2022-2023学年广西壮族自治区玉林市北流市高一下学期期中四校联考质量评价检测数学试题含解析

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  2023年春季期高中一年级期中四校联考质量评价检测数学命题人：李容        审题人：梁钊   李欣蔚   黄莹注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数（为虚数单位），则的虚部为（  ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先化简复数,再求的虚部.【详解】由题得=，故复数虚部为故选：C.2. 已知向量，，则（    ）A. -2 B. -3 C. -4 D. -5【答案】A【解析】【分析】利用向量数量积坐标运算公式进行计算.【详解】故选：A3. 工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（    ）A. 两条相交直线确定一个平面B. 两条平行直线确定一个平面C. 四点确定一个平面D. 直线及直线外一点确定一个平面【答案】A【解析】【分析】利用平面的基本性质求解.【详解】解：由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格，所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”.故选：A4. 已知的三边长分别为1，，，则它的最大内角的度数是（    ）A. 90° B. 135° C. 120° D. 150°【答案】B【解析】【分析】由余弦定理即可算出答案.【详解】因为的三边长分别为1，，，所以边长为的边所对的角最大，其余弦值为所以最大内角的度数是故选：B【点睛】本题考查的是利用余弦定理解三角形，较简单.5. 某圆锥的侧面展开图扇形的弧长为，扇形的半径为5，则圆锥的体积为（    ）A.  B. 75 C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据扇形弧长求出圆锥底面圆的半径，进而求出圆锥的高，求出体积.【详解】设底面圆的半径为，则，解得：，设圆锥的高为，则，则圆锥的体积为.故选：D6. 如图，正三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱，一小虫从点A途经三个侧面爬到点，则小虫爬行的最短距离为（    ）A. 4 B. 5 C.  D. 【答案】C【解析】【分析】将三棱柱展开为一矩形，确定边长，确定小虫爬行的轨迹，即可求得答案.【详解】三棱柱的侧面展开图为一个矩形，如图所示, 因为正三角形ABC的边长为3，侧棱，所以，所以，即小虫爬行的最短距离为,故选：C7. 在中，已知，则是（    ）A. 直角三角形 B. 等腰三角形C. 钝角三角形 D. 直角三角形或钝角三角形【答案】D【解析】【分析】将不等式移项，结合三角函数两角和差公式即可得出结论.【详解】由题可知：，故为锐角或直角，由三角形的内角和为180°可知C为钝角或直角，故三角形为直角或钝角三角形.故选：D.8. 如图，为测得河对岸铁塔AB高，先在河岸上选一点C，使C在铁塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为，再由点C沿北偏东方向走10m到位置D，测得，则铁塔AB的高为 A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由正弦定理求得，再在直角三角形中求得高．【详解】中，，，，由正弦定理得，所以，又中，，．故选：A．【点睛】本题考查解三角形的应用，认识方位角是解题基础，掌握正弦定理是解题关键．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 若复数，且满足，则的值可为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】AD【解析】【分析】根据复数的加减运算结合复数的模列方程，整理可得，分析选项即可得答案.【详解】解：，，，的值符合条件的只有选项A，D.故选：AD.10. (多选题)如图，ABCD­A1B1C1D1是长方体，O是B1D1中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是（    ）A. A，M，O三点共线 B. A，M，O，A1四点共面C. A，O，C，M四点共面 D. B，B1，O，M四点共面【答案】ABC【解析】【分析】只需证明A，M，O三点均在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上即可判断.【详解】平面AA1C∩平面AB1D1=AO，∵直线A1C交平面AB1D1于点M，∴M∈AO，即A，O，M三点共线；根据A，O，M三点共线，知A1A∩AO=A，∴M，O，A1，A四点共面；同理M，O，C1，C四点共面；OM，B1D是异面直线，故O，M，B1，D四点共面是错误的，故选：ABC．11. 水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原是一个（    ）A. 等边三角形 B. 等腰三角形C. 三边互不相等的三角形 D. 面积为的三角形【答案】ABD【解析】【分析】根据斜二测画法将三角形还原，得其形状和性质.【详解】因为直观图中，，，所以原如图，，，所以，既是等腰三角形也是等边三角形，面积为.故选：ABD.12. 在中，角的对边分别为.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（    ）A. ，有唯一解B. ，无解C. ，有两解D. ，有唯一解【答案】AD【解析】【分析】根据三边确定可判断A选项；由正弦定理，在结合大边对大角可判断B，C，D选项.