2024高考物理大一轮复习题库 专题强化六 动力学和能量观点的综合应用(一)——多运动组合问题

专题强化六　动力学和能量观点的综合应用(一)

　　　　　——多运动组合问题

1．分析思路

(1)受力与运动分析：根据物体的运动过程分析物体的受力情况，以及不同运动过程中力的变化情况。

(2)做功分析：根据各种力做功的不同特点，分析各种力在不同的运动过程中的做功情况。

(3)功能关系分析：运用动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律进行分析，选择合适的规律求解。

2．方法技巧

(1)“合”——整体上把握全过程，构建大致的运动图景。

(2)“分”——将全过程进行分解，分析每个子过程对应的基本规律。

(3)“合”——找出各子过程之间的联系，以衔接点为突破口，寻求解题最优方案。

【例1 (2021·天津市等级考模拟)如图1所示，一小物块(视为质点)从H＝10 m高处，由静止开始沿光滑弯曲轨道AB进入半径R＝2 m 的光滑竖直圆环内侧，弯曲轨道AB在B点与圆环轨道平滑相接。之后物块沿CB圆弧滑下，由B点(无机械能损失)进入右侧的粗糙水平面上压缩弹簧。已知物块的质量m＝2 kg，与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，弹簧自然状态下最左端D点与B点距离L＝15 m，g＝10 m/s2，求：

图1

(1)物块从A滑到B时的速度大小；

(2)物块到达圆环顶点C时对轨道的压力；

(3)若弹簧最短时压缩量为10 m，求此时弹簧弹性势能。

答案　(1)10 m/s　(2)100 N　(3)100 J

解析　(1)物块从A滑到B的过程由动能定理得mgH＝mv

解得vB＝10 m/s。

(2)物块从A滑到C的过程由动能定理得

mg(H－2R)＝mv

在C点由牛顿第二定律得mg＋FN＝m

联立解得FN＝100 N。

(3)从B点到弹簧压缩最短时的过程由功能关系得mv＝μmg(L＋x)＋Ep

解得Ep＝100 J。

【例2 (2020·山东省等级考模拟)如图2所示，不可伸长的轻质细线下方悬挂一可视为质点的小球，另一端固定在竖直光滑墙面上的O点。开始时，小球静止于A点，现给小球一水平向右的初速度，使其恰好能在竖直平面内绕O点做圆周运动。垂直于墙面的钉子N位于过O点竖直线的左侧，与的夹角为θ(0＜θ＜π)，且细线遇到钉子后，小球绕钉子在竖直平面内做圆周运动，当小球运动到钉子正下方时，细线刚好被拉断。已知小球的质量为m，细线的长度为L，细线能够承受的最大拉力为7mg，重力加速度为g。

图2

(1)求小球初速度的大小v0；

(2)求小球绕钉子做圆周运动的半径r与θ的关系式；

(3)在细线被拉断后，小球继续向前运动，试判断它能否通过A点。若能，请求出细线被拉断时θ的值；若不能，请通过计算说明理由。

答案　(1)　(2)r＝L　(3)不能通过A点，理由见解析

解析　(1)设小球在最高点的速度为v，根据牛顿第二定律有mg＝m，解得

v＝

小球从A点至最高点，由动能定理有

－mg·2L＝mv2－mv

解得v0＝。

(2)小球绕钉子做圆周运动，设碰到钉子时的速度为v1，由释放到碰到钉子时根据动能定理得－mgL＝mv－mv

碰到钉子到绳子断的过程，由动能定理得

mgr＝mv－mv

绳子断的瞬间FT＝7mg，FT－mg＝m

联立以上几式，解得r＝L。

(3)细线被拉断后，小球做平抛运动，设经过t时间小球运动到过A点的竖直线上，由几何关系得x＝(L－r)sin θ

平抛运动的水平方向有x＝v2t，由(2)可知v2＝，平抛运动竖直方向有y＝gt2

代入上面几式可得

y＝gt2＝

平抛开始点与A点的高度差为

h＝L－r－(L－r)cos θ＝(L－r)(1－cos θ)

若正好过A点，则h＝y

解得r＝ L，此结论与(2)不相符，所以小球不能通过A点。

【针对训练1 (2021·北京丰台区期末)如图3甲所示为2022年北京冬奥会上以“雪如意”命名的跳台滑雪场地。图乙为跳台滑雪赛道的简化图，由助滑道、起跳区、着陆坡等几段组成，助滑道和着陆坡与水平面的夹角θ均为37°，直线AB段长度L＝100 m。运动员连同装备总质量m＝60 kg，由A点无初速下滑，从起跳区的C点起跳后降落在着陆坡上的D点。重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。

