）
＝m（a+b）（a﹣b）；

（2）（a+b）﹣2a（a+b）+a2（a+b）
＝（a+b）（1﹣2a+a2）
＝（a+b）（a﹣1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法即公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
六．因式分解-分组分解法（共6小题）
19．（2021春•福田区校级期中）因式分解b2﹣2bc+c2﹣1＝　（b﹣c+1）（b﹣c﹣1）　．
【分析】直接将前三项运用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：b2﹣2bc+c2﹣1
＝（b﹣c）2﹣1
＝（b﹣c+1）（b﹣c﹣1）．
故答案为：（b﹣c+1）（b﹣c﹣1）．
【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确应用公式是解题关键．
20．（2021秋•莱阳市期中）分解因式：
（1）x2（m﹣n）+y2（n﹣m）；
（2）3x2﹣18xy+27y2．
【分析】（1）首先提取公因式（m﹣n），然后利用平方差公式继续进行因式分解；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式把原式进行因式分解即可．
【解答】解：（1）x2（m﹣n）+y2（n﹣m）
＝（m﹣n）（x2﹣y2）
＝（m﹣n）（x+y）（x﹣y）；

（2）3x2﹣18xy+27y2
＝3（x2﹣6xy+9y2）
＝3（x﹣3y）2．
【点评】本题考查了完全平方公式，分组分解法分解因式，要先把式子整理，再分解因式．
21．（2022春•南山区期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
这种分解因式的方法叫分组分解法．
请利用这种方法分解因式x2﹣2xy+y2﹣16．
【分析】把前三项分为一组，最后一项单独作为一组，然后进行分解即可解答．
【解答】解：x2﹣2xy+y2﹣16
＝（x﹣y）2﹣16
＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）．
【点评】本题考查了因式分解﹣分组分解法，公因式，因式分解﹣运用公式法，合理进行分组是解题的关键．
22．（2021春•城关区校级期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法但有的多项式只用上述一种方法无法分解，例如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了．
过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x2﹣4y2）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）这种方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式x2﹣2xy+y2﹣16；
（2）xy2﹣2xy+2y﹣4．
【分析】（1）直接将前三项分组，再利用乘法公式分解因式进而得出答案；
（2）直接将前两项和后两项分组利用提取公因式法分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝（x﹣y）2﹣16
＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）；

（2）xy2﹣2xy+2y﹣4
＝xy（y﹣2）+2（y﹣2）
＝（y﹣2）（xy+2）．
【点评】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确分许是解题关键．
23．（2022春•武侯区校级期中）已知x4+mx3+nx﹣16有因式（x﹣1）和（x﹣2），则m＝　﹣5　，n＝　20　．
【分析】设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2），对x进行两次赋值，可得出两个关于m、n的方程，联立求解可得出m、n的值．
【解答】解：设x4+mx3+nx﹣16＝A（x﹣1）（x﹣2）（A为整式），
取x＝1，得1+m+n﹣16＝0①，
取x＝2，得16+8m+2n﹣16＝0②，
由①、②解得m＝﹣5，n＝20．
故答案为：﹣5、20．
【点评】此题考查了因式分解与求多项式中的字母系数的值的问题，能够运用待定系数法以及特殊值法进行求解．
24．（2022春•槐荫区期中）观察下列式子的因式分解做法：
①x2﹣1＝（x﹣1）（x+1）；
②x3﹣1＝x3﹣x+x﹣1＝x（x2﹣1）+（x﹣1）＝（x﹣1）（x2+x+1）；
③x4﹣1＝x4﹣x+x﹣1＝x（x3﹣1）+（x﹣1）＝（x﹣1）（x3+x2+x+1）；
……
（1）模仿以上做法，尝试对x5﹣1进行因式分解；
（2）观察以上结果，猜想xn﹣1＝　（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+...+x+1）　；（n为正整数，直接写结果，不用验证）
（3）根据以上结论，试求75+74+73+72+7+1的值．
【分析】（1）按照给定例题的步骤因式分解即可；
（2）依据（1）中的结果即可确定；
（3）根据（2）中的结论可得76﹣1＝（7﹣1）（75+74+73+72+7+1），进一步计算即可．
