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10.1 轴对称 华师版数学七年级下册导学课件
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10.1 轴对称第十章 轴对称、平移与旋转学习目标本节要点1轴对称图形轴对称轴对称图形与轴对称的特征线段和角的轴对称性画图形的对称轴画轴对称图形设计轴对称图案逐点学练课堂小结作业提升学习目标学习流程2感悟新知知识点轴对称图形1定义： 如果把一个平面图形沿某条直线对折，对折后的两部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴 . 我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称 .感悟新知特别解读轴对称图形的三个条件：1.一个整体图形；2.一条直线：对称轴；3.直线两旁的部分能完全重合 .感悟新知温馨提示： (1) 轴对称图形是一个图形自身的特性，它被对称轴分成的两部分能够完全重合，其对称点在同一图形上 .(2) 对称轴是一条直线，而不是射线或线段 .(3) 一个轴对称图形的对称轴可以有 1条，也可以有多条，还可以有无数条 .感悟新知[中考·鄂州 ]“国士无双”是人民对“杂交水稻之父” 袁隆平院士的赞誉．如图 10.1-1 所示的四个汉字中是轴对称图形的是( )例1感悟新知解题秘方：根据轴对称图形的定义识别 .答案：B1-1. [ 中考·黄冈 ]下列图形中，对称轴条数最多的是( )A．等边三角形B．矩形C．正方形D．圆D感悟新知知识点轴对称21.定义： 把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点(即两个图形重合时互相重合的点)叫做对称点 .感悟新知特别解读：轴对称的三个条件：1. 有两个图形；2. 存在一条直线；3. 一个图形沿着这条直线折叠后与另一个图形重合．轴对称的两个特性：1.成轴对称的两个图形全等(图形的全等后边会学到). 但全等的两个图形不一定成轴对称.2.轴对称是图形的一种全等变换.感悟新知2. 轴对称与轴对称图形的区别与联系：感悟新知感悟新知感悟新知如图 10.1－2 的四组图形中，成轴对称的有( )A. 4 组 B. 3 组 C. 2 组 D. 1 组例2 感悟新知答案：D解题秘方：根据轴对称的定义识别 .解：根据轴对称的定义，可以判断只有图 10.1-2④中的两个图形沿着某一条直线对折后，两个图形能够重合，所以成轴对称的只有 1 组 .感悟新知方法点拨： 识别轴对称的方法：1. 定义法：紧扣定义中的“两个图形，一条直线，完全重合”.2. 反面观察法：从纸的反面观察图形，若观察到的和正面一样，就是轴对称 .2-1.下列各组图形中，不成轴对称的是 ( )C感悟新知知识点轴对称图形与轴对称的特征3轴对称图形(或成轴对称的两个图形)的对应线段(对折后重合的线段)相等，对应角(对折后重合的角)相等 .感悟新知特别提醒(1) 成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或其延长线相交，那么交点一定在对称轴上 .(2)关于某条直线对称的两个图形能够完全重合，而能够完全重合的图形不一定成轴对称 .感悟新知如图 10.1-3，两个图形关于某直线成轴对称，根据图中的条件，求 x， y 的值 .例3感悟新知解题秘方：紧扣轴对称的特征，找出对应线段和对应角解决问题 .解：由 AB=EF=2，∠ A= ∠ E=120°可知， A 与 E 是对称点，B 与 F 是对称点，所以∠ F= ∠ B，即 x=70°.又由∠ D= ∠ H=100°可知， D 与 H 是对称点，所以 C 与 G 是对称点 . 所以 FG=BC，即 y=6.3-1.如图，△ ABC 与△ A ′B ′ C ′关于直线l 对称， ∠ A=50 °，∠ C ′ =30°，则∠ B 的度数为( )A. 90° B. 100°C. 70° D. 80°B感悟新知知识点线段和角的轴对称性41. 线段的轴对称性 :(1)线段的垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，又称为中垂线 .