2022-2023学年广东省深圳市深圳中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年广东省深圳市深圳中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知复数，则z的虚部为（    ）

A．2 B． C．5 D．

【答案】B

【分析】由复数的乘法和除法运算化简复数，即可得出答案.

【详解】，则z的虚部为．

故选：B.

2．下列结论中，正确的是（    ）

A．零向量只有大小，没有方向 B．若，，则

C．对任一向量，总是成立的 D．

【答案】D

【分析】对于A，根据零向量的定义可判断；对于B，根据向量平行的传递性可判断；对于C，举反例，即可判断；D，根据即可判断.

【详解】对于A，零向量的方向是任意方向的，A错误；

对于B，当时，与可以不平行，B错误；

对于C，，C错误；

对于D，，D正确.

故选：D

3．若，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据倍角余弦公式可得，再根据，开方即可求解.

【详解】因为，所以，

又，则.

故选：C

4．函数的最小正周期和振幅分别是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用辅助角公式化简可得，结合最小正周期和振幅的概念即可求解.

【详解】，

所以最小正周期为，振幅为1.

故选：A.

5．已知是平面内四个互不相同的点，为不共线向量，，，，则（    ）

A．M，N，P三点共线 B．M，N，Q三点共线 C．M，P，Q三点共线 D．N，P，Q三点共线

【答案】B

【分析】根据共线定理即可判断各项.

【详解】对于A，令，即，

所以，所以不存在，使得，A错误；

对于B，由于，，

所以，

所以，又相交于点，

故 M、N、Q三点共线.B正确；

对于C，，

令，即，

所以，所以不存在，使得，C错误；

对于D， 令，即，

所以，所以不存在，使得，D错误.

故选：B

6．已知都为锐角，，，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据余弦的差角公式，结合,同角三角函数关系求解即可.

【详解】解：因为都为锐角，即，所以

因为，，

所以，，

所以

.

故选：A

7．若，则（    ）

A． B． C． D．或

【答案】B

【分析】利用三角恒等变换和同角三角关系求解即可.

【详解】因为，所以，

所以

，

故选：B

8．剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形的边长为，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求出点的横坐标的取值范围，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的取值范围.

【详解】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

设点，易知，以为半径的左半圆的方程为，

以为半径的右半圆的方程为，

所以点的横坐标的取值范围是，

又因为，，所以，.

故选：B.

二、多选题

9．已知平面向量，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】因为，两边平方可得，即可求得，从而可判断选项ABC，进而求得，从而可判断选项D.

【详解】因为，两边平方可得，

所以，即.

对于A，，解得，A正确；

对于B，因为，所以，B错误；

对于C，因为，则，C错误；

对于D，由选项A可知，所以，D正确.

故选：AD

10．在中，角所对的边分别为，且.若有两解，则的值可以是（    ）

A．4 B．5 C．7 D．10

【答案】BC

【分析】由题意画出图形，可知，求出的范围，根据选项，得出结果即可.

【详解】解：如图：

要使有两个解，则，

即，解得：，

故选：BC

11．已知，，则下列选项中可能成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】利用坐标进行向量线性运算，并结合三角恒等变换计算相应数量积和模长，从而判断出答案.

【详解】因为，，

所以，，

，，

，

，

若，此时，故，A可能正确；

若，此时，，B选项可能正确；

，

故C一定不正确；

，故D一定不正确.

故选：AB

12．如图，直线，点是之间的一个定点，点到的距离分别为1，2.点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，则（    ）

A． B．面积的最小值是

C． D．存在最小值

【答案】ABC

【分析】根据题意建立合适的直角坐标系，设出坐标，根据及即可找到三个点的坐标关系，分别写出即可判断A；取中点为，连接，根据，可得三点共线，且为靠近的三等分点，即可找到面积与面积之间比例关系，进而建立面积等式，根据基本不等式即可判断B，求出再根据基本不等式可判断C；写出进行化简，根据的范围即可得最值情况.

【详解】解：记中点为，连接，以为原点，

方向分别为轴建立如图所示直角坐标系：

所以，设，且，

所以，因为，所以，

即，故，即，所以，

，，

因为，所以，

解得，即，所以，

因为，

故，选项A正确；

因为，所以，

即，所以三点共线，且为靠近的三等分点，

所以

，

当且仅当，即时取等，所以选项B正确；

因为，所以

，

当且仅当，即时取等，故，选项C正确；

因为，

所以

，

因为且，所以，记，，

可知单调递增，没有最值，即没有最值，故选项D错误.

