2021北京四中高一（下）期中数学（教师版）

这是一份2021北京四中高一（下）期中数学（教师版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021北京四中高一（下）期中数    学（试卷满分 140分  考试时间 120分钟）Ⅰ  卷  （满分90分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）已知，，则(A) (B) (C) (D) 是一个任意角，则的终边与的终边(A) 关于坐标原点对称(B) 关于轴对称(C) 关于轴对称(D) 关于直线对称若角的终边上有一点，则的值是  (A) (B) (C) (D) 若，则的值为  (A) (B) (C) (D) 已知向量，向量，则向量与向量的夹角为  (A) (B) (C) (D) 将函数的图像向左平移个单位，所得图像的函数解析式是  (A) (B) (C) (D) 函数是(A) 最小正周期为的奇函数(B) 最小正周期为的偶函数(C) 最小正周期为的奇函数(D) 最小正周期为的偶函数已知，，则的值为  (A) (B) (C) (D) 已知 ，对任意实数都有，且，则实数的值等于   (A) (B) (C) 或(D) 或关于函数有下述四个结论：  ①    是偶函数；         ② 在区间上单调递增；③     的最大值为1；      ④ 在区间上有3个零点.其中所有正确结论的编号是   (A) ①②(B) ②④(C) ①④(D) ①③二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）已知，，若，则实数的值为_______.    函数在区间上的最大值为       ，最小值为       ．  已知是第四象限角，且，则      . 已知函数在一个周期内的图像如图所示，则函数的解析式为            .已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则 =       .  已知函数，若不等式在区间上有解，则的最小值为      . 三、解答题（本大题共3小题，共26分.）（本小题7分）已知，且 .（Ⅰ）求的值；     （Ⅱ）求的值.   （本小题9分）已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数的单调递减区间.  （本小题10分）已知向量，，其中.（Ⅰ）求及的值； （Ⅱ）若函数，求的最大值.  
II 卷（满分50分）一、选择题（本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）=(A) (B) (C) (D) 函数的图像经过适当变换可以得到的图像，则这种变换可以是(A) 向右平移个单位(B) 向左平移个单位(C) 向左平移个单位(D) 向右平移个单位平面直角坐标系中，为坐标原点.已知点，点，则向量与的夹角的取值范围是   (A) (B) (C) (D) 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）定义运算为：例如，，则函数的值域为         ． 已知函数，某同学描点绘制函数在区间上的草图，部分列表如下： ……    则      ；函数的单调递增区间是         .已知函数，其中，. 若对任意恒成立，则 ①    ；②    ；③    既不是奇函数也不是偶函数；④    的单调递增区间是．以上结论正确的是        （写出所有正确结论的编号）. 三、解答题（本大题共2小题，共23分.） （本小题13分）如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且．将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点．记．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）分别过作轴的垂线，垂足依次为．记△的面积为，△的面积为．若，求角的值．
（本小题10分）设是定义在区间上的函数，在内任取个数，设，令，如果存在一个常数，使得， 恒成立，则称函数在区间上具有性质.已知函数，.（Ⅰ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）试判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由.（Ⅲ）试判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由.
2021北京四中高一（下）期中数学参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1. 【答案】D【解析】【分析】根据同角三角函数的关系式先求的值，然后再求的值.【详解】因为，，所以，所以.故选：D.2. 【答案】C【解析】【分析】根据角终边位置的周期性判断出的终边与的终边相同，从而得出答案.【详解】因为的终边与的终边相同，而的终边与的终边关于轴对称，所以的终边与的终边关于轴对称.故选：C.3. 【答案】A【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义结合诱导公式求解．【详解】角的终边上有一点，，又，，，故选：．4. 【答案】C【解析】【分析】根据余弦的二倍角公式及正弦的和差公式即可求解.【详解】因为，所以，即.故选：C.5. 【答案】A【解析】【分析】根据向量的夹角公式直接即可求得.【详解】因为，，所以，，所以，又因为，所以.故选：A.6. 【答案】A【解析】【详解】由三角函数平移的性质和结论可知，将函数的图像向左平移个单位后 ，所得图像的解析式是:.本题选择A选项.7. 【答案】A【解析】【详解】试题分析：=，所以，又，函数为奇函数．考点：二倍角公式，诱导公式．8. 【答案】C【解析】【分析】先判断出的范围，求出，利用两角和的余弦公式直接求得.【详解】因为，所以，所以.因为，所以.所以故选：C9. 【答案】D【解析】【分析】根据得出函数的对称轴即函数取得最值的值，结合求出的值．【详解】对任意实数都有，所以函数的对称轴是，此时函数取得最值，又，所以，解得或．故选：．10. 【答案】A【解析】【分析】先化简函数解析式再结合三角函数性质进行求解．【详解】由函数解析式易得的定义域，且对任意，有，为偶函数，故①正确；当，易得，，当时，，易知此时单调递增，故②正确；由函数解析式易得函数在，上的最大值为2，故③错误；当，函数，有无数解，故④错误．