图3

(1)   若忽略运动员在助滑道上受到的一切阻力，求运动员下滑到B点的速度大

(2)   小v1；

(2)若由于阻力的影响，运动员实际下滑到B点的速度大小v2＝30 m/s，求运动员从A点下滑到B点过程中克服阻力做的功；

(3)若运动员从C点起跳时的速度大小v3＝32 m/s，方向沿水平方向。忽略其在空中运动时受到的一切阻力，求CD间的距离。

答案　(1)20 m/s　(2)9 000 J   (3)192 m

解析　(1)根据机械能守恒定律得

mgLsin θ＝mv

代入数据可得v1＝20 m/s。

(2)从A到B，根据动能定理得

mgLsin θ－Wf＝mv

解得Wf＝9 000 J。

(3)设CD间距离为L′，根据平抛运动的规律得L′cos θ＝v3t，L′sin θ＝gt2

联立解得L′＝192 m。

【针对训练2 如图4所示，半径均为R的四分之一光滑圆弧轨道AB、BC在B处平滑连接构成轨道ABC，其中AB段为细管道。轨道ABC竖直放置，且固定在水平台阶CE上，圆心连线O1O2水平，台阶距离水平地面的高度为R，一质量为m的小球静置于水平管口A点，若小球受微小扰动，从静止开始沿轨道ABC运动，已知小球直径略小于管道内径，重力加速度为g。

图4

(1)小球通过C点时，求轨道对小球的弹力大小FC；

(2)小球从C点飞出落到地面上，求落地点(图中未画出)到C点的距离s；

(3)某同学将该小球从地面上的D点斜向右上方抛出，小球恰好从C点水平飞入轨道， 已知水平距离DO＝2R，求小球沿轨道上滑到最高点时离地面的高度h。

答案　(1)5mg　(2)3R　(3)2R

解析　(1)由A到C，由机械能守恒得

2mgR＝mv

在C点，根据牛顿第二定律可得

FC－mg＝m

解得FC＝5mg。

(2)小球从C点做平抛运动，水平方向有

x＝vCt

竖直方向有R＝gt2

解得x＝2R

落地点到C点的距离s＝＝3R。

(3)小球从D点斜向右上方抛到C点的过程可以看作由C点到D点的平抛运动，设小球到达C点的速度大小为vC′，则有

2R＝vC′t′，R＝gt′2

解得vC′＝

设小球从C点上滑的最大高度为h′，对小球上滑到最高点的过程，根据动能定理可得mgh′＝mvC′2，

解得h′＝R，所以h＝h′＋R＝2R。

1．(2021·安徽芜湖市5月质量监控) 如图1所示，从A点以水平速度v0＝2 m/s抛出质量m＝1 kg的小物块P(可视为质点)，当物块P运动至B点时，恰好沿切线方向进入半径R＝2 m、圆心角θ＝60°的固定光滑圆弧轨道BC，轨道最低点C与水平地面相切，C点右侧水平地面某处固定挡板上连接一水平轻质弹簧。物块P与水平地面间动摩擦因数μ为某一定值，g取10 m/s2，弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力。求：

图1

(1)抛出点A距水平地面的高度H；

(2)若小物块P第一次压缩弹簧被弹回后恰好能回到B点，求弹簧压缩过程中的最大弹性势能Ep。

答案　(1)1.6 m　(2)14 J

解析　(1)物块经过B点时有tan θ＝

可得vy＝2 m/s

小物块运动至B点的竖直分位移

y＝＝0.6 m

A点距地面的高度

H＝y＋R(1－cos 60°)＝1.6 m。

(2)以地面为零势面，设物块在水平地面向右运动的位移为x，从A点水平抛出到第一次返回B点过程中有

mv＋mgH＝μmg·2x＋mgR(1－cos 60°)

可得μmgx＝4 J

从A点水平抛出到弹簧压缩最短过程中有

mv＋mgH＝μmgx＋Ep

Ep＝14 J。

2．(2021·陕西西安市高考模拟猜想卷)学校科技小组设计了“e”字型轨道竖直放置在水平面上，如图2所示，该轨道由两个光滑半圆形轨道ABC、CDE和粗糙的水平直轨道EF组成，末端与竖直的弹性挡板OF连接，轨道CDE半径r＝0.1 m，轨道ABC半径为2r，A端与地面相切。现将质量m＝0.2 kg 小滑块从水平地面P点以速度v0＝2 m/s出发并沿“e”字型轨道上滑，运动到F点与挡板发生完全弹性相碰。已知水平直轨道EF长为L＝0.5 m，小滑块与轨道EF间的动摩擦因数μ＝0.5，其余阻力均不计，小滑块可视为质点。求：

