2023年广东省茂名市高州市中考数学二模试卷（含解析）

2023年广东省茂名市高州市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  “多少事，从来急；天地转，光阴迫．一万年太久，只争朝夕．”伟人毛泽东通过这首满江红和郭沫若同志告诉我们青年学生：要珍惜每分每秒，努力工作，努力学习．一天时间为秒，用科学记数法表示这一数字是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则口袋中白球可能有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4.  为庆祝年月日神舟十五号载人飞船发射成功，学校开展航天知识竞赛活动经过几轮筛选，九班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数单位：分及方差单位：分如表所示：

如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

5.  如图，在中，，交于点，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  估计的值在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

7.  在以下关于二次函数的图象的说法，正确的是(    )

A. 开口向下 B. 当时，随的增大而减小
C. 对称轴是直线 D. 顶点坐标是

8.  如图，在中，，按下列步骤作图：以点为圆心，适当长为半径画圆弧分别交、于点和点再分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径画圆弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法不正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，四边形内接于，弦，若，则的大小为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在中，顶点，，，将与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  分解因式：______．

12.  不等式组的解集是        ．

13.  如果关于的一元二次方程的两根分别为，，那么______．

14.  圆心角为的扇形如图所示，过的中点作，，垂足分别为点、若半径，则图中阴影部分图形的面积和为        ．

15.  如图，在边长为的菱形中，，连接，为图中任意线段上一点，若，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
某市教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图：

请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：
在调查活动中，教育局采取的调查方式是        填写“普查”或“抽样调查”；
教育局抽取的初中生有        人，扇形统计图中的值是        ；
若该市共有初中生名，则平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生约有多少人．

19.  本小题分
复课返校后，某学校决定增购适合独立训练的两种体育器材：跳绳和毽子，已知跳绳的单价比毽子的单价多元，用元购买的跳绳个数和用元购买的毽子数量相同．
求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
学校准备购买跳绳、毽子两种商品共个，总费用不超过元，问至少购买毽子多少个？

20.  本小题分
如图，是的直径，是的切线，、是的弦，且，垂足为，连接并延长，交于点．
求证：；
若的半径，，求线段的长．

21.  本小题分
如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，．
求反比例函数和一次函数的解析式的解析式；
在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标．

22.  本小题分
如图，正方形的对角线，相交于点，在线段，上各取一点，使得，连接并延长交于点．

试猜想与的位置关系和数量关系，并说明理由．
若，，求的长．
如图，在线段，的延长线上各取一点，，使得，连接并延长交于点请问：中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，说明理由．

23.  本小题分
已知抛物线与轴交于、两点点在点的左边，点是直线上的一个动点．
求该抛物线的对称轴．
若点是抛物线的顶点，且，求．
已知，为大于的常数，抛物线上有两点、，且，连接交轴于点，点的位置是否发生变化，若不变，请求出点坐标；若变化，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：将数用科学记数法表示为．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故此选项错误；
B、，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用整式的混合运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：设白球个数为个，
摸到红色球的频率稳定在左右，
口袋中得到红色球的概率为，
，
解得：，
经检验是原方程的根，
故白球的个数为个．
故选：．
由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．
此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：丙、丁同学的平均数比甲、乙同学的平均数大，
应从丙和丁同学中选，
丙同学的方差比丁同学的小，
丙同学的成绩较好且状态稳定，应选的是丙同学．
故选：．
先比较平均数得到丙同学和丁同学成绩较好，然后比较方差得到丙同学的状态稳定，于是可决定选丙同学去参赛．
本题考查了方差，掌握方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差，反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，，
，
，
，
故选：．
先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据垂直定义可得，从而在中，利用含度角的直角三角形的性质，然后利用角的和差关系求出，从而可得，再利用等角对等边可得，最后进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，含度角的直角三角形，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，以及含度角的直角三角形的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
，
故选：．
根据无理数的估算得出的大小范围，即可得答案．
本题考查的是估算无理数的大小，根据题意估算出的大小范围是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、二次函数中的，则其图象开口向上，不符合题意；
B、二次函数的对称轴是直线，其图象开口向上，则当时，随的增大而增大，不符合题意；
C、二次函数的对称轴是直线，不符合题意；
D、二次函数的顶点坐标是，符合题意．
故选：．
根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
此题主要考查二次函数的性质，二次函数的图象，顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线，此题还考查了学生的应用能力．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，
，
由作图可知为的平分线，
，
，
故A正确，不符合题意；
，
，
故B正确，不符合题意；
，，
，
，
故C正确，不符合题意；
，，
，
，，
，
，
故D错误，符合题意．
故选：．
由三角形内角和定理可求出由角平分线的作图方法可知为的平分线，即得出，从而可求出，故A正确；由等角对等边可知，故B正确；由含度角的直角三角形的性质可得出，进而得出，故C正确；结合勾股定理可求出，故D错误．
本题考查作图角平分线，角平分线的定义，三角形内角和定理，勾股定理，含度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，根据基本作图方法判断出为的平分线是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
，
四边形为的内接四边形，
，
故选：．
根据垂径定理得到，得到，根据等腰三角形的性质得到，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．
本题考查的是圆内接四边形的性质、垂径定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了坐标与图形变化旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：，，，，．
先求出，再利用正方形的性质确定，由于，所以第次旋转结束时，相当于与正方形组成的图形绕点顺时针旋转次，每次旋转，此时旋转前后的点关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可求出旋转后的点的坐标．
【解答】
解：，，
，
四边形为正方形，
，
，
，
每次一个循环，第次旋转结束时，相当于与正方形组成的图形绕点顺时针旋转次，每次旋转，
点的坐标为．
故选D．  