故选：．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）11. 【答案】【解析】【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，计算求得的值．【详解】，，若，则，求得实数，故答案为：．12. 【答案】    ①. 2    ②. 【解析】【分析】利用余弦函数的性质，即可求得函数的最值．【详解】，时，函数取得最大值2；时，函数取得最小值故答案为：2，；13. 【答案】【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系及诱导公式即可得出结论．【详解】由三角函数定义可知：是第四象限角，且，则，可得，．故答案为：14. 【答案】【解析】【分析】根据最值求，根据周期求，最后找点代入求.【详解】由图象知：，所以，又因为，所以，所以，又，所以，即，又因为，所以，所以.故答案：.15. 【答案】1【解析】【详解】试题分析：．考点：1、向量的数量积运算；2、向量加法．16. 【答案】【解析】【分析】由题意, 当时，≥1能成立，故有，由此求得m范围.【详解】∵函数，若不等式在区间上有解，∴≥1在区间上有解，即当时，≥1能成立∵，∴，∴则m的最小值为.故答案为: .三、解答题（本大题共3小题，共26分.）17. 【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用平方关系直接求出；（2）先化简，再把带入即可求值.【详解】（1）因为，且 ，所以.（2）因为所以.18. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）根据二倍角公式把函数化为，然后利用周期公式求函数的周期；（Ⅱ）利用整体代入的思想求函数的单调区间.【详解】（Ⅰ）所以函数的周期为.（Ⅱ）由，得，所以函数的单调递减区间为.19. 【答案】（1），；（2）0.【解析】【分析】（1）利用数量积的坐标运算及两角差的余弦求；由向量的坐标加法运算得的坐标，再由向量模的运算公式求的值；（2）把（1）中求得的结论代入，整理后利用换元法及配方法求的最大值．【详解】（1），，，，；又，，，，，；（2），令，则，，则，则当时，．II卷（满分50分）一、选择题（本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）20.【答案】D【解析】【分析】根据降幂公式及变名的诱导公式进行化简.【详解】.故选：D.21. 【答案】B【解析】【详解】试题分析：根据诱导公式，，所以为了得到的图象,只需将的图象沿x轴向右平移个单位长度，故选B.考点：三角函数的图像变换【方法点睛】对于三角函数的图像变换：如果变换前后两个函数是同名三角函数，只需考虑变换，“左＋右－”是相对于自变量来说，如果变换之前是，向左或向右平移个单位，注意要提出，即变换为，如果是横向伸缩，如果是伸长或缩短到原来的倍，那要变为，如果是纵向变换，就是“上＋下－”，向上或向下平移个单位，变换为，纵向伸长或缩短到原来的倍，就变换为，如果前后两个函数不同名，就要先根据诱导公式化为同名三角函数，再变换.22. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，设向量与的夹角为，求出、的坐标，由数量积的计算公式计算，由基本不等式求出的取值范围，由此分析可得答案．详解】根据题意，设向量与的夹角为，点，点，则，，则，，，则，又由，则，当且仅当时等号成立，则，又由，故，即向量与的夹角的取值范围是，故选：．二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）23. 【答案】[-1,]【解析】【详解】由题设可得，在同一平面直角坐标系中画出正弦函数、余弦函数的图像如图，结合图像可知：，故函数的值域为，应填答案．24. 【答案】    ①. ；    ②. 【解析】【分析】根据表格可求得函数的解析式，从而可求的值；然后再利用整体代入法求函数的单调递增区间.【详解】因为，，所以，又时，；时，，所以，所以，所以；由，得，所以函数的单调递增区间是.故答案为：；.25. 【答案】①③【解析】【分析】根据辅助角公式对函数进行化简；然后利用已知条件中的不等式恒成立，得到，从而求的值；再通过整体思想研究函数的性质即可.【详解】，其中，因为对任意恒成立，所以，即，所以，所以，所以，故①正确；，，所以，故②错误；，易知当时，函数为偶函数，当时，函数为奇函数，而我们求出，所以既不是奇函数也不是偶函数，故③正确；因为，所以当为偶数时，，所以当为奇数时，，所以的值不同函数在某个区间上的单调性不同，故④错误.故答案为：①③.三、解答题（本大题共2小题，共23分.）26. 【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由三角函数定义，得，由此利用同角三角函数的基本关系求得的值，再根据，利用两角和的余弦公式求得结果．（2）依题意得，，分别求得和的解析式，再由求得，根据的范围，求得的值．【详解】（1）解：由三角函数定义，得，．因为，，所以．所以．（2）解：依题意得，． 所以，．依题意得，即，整理得．因为，所以，所以，即．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的正弦公式、余弦公式，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．27. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）具有性质，证明见解析；（Ⅲ）具有性质，证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）构造函数，，只需求函数的最大值即可； （Ⅱ）根据函数在上单调递增，得到即可得到结果；（Ⅲ）先判断函数，的单调性，设出，，根据函数的单调性得到即可证明.【详解】（Ⅰ）设，，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以，又因为对任意，不等式恒成立，所以只需.（Ⅱ）函数在区间上具有性质，证明如下：由（Ⅰ）知，在上单调递增，所以对任意的，且，都有，所以，所以，所以只需取，即可使恒成立，所以函数在区间上具有性质.（Ⅲ）函数在区间上具有性质，证明如下：记，，易知为偶函数，又，当时，恒成立且不恒为0，所以在上单调递增，又为偶函数，所以在上单调递减，所以对任意的，且，则 ，所以只需取，即可使恒成立，故函数在区间上具有性质.