2022-2023学年湖南省益阳市上学期期末质量检测高二数学（含解析）

2022-2023学年湖南省益阳市上学期期末质量检测高二数学

1.  直线的斜率为(    )

A.  B. 1 C.  D.

2.  已知等比数列中，，则(    )

A. 8 B. 14 C. 128 D. 256

3.  过点且与直线平行的直线方程是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知抛物线C的方程为，则其焦点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知两个向量，，若，则m的值为(    )

A.  B.  C. 2 D. 4

6.  在四面体中，，，，M，N分别为AB，OC的中点，则(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图所示空间直角坐标系中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线PA和底面ABC所成角为，则P点坐标满足(    )
 

A.  B.
C.  D.

8.  已知实数，，，满足，，，记，则w的最大值是(    )

A. 3 B.  C. 6 D.

9.  已知直线，其中m为实常数，则(    )

A. 直线l过一定点
B. 无论m取何值，直线l不经过原点
C. 当时，直线l与y轴交于它的负半轴
D. 当时，直线l与坐标轴围成的三角形的面积是

10.  已知两个等差数列，的前n项和分别为和，且，则使得为整数的k的取值可以是(    )

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

11.  已知正方体的边长为1，E是棱的中点，则(    )

A.  B.
C.  D.

12.  已知点P为双曲线的右支上一点，、为双曲线C的两条渐近线，过点P分别作，，垂足依次为A、B，O为坐标原点，则(    )

A. 为定值
B.
C. 若是直角三角形时，的周长是
D. 若是正三角形时，

13.  已知两个向量，，则__________.

14.  双曲线的离心率，则__________.

15.  我们知道，平行于抛物线对称轴的光线不与对称轴重合经抛物线两次反射后，入射光线与最后的反射光线平行。如右图，若入射光线与最后的反射光线间的最小距离为2，则此抛物线的标准方程为__________.

16.  在长方体中，，，点E为棱BC上靠近点C的三等分点，点F是长方形内一动点含边界，且直线，EF与平面所成角的大小相等，则线段长度的取值范围为__________.

17.  已知等差数列的前n项和为，且，

求数列的通项公式;

若数列满足，求数列的前n项和

18.  已知点和直线

若直线经过点P，且，求直线的方程;

若直线过原点，且点P到直线，l的距离相等，求直线的方程.

19.  如图，在平面直角坐标系xOy中，过原点O的直线l与圆交于A，B两个不同的点，过原点且垂直于l的直线m与圆的一个交点为不与原点重合

求直线l的斜率k的取值范围;

若线段AB的中点为Q，且，求直线l的方程.

20.  已知数列满足，且

求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式;

求数列的前n项和

21.  如图甲，在矩形ABCD中，，E为线段DC的中点，将沿直线AE折起，使得平面平面ABCE，如图乙.

求证：平面

线段AB上是否存在一点H，使得二面角的余弦值为若存在，请确定H点的位置;若不存在，说明理由.

22.  已知椭圆过点，离心率为，经过圆上一动点P作两条直线，它们分别与椭圆E恰有一个公共点，公共点分别记为A、

求椭圆E的标准方程;

求证：

求面积的最大值.

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查直线的斜率，化方程为斜截式是解决问题的关键，属基础题．
化方程为斜截式，由斜截式的特点可得．

【解答】

解：化直线的方程为斜截式可得：，
由斜截式的特点可知已知直线的斜率为：

2.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的性质，属基础题.

【解答】

解：已知等比数列中，，则

3.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查待定系数法求直线方程，属于基础题.

【解答】

解：所求直线与直线平行，
设所求直线的方程为，
直线经过点，
，解得：，
故所求直线的方程为

4.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题．
根据抛物线的焦点坐标公式得出焦点坐标．

【解答】

解：抛物线方程为，
抛物线的焦点在y轴的负半轴，，
抛物线的焦点坐标为
故选：

5.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量共线的坐标表示，属基础题.

【解答】

解：，
存在实数k使得，
，
解得，，
故选

6.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的线性运算，属于基础题.

【解答】

解：，N分别为AB，OC的中点，
，
 

7.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的坐标运算以及线面夹角问题，属于中档题.

【解答】

解：由题意可知P点纵坐标，过P作平面ABC的垂线交平面ABC于点D，易知四边形为矩形，，所以在直角三角形中，由，可知，又，所以，故选

8.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题主要考查圆的轨迹方程，直线与圆的位置关系，属难题.

【解答】

解：由题意，，
设，，
则M，N在以原点为圆心，为半径的圆上，
由得
设点M，N到直线的距离之和为z，
则
则本题可转化为求z的最大值.
设点P为点M与点N的中点，则
故P点轨迹方程为圆
设P点到直线的距离为d，
则，圆上点到直线距离的最大值
所以w的最大值是

9.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查直线过定点问题，直线得一般式方程，截距等，属于基础题.

【解答】

解：直线，
令，得，即直线过定点，故A对；
若直线过原点，则有，显然不成立，所以无论m取何值，直线l不经过原点，故B对；
当时，直线方程为，令，则，即直线l与y轴交于它的正半轴，故C错；
当时，直线方程为，则直线与x轴、y轴的交点坐标分别是，，得直线l与坐标轴围成的三角形的面积是，故D对.

10.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题主要考查等差数列的性质、等差中项的综合应用，属于中档题.

