2023年河北省衡水市部分学校联合中考数学三模试卷（含解析）

2023年河北省衡水市部分学校联合中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共16小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，平行四边形的对角线、交于点，则不可能是的(    )

A. 中线
B. 高线
C. 中位线
D. 角平分线

3.  在函数中，自变量的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  体育课上的侧压腿动作如图可以抽象为几何图形如图，如果，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

7.  下列正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  以下对圆心和的关系描述正确的是(    )
 

A. 图中是的外心 B. 图中是的外心
C. 图中是的内心 D. 图中是的内心

10.  已知是的最长边，将沿的中点旋转后得到，如果四边形是正方形，则下列对描述正确的是(    )

A. 是锐角三角形 B. 是直角三角形
C. 是等腰三角形 D. 是等腰直角三角形

11.  如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常随机闭合开关，，中的两个，能让两个小灯泡同时发光的概率是(    )

A.
B.
C.
D.

12.  如图，已知是的角平分线，和交于点，求证：∽．
证法Ⅰ：平分，
，
，
，
．
又，
∽．
证法Ⅱ：平分，
，
，．
，
又，
∽．
对于证法Ⅰ、证法Ⅱ，说法正确的是(    )

A. Ⅰ、Ⅱ都正确 B. Ⅰ正确、Ⅱ不正确
C. Ⅰ不正确、Ⅱ正确 D. Ⅰ、Ⅱ都不正确

13.  张颖给朋友说：“你随便想一个数，按我说的计算，我都知道计算结果”吴天：“说别吹牛，我来试试”于是张颖说：“你想好一个数了吗？开始”“把你想的数加，再把和乘以，再用你得到的积减去你想的数的倍，最后用你得到的差除以你计算完了吗？”请你也算一算，下面对这个计算结果说法正确的是(    )

A. 计算结果是 B. 计算结果是 C. 计算结果是 D. 计算结果不能确定

14.  已知四边形是菱形，沿图中虚线剪开后再重新拼一个与原来不全等的新图，能得到正方形的是(    )

A.  B.
C.  D.

15.  已知，其中，是实数，为整数，则对和的关系描述正确的是(    )

A. 以，为坐标的点可能在函数的图象上
B. 以，为坐标的点可能在函数的图象上
C. 当且直线时，以为坐标的点可能在轴上
D. A、选项都正确

16.  题目：“如图，纸片的直角边，是纸片边上不与、、重合的一点，欲过点剪下一个与相似的三角形问有几种不同的剪法”对于其答案，甲答：当点在斜边上时有三种不同的剪法；乙答：当点在直角边上时有四种不同的剪法；丙答：当点在直角边上时有三种不同的剪法；则正确的是(    )

A. 只有甲、乙两人的答案正确 B. 只有甲、丙两人的答案正确
C. 只有乙、丙两人的答案正确 D. 甲、乙、丙三人的答案都正确

二、填空题（本大题共3小题，共11.0分）

17.  关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．

18.  如图，在的正方形网格中，为格点，点、都在网格线上，已知线段、线段的长都是整数，则 ______ ．

19.  已知，二次函数的两系数、互为相反数．
直接写出其所在抛物线的对称轴______ ．
如果，则：
二次函数的图象必过点______ ；
如果直线与二次函数的的图象无公共点，请直接写出的取值范围______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
已知，求代数式的值；
解不等式组，并把其解集表示在数轴上．
 

21.  本小题分
【发现】个位数是的任意两位数的平方有如下特征：
，其中
，其中
，其中
，其中

【验证】请你直接写出 ______
【证明】设个位数是，十位数是的两位数为，请先写出它平方的规律，
再证明结论的正确性．
【迁移】思考“，，”的特征：“两个乘数个位上数字之和是
你还发现有类似的结论吗？如果发现了，请像本题“【发现】”一样，写出两个
具体数的式子积即可．