(2)线段是轴对称图形，它的垂直平分线是它的一条对称轴 .感悟新知特别解读线段的垂直平分线必须满足两个条件：(1) 经过线段的中点；(2) 垂直于这条线段 . 两者缺一不可 .感悟新知2. 角的轴对称性 :角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，且它只有一条对称轴 .注意： 角平分线是一条射线，而角的对称轴是角平分线所在的直线 .感悟新知如图 10.1-4，在△ ABC 中， DE 是 AC 的垂直平分线，且分别交 BC， AC 于点 D， E，∠ B=60° ，∠ C=25° ，则∠ BAD 为( )A. 50° B. 70° C. 75° D. 80°例4 感悟新知答案：B解题秘方：紧扣线段的轴对称性找出对应角，求出未知角的度数 .解：∵ DE 是 AC 的垂直平分线，∴△ ADC 关于直线 DE 对称，∴∠ DAC= ∠ C=25°，∵∠ B=60°，∠ C=25°，∴∠ BAC=95°，∴∠ BAD= ∠ BAC－ ∠ DAC=70°.4-1.如图， 四边形ABCD，△ BDE 都是轴对称图形，且对称轴分别是BD， CD 所在的直线，∠ A=90°，求∠ ABC与∠ E 的度数 .解：根据轴对称性，得∠1＝∠2，∠2＝∠E，所以∠1＝∠2＝∠E.因为∠A＝90°，所以∠1＋∠2＋∠E＝90°，所以∠1＝∠2＝∠E＝30°，所以∠ABC＝60°.感悟新知知识点线段和角的轴对称性51.画对称轴的依据： 如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴 .感悟新知2. 画对称轴的步骤：(1)找： 找到任意一组对称点 .(2)连： 连结这组对称点 .(3)画： 画出对称点所连线段的垂直平分线 .这条垂直平分线就是对称轴 .感悟新知特别解读 :画轴对称图形的对称轴，由于对称轴不一定只有一条，所以要注意选取不同的对称点，作出其所有的对称轴 .感悟新知画出如图 10.1-5 所示的图形的对称轴 .例5感悟新知解题秘方：利用轴对称图形中任意一组对称点所连线段被对称轴垂直平分画对称轴 .解：如图 10.1-6 . (1)连结 BE；(2)画线段BE的垂直平分线l，则直线l即为所求的对称轴.感悟新知方法点拨：画轴对称图形的对称轴的两种方法 一是折叠法，将轴对称图形对折，折痕所在的直线为对称轴；二是先找到轴对称图形的一组对称点，再画连结这组对称点的线段的垂直平分线 .5-1.请仅用无刻度的直尺画图，不写画法，保留画图痕迹．(1)如图①，在四边形ABCD 中， AB=AD，∠ B= ∠ D，画出四边形ABCD 的对称轴m； (2)如图②，在四边形ABCD 中， AD ∥ BC，∠ A= ∠ D， 画出 BC边的垂直平分线 n.解：(1)如图①所示．(2)如图②所示．感悟新知如图 10.1-7，△ ABC 与△ A′ B′ C′关于某条直线对称，请画出这条直线 .例6 感悟新知解题秘方：利用成轴对称的两个图形中任意一组对称点所连线段被对称轴垂直平分画对称轴 .解： 如图 10.1-7.(1)连结 BB′；(2)画线段 BB′的垂直平分线 DE，则 DE 即为所求的直线 .感悟新知方法点拨：画成轴对称的两个图形的对称轴与画轴对称图形的对称轴的方法类似，关键是找对称点和画线段的垂直平分线 .6-1. [中考·抚州]如图，△ ABC 与△ DEF 关于直线 l 对称，请仅用无刻度的直尺，在下面两个图中分别画出直线 l.略．感悟新知知识点画轴对称图形61.方法： 几何图形都可以看成由点组成 . 对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段的端点)的对称点，连结这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形 .感悟新知2.步骤： 画轴对称图形的方法可简单归纳为“一找二画三连”.在原图形上找特殊点；画出各个特殊点关于对称轴的对称点；依次连结各对称点 .感悟新知特别提醒1.特殊点对画轴对称图形特别重要，找特殊点一定要找全，否则画出的图形不准确或不完整.2.常见的特殊点，除线段的端点外，还有线与线的交点、中点等.3.不在对称轴上的点的对称点在对称轴的另一侧，在对称轴上的点的对称点是它本身.