【解答】解：（1）x5﹣1
＝x5﹣x+x﹣1
＝x（x4﹣1）+（x﹣1）
＝（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；
（2）根据以上结果，可得xn﹣1＝（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+...+x+1），
故答案为：（x﹣1）（xn﹣1+xn﹣2+xn﹣3+...+x+1）；
（3）∵76﹣1＝（7﹣1）（75+74+73+72+7+1），
∴75+74+73+72+7+1＝．
【点评】本题考查了分组法进行因式分解与规律的综合，找出因式分解的规律是解题的关键．
七．因式分解-十字相乘法等（共4小题）
25．（2022春•本溪期中）把多项式x2+5x+m因式分解得（x+n）（x﹣2），则常数m，n的值分别为（　　）
A．m＝﹣14，n＝7 B．m＝14，n＝﹣7 C．m＝14，n＝7 D．m＝﹣14，n＝﹣7
【分析】先计算多项式乘多项式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
x2+5x+m＝（x+n）（x﹣2），
∴x2+5x+m＝x2+nx﹣2x﹣2n，
∴x2+5x+m＝x2+（n﹣2）x﹣2n，
∴n﹣2＝5，m＝﹣2n，
∴n＝7，m＝﹣14，
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，先计算多项式乘多项式是解题的关键．
26．（2022春•历城区校级期中）下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（　　）
A．x2﹣x+1 B．1﹣2xy+x2y2 C． D．a2+2ab﹣b2
【分析】运用公式法对各选项进行判断即可．
【解答】解：A．x2﹣x+1不能利用公式法分解因式，所以A选项不符合题意；
B．1﹣2xy+x2y2用完全平方公式分解为（1﹣xy）2，所以B选项符合题意；
C．a2﹣a+不能利用公式法分解因式，所以C选项不符合题意；
D．a2+2ab﹣b2不能利用完全平方公式分解因式，所以A选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解：熟练掌握因式分解的几种方法是解决问题的关键．
27．（2022春•三水区校级期中）若二次三项式x2+mx﹣8可分解为（x﹣4）（x+2），则m的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
【分析】根据题意得到x2+mx﹣8＝（x﹣4）（x+2），再根据多项式乘多项式的乘法法则化简，进而求得m．
【解答】解：由题意得，x2+mx﹣8＝（x﹣4）（x+2）．
∴x2+mx﹣8＝x2﹣2x﹣8．
∴m＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．
28．（2022春•邗江区期中）阅读并解决问题．
对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax﹣3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：
x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．
像这样，先添﹣适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
（1）利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8．
（2）若a+b＝5，ab＝6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．
（3）已知x是实数，试比较x2﹣4x+5与﹣x2+4x﹣4的大小，说明理由．
【分析】（1）加1再减1，可以组成完全平方式；
（2）①加2ab再减2ab可以组成完全平方式；②在①得基础上，加2a2b2再减2a2b2，可以组成完全平方式；
（3）把所给的代数式进行配方，然后比较即可．
【解答】解：（1）a2﹣6a+8，
＝a2﹣6a+9﹣1，
＝（a﹣3）2﹣1，
＝（a﹣3﹣1）（a﹣3+1），
＝（a﹣2）（a﹣4）；

（2）a2+b2，
＝（a+b）2﹣2ab，
＝52﹣2×6，
＝13；
a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2
＝132﹣2×62
＝169﹣2×36
＝169﹣72
＝97；

（3）∵x2﹣4x+5，
＝x2﹣4x+4+1，
＝（x﹣2）2+1≥1＞0
﹣x2+4x﹣4，
＝﹣（x2﹣4x+4），
＝﹣（x﹣2）2≤0
∴x2﹣4x+5＞﹣x2+4x﹣4．
（若用”作差法”相应给分）
【点评】本题考查十字相乘法分解因式，三道题都是围绕配方法作答，配方法是数学习题里经常出现的方法，应熟练掌握，（1）实质上是十字相乘法分解因式．
八．实数范围内分解因式（共3小题）
29．（2022春•铁锋区期中）在实数范围内分解因式：a2b﹣8b＝　b（a+2）（a﹣2）　
【分析】首先提取公因式b，再利用平方差公式分解即可求得答案．
【解答】解：原式＝b（a2﹣8）＝b（a+2）（a﹣2）．
故答案是：b（a+2）（a﹣2）．
