2022-2023学年江苏省泰州市兴化市高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省泰州市兴化市高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  从本书中任意选取本，共有不同的选法种数为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知，分别是平面，的法向量，则平面，交线的方向向量可以是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱假设空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊名航天员开展实验，其中天和核心舱安排人，问天实验舱与梦天实验舱各安排人，且甲、乙两人被安排在同一个舱内，则共有种方案．(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  某单位安排甲、乙、丙、丁四人去、、三个劳动教育基地进行社会实践，每个人去一个基地，每个基地至少安排一个人，则乙被安排到基地的排法总数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  布达佩斯的伊帕姆维洋蒂博物馆收藏的达芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达芬奇方砖拼成图的组合，这个组合再转换成图所示的空间几何体若图中每个正方体的棱长为，则直线与平面所成角的正弦值为(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.  已知，的展开式中含的项的系数为，则的展开式中含的项的系数的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  在正方体中，设，，，则(    )

A.  B.
C.  D.

10.  从，，，，中任取若干数字组成新的数字，下列说法正确的有(    )

A. 若数字可以重复，则可组成的三位数的个数为
B. 若数字可以重复，则可组成的四位数且为偶数的个数为
C. 若数字不能重复，则可组成的三位数的个数为
D. 若数字不能重复，则可组成的四位数且为偶数的个数为

11.  已知，下列结论正确的有(    )

A.
B.
C.
D.

12.  数列，中，，，，记的前项和为，则下列说法正确的是(    )

A.  B. 当时，被除所得余数为
C. 当时，被除所得余数为 D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  若，则正整数 ______ ．

14.  在空间直角坐标系中，已知点，，，，若，，，四点共面，则 ______ ．

15.  的展开式中的系数为______ 用数字作答．

16.  近年来，“剧本杀”门店遍地开花放假伊始，名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供人组局的剧本，其中，角色各人，角色人已知这名同学中有名男生，名女生，现决定让店主从他们人中选出人参加游戏，其余人观看，要求选出的人中至少有名女生，并且，角色不可同时为女生则店主共有______ 种选择方式．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算写出计算过程，结果用数字作答：
；
．

18.  本小题分
从名男生和名女生中选出人去参加某项大赛．
如果要求人中男生和女生都要有，那么有多少种选法用数字作答？
如果男生甲和女生乙最多只能选人，那么有多少种选法用数字作答？

19.  本小题分
已知在正三棱锥中，点，分别是线段，的中点，记，，．
分别用，，来表示向量，；
若，，两两垂直，求直线与所成角的余弦值．

20.  本小题分
已知在的展开式中，第项为常数项，求：
的值；
展开式中的系数；
含的整数次幂的项的个数．

21.  本小题分
九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”在如图所示的“阳马”中，侧棱底面，，，点是的中点，为线段上一点且．
若，求的长；
若平面与平面所成的二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．

22.  本小题分
已知数列的首项为，设，．
若为常数列，求的值；
若为公比为的等比数列，求的解析式；
数列能否成等差数列，使得对一切都成立？若能，求出数列的通项公式，若不能，试说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了排列及排列数公式，属于基础题．
把给出的式子变形为，然后结合排列数公式得答案．
【解答】
解：．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查组合与组合数公式，属于基础题．
由题意知为组合问题，直接列式计算即可．

【解答】

解：从本书中任意选取本，且不分顺序，为组合数，
则为，
故选：．

3.【答案】 

【解析】解：因为四个选项中，只有，，故都垂直于向量，
所以平面，交线的方向向量可以是，
故选：．
根据平面的交线都与两个平面的法向量垂直求解．
本题考查法向量的定义，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：甲、乙两人被安排在同一个舱内，则只能安排天实验舱或与梦天实验，则甲乙有种，其余人有种，
则共有种方案．
故选：．
利用元素优先法进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用元素优先法进行计算是解决本题的关键，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：若构成空间的一个基底，即，和为不共线和非向量，
对于：由于和为实数，故A正确；
对于：由于，故B错误；
对于：由于，故C错误；
对于：由于，故D错误．
故选：．
直接利用共线向量和向量的基底判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：向量的基底，共线向量基本定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：分以下两种情况讨论：
若基地只安排乙一人，将其余人分为组，人数分别为、，
此时不同的排法种数为种；
若基地安排两人，则需从甲、丙、丁中再选择一人安排至基地，
此时不同的排法种数为．
综上所述，乙被安排到基地的排法总数为种．
故选：．
对基地安排的人数进行分类讨论，利用分类加法计数原理可得结果．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，建立空间直角坐标系，如图所示：所以，，，
，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，则，令，则，，所以，
，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
故选：．
建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，求出平面的一个法向量，再求直线与平面所成角的正弦值．
本题考查了直线与平面所成角的正弦值计算问题，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
的展开式中含的项的系数为，
则的展开式中含的项的系数为
，
当为时，此二次函数的图象的对称轴为．
再根据为正整数，可得当时，取得最小值为．
故选：．
由题意，利用二项展开式的通项公式，组合数的计算公式，计算求得的展开式中含的项的系数的最小值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，组合数的计算公式，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，