感悟新知如图 10.1-8，画出下列图形关于直线 l 对称的图形 .例7感悟新知解题秘方：找全确定已知图形形状的特殊点，画出这些特殊点关于直线 l 的对称点，然后按原图顺序连结所画的对称点 .解：如图 10.1-9.感悟新知方法点拨： 1.找特殊点的方法： 规则图形的特殊点是图形的顶点，不规则图形的特殊点是线与线的交点 . 2.作对称点的方法： 过这个点画对称轴的垂线，并延长一倍，就得到该点的对称点 .7-1.如图，以虚线为对称轴画出下列图形的另一半 .略．感悟新知如图 10.1-10，在 3×3 的正方形网格中有一个格点三角形ABC(顶点都在正方形网格交点上的三角形为格点三角形)，请在正方形网格中画出另一个格点三角形 DEF，使两个三角形关于某条直线对称 .例8 感悟新知解题秘方：自主确定对称轴，作出关于该对称轴对称的图形即可 .解：如图 10.1-11.8-1.如图①，在网格中有两个全等的图形(阴影部分)，用这两个图形拼成轴对称图形，试分别在图②③中画出两种不同的拼法 .略．8-2.如图， 已知图形 B是一个正方形，图形 A 由三个图形 B 构成．请用图形 A 与 B 合拼成一个轴对称图形，并把它画出来 . (画出两个即可)解：如图所示．(答案不唯一)感悟新知知识点设计轴对称图案7轴对称图案的设计，实质上就是利用轴对称图形的特征设计一些轴对称图案 .感悟新知特别提醒轴对称图案设计的关键要把握两点：1. 确定基本元素图案；2. 设置合适的对称轴 .感悟新知图 10.1-12 是某设计师在方格纸中设计的图案的一部分，请你帮他完成余下的工作：(1)画出以直线 AB 为对称轴的轴对称图案；(2)发挥你的想象力，给得到的图案适当地涂上阴影，让图案变得更加美丽 .例9感悟新知解题秘方：紧扣画轴对称图形的方法进行图案设计 .解： (1) 画出图案中各顶点关于直线 AB 的对称点，顺次连结即可，如图 10.1-13.(2)如图 10.1-13. (涂阴影不唯一)9-1.如图是一块长方形空地，要在空地上建一些正方形和圆形的花坛，并使整个图形为轴对称图形，请在图中画出你的设计草图 .解：下图是两种设计方案，方案不唯一．轴对称相互 转化特征轴对称图形关键点画轴对称图形轴对称线段角常见请完成教材课后作业作业提升
10.1 轴对称第十章 轴对称、平移与旋转学习目标本节要点1轴对称图形轴对称轴对称图形与轴对称的特征线段和角的轴对称性画图形的对称轴画轴对称图形设计轴对称图案逐点学练课堂小结作业提升学习目标学习流程2感悟新知知识点轴对称图形1定义： 如果把一个平面图形沿某条直线对折，对折后的两部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴 . 我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称 .感悟新知特别解读轴对称图形的三个条件：1.一个整体图形；2.一条直线：对称轴；3.直线两旁的部分能完全重合 .感悟新知温馨提示： (1) 轴对称图形是一个图形自身的特性，它被对称轴分成的两部分能够完全重合，其对称点在同一图形上 .(2) 对称轴是一条直线，而不是射线或线段 .(3) 一个轴对称图形的对称轴可以有 1条，也可以有多条，还可以有无数条 .感悟新知[中考·鄂州 ]“国士无双”是人民对“杂交水稻之父” 袁隆平院士的赞誉．如图 10.1-1 所示的四个汉字中是轴对称图形的是( )例1感悟新知解题秘方：根据轴对称图形的定义识别 .答案：B1-1. [ 中考·黄冈 ]下列图形中，对称轴条数最多的是( )A．等边三角形B．矩形C．正方形D．圆D感悟新知知识点轴对称21.定义： 把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点(即两个图形重合时互相重合的点)叫做对称点 .感悟新知特别解读：轴对称的三个条件：1. 有两个图形；2. 存在一条直线；3. 一个图形沿着这条直线折叠后与另一个图形重合．轴对称的两个特性：1.成轴对称的两个图形全等(图形的全等后边会学到). 但全等的两个图形不一定成轴对称.2.轴对称是图形的一种全等变换.感悟新知2. 轴对称与轴对称图形的区别与联系：感悟新知感悟新知感悟新知如图 10.1－2 的四组图形中，成轴对称的有( )A. 4 组 B. 3 组 C. 2 组 D. 1 组例2 感悟新知答案：D解题秘方：根据轴对称的定义识别 .