【解答】

解：由等差数列的前 n项和公式可得



要使得为整数，需为整数，需为整数，故k可能为1，2，4，不可能为3，
故选

11.【答案】BC 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的运算，属中档题.

【解答】

解：由，则不正确；
，故；
；
，，故选

12.【答案】ABC 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的渐近线，双曲线的标准方程，点到直线的距离公式，圆的几何性质等，属于综合题.

【解答】

解：由，，则O，P，A，B四点在以OP为直径的圆上，
由双曲线，可设：，：，则，
设，满足，
则，
由点到直线的距离的公式可得，
同理可得，
所以
，故A对.
因为O，P，A，B四点在以OP为直径的圆上，设OP、AB的中点为H、M，连接HA，HB，则，在直角中，，
又，，
所以 ，即，故B对；
若是直角三角形，则点A或点B与原点O重合，
设点A与原点O重合，，，
在直角中，设，则，，
又，，得，
所以的周长是，当点B与原点O重合时结果相同，故C对；
当是正三角形时，，得，
在等腰中，边AB上的高，，
此时，点P 为双曲线的右顶点.故D错.
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的坐标运算，属于基础题.

【解答】

解：，

14.【答案】12 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的离心率，属基础题.

【解答】

解：由题意得，故

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的标准方程，属于综合题.

【解答】

解：设抛物线的方程为，入射光线、第二次反射光线与抛物线的交点分别为P、Q，
因为入射光线与最后的反射光线间的最小距离为2，且一水平光线射到抛物线上一点，经抛物线反射后，反射光线必过焦点.所以入射光线为，第二次反射光线为，第一次反射光线过焦点且垂直于抛物线的对称轴，
联立抛物线与直线方程可得到坐标，，得，得，
所以抛物线方程为

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线与平面所成角，属于较难题.

【解答】

解：如图1所示，连接，作交AD于G，连接

因为平面，所以为与平面所成的角．

因为平面，所以为EF与平面所成的角．

因为，EF与平面所成角的大小相等，所以，则，又因为，所以，则点F在的中垂线上，即点F在线段上运动，如图
 

因为，，E为棱BC上靠近C的三等分点，
所以，
则，
因为，所以，
又，可得，，，，
当点F在点I处时，线段的长度取到最大值，最大值为，
当点F在点K处，线段的长度取到最小值，最小值为，
所以线段的长度的取值范围为

17.【答案】解：设等差数列的公差为d，则
解得：，，所以，
所以，数列的通项公式为
由知，则，
所以， 

【解析】本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式，等比数列前n项和公式，属基础题.
 

18.【答案】解：由直线l的方程可知它的斜率为，因为，所以直线的斜率为
又直线经过点，所以直线的方程为：，
即
点P到直线l的距离为：，
①当直线的斜率不存在时，的方程为：，点P到直线的距离为2，与已知矛盾;
②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为：，
则，解得
所以直线的方程为： 

【解析】本题考查点斜式方程，点到直线的距离，两直线垂直时的斜率关系，属于基础题.
 

19.【答案】解：依题意可设直线l的方程为，
直线l与圆M两个不同的交点，，
解得，
直线l的斜率k的取值范围是
设M到直线l的距离为，N到直线m的距离为，
则，
所以，
解得：，直线l的方程为 

【解析】本题主要考查直线和圆的位置关系的综合应用，属于中档题
 

20.【答案】解：证明：，，
即，又，数列是等差数列，
由上可知，公差，其首项，
，解得
，①
，②
①-②，得
，
 

【解析】本题考查数列的递推公式，等差数列，利用错位相减法求和，属中档题.
 

21.【答案】解：证明：取线段AE的中点O，连接DO，

在中，，，，
，又平面平面ABCE，
平面平面，
平面ABCE，又平面ABCE，
又，，则，，
又，平面

过E作DO的平行线l，以E为原点，EA，EB，l分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，平面AEH的法向量，
设，则，，
设平面DEH的法向量为，

令，则，，
由题意可知二面角为锐二面角，

所以，，解之得：，或舍，
所以，点 H是线段AB的靠近B点的三等分点. 

【解析】本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质，平面与平面所成角的向量求法，属于综合题.
 

22.【答案】解：由椭圆E的离心率，，，又椭圆E过点，
，解得，则，故椭圆E的标准方程为
设P点坐标为依题意PA、PB的斜率不能同时不存在或同为
①若PA、PB中的斜率有一个不存在时的斜率有一个不存在时，另一个为0，若有一个
为0时，则另一个不存在，不妨设PB的斜率不存在，则直线PB的方程为，，
则另一条直线PA的方程为，此时
②若PA、PB斜率存在且不为0时，设过P点的方程为，代入方程
得：，，
整理得：且，又，
，方程的两个根即为PA、PB的斜率，
，即
综上：
同设及，，
①当或时，
②当时，PA，PB斜率存在且不为0，设PA方程为：，
联立椭圆E消去y并整理得：，
，
化简得：，解得：，又，
故，直线PA的方程为：，即，
同理可得PB的方程为：又在直线PA、PB上，
则直线AB的方程为：
由，消去y整理可得：，
又，所以，，
，

又点O到直线AB的距离，

，
，且，或，或，
故
综上可知，面积的最大值为 

【解析】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和圆与直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程与椭圆的方程，考查方程思想和化简运算能力、推理能力，属于难题．