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接提取公因式分解因式即可．
此题考查的是提取公因式分解因式，关键是找出公因式．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：．
故答案为：．
分别解出每个不等式，再求公共解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组，掌握求不等式公共解集的方法是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：为方程的根，
，
，
，
方程的两根分别为，，
，
．
故答案为：．
先根据一元二次方程根的定义得到，则变形为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接，

，，
，
四边形是矩形，
点是的中点，
，
在与中，
，
≌，
，
矩形是正方形，
，
，，
，
图中阴影部分的面积，
故答案为：．
先证明四边形是矩形，再证明≌得到，得到矩形是正方形，根据阴影部分图形的面积和等于扇形面积减去正方形的面积即可得到答案．
本题主要考查了不规则图形的面积的计算，勾股定理，圆心角与弧之间的关系，矩形的判定，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．
 

15.【答案】或或 

【解析】解：如图所示，当点在上时，

，
；
如图所示，当点在上时，

四边形是菱形，
，
，
时等边三角形，
，
，
，
点是的中点，
，，
；
如图所示，当点在上时，作交的延长线于点，

四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
．
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的长为或或．
故答案为：或或．
根据题意分点在上，点在上和点在上三种情况讨论，分别利用菱形的性质，等边三角形的性质和勾股定理求解即可．
此题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
 

16.【答案】解：

． 

【解析】利用实数的相关计算法则进行计算即可．
本题考查实数的混合运算，实数的相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

17.【答案】解：

．
当时，原式． 

【解析】根据整式的混合运算法则计算即可化简，再将代入化简后的式子计算即可．
本题考查整式的化简求值，实数的混合运算．掌握整式的混合运算法则，实数的混合运算法则是解题关键．
 

18.【答案】抽样调查；
，；
人，
答：平均每天完成作业时长在“”分钟的初中生约有人． 

【解析】解：在调查活动中，教育局采取的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查；
教育局抽取的初中生有人，
，即，
故答案为：，；
见答案．
根据教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查即可得出答案；
根据的人数人占所有抽样学生的即可求出抽样学生的人数，根据扇形统计图各部分的百分比之和为即可求出的值；
根据样本中的人数占抽样人数的估计全市人数即可．
本题考查了全面调查与抽样调查，扇形统计图，用样本估计总体，用样本中的人数占抽样人数的估计全市人数是解题的关键．
 

19.【答案】解：设毽子的单价为元，则跳绳的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：跳绳的单价为元，毽子的单价为元；
设购买毽子个，则购买跳绳个，
由题意得：，
解得：，
答：至少购买毽子个． 

【解析】设毽子的单价为元，则跳绳的单价为元，由题意：用元购买的跳绳个数和用元购买的毽子数量相同．列出分式方程，解方程即可；
设购买毽子个，则购买跳绳个，由题意：总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

20.【答案】证明：是的切线，
，
，
，
，
，
．
解：如图，连接，
是直径，
，
，，
，
，
，
，
，，
，

∽，
，
，
．
故答案为：． 

【解析】根据平行线的判定和切线的性质解答即可；
通过添加辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理和相似三角形的判定和性质解答即可．
本题主要考查了切线的性质定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握这些性质定理是解题的关键．
 

21.【答案】解：一次函数与反比例函数的图象交于点，，
，
，，
反比例函数解析式为，，
，
，
一次函数解析式为；
过点作关于轴的对称点，连接交轴于，点即为所求，
点的坐标为，，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为． 

【解析】先把点坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
过点作关于轴的对称点，连接交轴于，点即为所求．
本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，轴对称最短路径问题，一次函数与坐标轴的交点问题，正确求出一次函数与反比例函数解析式是解题的关键．
 

22.【答案】解：，，理由如下：
正方形中，，，
在和，
，
≌，
，，
，
，
，
；
在中，，，
，
，
，
在中，，
，
；
成立，理由如下：
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
． 

【解析】先证明≌，可得，，从而得到，即可求解；
根据勾股定理可得，从而得到，再由勾股定理可得，再由，即可求解；
先证明≌，可得，，从而得到，即可求解．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：，
抛物线的对称轴为直线；
将代入，得，
将顶点代入，
，
，
；
过点作轴垂线，分别过点、作的垂线，垂足为、，
设，，
，
，，
，，，，
∽，
，即，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
由可得，，
为常数，
点的坐标变，点坐标为 

【解析】根据二次函数的对称轴为，将相关系数代入即可求解；
先求出顶点，再将点代入，结合已知即可求出的值；
过点作轴垂线，分别过点、作的垂线，垂足为、，设，，则，，再由∽，即，则，设直线的解析式为，得到，由可得，，即点的坐标变，点坐标为
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．