2023年湖南省长沙一中双语实验学校中考数学二模试卷（含解析）

2023年湖南省长沙一中双语实验学校中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  “甲骨文”是中国的一种古老文字，又称“契文”“殷墟文字”下列甲骨文中，一定不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列说法正确的是(    )

A. 调查中央电视台开学第一课的收视率，应采用全面调查的方式
B. 数据，，，，的中位数是
C. “清明时节雨纷纷”是必然事件
D. 甲、乙两名射击运动员次射击成绩单位：环的平均数相等，方差分别为 ，，则甲的成绩比乙的稳定

4.  下列各式计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  在平面直角坐标系中，将点向右平移单位长度，再向上平移个单位长度正好与原点重合，那么点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  能说明“相等的角是对顶角”是假命题的一个反例是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的，则光线与纸板左上方所成的的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，，切于点，，点是上一点，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  小江去商店购买签字笔和笔记本签字笔的单价相同，笔记本的单价相同、若购买支签字笔和本笔记本，则他身上的钱会差元；若购买支签字笔和本笔记本，则他身上的钱会差元，若小江购买支签字笔和本笔记本，则(    )

A. 他身上的钱会不足元 B. 他身上的钱会剩下元
C. 他身上的钱会不足元 D. 他身上的钱会剩下元

10.  如图，已知、是反比例函数图象上的两点，轴，交轴于点动点从坐标原点出发，沿匀速运动，终点为过点作轴于设的面积为，点运动的时间为，则关于的函数图象大致为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  比较大小，用“”“”“”填空： ______

12.  五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐如图，，，为直线与五线谱的横线相交的三个点，则的值是        ．

13.  如图，是的外接圆，，，则的半径是______．

14.  已知关于方程有一个根为，则方程的另一个根为______．

15.  近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多为了解南迁到该区域某湿地的种候鸟的情况，从中捕捉只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，只种候鸟中有只佩有识别卡，由此估计该湿地约有______ 只种候鸟．

16.  利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图重新摆放，观察两图，若，，则矩形的面积是______．

 

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
有一种升降熨烫台如图所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图是这种升降熨烫台的平面示意图．和是两根相同长度的活动支撑杆，点是它们的连接点，，表示熨烫台的高度．
如图若，，求的值；
爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为时，两根支撑杆的夹角是如图求该熨烫台支撑杆的长度结果精确到．
参考数据：，，，

 

20.  本小题分
某校组织全校学生进行了“航天知识竞赛”，教务处从中随机抽取了名学生的竞赛成绩满分分，每名学生的成绩记为分分成如表中四组，并得到如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图根据图中信息，解答下列问题：

的值为______ ，的值为______ ，的值为______ ；
请补全频数分布直方图并计算扇形统计图中表示“”的圆心角的度数为______ ；
竞赛结束后，九年级一班从本班获得优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机为抽取两名宣讲航天知识，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．

21.  本小题分
已知：如图，在中，是边中点，于点，于点．
求证：≌；
若，，求的面积．

22.  本小题分
在“新冠病毒”防控期间，某医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行销售，两次购进的同一商品进价相同，购进数量和所需费用如表所示：

求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元？
公司决定酒精消毒液以每件元出售，测温枪以每件元出售．为满足市场需求，需购进这两种商品共件．
若设购进测温枪件，该公司销售完上述件商品获得的利润为元，请写出与的函数关系式；
若购买测温枪数量不超过件，求该公司销售完上述件商品获得的最大利润．

23.  本小题分
如图，已知是的直径，是上一点，，垂足为，连接，过点作的切线与的延长线相交于点．
求证：；
若的半径为，，求的长．

24.  本小题分
定义：在平面直角坐标系中，点是某函数图象上的一点，作该函数图象中自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象中自变量大于或等于的部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数关于点的“派生函数”．
例如：图是函数的图象，则它关于点的“派生函数”的图象如图所示，且它的“派生函数”的解析式为．

在图中画出函数关于点的“派生函数”的图象；
点是函数：的图象上的一点，设点的横坐标为，是函数关于点的“派生函数”．
当时，若函数值的范围是，求此时自变量的取值范围；
直接写出以点，，，为顶点的正方形与函数的图象只有两个公共点时，的取值范围．

25.  本小题分
已知：在中，，，是的中点，以为直径的分别交、于点、，点位于点下方，连接交于点．
如图，如果，求的长；
如图，设，，求关于的函数关系式及其定义域；
如图，连接，如果，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，故A正确．
故选：．
根据正数的绝对值是它本身进行解答即可．
本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是．
 