故选：ABC

【点睛】思路点睛：该题考查向量的综合应用，属于难题，关于三角形三心的思路有：

（1）若为的重心，则①是三边中线的交点，②，③重心分三角形中线为；

（2）若为的内心，则①是三角形三个角平分线的交点，②，③；

（3）若为的外心，则①是三角形三边垂直平分线的交点，②，③.

三、填空题

13． _____．

【答案】

【分析】利用即可得到答案.

【详解】.

故答案为：

【点睛】本题主要考查余弦二倍角公式，熟记公式为解题关键，属于简单题.

14．设分别是的边上的点，,若，则＝________.（用表示）

【答案】

【分析】利用三角形法则，结合即可.

【详解】如图:

因为，

所以

，

故答案为：

15．________ .

【答案】

【分析】根据，再利用差角余弦公式和诱导公式即可求解.

【详解】

故答案为：

16．如图在平行四边形中，已知，，，，则的值是______________.

【答案】22

【分析】根据基底表示再根据向量数量积化简，即得结果.

【详解】

【点睛】用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．

四、解答题

17．已知复数（是虚数单位）.

(1)求复数的模和共轭复数；

(2)若，求的值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用复数模的公式求模，再利用复数的共轭复数的定义求共轭复数；

（2）将复数z代入，利用复数相等求解；

【详解】（1）解：因为复数（是虚数单位），

所以，；

（2）因为复数（是虚数单位），且，

所以，即，

则，解得.

18．已知向量，满足，．

(1)若，的夹角为，求；

(2)若，求与的夹角．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先算出 ，再按照数量积的公式计算即可

（1）根据得到，计算出，再根据 即可

【详解】（1），所以，

所以

（2）因为，所以，

所以，所以 ，

令

所以，

因为，所以

故与的夹角为．

19．已知向量，，函数.

(1)求的最小正周期以及单调递增区间；

(2)将的图象向左平移单位后得到的图象，当，求的值域.

【答案】(1)，增区间为

(2)

【分析】（1）求得，根据周期公式可求得最小正周期，令可求得单调递增区间；

（2）由求得，再根据正弦函数的性质即可求解.

【详解】（1）由题意知：，

所以，

令，则

所以的最小正周期为，增区间为.

（2）由题意知：

所以当时，

所以.即的值域为.

20．某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距 的观测站A和B，观测人员分别在A，B处观测该动物种群．如图，某一时刻，该动物种群出现在点C处，观测人员从两个观测站分别测得，，经过一段时间后，该动物种群出现在点D处，观测人员从两个观测站分别测得，．（注：点A，B，C，D在同一平面内）

(1)求的面积；

(2)求点之间的距离．

【答案】(1);

(2)．

【分析】（1）由正弦定理求得的长，利用三角形面积公式，即可求得答案；

（2）求出和，由余弦定理即可求得答案.

【详解】（1）在 中，，，所以．

由正弦定理：，得，

所以,

，

所以 的面积为．

（2）由，，得，且,

．

在 中由余弦定理，得

,

所以．

即点C，D之间的距离为．

21．已知，是方程的两个实根，且.

(1)若，求的值；

(2)用表示，并求其最大值.

【答案】(1)1

(2)，最大值为

【分析】（1）根据韦达定理，结合和角正切公式即可求解；

（2）根据韦达定理结合和角正切公式先求得，再利用三角恒等变换结合齐次弦化切得原式为，利用基本不等式即可求得最大值.

【详解】（1）当时，

由题意知：，

所以

（2）由题知：，，

则

因为

，

所以

而，当且仅当时，等号成立，

所以当时，取得最大值为.

22．悬索桥的外观大气漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线，悬链线的方程和双曲余弦函数以及双曲正弦函数有关.已知是上的偶函数，是上的奇函数，满足，其中是自然对数的底数.

(1)求和的解析式；

(2)已知，

（i）解不等式；

（ii）设（i）中不等式的解集为，若，恒成立，求的取值范围.（注：）.

【答案】(1)，

(2)（i）；（ii）

【分析】（1）根据是上的偶函数，是上的奇函数，由求解；

（2）由（i）不等式，令，证明其单调性即可；（ii）令，将，恒成立，转化为恒成立求解.

【详解】（1）解：由，

解得：，；

（2）（i）不等式，

令，

任取，且，

则，

，

因为，所以，则，

因为，所以，

所以，

所以函数在为增函数，

又，

所以是偶函数，

则，又因为，

所以不等式解集为；

（ii）令，则，

由，得，

当时，，

则问题转化为恒成立，

因为，

当且仅当时，等号成立，

所以，

当时， ，

则问题转化为恒成立；，

，

因为，

当且仅当时，等号成立，

所以，

综上：的取值范围是.