2022年江苏省盐城市中考数学试卷（解析版）

这是一份2022年江苏省盐城市中考数学试卷（解析版），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年江苏省盐城市中考数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）2022的倒数是（　　）
A．﹣2022 B． C．2022 D．﹣
2．（3分）下列计算，正确的是（　　）
A．a+a2＝a3 B．a2•a3＝a6 C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3＝a6
3．（3分）下列四幅照片中，主体建筑的构图不对称的（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）盐城市图书馆现有馆藏纸质图书1600000余册．数据1600000用科学记数法表示为（　　）
A．0.16×107 B．1.6×107 C．1.6×106 D．16×105
5．（3分）一组数据﹣2，0，3，1，﹣1的极差是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（3分）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（　　）

A．强 B．富 C．美 D．高
7．（3分）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则∠ABC与∠DEF的关系是（　　）

A．互余 B．互补 C．同位角 D．同旁内角
8．（3分）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法，
步骤：
第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；
第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；
第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；
第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测点的距离值．
如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为（　　）

A．40米 B．60米 C．80米 D．100米
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上）
9．（3分）若有意义，则x的取值范围是 　 　．
10．（3分）已知反比例函数的图象经过点（2，3），则该函数表达式为 　 　．
11．（3分）分式方程＝1的解为 　 　．
12．（3分）如图，电路图上有A、B、C3个开关和1个小灯泡，闭合开关C或同时闭合开关A、B都可以使小灯泡发亮．任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率是 　 　．

13．（3分）如图，AB、AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD＝35°，则∠C＝　 　°．

14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转，使得点B落在边CD上的点B'处，线段AB扫过的面积为 　 　．

15．（3分）若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是 　 　．
16．（3分）《庄子•天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线l1：y＝x+1与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交直线l2：y＝x于点O1，过点O1作y轴的平行线交直线l1于点A1，以此类推，令OA＝a1，O1A1＝a2，…，On﹣1An﹣1＝an，若a1+a2+…+an≤S对任意大于1的整数n恒成立，则S的最小值为 　 　．

三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．（6分）|﹣3|+tan45°﹣（﹣1）0．
18．（6分）解不等式组：．
19．（8分）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．
20．（8分）某社区举行新冠疫情防控核酸检测大演练，卫生防疫部门在该社区设置了三个核酸检测点A、B、C，甲、乙两人任意选择一个检测点参加检测．求甲、乙两人不在同一检测点参加检测的概率．（用画树状图或列表的方法求解）
21．（8分）小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发．两人离甲地的距离y（m）与出发时间x（min）之间的函数关系如图所示．
（1）小丽步行的速度为 　 　m/min；
（2）当两人相遇时，求他们到甲地的距离．

22．（10分）证明：垂直于弦AB的直径CD平分弦以及弦所对的两条弧．

23．（10分）如图，在△ABC与△A′B′C′中，点D、D′分别在边BC、B′C′上，且△ACD∽△A′C′D′，若 　 　，则△ABD∽△A′B′D′．
请从①＝；②＝；③∠BAD＝∠B′A′D′这3个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．


24．（10分）合理的膳食可以保证青少年体格和智力的正常发育．综合实践小组为了解某校学生膳食营养状况，从该校1380名学生中调查了100名学生的膳食情况，调查数据整理如下：

（1）本次调查采用 　 　的调查方法；（填“普查”或“抽样调查”）
（2）通过对调查数据的计算，样本中的蛋白质平均供能比约为14.6%，请计算样本中的脂肪平均供能比和碳水化合物平均供能比；
（3）结合以上的调查和计算，对照下表中的参考值，请你针对该校学生膳食状况存在的问题提一条建议．
中国营养学会推荐的三大营养素供能比参考值
蛋白质
10%﹣15%
脂肪
20%﹣30%
碳水化合物
50%﹣65%
25．（10分）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）求OD长．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）

