2023年福建省莆田市仙游县重点中学高考数学考前模拟试卷（含解析）

这是一份2023年福建省莆田市仙游县重点中学高考数学考前模拟试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了 已知双曲线C， 函数f=sin在上的值域为， 5的展开式中的常数项为， 已知P是圆O等内容，欢迎下载使用。
2023年福建省莆田市仙游县重点中学高考数学考前模拟试卷1.  已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  设，则复数(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知双曲线的离心率是它的一条渐近线斜率的倍，则(    )A.  B.  C.  D. 4.  函数在上的值域为(    )A.  B.  C.  D. 5.  几何原本是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，若，都是直角圆锥底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值为(    )
A.  B.  C.  D. 6.  的展开式中的常数项为(    )A.  B.  C.  D. 7.  以边长为的等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知为弧上的一点，且，则的值为(    )A.
B.
C.
D. 8.  已知、分别是双曲线：的左、右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为(    )A.  B.  C.  D. 9.  某经济开发区经过五年产业结构调整和优化，经济收入比调整前翻了两番，为了更好地了解该开发区的经济收变化情况，统计了该开发区产业结构调整前后的经济收入构成比例，得到如图所示的饼图，则下列结论中正确(    )

 A. 产业结构调整后节能环保的收入与调整前的总收入一样多
B. 产业结构调整后科技研发的收入增幅最大
C. 产业结构调整后纺织服装收入相比调整前有所降低
D. 结构调整后食品加工的收入超过调整前纺织服装的收入10.  已知是圆：上的动点，点，以为圆心，为半径作圆，设圆与圆相交于，两点则下列选项正确的是(    )A. 当点坐标为时，圆的面积最小
B. 直线过定点
C. 点到直线的距离为定值
D. 11.  将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则下列说法正确的有(    )A. 数列为等差数列
B. 数列为等比数列
C.
D. 数列的前项和为12.  已知函数，若对任意的恒成立，则的最大值是(    )A.  B.  C.  D. 13.  某小学制订了一份调查问卷，让学生家长对该校实行“双减”的效果进行评分，评分都在内，将所有数据按，，，，，进行分组，整理得到频率分布直方图如下，则这次调查数据的第百分位数为______ ．
14.  据悉，中国，美国，俄罗斯的卫星发射数量比例为：：，发射成功率分别为，，，则在某卫星由中美俄之一成功发射的条件下，该卫星由中国发射的概率为______ ．15.  如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为，高为，内孔半径为，则此六角螺帽毛坯的体积是________．

 16.  已知抛物线：的焦点为，准线为，、是上异于点的两点为坐标原点，若，过的中点作于点，则的最小值为______ ．17.  已知等比数列的前项和为，且．
求数列的通项公式；
在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证数列的前项和．18.  在中，角，，所对的边分别为，，，点在边上，且．
若，，且为锐角，求的长；
若，求的值．19.  如图，在三棱锥中，，，，．
证明：平面；
求直线与平面所成角的余弦值．
20.  为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表： 直径合计件数，标准差，以频率作为概率的估计值．
为评估设备的性能，从样本中任意抽取一个零件，记其直径为，并根据以下规则进行评估表示相应事件的概率；
；；
．
若同时满足上述三个不等式，则设备的性能等级为甲；若满足其中两个不等式，则设备的性能等级为乙；著仅满足其中一个不等式，则设备的性能等级为丙；若全部不满足，则设备的性能等级为丁试判断设备的性能等级；
将直径小于或等于或直径大于的零件认为是次品．
(ⅰ)从设备的产生流水线上任意抽取个零件，计算其中次品个数的数学期望；
(ⅱ)从样本中任意抽取个零件计算其中次品个数湾的数学期望．21.  已知椭圆经过点，且离心率为．
求椭圆的方程和焦点，的坐标；
设点为椭圆上的任一点不在坐标轴上，直线与椭圆交于另一点为，直线与椭圆交于另一点为，为坐标原点，证明：直线与的斜率之积为定值．22.  已知函数．
若单调递增，求实数的取值范围；
若函数有两个极值点，，且，求证：．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由题设，，或，
所以或．
故选：．
解一元二次不等式、绝对值不等式求集合、，再由集合的交运算求结果．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：设复数，
由，
，
，
，
解得
．
故选：．
由已知利用复数的四则运算法则、共轭复数的定义即可得出方程组，进而得出结论．
本题考查了复数的四则运算法则、共轭复数的定义、方程组，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：由题意得，解得，所以，解得．
故选：．
由已知可得，求解即可．
本题考查双曲线的离以率的求法，属基础题．
 4.【答案】 【解析】解：由得，
故．
故选：．
由已知结合正弦函数的值域即可求解．
本题主要考查了正弦函数值域的应用，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：连接，，
则，
则异面直线与所成角的平面角为或其补角，
设，
由题意可得：，，
则，
故选：．
先作出异面直线所成角的平面角，然后结合余弦定理求解即可．
本题考查了异面直线所成角，重点考查了异面直线所成角的作法，属基础题．
 6.【答案】 【解析】解：多项式表示个因式的乘积，
所以展开式中的常数项为，
故选：．
根据二项式定理以及组合数的运算性质即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 7.【答案】 【解析】解：如图所示，以为坐标原点，直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，

