2023年山东省滨州市阳信县集团校中考数学二模试卷（含解析）

2023年山东省滨州市阳信县集团校中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  节肢动物是最大的动物类群，目前已命名的种类有万种以上，将数据万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，直线，直线与直线，分别相交于点，，，垂足为若，则(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列运算中，结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在如图所示的几何体中，主视图和俯视图相同的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  不等式组的解集在数轴上表示为(    )

A.  B.
C.  D.

6.  关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  某班学生去距学校的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的倍，设骑车学生的速度为，下列方程正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若函数与的图象如图所示，则函数的大致图象为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  学校组织学生进行知识竞赛，名参赛选手的得分分别为：，，，，下列说法中不正确的是(    )

A. 该组数据的中位数为 B. 该组数据的方差为
C. 该组数据的平均数为 D. 该组数据的众数为和

10.  如图，是的高若，，则边的长为(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：；；若，则或；其中正确的有个．(    )

A.
B.
C.
D.

12.  如图，点，是半径为的上的两点，且，则下列说法正确的是(    )

A. 圆心到的距离为
B. 在圆上取异于，的一点，则面积的最大值为
C. 以为边向上作正方形，与的公共部分的面积为
D. 取的中点，当绕点旋转一周时，点运动的路线长为
 

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  若式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______ ．

14.  已知方程，则 ______ ．

15.  化简： ______ ．

16.  如图，边长为的正方形是的内接四边形，则阴影部分面积是______ ．

17.  如图，在中，，点在轴上，、分别为、的中点，连接，为上任意一点，连接、，反比例函数的图象经过点若的面积为，则的值为______ ．

18.  如图，在中，，点是的内心，若，，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
阅读对一个人的成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生某中学为了解学生阅读课外书籍的情况，决定围绕“在艺术、科技、动漫、小说、其他五类课外书籍中，你最喜欢哪一类”的问题，在全校范围内随机抽取部分同学进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据图中信息解答下列问题：

本次调查随机抽取的学生有______ 人；
请补全条形统计图；
若该校共有名学生，请你估计这人中最喜欢“动漫”类书籍的有多少人？
小东从图书馆借回本动漫书和本科技书放进一个空书包里准备回家阅读，他从书包里任取本，用画树状图或列表的方法求恰好是本动漫和本科技书的概率．

21.  本小题分
如图是直径，是上异于，的一点，点是延长线上一点，连、、，且．
求证：直线是的切线；
若，求的值；

22.  本小题分
年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品某商家以每套元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件若该产品每套的售价是元时，每天可售出套；若每套售价提高元，则每天少卖套．
设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为元时，求该商品销售量与之间的函数关系式；
求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是多少元？
如果每天的利润要达到元，并且尽可能的让利于顾客，则每套的售价应该定为多少元？

23.  本小题分
如图，四边形是菱形，点为对角线的中点，点在的延长线上，，垂足为，点在的延长线上，，垂足为．
若，求证：四边形是菱形；
若，的面积为，求菱形的面积．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，两点是抛物线上一点，且在直线的上方．
求抛物线的表达式；
若面积是面积的倍，求点的横坐标；
如图，交于点，判断是否存在最大值若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：万用科学记数法表示为：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
．
故选：．
由平行线的性质及互余关系可得的度数．
本题考查了平行线的性质、垂直的性质及互余关系，平行线的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，错误，故选项不符合题意；
B.，正确，故选项符合题意；
C.和不是同类项，无法合并，错误，故选项不符合题意；
D. ，错误，故选项不符合题意；
故选：．
根据合并同类项，幂的乘方的法则计算即可．
本题考查合并同类项，幂的乘方，正确计算是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：主视图和俯视图是正方形，故本选项符合题意；
B.主视图是一行两个相邻的矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意；
C.主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
D.主视图是三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意．
故选：．
根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行分析．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式的解集为：，
把解集在数轴上表示如下：

故选：．
分别求出两个不等式的解集，即可求解．
本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到无解是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，，
而方程有实数根，


