精品解析：山东省泰安市宁阳县第四中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题（解析版）

山东省泰安市宁阳县第四中学2022-2023学年高二下学期3月月考

数学试题

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

1. 已知函数，则（    ）

A. 0 B. e C. 2e D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据复合函数的导函数运算求解.

【详解】因，则，所以.

故选：C.

2. 6名同学排成一排，其中甲､乙两人必须在一起的不同排法共有（    ）

A. 720 B. 360 C. 240 D. 120

【答案】C

【解析】

【分析】先将甲乙捆绑在一起，然后将其看成一个元素与其余4人一起进行全排列可得.

【详解】先将甲､乙两人排成一排共种排法，将甲､乙两人看成一个元素，然后与其余4人一起排成一排，共有种，所以甲､乙两人在一起的不同排法共有种排法.

故选：C

3. 5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（    ）

A. 10种 B. 20种 C. 25种 D. 32种

【答案】D

【解析】

【分析】由分步乘法原理计算．

【详解】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为.

故选：D

4. 函数在处的切线与直线:垂直，则

A. 3 B. 3 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先利用求导运算得切线的斜率，再由互相垂直的两直线的关系，求得的值．

【详解】

函数在（1，0）处的切线的斜率是 ，

所以，与此切线垂直的直线的斜率是

故选A.

【点睛】本题考查了求导的运算法则和互相垂直的直线的关系，属于基础题．

5. 已知的展开式中，奇数项的二项式系数之和是64，则的展开式中，的系数为（    ）

A.  B. 672 C.  D. 280

【答案】D

【解析】

【分析】利用二项式系数的性质求出，再将拆为，利用的展开式的通项可求得结果.

【详解】因为奇数项二项式系数和为，则，

，

的展开式的通项为，

所以展开式中含项系数为，

故选：D.

6. 函数f（x）=（x2+2x）e2x的图象大致是

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用导数判断出的单调区间，结合函数值的符号，选出正确选项.

【详解】由于，而的判别式，所以开口向上且有两个根，不妨设，所以在上递增，在上递减.所以C,D选项不正确.当时，，所以B选项不正确.由此得出A选项正确.

故选：A

【点睛】本小题主要考查利用导数判断函数的图像，属于基础题.

7. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（　　）

A. 1440种 B. 960种 C. 720种 D. 480种

【答案】B

【解析】

【详解】5名志愿者先排成一排，有种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有=960种不同的排法，选B．

8. 已知函数和点，则过点与该函数图像相切的直线条数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】

先判断出点没有在函数上.因而设出切点坐标,根据切点在函数上,及过切点的斜率为该点的导数,即可求得切点个数,即为切线的数量.

【详解】函数和点

因为

所以点没有在函数的图像上

设切点坐标为 ,则

则

由导数的几何意义可知,过切点的斜率为

过于切点的斜率表示为

所以,化简可得

所以解得或

则切点有两个,因而有两条切线方程

故选:B

【点睛】本题考查了利用导数求过一点的切线方程,注意需先判断点是否在曲线上,属于基础题.

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

9. 若的展开式中恰有三项的系数为有理数，则n的可能取值为（    ）

A. 9 B. 10 C. 12 D. 15

【答案】CD

【解析】

【分析】由二项式定理，结合二项式展开式的通项公式求解即可．

【详解】已知（）的展开式的通项公式为，

又∵（）的展开式中恰有三项的系数为有理数，又因为，则，，

对于选项A，当n＝9时，r＝0、6，不满足题意，即选项A错误；

对于选项B，当n＝10时，r＝4、10，不满足题意，即选项B错误；

对于选项C，当n＝12时，r＝0、6、12，满足题意，即选项C正确；

对于选项D，当n＝15时，r＝0、6，12，满足题意，即选项D正确.

故选：CD.

10. 若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质．下列函数中具有M性质的为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】根据新定义，由函数的单调性，逐一判断各个选项是否满足条件，从而得出结论．

【详解】当时，的定义域为R，函数，

由，则在R上单调递增，函数具有M性质，故A选项正确；

当时，的定义域为R，函数，

由，则在R上单调递减，函数不具有M性质，故B选项不正确；

当时，的定义域为R，函数，

，当时，，单调递减，故函数不具有M性质，故C选项不正确；
当时，的定义域为R，函数，

，则在R上单调递增，函数具有M性质，故D选项正确.

故选：AD

11. 回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（    ）

A. 四位回文数有90个

B. 四位回文数有45个

C. （）位回文数有个

D. （）位回文数有个

【答案】AC

【解析】

【分析】按照分步乘法计数原理计算可得.

【详解】根据题意，对于四位回文数，

有1001、1111、1221、……、1991、

2002、2112、2222、……、2992、

……、

9009、9119、9229、……、9999，

其首位和个位有种选法，第二为和第三位有种选法，故共有个，则A正确，B错误；

对于位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选法，……，

第个数字，即最中间的数字有10种选法，

则共有种选法，

即（）位回文数有个，故C正确，D错误.

故选：AC.

12. 设为函数的导函数，已知，，则下列结论中正确的是（    ）

A. 在上单调递增 B. 在上单调递减

C. 在上有极大值 D. 在上有极小值

【答案】ABD

【解析】

【分析】

首先根据题意设，得到，再求出的单调性和极值即可得到答案.

【详解】由得：，设，则，

由得，由得，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上有极小值，

故选：ABD.

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，同时考查了构造函数，属于中档题.

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏.如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成，玩该游戏时，需要将数字1，2，3(各3个)全部填入单元格，每个单元格填个数字，要求每一行，每一列均有1，2，3这三个数字，则不同的填法有________种(用数字作答).