22.  本小题分
某创业公司的月工资情况见下表：
某公司全体职工月工资

求该公司全体职工月工资的平均数、中位数、众数；
平均数、中位数、众数哪一个更能反映该公司的工资水平？
由于公司效益较好，工资普涨元，请直接指出在初中学过的统计量
“平均数、中位数、众数、方差”中，哪个量的大小没发生变化？

23.  本小题分
小亮家院子呈矩形状，其南北长米，东西宽米家里要在院外的空地上用的栅栏围建一个矩形羊圈，父亲让小亮帮忙设计为了使羊圈面积最大，在设计中小亮借助了院子的外墙为了方便叙述，规定矩形羊圈的边与使用的外墙在同一直线上．
如图，小亮把羊圈设计在院子东墙外，请问他是如何设计该矩形的长和宽的？
父亲说东墙外明年还有别的用处，让小亮把羊圈设计在院子北墙外，请问又如何设计该矩形的长和宽？

24.  本小题分
已知，以为圆心为半径作优弧，使点在右下方，且如图在优弧上取一点，连接，沿折叠扇形，记点的对应点为连接，沿剪开把原扇形分割为两个扇形注：重叠的展开，使其中一个扇形的圆心角也等于分别求此时劣弧的长和弦的长．
嘉琪是这样做的：如图，取，按题目操作即可．
请你求此时劣弧的长及弦的长．
以为直径作，请你判定与直线的位置关系，并说明理由．
小明认为嘉琪做的不完整，还缺少情况你同意小明的观点吗？如果同意，
请直接写出其他情况下的劣弧的长及弦的长如果不同意，请说明理由．
参考数据：，，，，，
 

25.  本小题分
如图，是一个的矩形网格图，网线的交点叫做格点，点、是格点记
过、的直线为：，过点的双曲线为，直线、双曲线、轴三者所围形如“”的区域为．
在如图所示直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．
求直线的表达式；
直接写出双曲线的表达式；
直接写出此时区域内部格点的个数．
嘉琪平移了中一条坐标轴，在平移后的新坐标系中直线变成了正比
例函数，请你说出嘉琪是怎样平移的？并直接写出平移后双曲线的表达式．
如果把中的坐标轴平移后，区域内部格点的个数正好是个，记平
移的距离是请你直接写出所有的平移情况，及的值或取值范围．

 

26.  本小题分
在中，，为边的中点，为所在平面内与、不重合的一点，、关于点成中心对称连接、．
如图，求证：；
如图，如果，，连接，
四边形正好是平行四边形，请直接写出点的位置及的长度；
如果和相似不全等，请直接写出的长度；
如图请补图，若点在内，连接，记的延长线交于点，连接，，若，请先猜想线段与的数量关系，再证明之．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
本题考查了有理数的加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．
 

2.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
是的中线，
当四边形是特殊的平行四边形时，可能是的高线，角平分线，
故选项A、、不符合题意，选项C符合题意，
故选：．
由平行四边形的性质即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故选：．
根据分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

4.【答案】 

【解析】解：选项A、、均可能是该直棱柱展开图，不符合题意，而选项B中的两个底面会重叠，不可能是它的表面展开图，符合题意，
故选：．
直三棱柱的表面展开图的特点，由三个长方形的侧面和上下两个等边三角形的底面组成．
考查了几何体的展开图，动手折叠一下，有助于空间想象力的培养．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意可得：．
故选：．
根据三角形的外角性质进行求解即可．
本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
 

7.【答案】 

【解析】解：，故此选项符合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用二次根式的性质分别化简，进而判断得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘除法，正确化简二次根式是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，无法合并，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意．
故选：．
直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、单项式乘多项式分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：图中是的外心，选项正确，符合题意；
图中不是的外心，选项错误，不符合题意；
图中不是的内心，选项错误，不符合题意；
图中不是的内心，选项错误，不符合题意；
故选：．
根据三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，逐一进行判断即可．
本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是准确区分内心和外心定义．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形．
故选：．
由正方形的性质得到，，因此是等腰直角三角形
本题考查正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形，关键是掌握正方形的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：把开关，，分别记为、、，
画树状图如图：