解：根据轴对称的定义，可以判断只有图 10.1-2④中的两个图形沿着某一条直线对折后，两个图形能够重合，所以成轴对称的只有 1 组 .感悟新知方法点拨： 识别轴对称的方法：1. 定义法：紧扣定义中的“两个图形，一条直线，完全重合”.2. 反面观察法：从纸的反面观察图形，若观察到的和正面一样，就是轴对称 .2-1.下列各组图形中，不成轴对称的是 ( )C感悟新知知识点轴对称图形与轴对称的特征3轴对称图形(或成轴对称的两个图形)的对应线段(对折后重合的线段)相等，对应角(对折后重合的角)相等 .感悟新知特别提醒(1) 成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或其延长线相交，那么交点一定在对称轴上 .(2)关于某条直线对称的两个图形能够完全重合，而能够完全重合的图形不一定成轴对称 .感悟新知如图 10.1-3，两个图形关于某直线成轴对称，根据图中的条件，求 x， y 的值 .例3感悟新知解题秘方：紧扣轴对称的特征，找出对应线段和对应角解决问题 .解：由 AB=EF=2，∠ A= ∠ E=120°可知， A 与 E 是对称点，B 与 F 是对称点，所以∠ F= ∠ B，即 x=70°.又由∠ D= ∠ H=100°可知， D 与 H 是对称点，所以 C 与 G 是对称点 . 所以 FG=BC，即 y=6.3-1.如图，△ ABC 与△ A ′B ′ C ′关于直线l 对称， ∠ A=50 °，∠ C ′ =30°，则∠ B 的度数为( )A. 90° B. 100°C. 70° D. 80°B感悟新知知识点线段和角的轴对称性41. 线段的轴对称性 :(1)线段的垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，又称为中垂线 .(2)线段是轴对称图形，它的垂直平分线是它的一条对称轴 .感悟新知特别解读线段的垂直平分线必须满足两个条件：(1) 经过线段的中点；(2) 垂直于这条线段 . 两者缺一不可 .感悟新知2. 角的轴对称性 :角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，且它只有一条对称轴 .注意： 角平分线是一条射线，而角的对称轴是角平分线所在的直线 .感悟新知如图 10.1-4，在△ ABC 中， DE 是 AC 的垂直平分线，且分别交 BC， AC 于点 D， E，∠ B=60° ，∠ C=25° ，则∠ BAD 为( )A. 50° B. 70° C. 75° D. 80°例4 感悟新知答案：B解题秘方：紧扣线段的轴对称性找出对应角，求出未知角的度数 .解：∵ DE 是 AC 的垂直平分线，∴△ ADC 关于直线 DE 对称，∴∠ DAC= ∠ C=25°，∵∠ B=60°，∠ C=25°，∴∠ BAC=95°，∴∠ BAD= ∠ BAC－ ∠ DAC=70°.4-1.如图， 四边形ABCD，△ BDE 都是轴对称图形，且对称轴分别是BD， CD 所在的直线，∠ A=90°，求∠ ABC与∠ E 的度数 .解：根据轴对称性，得∠1＝∠2，∠2＝∠E，所以∠1＝∠2＝∠E.因为∠A＝90°，所以∠1＋∠2＋∠E＝90°，所以∠1＝∠2＝∠E＝30°，所以∠ABC＝60°.感悟新知知识点线段和角的轴对称性51.画对称轴的依据： 如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴 .感悟新知2. 画对称轴的步骤：(1)找： 找到任意一组对称点 .(2)连： 连结这组对称点 .(3)画： 画出对称点所连线段的垂直平分线 .这条垂直平分线就是对称轴 .感悟新知特别解读 :画轴对称图形的对称轴，由于对称轴不一定只有一条，所以要注意选取不同的对称点，作出其所有的对称轴 .感悟新知画出如图 10.1-5 所示的图形的对称轴 .例5感悟新知解题秘方：利用轴对称图形中任意一组对称点所连线段被对称轴垂直平分画对称轴 .解：如图 10.1-6 . (1)连结 BE；(2)画线段BE的垂直平分线l，则直线l即为所求的对称轴.感悟新知方法点拨：画轴对称图形的对称轴的两种方法 一是折叠法，将轴对称图形对折，折痕所在的直线为对称轴；二是先找到轴对称图形的一组对称点，再画连结这组对称点的线段的垂直平分线 .5-1.