，
．
故选：．
由于方程有实数根，则根的判别式，由此建立关于的不等式，解不等式即可求得的取值范围．
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：骑车学生的速度为，且汽车的速度是骑车学生速度的倍，
汽车的速度为．
依题意得：，
即．
故选：．
根据汽车的速度和骑车学生速度之间的关系，可得出汽车的速度为，利用时间路程速度，结合汽车比骑车学生少用，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据反比例函数的图象位于二、四象限知，
根据二次函数的图象可知，
函数的大致图象经过一、二、四象限，
故选：．
首先根据二次函数及反比例函数的图象确定、的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可．
本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是了解三种函数的图象的性质，难度不大．
 

9.【答案】 

【解析】解：、将这组数据从小到大排列为：，，，，，中位数为，错误，故A选项符合题意；
B、方差，正确，故B选项不符合题意；
C、平均数，正确，故C选项不符合题意；
D、该组数据的众数为和，正确，故D选项符合题意；
故选：．
根据中位数的定义判断选项；根据方差的计算方法判断选项；根据算术平均数的计算方法判断选项；根据众数的定义判断选项．
本题考查了方差，算术平均数，中位数，众数，掌握求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意知，，
，即，
解得，
在中，由勾股定理得
，
故选：．
由题意知，，由，求的值，在中，由勾股定理得，计算求解即可．
本题考查了正切，勾股定理．解题的关键在于熟练掌握知识并灵活运用．
 

11.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，对称轴在轴左边，与轴交于负半轴，
，，，
，
故结论错误；
二次函数的图象与轴交于，顶点是，
抛物线与轴的另一个交点为，
抛物线开口向上，
当时，，
故结论正确；
由题意可知对称轴为：直线，
，
，
把，代入得：
，
，
解得或，
当，则或，
故结论正确；
把，代入得：
，，
，
，
，
抛物线与轴的另一个交点为，
，
，
，
故正确．
故选：．
由抛物线的开口方向、对称轴以及与轴的交点，可得、、的符号，进而可得的符号，结论错误；
由抛物线与轴交于，顶点是，可判断出抛物线与轴的另一个交点为，当时，，结论正确；
由题意可知对称轴为：直线，即，得，把，代入并化简得：，解得或，可判断出结论正确；
把，代入并计算可得，由对称轴可得，，由可得，再计算的值，可判断正确．
本题考查了二次函数图形与系数关系、抛物线与轴的交点以及特殊值对函数值的影响等知识点，观察函数图象结合二次函数图形与系数关系，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：、如图，连接、，过作于，则，又圆的半径为，由勾股定理得，即圆心到的距离为，故选项A错误；

B、如图，，其中为上的高，则当最大时，面积也最大，
此时、、三点共线，且，
而，则，
即面积的最大值为，故选项B正确；
C、如图，设的延长线交于点，设、分别交于点、，连接、；
由选项A的计算知，，则，
由于四边形是正方形，，则是直径，
所以由三角形中位线定理得，
而，，
则正方形与的公共部分的面积为，故选项C错误；

D、当绕点旋转一周时，点运动的路线是一个以为圆心半径为的圆，则圆周长为，所以点运动的路线长为，故选项D错误．
故选：．
连接、，过作于，则得，由勾股定理求得的长，从而可判断；由，其中为上的高，则当最大时，面积也最大，求出的值即可求得最大面积，从而可判断；由选项A的计算知，，直角所对的弦是直径，由三角形中位线定理得，分别求出梯形与扇形的面积，则梯形与扇形面积和的倍即为所求的公共面积，从而可对选项C作出判断；易得点的运动路径是圆，则可求得圆的周长，从而可判断选项．
本题考查了直角对的弦是直径，垂径定理，勾股定理，正方形的性质，三角形中位线定理，锐角三角函数，求扇形的面积等知识，灵活运用这些知识是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件，即可求解．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
解得：，
经检验，是分式方程的解．
故答案为：．
根据解分式方程的步骤求解即可，注意要检验．
本题考查解分式方程，正确求解是解题的关键，注意要检验．
 

15.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
根据完全平方公式，平方差公式求解即可．
本题考查完全平方公式，平方差公式，正确计算是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形为正方形，且，
，，
由勾股定理得：，


，
故答案为：．
扇形面积与三角形面积的差即为所求阴影部分面积．
本题考查了求不规则图形面积，求扇形图形面积是关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，为的中点，
，，
、分别为、的中点，
，
，
由反比例函数比例系数的几何意义得，
，
．
故答案为：．
连接，则可得，再由中位线定理得，从而可得的面积等于的面积，由反比例函数比例系数的几何意义即可求得的值．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线定理，等底等高的三角形面积相等，反比例函数比例系数的几何意义等知识，连接，由中位线定理得到的面积转化为与之相等的的面积是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：过点作的垂线，分别交，于点、，如图，

