2022-2023学年湖北省部分重点中学高一下学期期中联考数学试题含解析

2022-2023学年湖北省部分重点中学高一下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．下列说法正确的是（    ）

A．第二象限角比第一象限角大

B．角与角是终边相同角

C．斜三角形的内角是第一象限角或第二象限角

D．将表的分针拨快分钟，则分针转过的角的弧度数为

【答案】C

【分析】判断每一个选项的正误即可.

【详解】选项A：第二象限角可能为负角，如，第一象限角也有可能为正角，如，故A错误；

选项B：，故角与角终边不同，故B错误；

选项C：斜三角形的内角为锐角或者钝角，故其内角为第一象限角或第二象限角，故C正确；

选项D：分针拨快是顺时针旋转，得到的角为负角，故D错误.

2．已知是第三象限的角，且，那么的值为

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将恒等式两边同时平方，结合二倍角的正弦公式即可得结果.

【详解】∵，

∴，

∵，∴，

∵角是第三象限角即，

∴，∴，

故选A．

【点睛】本题主要考查已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解．

3．如图，已知中，为的中点，，若，则

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用向量的线性运算将用表示，由此即可得到的值，从而可求的值.

【详解】因为，

所以，.故.

故选：C.

【点睛】本题考查向量的线性运算以及数乘运算在几何中的应用，难度一般.向量在几何中的应用可通过基底的表示形式进行分析.

4．中，角，，所对应的边分别为，，.已知，则是

A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

【答案】B

【分析】由题，利用正弦定理和内角和定理化简可得，再利用余弦定理可得，可得结果.

【详解】由题，已知 ，

由正弦定理可得：

即

又因为

所以

即

由余弦定理：

即

所以

所以三角形一定是等腰三角形

故选B

【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，解题的关键是在于正余弦的合理运用，属于中档题.

5．如图，扇形的半径为1，圆心角，点在弧上运动，，则的最小值是（    ）

A．0 B． C．2 D．

【答案】D

【分析】以为轴，以为原点，建立坐标系，设，，根据平面向量基本定理的坐标运算可得：，再利用三角函数的有界性，即可得到答案；

【详解】解：以为轴，以为原点，建立坐标系，如图，

设，，

则，，，

∵，

∴

，

∴，

∴，，

∴

，

∵，

∴，

∴当时，，

即的最小值为．

故选：D．

6．已知函数为的零点，为图象的对称轴，且在单调，则的最大值为

A．11 B．9

C．7 D．5

【答案】B

【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．

【详解】∵x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，

∴，即，（n∈N）

即ω＝2n+1，（n∈N）

即ω为正奇数，

∵f（x）在（，）上单调，则，

即T，解得：ω≤12，

当ω＝11时，φ＝kπ，k∈Z，

∵|φ|，

∴φ，

此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；

当ω＝9时，φ＝kπ，k∈Z，

∵|φ|，

∴φ，

此时f（x）在（，）单调，满足题意；

故ω的最大值为9，

故选B．

【点睛】本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①的单调区间长度是最小正周期的一半;②若的图像关于直线对称,则或.

7．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的直径均为1，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为1的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（　　）

A．3 B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后将涉及到的点的坐标求出来，其中点坐标借助于三角函数表示，则所求的结果即可转化为三角函数的最值问题求解．

【详解】以为坐标原点，为轴，过做的垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，

圆的方程为，可设，

所以．

故．

所以的最大值为

故选：B．

【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标运算计算向量的数量积，结合三角函数的性质求得最大值，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于较难题.

8．已知所在平面上的动点满足，则点的轨迹过的（    ）

A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心

【答案】B

【分析】先对题设中的等式进行变形，可得，即在边的垂直平分线，由此选出正确选项．

【详解】，

，

，

，即，即，

在边的垂直平分线上，

由三角形外心的定义知，点的轨迹过的外心.