共有种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有种，
能让两个小灯泡同时发光的概率为．
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

12.【答案】 

【解析】解：证法Ⅰ：平分，
，
，
，
，
又，
∽．
故证法Ⅰ正确；
证法Ⅱ中，这一步错误，因为没有等于这一条件，再就是是错误的，
故证法Ⅱ不正确，
故选：．
根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设这个数为，
则


，
故选：．
设这个数为，按照题干中的表述列式计算即可．
本题考查整式加减的应用，根据题干表述列得代数式是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，选项B，可以拼成正方形．

故选：．
根据正方形的定义判断即可．
本题考查剪纸问题，菱形的性质，正方形等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，其中，是实数，为整数，
，
或，
当，则且，
以，为坐标的点可能在函数的图象上，也可能在函数的图象上，不可能在轴上，
故选：．
根据，其中，是实数，为整数，得到，即或，故以，为坐标的点可能在函数的图象上，也可能在函数的图象上，当，则且，即可判断点不可能在轴上．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，幂的乘方与积的乘方，零指数幂的意义，明确，则且是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：当点在斜边上时有三种不同的剪法，如图所示；

故甲的说法正确；
当点在直角边上时有四种不同的剪法，如图所示：

故乙的说法正确；
当点在直角边上时有三种不同的剪法，如图所示：

故丙的说法正确；
综上所述所，甲、乙、丙三人的答案都正确．
故选：．
有两组角对应相等的两个三角形相似．依据相似三角形的判定方法进行裁剪即可得出结论．
本题主要考查了相似三角形的判定，相似的基本图形可分别记为“”型和“”型，在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
根据判别式的意义得到，然后解一次方程即可．
【解答】
解：根据题意得，
解得．
故答案为．  

18.【答案】 

【解析】解：如图，

由题意可得，，，，
，
，
线段、线段的长都是整数，
，，
．
故答案为：．
把，放在相应的直角三角形中，由图可得，，再结合，是整数，勾股定理，从而可求解．
本题主要考查勾股定理，解答的关键是把，放到直角三角形的中．
 

19.【答案】直线     

【解析】解：二次函数的对称轴是直线，由于、互为相反数．
所以对称轴为直线，
故答案为：直线；
当时，，当时，，
因此过点，
故答案为：；
由于，、互为相反数，
所以二次函数的关系式为，
直线与二次函数的的图象无公共点，即无实数根，
所以，
解得，
故答案为：．
根据二次函数对称轴的计算方法进行计算即可；
当时，，当时，，即可得到答案；
根据，、互为相反数，二次函数的关系式为，当直线与二次函数的的图象无公共点，即无实数根，
令求解集即可．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象与系数、、的关系是正确判断的前提．
 

20.【答案】解：

，
当时，原式；

解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集是，
在数轴上表示不等式组的解集为：
． 

【解析】化简后代入，即可得出答案．
求出两个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
本题考查了分式的乘法运算和解一元一次不等式组的应用，主要考查学生的化简和计算能力．
 

21.【答案】 

【解析】解：由题意，可以发现的结果的前两位是，后两位是，故可得结果：；
由题意，根据规律可得，．
规律证明如下：
左边，
右边，
左边右边
故等式成立．
两个乘数，当十位上的数字相同，个位上数字之和等于时，可以发现类似规律．
如，．
根据数字规律，可以发现的结果的前两位是，后两位是，故可得结果；
根据题意规律，列出等式证明即可；
根据可以尝试发现如下规律：两个乘数，当十位上的数字相同，个位上数字之和等于时，可以发现类似规律．
本题考查了列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，阅读材料，发现式子的变化特点．
 

22.【答案】解：这家公司的员工月平均工资为：元；中位数为，众数为；
众数代表该公司员工的月工资水平更为合适．因为出现的次数最多，能代表大部分人的工资水平；
工资普涨元后，平均数、中位数、众数都发生变化，方差没发生变化． 