建立平面直角坐标系，则，，
由，得，
所以，，
所以．
故选：．
如图所示，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示计算即可．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
 8.【答案】 【解析】解：如图所示：
由已知可得是的角平分线，且，
所以≌，故，，
又因为，所以，
又，，所以，
已知，所以，即，
故双曲线的离心率为，
故选：．
画出对应的图形，利用数形结合以及角平分线的性质和双曲线的定义分析建立等式关系，进而可以求解
本题考查了双曲线的性质，涉及到角平分线的性质，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：设产业结构调整前的经济收入为，则调整后的经济收入为．
由饼图知调整前纺织服装收入为，节能环保收入为，食品加工收入为，科技研发收入为，
调整后的纺织服装收入为，节能环保收入为，
食品加工收入为，科技研发收入为．
由以上数据得产业结构调整后节能环保的收入与调整前的总收入一样多，故选项A正确；
产业结构调整后科技研发的收入增幅最大，故选项B正确；
产业结构调整后纺织服装收入相比调整前有所升高，故选项C错误；
产业结构调整后食品加工收入是调整前纺织服装收入的倍，故选项D正确．
故选：．
利用饼图的性质直接求解．
本题考查命题真假的判断，考查饼图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等数学核心素养，是基础题．
 10.【答案】 【解析】解：：根据圆的性质知：点坐标为时最小，此时圆的面积最小，正确；
：若圆的半径为且，
如下图，当为圆在轴右侧交点，此时，显然直线垂直于轴，在点右侧；

如下图，当为圆在轴左侧交点，此时，显然直线也垂直于轴，在点左侧；

所以直线不可能过定点，错误；
：由对称性，不妨设，则，
所以圆方程为，又直线为两圆相交弦，
则圆、圆相减并整理得：直线，
所以到直线的距离为定值，正确；
：由题意，与交于且垂直平分，

令，则，可得，故，
所以，正确；
故选：．
由题意圆的面积最小只需最小，结合圆的性质判断；应用特殊点，讨论为圆在轴交点分别判断直线的位置即可判断；由两圆相交弦所在直线的求法确定直线，再由点线距离公式判断；由垂直平分，结合弦心距、半径、弦长关系得到关于圆半径的表达式，结合二次函数性质求范围．
本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，化归转化思想，函数思想，属中档题．
 11.【答案】 【解析】解：数列中的项为，，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，
数列中的项为，，，，，，，，
数列是首项为，公比为的等比数列，
；
，记数列的前项和为，
则，
，
两式相减得