故选：B．

二、多选题

9．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】利用向量数量积的运算性质，向量的加减法法则及正八边形的性质逐个分析判断即可

【详解】解：对于A，，所以A正确，

对于B，由，得 ，所以B错误，

对于C，

，所以C正确，

对于D，由C可知 ，所以D错误，

故选：AC

10．筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为1.5米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论正确的是（    ）

A．分钟时，以射线为始边，为终边的角为

B．分钟时，该盛水筒距水面距离为米

C．1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等

D．1个小时内有20分钟该盛水筒距水面距离不小于3米

【答案】ACD

【解析】由题意写出点离水面的距离函数，再计算对应的函数值即可．

【详解】解：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，

依题意，设函数解析式为，因为半径为，所以，距水面的距离为，所以，每6分钟转一圈，所以，所以，所以，当时，，所以，即，所以，所以

所以分钟时，以射线为始边，为终边的角为，故A正确，B错误；

当时，；当时，；故C正确；

令，即，在一个周期内，解得，有分钟，

1个小时，有10个周期，所以有分钟，故D正确；

故选：ACD

11．有下列说法其中正确的说法为

A．若，，则：

B．若，，分别表示，的面积，则；

C．两个非零向量，，若，则与共线且反向；

D．若，则存在唯一实数使得

【答案】BC

【解析】A选项错误，例如，推不出，B选项利用向量可确定O点位置，可知O到AC的距离等于B到AC距离的,故正确，C选项两边平方根据向量的数量积的性质可知夹角为，结论正确，D选项错误，例如.

【详解】A选项错误，例如，推不出，B选项,设AC的中点为M, BC的中点为D, 因为，所以,即,所以O是MD的三等分点，可知O到AC的距离等于D到AC距离的,而B到AC的距离等于D到AC距离的2倍，故可知O到AC的距离等于B到AC距离的，根据三角形面积公式可知正确，C选项两边平方可得 ，所以，即夹角为，结论正确，D选项错误，例如. 故选B C.

【点睛】本题主要考查了向量共线，向量的夹角，向量的数量积，向量的线性运算，属于中档题.

12．已知函数，则下列结论中正确的是（    ）

A．若ω=2，则将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称

B．若 ，且 的最小值为，则ω=2

C．若在[0， ]上单调递增，则ω的取值范围为（0，3]

D．若在[0，π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是

【答案】ABD

【分析】先化简的解析式；由三角函数的图像变换判断选项A；由，可得是函数的最大、小值点，从而可判断B；由在上单调递增，则，可判断选项C；设，即在仅有3个零点，可判断选项D.

【详解】函数

选项A：若，，将的图像向左平移个单位长度得函数的图像，所以A正确；

选项B：若，则是函数的最大值点或最小值点，若的最小值为，则最小正周期是，所以，B正确；

选项C：若在上单调递增，则，所以，C错误；

选项D：设，当时，

若在仅有3个零点，即在仅有3个零点

则，所以，D正确，

故选：ABD．

三、填空题

13．已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的面积为_____．

【答案】

【分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积．

【详解】根据扇形的弧长公式可得，

根据扇形的面积公式可得．

故答案为：．

14．已知，分别是与方向相同的单位向量，在上的投影向量为，在上的投影向量为，则与的夹角为__________________.

【答案】.

【解析】根据向量的投影定义，列出方程，求解，再根据夹角公式，即可求解.

【详解】由题意，得解得∴.∵，∴.

故答案为：

【点睛】本题考查向量投影公式、夹角公式，属于基础题.

15．已知△ABC中，，若点P为四边形AEDF内一点(不含边界)且，则实数x的取值范围为___________.

【答案】

【分析】根据题意画出图形，结合图形找出临界点的位置，进行适当的推理与运算，即可求出实数x的取值范围.

【详解】解：如图所示，在线段BD上取一点G，使得，

设DC=3a，则DG=a，BC=5a，BG=a；

过点G作GH∥DE，分别交DF､AE于K､H，

连接FH，则点K､H为临界点；

GH∥DE，所以HEEC，AHEC，HGDE，

，

所以FH∥BC；

所以FHBC，

所以，

所以KGHK，

KGHGDE.

所以实数x的取值范围是().

故答案为：().

【点睛】关键点点睛：本题考查了平面向量的线性运算问题，也考查了推理与运算能力，是难题，解题的关键是根据题意画出图形，结合图形找出临界点的位置.

16．已知函数的图象在上恰有两个最高点，则的取值范围为___________．

【答案】

【分析】根据区间上，求出的范围，由于在区间上恰有2个最高点，建立不等式关系，求解即可．

【详解】因为，所以，

依题意得，解得．

故答案为：.

四、解答题

17．设，是不共线的两个非零向量．

(1)若，，，求证：，，三点共线；

(2)若，，，且，，三点共线，求的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)．

【分析】（1）利用向量加减法及向量共线条件证明三点共线；

（2）由三点共线转化为向量共线即得结果.

