2023年河南省信阳市息县中考数学适应性试卷（四）

2023年河南省信阳市息县中考数学适应性试卷（四）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  近几年，随着我国科技的快速发展，芯片技术已全面融入我们的生活中，其中的芯片应用最为广泛数据“”用科学记数法表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  图是一个正方体的平面展开图，将它折叠成正方体后，与“结”字所在面相燃对的面上的字是(    )

A. 数
B. 形
C. 真
D. 好

4.  如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  顺次连接四边形各边中点，得到四边形，要使四边形是菱形，应添加的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  年世界泳联跳水世界杯首战于年月日在西安举行，西安市某校想了解全校名学生对跳水运动的喜爱情况，随机抽取了名学生进行统计分析，下列描述正确的是(    )

A. 名学生是总体 B. 抽取的名学生是总体的一个样本
C. 样本容量是 D. 本次调查是全面调查

8.  一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根

9.  如图，在矩形内有两点，，，，垂足分别为点，，若，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径作圆，是上一动点，连接，以点为旋转中心，将顺时针旋转得，连接若点从点出发，按照逆时针方向以每秒个单位长度运动，则第秒时，点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  请写出一个图象与坐标轴没有交点的函数的表达式：______ ．

12.  计算： ______ ．

13.  如图，有三个同心圆，由里向外的半径依次是，，将圆盘分为三部分，飞镖可以落在任何一部分内，那么飞镖落在阴影圆环内的概率是______．

14.  如图，正方形的边，将正方形以点为旋转中心逆时针旋转得到正方形旋转角小于，与相交于点若点恰好落在边的垂直平分线上，则图中的长度为______ ．

15.  如图，已知等边和正方形，点在边上，且，是边上的动点点不与端点重合，则当与等边任意一边垂直或平行时，的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解不等式组：；
化简．

17.  本小题分
为确保学生暑期安全，今年某校开展了“远离溺水珍爱生命”的防溺水安全教育活动现在对七、八年级全体学生进行防溺水安全知识测试，并从两个年级分别随机抽取名学生的成绩进行分析．
七年级名学生的成绩：
八年级名学生的成绩：
整理数据：

分析数据：

表格中的 ______ ， ______ ；
七年级某同学得分分，请你估计这位同学的成绩位于七年级的什么水平，为什么？
请对该校七年级学生防溺水安全知识掌握情况作出合理的评价

18.  本小题分
如图，反比例函数的图象经过点和点，点在点的右侧，连接，以为边，在右上方作等边．
求反比例函数的解析式；
尺规作图：作的平分线保留作图痕迹；
在所作图形中，连接，若的平分线过原点，求证：．

19.  本小题分
某学校为了给学生提供更舒适的学习环境，决定购进，两种空调已知购买台种空调和台种空调共需元；购买台种空调和台种空调共需元．
求，两种空调的单价；
若该校准备购买，两种空调共台，且种空调数量不小于种空调数量的倍，请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由．

20.  本小题分
年春节期间，某市举办烟花表演，其中最美烟花当属“惊艳天梯”当烟花在空中点燃的那一刻，一段段明亮的台阶依次向上显现，在空中逐渐形成一幅美妙的“天梯”图案，十分惊艳．
如图，某专业团队在水平地面上竖直架设测角仪，测量“天梯”的长度，在处测得“天梯”最低点的仰角，最高点的仰角，若，，，，共线且垂直于地面，且与，位于同一平面内请你根据以上信息，计算出天梯的长度结果精确到，参考数据：，，，

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线是常数经过点，，动点在抛物线上，其横坐标为．
求抛物线的解析式；
若点到轴的距离小于，求点的纵坐标的取值范围；
若抛物线位于点右侧包含点部分的函数值最小为，求的值．

22.  本小题分
如图，一种篮球包装盒为长方体形状，底面为正方形，顶部中心有一圆孔一个篮球放入后，球与包装盒的四周、底面及圆孔恰好无缝隙贴合，其剖面图如图所示，与矩形相切于点，与边相交于点，，为直径．
求证：；
若，，请计算的长度．