请仅用无刻度的直尺画图，不写画法，保留画图痕迹．(1)如图①，在四边形ABCD 中， AB=AD，∠ B= ∠ D，画出四边形ABCD 的对称轴m； (2)如图②，在四边形ABCD 中， AD ∥ BC，∠ A= ∠ D， 画出 BC边的垂直平分线 n.解：(1)如图①所示．(2)如图②所示．感悟新知如图 10.1-7，△ ABC 与△ A′ B′ C′关于某条直线对称，请画出这条直线 .例6 感悟新知解题秘方：利用成轴对称的两个图形中任意一组对称点所连线段被对称轴垂直平分画对称轴 .解： 如图 10.1-7.(1)连结 BB′；(2)画线段 BB′的垂直平分线 DE，则 DE 即为所求的直线 .感悟新知方法点拨：画成轴对称的两个图形的对称轴与画轴对称图形的对称轴的方法类似，关键是找对称点和画线段的垂直平分线 .6-1. [中考·抚州]如图，△ ABC 与△ DEF 关于直线 l 对称，请仅用无刻度的直尺，在下面两个图中分别画出直线 l.略．感悟新知知识点画轴对称图形61.方法： 几何图形都可以看成由点组成 . 对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点(如线段的端点)的对称点，连结这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形 .感悟新知2.步骤： 画轴对称图形的方法可简单归纳为“一找二画三连”.在原图形上找特殊点；画出各个特殊点关于对称轴的对称点；依次连结各对称点 .感悟新知特别提醒1.特殊点对画轴对称图形特别重要，找特殊点一定要找全，否则画出的图形不准确或不完整.2.常见的特殊点，除线段的端点外，还有线与线的交点、中点等.3.不在对称轴上的点的对称点在对称轴的另一侧，在对称轴上的点的对称点是它本身.感悟新知如图 10.1-8，画出下列图形关于直线 l 对称的图形 .例7感悟新知解题秘方：找全确定已知图形形状的特殊点，画出这些特殊点关于直线 l 的对称点，然后按原图顺序连结所画的对称点 .解：如图 10.1-9.感悟新知方法点拨： 1.找特殊点的方法： 规则图形的特殊点是图形的顶点，不规则图形的特殊点是线与线的交点 . 2.作对称点的方法： 过这个点画对称轴的垂线，并延长一倍，就得到该点的对称点 .7-1.如图，以虚线为对称轴画出下列图形的另一半 .略．感悟新知如图 10.1-10，在 3×3 的正方形网格中有一个格点三角形ABC(顶点都在正方形网格交点上的三角形为格点三角形)，请在正方形网格中画出另一个格点三角形 DEF，使两个三角形关于某条直线对称 .例8 感悟新知解题秘方：自主确定对称轴，作出关于该对称轴对称的图形即可 .解：如图 10.1-11.8-1.如图①，在网格中有两个全等的图形(阴影部分)，用这两个图形拼成轴对称图形，试分别在图②③中画出两种不同的拼法 .略．8-2.如图， 已知图形 B是一个正方形，图形 A 由三个图形 B 构成．请用图形 A 与 B 合拼成一个轴对称图形，并把它画出来 . (画出两个即可)解：如图所示．(答案不唯一)感悟新知知识点设计轴对称图案7轴对称图案的设计，实质上就是利用轴对称图形的特征设计一些轴对称图案 .感悟新知特别提醒轴对称图案设计的关键要把握两点：1. 确定基本元素图案；2. 设置合适的对称轴 .感悟新知图 10.1-12 是某设计师在方格纸中设计的图案的一部分，请你帮他完成余下的工作：(1)画出以直线 AB 为对称轴的轴对称图案；(2)发挥你的想象力，给得到的图案适当地涂上阴影，让图案变得更加美丽 .例9感悟新知解题秘方：紧扣画轴对称图形的方法进行图案设计 .解： (1) 画出图案中各顶点关于直线 AB 的对称点，顺次连结即可，如图 10.1-13.(2)如图 10.1-13. (涂阴影不唯一)9-1.如图是一块长方形空地，要在空地上建一些正方形和圆形的花坛，并使整个图形为轴对称图形，请在图中画出你的设计草图 .解：下图是两种设计方案，方案不唯一．轴对称相互 转化特征轴对称图形关键点画轴对称图形轴对称线段角常见请完成教材课后作业作业提升
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