【点评】本题考查了实数范围内的因式分解，掌握因式分解的步骤是关键．
30．（2022春•武昌区校级期中）多项式2x2﹣3在实数范围内分解因式，则2x2﹣3＝　（x+）（x﹣）　．
【分析】根据平方差公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝（x）2﹣（）2
＝（x+）（x﹣）．
故答案为：（x+）（x﹣）．
【点评】本题考查了实数范围内分解因式，掌握a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）是解题的关键．
31．（2022春•深圳期中）在实数范围内分解因式：4x3y﹣4xy＝　4xy（x+1）（x﹣1）　．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式．
【解答】解：4x3y﹣4xy
＝4xy（x2﹣1）
＝4xy（x+1）（x﹣1）．
故答案为：4xy（x+1）（x﹣1）．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提取公因式法和平方差公式是解决本题的关键．
九．因式分解的应用（共7小题）
32．（2022春•顺平县期中）三角形的三边长满足（a+b）2＝c2+2ab，则这个三角形是（　　）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
【分析】对等式进行整理，再判断其形状．
【解答】解：化简（a+b）2＝c2+2ab，得a2+b2＝c2，所以三角形是直角三角形，
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的应用，直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定．
33．（2022春•巴东县期中）已知a，b，c为△ABC三边，且满足（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝0，则它的形状为（　　）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【分析】由（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝0，可得：a2﹣b2＝0，或a2+b2﹣c2＝0，进而可得a2＝b2或a2+b2＝c2，进而判断△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．
【解答】解：∵（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）＝0，
∴a2﹣b2＝0，或a2+b2﹣c2＝0，
即a2＝b2或a2+b2＝c2，
∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
【点评】此题考查了利用边判断三角形的形状，有两边相等的三角形是等腰三角形，满足a2+b2＝c2的三角形是直角三角形．
34．（2022春•大渡口区校级期中）已知a、b是△ABC的两边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状是（　　）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．不确定
【分析】先把等式变形，再分解，最后根据三角形的三边关系求解．
【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
ac﹣bc＝（a﹣b）c，
∵a2﹣b2＝ac﹣bc，
∴（a+b）（a﹣b）＝（a﹣b）c，
∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，
∵a、b是△ABC的两边，
∴a+b＞c，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴△ABC的形状是等腰三角形，
故选：A．
【点评】本题考出来因式分解的应用，三角形的三边关系是解题的关键．
35．（2022春•和平区校级期中）小军是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，c，x2﹣y2，a，x+y，分别对应下列六个字：抗，胜，必，利，我，疫．现将ac（x2﹣y2）﹣bc（x2﹣y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．抗疫胜利 B．抗疫必胜 C．我必胜利 D．我必抗疫
【分析】根据提公因式法与公式法因式分解即可求解．
【解答】解：原式＝（x2﹣y2）（ac﹣bc）
＝c（a﹣b）（x+y）（x﹣y）
∵x﹣y，a﹣b，c，x2﹣y2，a，x+y，分别对应下列六个字：抗，胜，必，利，我，疫．
∴x﹣y对应抗，x+y对应疫，c对应必，a﹣b对应胜，
故结果呈现的密码信息可能是为：抗疫必胜．
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
36．（2021春•云岩区校级期中）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程
解：设x2﹣4x＝y
原式＝（y+2）（y+6）+4 （第一步）