是内心，，
是等腰直角三角形，
，，，
由勾股定理得：；
，
，
是内心，，
，，
，
即，
，
，
∽，

，
，
则，
，，
由勾股定理得：，
故答案为：．
过点作的垂线，分别交，于点、，则是等腰直角三角形，再证∽，由相似三角形的性质可求得、的长，再由勾股定理即可求得结果．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，内心的性质等知识，构造辅助线得到相似三角形是解题的关键．
 

19.【答案】解：



，


，
则原式． 

【解析】先根据分式的混合运算法则将是式子化简，再根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则，以及特殊角的三角函数值算出，最后将的值代入即可求解．
本题主要考查分式的化简求值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，能够正确根据分式的运算法则进行化简是解题关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：抽样人数为人，
故答案为：；
抽样人数为人，
小说类的人数为人，
补全条形统计图如下：

抽样人数为人，
动漫的百分比为，
喜欢动漫类书籍的人数约为人，
答：估计这人中最喜欢动漫类书籍的有人；
画树状图如下：

由图知，共有种等可能结果，其中都是“科技类”图书的有种结果，
都是科技类图书的概率为．
由条形统计图可知选择艺术类的有人，而由扇形统计图可知选择艺术类的占总人数的，因此用可求得抽样的人数；
已知抽样的人数，根据扇形统计图中百分比可求得小说类的人数即可补全条形统计图；
先求出喜欢动漫类书籍的百分比，用总人数乘喜欢动漫类书籍的百分比求解即可；
利用树状图得出所有的情况，再求出恰好都是本动漫和本科技书的概率即可．
本题考查了条形统计图和扇形统计图综合分析，列表法或树状图法求概率等知识，解题的关键是依据条形图和扇形图求出总人数并正确画出树状图．
 

21.【答案】证明：连接，

是的直径，
，
，
，
，
，
，
即，
，
为半径，
直线是的切线；
解：，，
∽，
，
设半径，
，
，，
在中，
，
在中，
． 

【解析】连接，根据直径所对的圆周角是度，可得，再证明，进而得出，即可得出结论；
证明∽，设半径，得出，，根据勾股定理得出，根据求解即可．
本题考查圆周角定理，相似三角形的判定与性质，角的正切，切线的判定，正确理解题意是解题的关键．
 

22.【答案】解：根据题意，得，
与之间的函数关系式：；
根据题意，得：，
，
抛物线开口向下，有最大值，
当时，；
，或，
因为要尽可能让利于顾客，所以每套的售价应该定为元． 

【解析】根据该产品每套的售价是元时，每天可售出套；若每套售价提高元，则每天少卖套进行求解即可；
根据利润售价进价数量，列出关于的二次函数关系，利用二次函数的性质求解即可；
根据利润售价进价数量建立方程求解即可．
本题主要考查了列一次函数关系式，一元二次方程和二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式和方程是解题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形是菱形，，
，
，，
，
点为对角线的中点，
，
，
四边形是菱形；
解：，的面积为，
，
，
如图，连接，则，，

点为对角线的中点，
、、在同一直线上，
，，
，
即，
，
，
，
菱形的面积． 

【解析】证明出，即可得到结论．
由三角形的面积求出，设，则，在中利用勾股定理得出方程，求出，再求出，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：将，代入得，
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
设直线的解析式为：，
将，代入得，
，
解得：，
直线的解析式为：，
，，
，
，
即，
过点作轴于点，与交于点，过点作于点，如图，

，
．
设点的横坐标为，
，，
．
解得：或；
点的横坐标为或者；
存在最大值．理由如下：
设直线交轴于点，则，
过点作轴，垂足为，交于点，如图，

∽，
设，
由可知，，
．
，
当时，的最大值为． 

【解析】利用待定系数法求出抛物线的表达式；
利用待定系数法求出抛物线的表达式，再利用平面直角坐标系内两点之间的距离列方程可得到点的坐标．
利用相似三角形的判定与性质得到相似比即可得到．
本题考查了二次函数与图形面积最值、定值问题，熟练掌握待定系数法求解析式，两点之间的距离公式以及相似三角形的判定和性质是解题的关键．