对于，，故A正确；
对于，，，
由图可知，，故B正确；
，故C错误；
，故D正确．
故选：．
由题意画出图形，再由平面向量的加法运算逐一分析四个选项得答案．
本题考查平面向量数量积的运算及性质，考查数形结合思想，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：若数字可以重复，则可组成的三位数的个数为，故A正确，
B.若数字可以重复，则可组成的四位数且为偶数，
则个位数可以是，，，则共有个，故B正确，
C.若数字不能重复，则可组成的三位数的个数为个，故C错误，
D.若数字不能重复，则可组成的四位数且为偶数，则个位数可以是，，，则有个，故D正确．
故选：．
利用分步计数原理进行计算即可．
本题主要考查简单的技术问题，利用分步计数原理进行计算是解决本题的关键，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为，
令，则，令，则，
所以，故B错误；
令，则，故C错误；
令，则，所以，
通项为，
所以，故A正确；
令，
则，
令，得，故D正确．
故选：．
由赋值法判断；令，由二项式定理结合赋值法判断．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：对于选项，，A正确，
对于选项，由于，，，都能被四整除，所以，为正整数，显然当时，被除所得余数为，B错误，
同理可以得出当时，被除所得余数为，C正确，
对于选项，

，将其代入等式，显然等式成立，D正确，
故选：．
通过列出前几项项的和寻找规律，进而扩展到项．
本题主要考察了对数列规律的寻找，通过前几项的规律扩展到项是解决本题的关键，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由，得，
，即，可得．
故答案为：．
直接利用组合数公式求解值．
本题考查组合数公式的应用，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，，，
，，，
又，，，四点共面，
由平面向量基本定理可知存在实数，使成立，
，
，解得．
故答案为：．
利用平面向量基本定理，列出关系式，利用向量的坐标运算得出关系式，即可求解
本题主要考查共线向量与共面向量，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：的展开式的通项公式为，
的展开式中的系数为
．
故答案为：．
由题意，利用二项展开式的通项公式，求出的展开式中的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意，根据选出的女生人数进行分类，
第一类：选出名女生，先从名女生中选人，再从四名男生中选人，然后安排角色，两名男生扮演，角色有种，剩余的名男生和女生扮演角色，或，角色名男生名女生，女生先选有，剩下的一个角色从名男生中选人，则种，
所以共有种，
第二类：选出名女生，先从名女生中选人，再从四名男生中选人，然后安排角色，两名男生扮演，角色有种，剩余的名女生扮演角色，或，角色名男生名女生，选出名女生先选角色有，剩下的一个角色从名男生中选人，则种，
所以共有种，
第三类：选出名女生，从先从名女生中选人，再从四名男生中选人，然后安排角色，，角色名男生名女生，选出名女生先选角色有，剩下的一个角色让男生扮演，余下的名女生扮演角色，
所以共有种，
综上所述，店主共有种选择方式，
故答案为：．
根据题意，按照选出的女生人数进行分类，分别求出每一类的选择种数，然后相加即可求解．
本题主要考查了排列组合知识，属于中档题．
 

17.【答案】解：；

． 

【解析】直接利用排列数公式求解；
利用组合数的性质计算．
本题考查排列数与组合数公式的应用，是基础题．
 

18.【答案】解：人中男生和女生都要有，则分男女，男女，男女，
共有种．
男生甲和女生乙最多只能选人，则分选甲不选乙，选乙不选甲，甲乙都不选，
则有种． 

【解析】利用分类讨论思想进行计算即可．
分选甲不选乙，选乙不选甲，甲乙都不选，种情况进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用分类讨论思想，利用分步计数原理进行计算是解决本题的关键，是基础题．
 

19.【答案】解：已知在正三棱锥中，点，分别是线段，的中点，记，，，
所以，，，
若，，两两垂直，且，设直线与所成角为，
故． 

【解析】直接利用向量的线性运算求出结果；
直接利用向量的线性运算和夹角的余弦公式求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的模，向量的夹角运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：在的展开式中，第项为常数项，
而第项的通项公式为，
故有，解得．
由可得展开式的通项公式为．
令，求得，故展开式中的系数为．
由为整数，可得，，，，，，故含的整数次幂的项的个数为． 

【解析】根据的展开式中，第项为常数项，而第项的通项公式为，故有，由此解得．
由可得展开式的通项公式为令的幂指数等于，求得的值，可得展开式中的系数．
由为整数，可得，，，，，，从而得到含的整数次幂的项的个数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．
 

21.【答案】解：因为侧棱底面，是长方形，
则，，，
所以以为坐标原点，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系．

设，，，点是的中点，为线段上一点且．
则，，，．
因为点是的中点，
所以，
因为为上一点且，
，解得，
所以．
由平面，所以是平面的一个法向量，
设是平面的法向量，，
则，
所以，则可取，
由题意可知，，解得，
则，，
又，
则，
则，
故所求的正弦值是． 

【解析】以为坐标原点，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系．设，利用求解即可；
根据平面与平面所成的二面角为，利用向量法列方程求出，再利用夹角公式可得结果．
本题主要考查二面角的平面角及其求法，考查空间向量的运用，属于中档题．
 

22.【答案】解：由题设知：，，
；
若为公比为的等比数列，则，
故


；
假设数列能成等差数列，使得对一切都成立，设公差为，
则，
且，
由可得：，


，
恒成立，
即恒成立，
，
故存在数列是成等差数列，使得对一切都成立，且通项公式为． 

【解析】根据数列为常数列，且首项为，可得它的通项公式，进而求得及；
若为公比为的等比数列，则，用二项式定理求得的解析式；
假设数列能成等差数列，使得对一切都成立，设公差为，用倒序相加法求得表达式，进而求得的表达式，再利用求得公差，即可求得通项公式．
本题主要考查二项式定理的应用、等差关系的确定及等差数列的通项公式，属于中档题．