，
．
故选：．
与公共项从小到大排列出，可知为等比数列，求出通项公式再利用错位相减求的前项和，即可得出答案．
本题考查数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：，，
当时，恒成立，则单调递减，，
不恒成立，
当时，时，，单调递减，
时，，单调递增，
，
恒成立，，
，
令，，，
时，，时，，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
，的最大值为．
故选：．
求出，利用导数性质求出，从而，令，，，利用导数性质能求出的最大值．
本题考查导数的性质及应用、函数的单调性、极值、构造法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 13.【答案】 【解析】解：因为前组数据的频率之和为，
前组数据的频率之和为，
则分位数在内，设分位数为，
则，
解得，
所以分位数为．
故答案为：．
利用百分位数的概念以及频率分布直方图求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：设“卫星是由中美俄之一成功发射”为事件，“卫星是由中国发射的概率”为事件，“卫星是由美国发射的概率”为事件，“卫星是由俄罗斯发射的概率”为事件，
可得，
所以
，
所以该卫星由中国发射的概率为．
故答案为：．
根据互斥事件的概率计算公式，求得发射成功的概率，再由条件概率的计算公式，即可求解由中国发射的概率．
本题主要考查了全概率公式以及条件概率的概率公式，属于中档题．
 15.【答案】 【解析】【分析】本题考查柱体体积公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
通过棱柱的体积减去圆柱的体积，即可推出结果．【解答】解：六棱柱的体积为：，
圆柱的体积为：，
所以此六角螺帽毛坯的体积是：，
故答案为：．  16.【答案】 【解析】解：过点作于点，过点作于点，
设，，所以，
因为
，
所以，则的最小值为，当且仅当时，等号成立．
故答案为：．
根据抛物线的几何性质，基本不等式，即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，数形结合思想，化归转化思想，属中档题．
 17.【答案】解：设等比数列的公比为，
，，
两式相减得，即，
，
又，当时，则，
适合上式，则，
故数列的通项公式；
证明：若在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，
则，即，整理得，
，
，
，，
． 【解析】设等比数列的公比为，根据题意求得，由，求得，得到，即可得出答案；
根据题意得到，求得，得到，结合裂项法求和，即可证明结论．
本题考查等比数列的性质和裂项相消法求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 18.【答案】解：由，，则，
所以，又为锐角，则，
又，在中由余弦定理得：
，可得．
由，
在中，则，
在中，则，
又，故，
又，所以． 【解析】由题设可得，进而求得，应用余弦定理求的长；
由正弦定理可得、，结合即可求目标式的值．
本题考查解三角形问题，正弦定理与余弦定理的应用，属中档题．
 19.【答案】证明：，，，，
，，，
，，
，、平面，平面，
平面，，
因为，、平面，
平面；
解：因为，平面，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：

则、、、，
，，
设平面的一个法向量分别为，
则，取，可得，
，，
设直线与平面所成角的，则，，
直线与平面所成角的余弦值． 【解析】证明出平面，可得出，再利用已知条件结合线面垂直的判定定理可证得结论成立；
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得直线与平面所成角的余弦值．
本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理，考查了利用空间向量求直线与平面的夹角，属于中档题．
 20.【答案】解：因为，标准差，
所以，
，
，
所以设备的性能等级为丙．
易知样本中次品共个，可估计设备生产零件的次品率为．
由题意可知，于是．
的分布列为 故． 【解析】利用已知条件求解概率，即可判断结果．
，求解期望．
写出的分布列，然后求解期望即可．
本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
 21.【答案】解：依题意，椭圆半焦距，，又，解得，
所以椭圆的方程为，焦点坐标为，．
证明：设，，，设直线的方程为：，

由，消去并整理得，
而，
则，即，
则，
设直线的方程为：，
由，消去并整理得，
而，
则，即，
则，
因此直线的斜率，
而直线的斜率，
所以为定值． 【解析】根据给定的点和离心率求出，作答．
设出点的坐标，根据给定条件，求出直线，的方程，与椭圆方程联立，表示出点，的坐标，再借助斜率坐标公式推理作答．
本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
 22.【答案】解：函数，，则，
由单调递增，则对任意，恒成立，即对任意，恒成立，
易知函数在上单调递减，则，
故，即的取值范围是．
，则，
由题意知，是的两个根，即，是方程的两个根，
则，解得，
则，，则，
要证，只需证，即证，，
，，
从而，
令，则，，
设函数，，则，
设，，则，
易知存在，使得，
且当时，；当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故，故在上单调递减，
从而，
故，原命题成立． 【解析】本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，属于难题．
求出函数的导数，问题转化为恒成立，根据函数的单调性求出的取值范围即可；
由题意知，是方程的两个根，进而求出的取值范围，根据，令，则，得到，设函数，求出函数的导数，根据函数的单调性证明结论成立即可．