【详解】解：选项A，，已知三边三角形确定，有唯一解，A正确；选项B，由正弦定理得：，则，再由大边对大角可得，故可以为锐角，也可以为钝角，故三角形有两解，B错误；选项C，由正弦定理得：，则，且，由大边对大角可得，则只能为锐角，故三角形有唯一解，C错误；选项D，由正弦定理得：，，由于，则是锐角，有唯一解，D正确.故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在△ABC中，若BC=3，AC=2，A=60°， 则sinB = ________.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理可求.【详解】由正弦定理可得，故，故，故答案为：.14. 一个长方体的长、宽、高分别为9，8，3，若在上面钻一个高为3的贯穿上下表面的圆柱形孔后，其表面积没有变化，则孔的半径为______.【答案】3【解析】【分析】根据在上面往下面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，可知圆孔的侧面积与两个底面的面积和相等，然后列出等式即可求解．【详解】解：正方体被钻掉一个圆柱形孔后，正方体的表面积减少了两个圆柱的底面积大小，同时又增加了圆柱的侧面积，∵在上面往下面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，∴圆孔的侧面积与两个底面的面积和相等，设圆柱的底面半径为r，则2πr2＝2πr•3，即r＝3，故答案为：3．15. 已知，若点A、B的中点坐标为，且与共线，则________．【答案】##【解析】【分析】设B（x，y），由题意求出点的坐标，再由两向量共线可求出的值.【详解】设B（x，y），则由题意可知，解得，则，所以，因为与向量共线，所以，得，故答案为：16. 图中小正方形的边长为1，一个四边形的直观图为如图所示的四边形，则该四边形的平面图形的面积为__________．【答案】【解析】【分析】根据斜二测画法，得出该四边形在平面直角坐标系中的图形，由梯形和三角形的面积公式可求得答案.【详解】由已知可得该四边形在直角坐标系下的平面图形如图所示，由斜二测画法可知，，，过点作，则，，设梯形的面积为，所以该四边形的平面图形的面积为．故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知复数满足，．（1）求复数；（2）求复数的实部和虚部．【答案】（1）    （2）复数的实部为，虚部为.【解析】【分析】（1）设复数，由，列方程组可求出的值，即可求出复数.（2）由复数的乘法运算即可求出，即可得到的实部和虚部.【小问1详解】设复数，则，由，解得：.再由， ，解得：，故复数.【小问2详解】因为，，，复数的实部为，虚部为.18. 已知向量，若，（1）求向量与的夹角；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先根据求出，再由可求出；（2）先求出，即可求出的值.【详解】（1），，，，解得，，，，，又，所以所以与的夹角为；（2），.19. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足.（1）求的值（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理可得结果；（2）先由三角恒等变换求得，再由正弦定理可得结果.【详解】（1）因为，由正弦定理得，所以；（2）由（1）知，所以，又，所以，由正弦定理得.20. 某长方体从一个顶点出发的三条棱的长分别为3cm，3cm，．（1）求该长方体的外接球的体积和表面积；（2）如图，将此长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求剩下的几何体的体积．【答案】（1）体积为，表面积为.    （2）【解析】【分析】（1）由题意，求得长方体对角线长为，得到长方体的外接球的半径为，结合球的体积和表面积公式，即可求解；（1）根据题意求得长方体的体积为，以及，进而求得剩余部分的体积.【小问1详解】解：由题意，长方体从一个顶点出发的三条棱的长分别为，可得长方体的对角线长为，设长方体的外接球的半径为，可得，即，所以外接球的体积为，表面积为.【小问2详解】解：如图所示，由长方体从一个顶点出发的三条棱的长分别为，则长方体的体积为，三棱锥的体积为，所以剩余部分的体积为 21. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若，D为AC边上的一点，，且        ，求△ABC的面积．请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．①BD是∠ABC的平分线；②D为线段AC的中点．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式即可求解；（2）选择①，由平分得，分别用三角形面积公式求解可得，利用余弦定理可得，联立即可求解的值，即可求得△ABC的面积；选择②，利用平面向量的线性运算可得，求解向量的模可得，利用余弦定理可得，联立即可求解的值，即可求得△ABC的面积.【小问1详解】解：由正弦定理知，，∵，代入上式得，∵，∴，，∵，∴.【小问2详解】若选①：由平分得，，∴，即．在中，由余弦定理得，又，∴，联立得，解得，（舍去），∴．若选②：因为，，，得，在中，由余弦定理得，即，联立，可得，∴．22. 如图所示，是△ABC的一条中线，点满足，过点的直线分别与射线，射线交于，两点.（1）若，求的值；（2）设，，，，求的值；【答案】（1）；    （2）3.【解析】【分析】（1）利用向量的线性运算的几何表示，将用表示，进而即得；（2）由，将用表示，利用三点共线即得.【小问1详解】因，所以，又因为的中点，所以，所以，又，所以；【小问2详解】因，，，，所以，，又因，所以，又因，，三点共线，所以，即.