图2

(1)小滑块在ABC圆轨道运动时对轨道C点的压力；

(2)小滑块最终停止的位置离F点的距离；

(3)若改变小滑块的初速度，使小滑块能停在EF轨道上，且运动过程中不脱离轨道，则小滑块的初速度满足什么条件。

答案　(1)2 N，方向竖直向上　(2)0.3 m

(3)m/s<v0≤4 m/s

解析　(1)小滑块从P到C的过程中，根据动能定理可得－mg·4r＝mv－mv

在C点对小滑块根据牛顿第二定律可得

FN＋mg＝

联立解得FN＝2 N

根据牛顿第三定律可知小滑块对轨道的压力大小为2 N，方向竖直向上。

(2)从P点到EF轨道停止过程中，根据动能定理可得－mg·2r－μmgs＝0－mv

解得s＝0.8 m＝(L＋0.3) m

所以小球最终停在离F点0.3 m处。

(3)小滑块刚好经过最高点C，则mg＝

小滑块从P到C的过程中，根据动能定理可得

－mg·4r＝mv2－mv

联立解得v1＝ m/s

当小滑块第一次从挡板弹回，到达小圆的圆心等高处时速度为零，小滑块从P到D的过程中，根据动能定理可得

－mg·3r－μmg·2L＝0－mv

解得v2＝4 m/s

所以小滑块的初速度范围为 m/s<v0≤4 m/s。

3．如图3所示，BC是高处的一个平台，BC右端连接内壁光滑、半径r＝0.2 m的四分之一细圆管CD，管口D端正下方一根劲度系数为k＝100 N/m的轻弹簧直立于水平地面上，弹簧下端固定，上端恰好与管口D端平齐。一可视为质点的小球在水平地面上的A点斜向上抛出，恰好从B点沿水平方向进入高处平台，A、B间的水平距离为xAB＝1.2 m，小球质量m＝1 kg。已知平台离地面的高度为h＝

0.8 m，小球与BC间的动摩擦因数μ＝0.2，小球进入管口C端时，它对上管壁有10 N的作用力，通过CD后，在压缩弹簧过程中小球速度最大时弹簧弹性势能Ep＝0.5 J。若不计空气阻力，取重力加速度大小g＝10 m/s2。求：

图3

(1)小球通过C点时的速度大小vC；

(2)平台BC的长度L；

(3)在压缩弹簧过程中小球的最大动能Ekm。

答案　(1)2 m/s　(2)1.25 m　(3)4.5 J

解析　(1)小球通过C点时，它对上管壁有F＝10 N的作用力，根据牛顿第三定律可知上管壁对它也有F′＝10 N的作用力，根据牛顿第二定律有F′＋mg＝m，得vC＝2 m/s。

(2)小球从A点抛出到B点所用时间

t＝＝0.4 s

到B点时速度vB＝＝3 m/s

小球从B到C的过程中，根据动能定理，有

－μmgL＝mv－mv

得平台BC的长度L＝1.25 m。

(3)小球压缩弹簧速度最大时，加速度为零，则mg＝kx

弹簧的压缩量x＝0.1 m

从C位置到小球的速度最大时的过程中，根据机械能守恒，有

mg(r＋x)＋mv＝Ekm＋Ep

解得Ekm＝4.5 J。

4．滑板运动是青少年喜爱的一项活动。如图4甲所示，滑板运动员以某一初速度从A点水平离开h＝0.8 m高的平台，运动员(连同滑板)恰好能无碰撞的从B点沿圆弧切线进入竖直光滑圆弧轨道，然后由C点滑上涂有特殊材料的水平面，水平面与滑板间的动摩擦因数从C点起按图乙规律变化，已知圆弧与水平面相切于C点，B、C为圆弧的两端点。圆弧轨道的半径R＝1 m；O为圆心，圆弧对应的圆心角θ＝53°，已知g＝10 m/s2，sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80，不计空气阻力，运动员(连同滑板)质量m＝50 kg，可视为质点，试求：

图4

(1)运动员(连同滑板)离开平台时的初速度v0；

(2)运动员(连同滑板)通过圆弧轨道最低点对轨道的压力大小；

(3)运动员(连同滑板)在水平面上滑行的最大距离。

答案　(1)3 m/s　(2)2 150 N　(3)3.55 m

解析　(1)运动员从A平抛至B的过程中，在竖直方向有v＝2gh①

在B点有vy＝v0tan θ②

由①②得v0＝3 m/s。③

(2)运动员在圆弧轨道做圆周运动到C处时，牛顿第二定律可得FN－mg＝m④

运动员从A到C的过程，由动能定理得

mg＝mv－mv⑤

联立③④⑤解得FN＝2 150 N。

由牛顿第三定律得：对轨道的压力为FN′＝FN＝2 150 N。

(3)运动员经过C点以后，由图可知

x1＝0.5 m，μ＝0.5

mv＞μmgx1

设最远距离为x，则x＞x1，由动能定理可得

μmgx1＋μmg＝mv⑥

联立⑤⑥解得x＝3.55 m。