2.【答案】 

【解析】解：该图形是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B.该图形是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.该图形是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.该图形不是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此可得结论．
本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：、调查中央电视台开学第一课的收视率，应采用抽样调查的方式，故A不符合题意；
B、数据，，，，的中位数是，故B不符合题意；
C、清明时节雨纷纷”是随机事件，故C不符合题意；
D、甲、乙两名射击运动员次射击成绩单位：环的平均数相等，方差分别为 ，，则甲的成绩比乙的稳定，故D符合题意；
故选：．
根据随机事件，全面调查与抽样调查，中位数，方差的意义，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，全面调查与抽样调查，中位数，方差，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用完全平方公式，合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，完全平方公式，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：将点向右平移单位长度，再向上平移个单位长度正好与原点重合，
，，
，，
点的坐标是．
故选：．
根据“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”，即可求解．
本题主要考查了坐标与图形变化平移，解题的关键是熟记平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
 

6.【答案】 

【解析】解：、如图，两个角都是，这两个角相等，但这两个角不是对顶角，可以说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项符合题意；
B、如图，两个角都是，这两个角相等，这两个角是对顶角，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意；
C、如图，两个角不相等，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意；
D、如图，两个角不相等，不能说明“相等的角是对顶角”是假命题，本选项不符合题意；
故选：．
根据对顶角的概念、假命题的概念解答即可．
本题考查的是命题与定理以及假命题的证明，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
 

7.【答案】 

【解析】解：解法一：如图，

由题意可得，，，
四边形为平行四边形，
．
解法二：由题意可得，，，
，，
，
，
．
故选：．
解法一：根据平行四边的性质即可求解．
解法二：根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可求解．
本题主要考查平行线的性质、平行四边形的判定与性质，熟知平行四边形的判定方法与性质，以及平行线的性质是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接、．

、都为圆的切线，
．
，
．
．
故选：．
由与都为圆的切线，利用切线的性质得到两个角为直角，根据的度数，利用四边形的内角和定理求出的度数，再利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的倍，求出的度数即可．
此题考查了切线的性质，圆周角定理，以及四边形的内角和，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设签字笔的单价为元，笔记本的单价为元，
根据题意得：，
整理得：，
小江购买支签字笔和本笔记本的钱为，
，
即小江身上的钱会剩下元；
故选：．
设签字笔的单价为元，笔记本的单价为元，根据小江身上的钱不变得出方程，整理得，由小江购买支签字笔和本笔记本的钱为，得出，代入计算即可．
本题考查了二元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，得出方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：当点在线段上运动时．设则是大于的常数，，图象为抛物线的一部分，排除、；
当点在上运动时，此时的面积，保持不变；
点在上运动时，设路线的总路程为，点的速度为，则，因为，，均是常数，所以与成一次函数关系．故排除．
故选：．
点在上运动时，与成二次函数关系；点在上运动时，此时的面积不变；点在上运动时，减小，与的关系为一次函数，从而排除．
本题考查了反比例函数的综合题和动点问题的函数图象，解题的关键是根据点的移动确定函数的解析式，从而确定其图象．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
根据，即可得．
本题考查了实数比较大小，解题的关键是掌握二次根式．
 

12.【答案】 

【解析】解：过点作于，交于，
，
，
故答案为：．
过点作于，交于，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：延长交于点，连接，
则，
由圆周角定理得：，
，
则的半径为，
故答案为：．
延长交于点，连接，根据圆周角定理得到，根据正弦的定义计算，得到答案．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设方程的另一个根为，
根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
设方程的另一个根为，根据两根之和等于，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设该湿地约有只种候鸟，
则：：，
解得．
故答案为：．
在样本中“只种候鸟中有只佩有识别卡”，即可求得有识别卡的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答．
本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
 

16.【答案】 

【解析】解：设小正方形的边长为，
，，
，
在中，，
即，
整理得，，所以
而矩形面积为

该矩形的面积为，
故答案为：．
欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为，在直角三角形中，利用勾股定理可建立关于的方程，利用整体代入的思想解决问题，进而可求出该矩形的面积．
本题考查了勾股定理以及运用和一元二次方程的运用，解题的关键是构建方程解决问题．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