【详解】（1）证明：因为，

又，

故，又与有公共点，

所以，，三点共线．

（2），．

因为，，三点共线，所以，

即，因为与是不共线的两个非零向量，

所以，故.

综上，的值为．

18．如图为函数的部分图象．

(1)求函数解析式；

(2)求函数的单调递增区间；

(3)若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)，

(3)

【分析】（1）由图象分别求出、的值，由五点作图法，求出的值；

（2）令，，求出的范围，即为函数的单调递增区间；

（3）首先求出函数在上的单调性，则问题转化为函数与在上有两个交点，即可得出的范围．

【详解】（1）解：由题中的图象知，，即，所以，

根据五点作图法，令，，解得，，

因为，所以，

所以.

（2）解：令，，解得，，

所以的单调递增区间为，.

（3）解：因为，所以，令，解得，

令，解得，

所以在上的单调递减区间为，单调递增区间为，

又，，，

又方程在上有两个不相等的实数根，即与在上有两个交点，所以．

19．如图，在中，内角的对边分别为.已知，，，且为边上的中线，为的角平分线.

（1）求线段的长；

（2）求的面积.

【答案】（1）； （2）.

【分析】（1）根据题意，哟祖新大陆可得.进而得到；又由，可得.最后在中，由余弦定理得，即可求出.

（2）根据题意，因为平分，所以，由此可得，由，则，故即可.

【详解】（1）根据题意，，

∴.

又，，

∴；

又由，

解得，即，则.

在中，由余弦定理得，

解得.

（2）根据题意，因为平分，

所以，

故，

变形可得，，则，

所以.

【点睛】本题考查利用正弦定理，余弦定理解三角形，考查三角形面积的求法，属中档题.

20．如图，在四边形中， ．

（1）若△为等边三角形，且， 是的中点，求；

（2）若， ， ，求．

【答案】(1)11,(2)

【分析】（1）直接利用向量的线性运算和数量积求出结果．

（2）利用向量的线性运算和向量的模求出结果．

【详解】（1）因为△ABC为等边三角形，且AD∥BC，

所以∠DAB=120°．                       

又AD=2AB，所以AD=2BC，

因为E是CD的中点，

所以：=，

=．

又，

所以，

=．

=，

=11．

（2）因为AB=AC，AB=2，

所以：AC=2．

因为：，

所以：．

所以：．

又=4．

所以：．

所以：=．

故：．

【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的模的应用，属于基础题.

21．从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币.如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”.某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字.设，五个正方形的面积和为.

（1）求面积关于的函数表达式，并求的范围；

（2）求面积最小值，并求出此时的值.

【答案】（1）；的取值范围为，；（2）；.

【解析】（1）由题意可知小正方形的边长为，

大正方形的边长为，

所以五个正方形的面积和为，

又，所以，

所以的取值范围为，，；

(2)其中，，所以，此时，所以，则，因为，解得，即可求出面积最小值

【详解】解：（1）过点分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为，，

因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合，所以点，分别为小正方形和大正方形边的中点，

所以小正方形的边长为，

大正方形的边长为.

所以五个正方形的面积和为，

.

因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，

所以，，，

所以的取值范围为，.

（2），

，

，

，其中，.

所以，此时.

因为，所以，

所以，

所以，

则，化简得：，

由此解得：，

因为，所以.

【点睛】本题主要考查三角函数的实际应用，以及三角恒等变换的应用，涉及降幂公式、二倍角正弦公式和正切公式，是中档题．

22．在平面向量中有如下定理：已知非零向量，，若，则.

（1）拓展到空间，类比上述定理，已知非零向量，，若，则_______（请在空格处填上你认为正确的结论）

（2）若非零向量，，，且，利用（1）的结论求当为何值时，分别取到最大、最小值？

【答案】（1）；（2）时，有最大值；或时，有最小值.

【分析】（1）根据已知可得答案；

（2）由，得，由，得，，根据，可得可得答案.

【详解】（1）

（2）因为，

所以得①，

又因为，所以

得②，

∴①②，得到，

∴，

若或2，此方程无解，

∴，即且，

∴，

因为，所以得，

又，所以，解得，

当时，最小，此时最大，，

任意角的余弦最小为，当，

即，此时或，

综上：当时，有最大值；

当或时，有最小值.

【点睛】本题考查了向量的坐标运算及三角函数的性质，关键点是由且得到，考查了学生分析问题、解决问题的能力.