＝y2+8y+16 （第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 　C　．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式
D．两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，这个结果是否分解到最后？　否　．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果 　（x﹣2）4　．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
【分析】（1）分析第二步到第三步，可以得出直接应用完全平方公式的结论；
（2）明确最后的结果括号中的式子仍然可用完全平方公式因式分解，即可判断是否彻底；
（3）首先设x2﹣2x＝y，对原式换元并利用乘法分配律化简，再根据完全平方公式变换；接下来，只需将所设x2﹣2x＝y换回上述所得式子中，就能得到因式分解的结果．
【解答】解：（1）第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式．
故选：C；
（2）否，最终结果为（x﹣2）4．
故答案为：否，（x﹣2）4；
（3）设x2﹣2x＝y，
则原式＝y（y+2）+1
＝y2+2y+1
＝（y+1）2
＝（x2﹣2x+1）2
＝（x﹣1）4．
【点评】此题考查的是因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法．
37．（2021春•云阳县期中）若一个正整数a可以表示为a＝（b+1）（b﹣2），其中b为大于2的正整数，则称a为“十字数”，b为a的“十字点”．例如：28＝（6+1）（6﹣2）＝7×4．
（1）“十字点”为7的“十字数”为　40　；130的“十字点”为　12　；
（2）m的“十字点”为p，n的“十字点”为q，当m﹣n＝18时，求p+q的值．
【分析】（1）根据“十字点”的定义计算可得；
（2）根据已知可得m＝（p+1）（p﹣2）（p为大于2的正整数），n＝（q+1）（q﹣2）（q为大于2的正整数），再根据m﹣n＝18，分来讨论即可解答．
【解答】解：（1）“十字点”为7的“十字数”为a＝（7+1）（7﹣2）＝8×5＝40，
∵130＝（12+1）（12﹣2）＝13×10，
∴130的“十字点”为12，
故答案为：40，12；
（2）∵m的“十字点”为p，n的“十字点”为q，
∴m＝（p+1）（p﹣2）（p为大于2的正整数），n＝（q+1）（q﹣2）（q为大于2的正整数），
∵m﹣n＝18，
∴（p+1）（p﹣2）﹣（q+1）（q﹣2）＝18，
整理得，（p+q﹣1）（p﹣q）＝18，
∵m﹣n＝18＞0，p为大于2的正整数，q为大于2的正整数，
∴p＞q，p+q＞4；
∴p+q﹣1＞3，
∵18＝1×18＝2×9＝3×6，
∴或或，
∴（不合题意，舍去），，；
∴p+q＝10或p+q＝19．
【点评】本题考查了因式分解的应用，能够理解题意，根据题中所给条件将数进行正确的拆解是解题的关键．
38．（2022春•黔江区校级期中）如果一个四位自然数M的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与十位数字的和为10，百位数字与个位数字的差为1，那么称M为“和差数”．“和差数”M的千位数字的二倍与个位数字的和记为P（M），百位数字与十位数字的和记为F（M），令G（M）＝，当G（M）为整数时，则称M为“整和差数”．
例如：∵6342满足6+4＝10，3﹣2＝1，
且P（6342）＝14，F（6342）＝7，即G（6342）＝2为整数，
∴6342是“整和差数”．
又如∵4261满足4+6＝10，2﹣1＝1，
但P（4261）＝9，F（4261）＝8，即G（4261）＝不为整数，
∴4261不是“整和差数”．
（1）判断7736，5352是否是“整和差数”？并说明理由．
（2）若M＝2000a+1000+100b+10c+d（其中1≤a≤4，2≤b≤9，1≤c≤9，1≤d≤9且a、b、c、d均为整数）是“整和差数”，求满足条件的所有M的值．
【分析】（1）根据题目要求，由“整和差数”的定义判断即可；
（2）由“整和差数”的定义可得，再分情况讨论可得满足条件的所有M的值．
【解答】解：（1）∵7736满足7+3＝10，7﹣6＝1，
且P（7736）＝20，F（7736）＝10，即G（7736）＝2为整数，
∴7736是“整和差数”；
∵5352满足5+5＝10，3﹣2＝1，
但P（5352）＝12，F（5352）＝8，即G（5352）＝1.5不为整数，
∴5352不是“整和差数”；
（2）∵M＝2000a+1000+100b+10c+d＝1000×（2a+1）+100×b+10c+d，
∴M的千位数字为（2a+1），百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，
∵M是“整和差数”，
∴d＝b﹣1，c＝9﹣2a，
∴，
①当a＝1时，不为整数；
②当a＝2时，不为整数；
③当a＝3时，，
∴b+3＝5或10，即b＝2或7，
∴M的值为7231，7736；
④当a＝4时，，
∴b+1＝4或8，即b＝3或7，
∴M的值为9312，9716．
综上所述，M的值为7231，7736，9312，9716．
【点评】本题主要考查因式分解的应用，解答的关键是理解“整和差数”，明确条件与所求的关系．