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，结合数表可分三步讨论每一行数字的填法，由分步计数原理，即可求解.

【详解】根据题意，可分3步进行分析：

①将三个数字填入第一行，有种情况；

②第二行第一列的数字与第一行第一列的数字不同，有2种情况，第二列，第三列只有1种情况，则第二行只有2种情况；

③由于前两行的数字确定，第三行只有1种情况，

由分步计数原理，共有种不同的填法.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了分步计数原理，以及排列组合额的应用，其中解答中认真审题，租用分析题目的限制条件，合理分步求解是解答的关键，转化考查推理与运算能力.

14. 在的展开式中，若第7项系数最大，则n的值可能等于______.

【答案】11、12、13

【解析】

【分析】由二项式定理，结合二项式系数及组合数的性质求解即可．

【详解】在的展开式中，每项的系数等于其二项式系数，

①当只有第7项系数最大时，即只有最大时，则n＝12；

②当第6项和第7项的系数相等且最大时，即最大时，则n＝11；

③当第7项和第8项的系数相等且最大时，即最大时则n＝13，

综合①②③可得n的值可能等于11、12、13，

故答案为：11、12、13.

15. 函数的单调减区间为__________．

【答案】

【解析】

【分析】利用导数研究函数单调性即可得到结论.

【详解】解：，，

由，即，解得 ，
，即函数的单调减区间为，
故答案为：

16. 已知函数，若函数的极小值不小于，则实数的取值范围为_______.

【答案】

【解析】

【分析】利用导数求出函数的极小值，根据题中条件得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.

【详解】由得，定义域.

当时，，函数单调递增，函数无极值；

当时，令，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

所以当时，函数取极小值，且为.

依题意有：，因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】本题考查利用函数的极值求参数，考查运算求解能力，属于中等题.

四、解答题（本题共6小题，共70分）

17. 为支援西部开发，需要从8名男干部和2名女干部中任选4人组成支援小组到西部某地支边，要求男干部不少于人，问有多少种选派方案.

【答案】182种

【解析】

【分析】分男干部人、女干部人和男干部人两种情况，利用组合数公式计算可得.

【详解】男干部不少于人，则包含：男干部人、女干部人；男干部人，

所以选法总数为种.

18. 已知函数.

（1）求在处的切线方程；

（2）试判断在区间上有没有零点？若有则判断零点的个数.

【答案】（1）；（2）有2个.

【解析】

【详解】试题分析：（1）利用导数的几何意义求切线方程．（2）利用导数求出函数的极大值和极小值，判断极值与0的关系明确零点个数．

试题解析：

（1）由已知得，有，

∴在处的切线方程为：，化简得

（2）由（1）知，

因为，令，得

所以当时，有，则是函数单调递减区间；

 当时，有，则是函数的单调递增区间．

当时，函数在上单调递减，在上单调递增；

又因为，，

所以在区间上有两个零点．

19. 已知二项式．

（1）若展开式中第二项系数与第四项系数之比为1:8，求二项展开式的系数之和．

（2）若展开式中只有第6项的二项式系数最大，求展开式中的常数项．

【答案】（1）-1            （2）180

【解析】

【分析】(1)先求出的值，再求二项展开式的系数之和；(2)根据已知求出的值，再求出展开式中的常数项．

【详解】(1)二项式的展开式的通项为，

所以第二项系数为，第四项系数为，

所以，所以.

所以二项展开式的系数之和.

(2)因为展开式中只有第6项的二项式系数最大，

所以展开式有11项，所以

令.

所以常数项为.

【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数问题，考查指定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

20. 设函数（）.

（1）若，求函数在区间上的最大值和最小值；

（2）当时，，求的取值范围.

【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）

【解析】

【分析】

（1）求导得到函数在上单调递减，在上单调递增，计算得到最值.

（2）讨论和两种情况，分别计算函数单调性得到最小值，得到证明.

【详解】（1），取，即，

函数在上单调递减，在上单调递增，

且，，，

故函数的最大值为，最小值为.

（2），，.

当时，，函数单调递增，故，成立；

当时，，即，

故函数在上单调递减，在上单调递增，

故，不成立.

综上所述：，即.

【点睛】本题考查了函数的最值，恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.

21. 设，其中是关于的多项式，．

（1）求a，b的值；

（2）若，求除以的余数．

【答案】（1），   

（2）28

【解析】

【分析】（1）把已知等式变形，利用系数相等求解a与b的值；

（2）由已知求得，则，展开二项式，即可求得除以81的余数．

【小问1详解】

解：（1）由已知等式，得，

因

，

所以

所以，

所以，，

【小问2详解】

解：∵，

∴结合（1）得，解得．

∴

．

∴除以的余数为．

【点评】本题考查二项式定理及其应用，考查运算求解能力，是中档题．

22. 已知，设函数

(I)若，求的单调区间：

(II)当时，的最小值为0，求的最大值.注：…为自然对数的底数.

【答案】(I)详见解析；(II)

【解析】

【分析】

(I)求导得到，讨论和两种情况，得到答案.

(II) ，故，取，，求导得到单调性，得到，得到答案.

【详解】(I) ，，

当时，恒成立，函数单调递增；

当时，，，当时，函数单调递减；

当时，函数单调递增.

综上所述：时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增.

(II) 在上恒成立；

，故，

现在证明存在，，使的最小值为0.

取，，（此时可使），

，，

故当上时，，故，

上单调递增，，

故在上单调递减，在上单调递增，故.

综上所述：的最大值为.

【点睛】本题考查了函数单调性，函数的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.