2022-2023学年江苏省镇江市扬中市第二高级中学高一下学期期中模拟数学试题含解析

2022-2023学年江苏省镇江市扬中市第二高级中学高一下学期期中模拟数学试题

一、单选题

1．已知，，则（    ）

A．共线 B．共线 C．共线 D．共线

【答案】C

【分析】根据向量共线定理可构造方程组求满足题意的实数，由是否有解可得结论.

【详解】对于A，若共线，则，即，方程组无解，则A错误；

对于B，若共线，则，即，方程组无解，则B错误；

对于C，若共线，则，即，解得：，

共线，C正确；

对于D，若共线，则，即，方程组无解，则D错误.

故选：C.

2．已知复数z1＝，z2＝，则z1z2的代数形式是（    ）

A． B．

C．－i D．＋i

【答案】D

【分析】利用复数三角形式的乘法法则，计算即可得解.

【详解】

故选:D.

【点睛】本题考查了复数三角形式的乘法法则，意在考查学生的计算能力，是基础题.

3．已知向量、的夹角为，，，则（    ）

A．4 B．5 C． D．

【答案】B

【分析】根据平面向量的数量积公式可得，再根据可求得结果.

【详解】因为，

所以.

故选：B

4．若向量，，，且，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由得，进而根投影向量的概念求解即可.

【详解】解：因为，，且，

所以，解得.

所以，

所以在上的投影向量为.

故选：C

5．如图，已知，，，，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】如图所示，以为负半轴，为正半轴建立直角坐标系，根据题意得到，解得答案.

【详解】如图所示：以为负半轴，为正半轴建立直角坐标系，

则，，，

，即，

解得，故.

故选：C.

6．设，，，则有（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先利用余弦的差角和倍角公式，正弦的二倍角公式以及商数关系，对进行化简，再利用的性质即可得到结果.

【详解】因为，，

，由的性质可知，，

故选：A.

7．如图，已知等腰中，，，点是边上的动点，则（    ）

A．为定值10 B．为定值6

C．最大值为18 D．与P的位置有关

【答案】A

【解析】设，根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量的加法的几何意义、余弦定理、平面向量的数量积的定义进行求解即可.

【详解】设.

，

因为，

，

所以.

故选：A

【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算性质，考查了平面向量数量积的定义，考查了平面向量的加法的几何意义，考查了数学运算能力.

8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，且，则△ABC面积的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意结合余弦定理可知，可得，由正弦定理可得，所以，利用三角恒等变换化简，然后结合三角函数的性质求得结果.

【详解】由，且，得，

即，由余弦定理可知，

所以，可得，由，可得，

由正弦定理，可得，

所以

，

当，即时等号成立，

可得面积的最大值是．

故选：C．

二、多选题

9．在复平面内，下列说法正确的是(    )

A．若复数(i为虚数单位)，则

B．若复数z满足，则

C．若复数，则z为纯虚数的充要条件是

D．若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆

【答案】AD

【分析】A：根据复数的除法运算法则计算即可；B：设，根据求出a、b的值即可判断；C：根据纯虚数的概念即可判断；D：设，求出z对应的点(a，b)的轨迹方程即可判断．

【详解】对于A，，故A正确；

对于B，设z=a+bi，a、bR，则，

；当a=0，b≠0时，z=biR，故B错误；

对于C，，则z为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0，故C错误；

对于D，设，则，

则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆，故D正确．

故选：AD．

10．在平面直角坐标系中，已知，，O为坐标原点，下列说法正确的是（    ）

A．是与平行的一个单位向量 B．是与垂直的一个单位向量

C．A到OB的距离为 D．在上的投影向量为

【答案】ACD

【详解】对于A，，且，所以是与平行的一个单位向量，故A正确，

对于B，记，且，所以与不垂直，故B错误，

对于C，因为，，所以，所以，所以A到OB的距离为，故C正确，

对于D，因为，所以在上的投影向量为，故D正确.

故选：ACD.

11．已知，下列说法正确的有（    ）

A．的最小正周期是

B．最大值为2

C．的图象关于对称

D．的图象关于对称

【答案】BD

【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式对化简整理，对于选项A：利用最小正周期公式即可求出周期；对于选项B：根据解析式即可求解；对于选项CD：根据正弦型三角函数的对称轴和对称点的特性即可求解.

【详解】因为，

所以的最小正周期为，故A错误；

由的解析式可知，最大值为2，故B正确；

因为，故C错误；

因为 ，所以的图象关于对称，故D正确.

故选：BD．

12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，且．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（    ）

A．若，则

B．若，，，则

C．若O为△ABC的内心，，则

D．若O为△ABC的垂心，，则

【答案】ACD

【分析】对A，由奔驰定理即可判断；

对B，由面积公式求出，结合奔驰定理即可求；

对C，由奔驰定理，结合内心性质可得，即可得；

对D，由垂心性质及向量数量积的垂直表示可得，

结合奔驰定理结合三角形面积公式，可得，

如图所示分别为垂足，可设，，即可由几何关系列式解出，最后由正切求出余弦值，则由可求

【详解】对A，由奔驰定理可得，，又不共线，故，A对；

对B，，由得，故，B错；

对C，若O为△ABC的内心，，则，又（为内切圆半径），三边满足勾股定律，故，C对；

对D，若O为△ABC的垂心，则，，

又，

同理，∴，

∵，则，

且

如图，分别为垂足，

设，，则，

又，故，

由，解得，

由，故，D对故选：ACD

三、填空题

13．若满足的恰有一个，则实数的取值范围是_________ .