【解析】根据平均数公式求平均数，按从小到大的顺序排列得到中间的两数的平均值为中位数，出现次数最多的数为众数；
众数，因为它出现的次数最多，能代表大部分人的工资水平；
根据平均数、中位数、众数、方差的定义即可得出答案．
本题考查学生对中位数，众数，平均数的掌握情况，要求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
 

23.【答案】解：设长为米，则长为，矩形面积为平方米，
根据题意得：，
，，
当时，最大，
此时米，米，
答：矩形的长为米，宽为米时面积最大；
由知，
，，
当时，有最大值，最大值为，
此时，米，米，
答：矩形的长为米，宽为米时面积最大． 

【解析】设长为米，则长为，矩形面积为平方米，根据矩形面积公式列出函数解析式，由函数的性质和的取值范围求最值；
由中解析式和函数的性质和的取值范围求最值．
本题考查了二次函数的应用，找到所给面积的等量关系是解决本题的关键；易错点是根据栅栏长得到矩形长的代数式．
 

24.【答案】解：如图，过点作于点，

，，
，，
，
，劣弧的长；
，，
，
与直线不相切，
与直线有交点，
与直线不相离，
与直线相交；
同意小明的观点，理由如下：
如图，当时，也符合情况，连接，

，
，
，
，，三点共线，
为的直径，
，，
，
，
在中，，
此时，劣弧的长． 

【解析】过点作于点，解直角三角形求出，根据圆的周长公式及圆的有关性质求出劣弧的长；
根据角的和差求出，即可判断与直线相交；
如图，当时，也符合情况，连接，根据圆的有关性质及角的和差推出，，三点共线，解直角三角形求出，根据圆的周长公式及圆的有关性质求出劣弧的长．
此题是圆的综合题，考查了圆周角定理、解直角三角形、弧长的计算等知识，熟练掌握圆周角定理、解直角三角形、弧长的计算是解题的关键．
 

25.【答案】解：把、的坐标代入 得：
，解得：，
直线的表达式为：；
把代入，得，
双曲线的表达式为：；
区域内部只有个格点．
，
嘉琪只能是：把轴向上平移了一个单位，平移后双曲线的表达式为，
或者把轴向左平移了一个单位，平移后双曲线的表达式为．
因为，所以共有以下几种情况：
把轴向下平移个单位长度，即平移的距离满足：时，区域内部格点的个数正好是个；
把轴向左平移大于小于等于时个单位长，平移的距离满足：时，区域内部格点的个数正好是个；
先把轴向下平移个单位即轴的平移距离为后固定不动，再把轴向左平移超过个单位长但不超过个单位长，
即轴向左平移的距离满足：． 

【解析】把点、的坐标分别代入一次函数及反比例函数表达式，即可求出相应的函数表达式，结合图形可以直接写出区域内部格点的个数；因为正比例函数的图象经过原点，可民确定新的坐标，从而写出平移后的双曲线的表达式；根据“”的区域内格点的个数，数形结合分析所有情况，综合解决．
本题主要考查反比例函数的图象和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，关键是能结合函数图象分析解决问题．
 

26.【答案】证明：如图，连接，

、关于点成中心对称，
为线段的中点，即，
又为边的中点，
，
在和中，
，
≌，
．
解：在点的正上方且，或在点的正下方且；
理由：如图，

四边形正好是平行四边形，
，
当在直线的上方时，
≌，
此时当在点正下方且，
当在直线的下方时，
≌，
此时当在点正上方且．
当∽相似时，，
，
，
，
当∽相似时，，
，
，
，
当∽相似时，，
，
，
；
当∽相似时，，
，
，
，
综上所述，的长为或或或；
解：．
如图，

，，，
，
，
≌，
，
，
，
点是线段的中点，
是斜边的中线，
． 

【解析】连接，证明≌，由全等三角形的性质得出．
画出图形，由全等三角形的性质可得出答案；
分四种情况，由相似三角形的性质可得出答案；
证出，由全等三角形的性质得出，由直角三角形的性质可得出结论．
本题是四边形综合题，考查了中心对称的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．