19.【答案】解：过点作于，

，，
，
；
过点作于，

，，
，
，
即该熨烫台支撑杆的长度约为． 

【解析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
过点作于，根据等腰三角形的性质得到，根据三角函数的定义即可得到结论；
过点作于，根据等腰三角形的性质和三角函数的定义即可得到结论．
 

20.【答案】       

【解析】解：，
，
，
故答案为：，，；
补全频数分布直方图如下：

扇形统计图中表示“”的圆心角的度数为：，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有种，
恰好抽到甲、乙两名同学的概率为．
由的人数除以所占百分比得出的值，即可求出、的值；
由的结果补全频数分布直方图，再由乘以“”所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题主要考查了树状图法求概率以及频数分布直方图和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】证明：是边中点，
，
，，
，
在和中，
，
≌；
解：由得：≌，
，
． 

【解析】易证，，再由即可证得≌；
由，即可得出结果．
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：设酒精消毒液每件的进价为元，测温枪每件的进价为元，
根据题意得：解得：
酒精消毒液每件的进价为元，测温枪每件的进价为元．
设购进测温枪件，获得的利润为元，则购进酒精消毒液件，
根据题意得：
，
．
又在中，，
的值随的增大而增大，
当时，取最大值，最大值为，
当购进酒精消毒液件、购进测温枪件时，销售利润最大，最大利润为元． 

【解析】设酒精消毒液每件的进价为元，测温枪每件的进价为元，根据两次进货情况表，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论．
设购进测温枪件，获得的利润为元，则购进酒精消毒液件，根据总利润单件利润购进数量，即可得出与之间的函数关系式；
由购买测温枪数量不超过件，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题．
本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，
，
为的切线，
，
，
，
；
解：连接，如图，
在中，，
是的直径，
，
，，
∽，
，即，
解得，，
，
，
在中，． 

【解析】先垂直的定义得到，根据切线的性质得到，然后根据等角的余角相等可得到结论；
连接，如图，先利用勾股定理计算出，再根据圆周角定理得到，接着证明∽，则利用相似比可计算出，，然后根据垂径定理得到，最后利用勾股定理可计算出的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
 

24.【答案】解：函数在的部分任取一点，其关于直线的对称点为，
设函数图象关于对称的部分的图象解析式为，
将，代入解析式，得：，
解得：，
“派生函数”的解析式为，
其图象如图所示，

函数：，
其顶点坐标为．
点关于直线的对称点坐标为，
函数关于直线对称的图象的解析式为：，
的解析式为，
其图象如图．

令，则，
解得：，．
，
结合图象可知此时；
函数：的顶点坐标为，
点关于对称的点的坐标为，
函数：关于对称的函数解析式为，
的解析式为，
函数中的部分只是由左右平移而来．
分类讨论：当函数中经过点时，如图，此时正方形与函数的图象有个公共点，即再往左移动即有个公共点．

将代入，得，
解得：，
此时，
，
；
当函数中的图象移动到如图所示的位置时，恰有个交点，即到达此位置之前都为个交点，此时．

将代入，即
解得：舍，
，
再将代入，得：，
解得：．
此时，
，
，
当时，正方形与函数的图象有个公共点；
当函数中的图象继续移动到经过点时，此时有个交点，再继续运动有个交点．

将代入，得，
解得：，．
此时，
，
，
当时，正方形与函数的图象有个公共点；
综上可知正方形与函数的图象只有两个公共点时，的取值范围是或． 

【解析】根据“派生函数”的定义在的部分任取一点关于直线的对称点为，再运用待定系数法求出对称部分的函数解析式，即可画出其图象；
根据“派生函数”的定义求出函数的解析式为，画出其图象即得出答案；根据“派生函数”的定义求出函数的解析式为，即函数中的部分只是由左右平移而来．画出图象，再分类讨论即可得出结果．
本题考查二次函数的综合应用，为压轴题．理解并运用新定义“派生函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，再借助图象解题是关键．
 

25.【答案】解：如图中，连接．

在中，，，，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
在中，．

如图中，连接，设交于，连接，，．

，
是的直径，
直线经过点，
是的直径，
，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
∽，
可得，
，
，
，
．

如图中，连接．

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由可知：，
整理得：，
或舍弃，
． 

【解析】如图中，连接在中，求出，即可解决问题．
如图中，连接，设交于，连接，，想办法用表示，，证明，推出，延长构建关系式即可解决问题．根据点位于点下方，确定的取值范围即可．
如图中，连接证明，由此构建方程即可解决问题．
本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．