【答案】或

【分析】根据正弦定理分析解的个数问题.

【详解】由正弦定理，，

当，即时，，只有一解，

当时，，若，则，可为锐角也可为钝角，有两解，

当时，，只能为锐角，只有一解.

∴的范围是或.

故答案为：或.

【点睛】本题考查正弦定理解三角形，在用正弦定理解三角形时，由于求出的是角的正弦值，因此可能出现两解的情形.像本题，如果，则有两解，主要原因是，可为锐角也可为钝角.

14．化简_______________.

【答案】/0.5

【分析】利用三角恒等变换，先化切为弦，把转化为，利用差角公式化简可得答案.

【详解】

.

故答案为: .

15．已知函数，若是锐角，且，则________.

【答案】

【分析】先由条件推出，结合是锐角可以推出

，从而得到，最后利用进行求解.

【详解】由题意，即，

而，注意到是锐角，则，

而，故或（后者情况不符合，舍去).

于是，即.

于是.

故答案为：

四、双空题

16．如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．

【答案】         

【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.

【详解】，，，

，

解得，

以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

,

∵，∴的坐标为,

∵又∵,则，设，则（其中），

，，

，

所以，当时，取得最小值.

故答案为：；.

【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.

五、解答题

17．已知向量＝（1，2），＝（－3，k）．

(1)若∥，求 的值；

(2)若⊥（＋2），求实数k的值；

(3)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．

【答案】(1)3；

(2)k＝；

(3)k＜且k≠－6.

【分析】（1）解方程1×k－2×＝0即得解；

（2）解方程1×＋2×＝0即得解；

（3）解不等式1×＋2×k＜0且k≠－6，即得解.

【详解】（1）解：因为向量＝（1，2），＝（－3，k），且∥，

所以1×k－2×＝0，解得k＝－6，

所以＝＝3．

（2）解：因为＋2＝，且⊥，

所以1×＋2×＝0，解得k＝．

（3）解：因为与的夹角是钝角，则＜0且与不共线．

即1×＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜且k≠－6．

18．已知是复数，和都是实数，

（1）求复数；

（2）设关于的方程有实根，求纯虚数.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）设，根据复数代数形式的除法、加法运算法则化简和，若为实数，则虚部为零，即可得到方程组，解得即可；

（2）设，根据复数代数形式的运算法则化简方程，即可得到方程组，解得即可.

【详解】（1）设，则，

因为和都是实数，则，解得，，

所以.

（2）设，则方程为，即，若方程有实数根，则，解得，，

所以纯虚数.

19．如图，在中，已知，，点为的中点，点，在边，上，且，，交于点．

（1）若，求与所成角的余弦值；

（2）若，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）建立合适平面直角坐标系，表示出的坐标，由此可求与的坐标表示，结合夹角余弦值的计算公式可求解出结果；

（2）根据得到关于的一个线性表示，再根据三点共线得到关于的另一个线性表示，由平面向量的基本定理求解出参数值，由此可求的值.

【详解】（1）法一（坐标法）：以所在直线为轴，过且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，如图，

∵，，∴，，

则，，，，

∴，．

设与所成角为，

∴，

法二（基底法）：，

，

∵，∴；

∵，∴，

∴；

（2）∵，，三点共线，

可设，

由三点共线，可设，∴，

∴，

由平面向量基本定理可得，解得，

∴，∴，

故的值为．

20．已知向量（cosx，sinx），=（cosx，-sinx），函数．

（1）若，，求的值∶

（2）若，，，，求2a+β的值．．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示求解出的解析式，再运用三角函数的关系求解即可；

（2）根据三角函数和差公式，由已知的三角函数值求解角度即可.

【详解】解:（1）

由，可得，由，得，，

则；

（2）由可得，由可得，

则，

由，，可得cosβ>0，

由，可得．

21．的内角的对边分别为，若.

(1)求；

(2)若，的面积为.

（i）求；

（ii）边上一点，记面积为，面积为，当达到最小值时，求的长.

【答案】(1)

(2)（i）；（ii）

【分析】（1）由正弦定理可得，进而得出，即可得出答案；

（2）根据面积公式可推得，然后根据余弦定理可求得；设，，推得，.代入，根据“1”的代换，即可根据基本不等式得出取最小值时的值，进而得出.根据余弦定理，在中，求出.然后在中，根据余弦定理，即可求出的长.

【详解】（1）由正弦定理以及可得，.

因为，所以.

又，所以.

（2）（i）由已知可得，，所以.

由余弦定理可知，，

所以，.

（ii）设，，则.

所以，则，所以.

同理可得，.

所以.

当且仅当，即，时取等号.

所以，.

又在中，有，

在中，有，

所以，.

22．在直角中，，，为的中点，，分别为线段，上异于，的动点，且.

(1)当时，求的长度；

(2)若为的中点，设，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据正弦定理求出，再利用余弦定理可求；

（2）设，由正弦定理用表示出，把转化为，结合三角恒等变换的知识可求范围.

【详解】（1）在直角中，，，为的中点，

所以，.

在中，，，，

根据正弦定理，得.

在中，，同理，由正弦定理可得.

在中，，，，

根据余弦定理，

得，

所以.

（2）在中，，，，

根据正弦定理，得.

同理，在中，.

因为，

所以

， （用积化和差化简不扣分）

因为，所以，所以，

所以，所以，

所以，

所以的取值范围为.