23.  本小题分
如图，矩形的对角线相交于点，点称为矩形的几何中心直线经过点，与矩形的边，分别交于点，，请判断线段与的数量关系，并说明理由；
如图，将矩形以直线为对称轴翻折，使点的对应点与点重合，请判断直线是否经过矩形的几何中心，并说明理由；
如图，在的条件下，，，在线段上有一点，若点到矩形一边的距离与的长都等于，请直接写出的所有可能的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的绝对值是．
故选：．
根据一个负数的绝对值是它的相反数即可求解．
本题考查了绝对值，如果用字母表示有理数，则数的绝对值要由字母本身的取值来确定：当是正数时，的绝对值是它本身；当是负数时，的绝对值是它的相反数；当是零时，的绝对值是零．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：与“结”字所在面相燃对的面上的字是好，
故选：．
根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“”字两端是对面，即可解答．
本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等，
．
故选：．
根据平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等，即可得出答案．
本题考查了垂线，注意：入射角等于反射角．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，故本选项计算错误，不符合题意；
B、，故本选项计算错误，不符合题意；
C、，故本选项计算错误，不符合题意；
D、，本选项计算正确，符合题意；
故选：．
根据单项式乘单项式、完全平方公式、积的乘方法则、二次根式的乘法法则计算，判断即可．
本题考查的是二次根式的乘除法、单项式乘单项式、完全平方公式、积的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：添加．
如图，，、、、分别是线段、、、的中点，
则、分别是、的中位线，、分别是、的中位线，
，，
当时，
成立，
则四边形是菱形．
故选：．
菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
定义；
四边相等；
对角线互相垂直平分．
本题考查菱形的判定和三角形中位线定理．本题是开放题，可以针对各种特殊的平行四边形的判定方法，给出条件，再证明结论．
 

7.【答案】 

【解析】解：这名学生对跳水运动的喜爱情况的全体是总体，原说法错误，故本选项不符合题意；
B.抽取的名学生对跳水运动的喜爱情况是总体的一个样本，故本选项不符合题意；
C.样本容量是，故本选项符合题意；
D.本次调查是抽样调查，故本选项不符合题意；
故选：．
分别根据总体，样本容量，个体的定义逐一判断即可．
本题考查统计知识的总体，样本，个体等相关知识点，要明确其定义．易错易错点：学生易对总体和个体的意义理解不清而错选．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，，，
，
方程没有实数根．
故选：．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，进而即可得出方程有两个不相等的实数根．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，交于点，于，
，，
，
，
∽，
，
，，，
，，
在中，，
在中，，
，
故选：．
连接，交于点，于，根据相似三角形的判定和性质和勾股定理解答．
本题主要考查相似三角形的判定和性质及正方形的性质，构造三角形相似利用相似三角形的对应边成比例求得的长是解题的关键，注意勾股定理的应用．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意得，的周长为：，
点运动一周的时间为：，
，，
第秒结束时，点位于轴负半轴上，
，
过点作轴于，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
故选：．
先根据运动路程确定第秒结束时点的位置，再利用全等三角形便可求得结果．
本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，圆的周长计算，关键是确定点位置和构造全等三角形．
 

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：一个图象与坐标轴没有交点的函数的表达式为：．
故答案为：答案不唯一．
由于反比例函数与坐标轴没有交点，所以任意写一个反比例函数表达式即可．
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的图象是关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先算负整数次幂和算术平方根，再求和．
本题考查了实数的运算，掌握运算法则是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了几何概率，根据三圆半径依次是，，求出圆环面积与大圆面积是解决问题的关键．根据圆环面积求法得出圆环面积，再求出大圆面积，即可得出飞镖落在阴影圆环内的概率．
【解答】
解：有三个同心圆，由里向外的半径依次是，，将圆盘分为三部分，
阴影部分面积为：，大圆的面积为：，
那么飞镖落在阴影圆环内的概率是：，
故答案为．  

14.【答案】 

【解析】解：连接，，，

由旋转得：，，，
点恰好落在边的垂直平分线上，
，
，
是等边三角形，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
的长度，
故答案为：
连接，，，根据旋转的性质可得：，，，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，从而可得，最后根据正方形的性质可得，，从而可得，再利用弧长公式进行计算，即可解答．
本题考查了旋转的性质，线段垂直平分线的性质，正方形的性质，弧长的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：等边和正方形，点在边上，且，
，
当与等边任意一边垂直或平行时，即，
，
，
是等边三角形，
，
当与等边任意一边垂直时，即，
，
，
是含角的直角三角形，
，
故答案为：或．
根据正方形的性质得出，进而利用等边三角形的性质解答即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的对边平行解答．
 

16.【答案】解：，
解不等式得：；
解不等式得：；
不等式组的解集是；
原式

． 

【解析】解出每个不等式，再取公共解集即可；
先通分算括号内的，把除化为乘，再约分．
本题考查解一元一次不等式组和分式的化简，解题的关键是掌握取不等式公共解集的方法和分式的基本性质．
 

17.【答案】   

【解析】解：把七年级名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是，，所以中位数；
八年级名学生的成绩中出现的次数最多，所以众数．
故答案为：；；
七年级某同学得分分，比中位数高，所以估计这位同学的成绩位于七年级的中上水平；
从样本看，七年级名学生的成绩的平均数比较高，众数也比较高，所以该校七年级学生防溺水安全知识掌握比较好．答案不唯一．
分别根据中位数和众数的定义解答即可；
根据中位数的意义解答即可；
根据平均数和众数的意义解答即可．
本题考查频数分布表，中位数和众数，掌握众数和中位数的定义是解答本题的关键．
 

18.【答案】解：反比例函数的图象经过点，
，
，
反比例函数的解析式为．
如图所示，即为所求．
证明：平分，过原点，
，
又是等边三角形，
，
，
≌，
． 

【解析】把点代入反比例函数中，求出，即可得结果．
按照角平分线的画法画出射线即可．
由平分，过原点得到，又是等边三角形得到，然后证明≌即可得到结论．
本题考查了反比例函数解析式的求法，尺规作图，角平分线的定义，三角形全等的判定与性质，正确掌握基本作图的要领是解题的关键．
 

19.【答案】解：设种空调的单价是元，种空调的单价是元，
依题意得：，
解得：．
答：种空调的单价是元，种空调的单价是元．
设购进型空调台，则购进型空调台，购买所需费用为元．
依题意得：，
化简整理得：，
由题意得：，
解得：，
，
随的增大而增大，
当时，有最小值，此时最小值为元．
答：最省钱的购买方案是：购进型空调台，购进型空调台． 

【解析】设种空调的单价是元，种空调的单价是元，根据“购买台种空调和台种空调共需元，购买台种空调和台种空调共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进型空调台，则购进型空调台，购买所需费用为元，根据总价单价数量列出关于的函数解析式，根据种空调数量不小于种空调数量的倍得出关于的一元一次不等式，解之求出的范围，然后根据一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

20.【答案】解：由题意得，，
在中，，，
，
在中，，
，
，
答：天梯的长度约为． 

【解析】由题意得，，在中，根据三角函数的定义得到，在中，根据三角函数的定义得到，于是得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确地识别图形是解题的关键．
 

21.【答案】解：抛物线经过点，，
，解得，
抛物线的解析式为．
如图，设点的纵坐标为，
，
抛物线的顶点为，对称轴为直线，
点动点在抛物线上，其横坐标为，
，
点到轴的距离小于，
，
，
当时，；
若，则；
若，则，
，
点的纵坐标的取范围是．
如图，当时，，
，
解得不符合题意，舍去；
如图，当时，，
，
解得，不符合题意，舍去，
综上所述，的值为． 

【解析】将，代入，列方程组并且解该方程组求出、的值，即可求得抛物线的解析式为；
设点的纵坐标为，由，求得抛物线的顶点为，对称轴为直线，因为在抛物线上，点到轴的距离小于，所以，而，所以当时，；若，则；若，则，可知，即可求得点的纵坐标的取范围是；
分两种情况，一是当时，，则；二是当时，，则，解方程求出符合题意的值即可．
此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、抛物线的顶点坐标和对称轴的求法、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
 

22.【答案】证明：连接，
与矩形相切于点，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
；
解：连接，，
则，
，
，
，
，
，
四边形是菱形，
． 

【解析】连接，根据切线的性质得到，根据矩形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换即可得到结论；
连接，，根据圆周角定理得到，求得，推出四边形是菱形，于是得到．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，菱形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：线段与的数量关系为：，理由：
四边形为矩形，
，，
．
在和中，
，
≌，
；
直线经过矩形的几何中心，理由：
连接，交于点，如图，

将矩形以直线为对称轴翻折，使点的对应点与点重合，
为的垂直平分线，
，
矩形的对角线相交于点，点称为矩形的几何中心，
．
点与点重合，
直线经过矩形的几何中心；
当点到矩形的边的距离与的长都等于时，连接，则经过的中点，如图，

，
．
由题意：，
．
，
∽，
，
，
．
．
由题意：，，
．
过点作于点，则为的中位线，
．
，，
，
∽，
，
，
解得：．
同理可求：当点到矩形的边的距离与的长都等于时，；
当点到矩形的边的距离与的长都等于时，，，
连接，则经过的中点，过点作于点，过点作于点，如图，

由知：，，为的中位线，
．
将矩形以直线为对称轴翻折，使点的对应点与点重合，
，，，，
，
．
在和中，
，
≌，
．
设，则，
在中，
，
，
解得：．
．
，，，
四边形为矩形，
，
，．
，，
，
∽，
，
，
解得：．
同理可求：当点到矩形的边的距离与的长都等于时，．
综上，若点到矩形一边的距离与的长都等于，的所有可能的值为和． 

【解析】利用矩形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
利用中点的性质和矩形的性质解答即可得出结论；
利用分类讨论的思想方法分四种情形同理解答：当点到矩形的边的距离与的长都等于时，连接，则经过的中点，利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质求得线段，再利用相似三角形的判定与性质得出关于的比例式解答即可，同理可求：当点到矩形的边的距离与的长都等于时，；当点到矩形的边的距离与的长都等于时，，，连接，则经过的中点，过点作于点，过点作于点，利用全等三角形的判定与性质和勾股定理求得线段，再利用矩形的判定与性质和相似三角形的判定与性质得到关于的比例式，解方程即可得出结论，同理可求：当点到矩形的边的距离与的长都等于时，．
本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．