26．（12分）【经典回顾】
梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法．图1是其中一种方法的示意图及部分辅助线．
在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ADEB、ACHI和BFGC分别是以Rt△ABC的三边为一边的正方形．延长IH和FG，交于点L，连接LC并延长交DE于点J，交AB于点K，延长DA交IL于点M．
（1）证明：AD＝LC；
（2）证明：正方形ACHI的面积等于四边形ACLM的面积；
（3）请利用（2）中的结论证明勾股定理．
【迁移拓展】
（4）如图2，四边形ACHI和BFGC分别是以△ABC的两边为一边的平行四边形，探索在AB下方是否存在平行四边形ADEB，使得该平行四边形的面积等于平行四边形ACHI、BFGC的面积之和．若存在，作出满足条件的平行四边形ADEB（保留适当的作图痕迹）；若不存在，请说明理由．

27．（14分）【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．
【提出问题】
小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．

【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为 　 　．
【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．
【深度思考】
小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

2022年江苏省盐城市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（3分）2022的倒数是（　　）
A．﹣2022 B． C．2022 D．﹣
【分析】直接利用倒数的定义得出答案．倒数：乘积是1的两数互为倒数．
【解答】解：2022的倒数是．
故选：B．
【点评】此题主要考查了倒数，正确掌握倒数的定义是解题关键．
2．（3分）下列计算，正确的是（　　）
A．a+a2＝a3 B．a2•a3＝a6 C．a6÷a3＝a2 D．（a2）3＝a6
【分析】选项A根据合并同类项法则判断即可；选项B根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；选项C根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；选项D根据幂的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
【解答】解：A．a与a2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
B．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
C．a6÷a3＝a3，故本选项不合题意；
D．（a2）3＝a6，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
3．（3分）下列四幅照片中，主体建筑的构图不对称的（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称定义作答．
【解答】解：A、该主体建筑的构图是轴对称图形，不符合题意；
B、该主体建筑的构图找不到对称轴，不是轴对称图形，符合题意；
C、该主体建筑的构图是轴对称图形，不符合题意；
D、该主体建筑的构图是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
4．（3分）盐城市图书馆现有馆藏纸质图书1600000余册．数据1600000用科学记数法表示为（　　）
A．0.16×107 B．1.6×107 C．1.6×106 D．16×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1600000＝1.6×106．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）一组数据﹣2，0，3，1，﹣1的极差是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据极差的定义求解即可．
【解答】解：数据﹣2，0，3，1，﹣1的极差是3﹣（﹣2）＝3+2＝5，
故选：D．
【点评】本题主要考查极差，解题的关键是掌握极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．
6．（3分）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（　　）

A．强 B．富 C．美 D．高
【分析】正方体的表面展开图相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点进行作答．
【解答】解：正方体的表面展开图相对的面之间一定相隔一个正方形，
“盐”与“高”是相对面，
“城”与“富”是相对面，
“强”与“美”是相对面，
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，关键在于要注意正方体的空间图形，从相对面入手解答问题．
7．（3分）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图所示，则∠ABC与∠DEF的关系是（　　）

A．互余 B．互补 C．同位角 D．同旁内角
【分析】利用平行线的性质可得出答案．
【解答】解：如图，

过点G作GH∥ED，
∵BC∥ED，
∴ED∥GH∥BC，
∴∠ABC＝∠AGH，∠DEF＝∠HGF，
∵∠HGF+AGH＝90°，
∴∠ABC+∠DEF＝90°
∴∠DEF和∠ABC互余，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，灵活运用性质解决问题是解题的关键．
8．（3分）“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法，
步骤：
第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；
第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；
第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；
第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测点的距离值．
如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为（　　）

A．40米 B．60米 C．80米 D．100米
【分析】根据图形估计出横向距离，再根据“跳眼法”的步骤得到答案．
【解答】解：观察图形，横向距离大约是汽车的长度的2倍，
∵汽车的长度大约为4米，
∴横向距离大约是8米，
由“跳眼法”的步骤可知，将横向距离乘以10，得到的值约为被测物体离观测点的距离值，
∴汽车到观测点的距离约为80米，
故选：C．
【点评】本题考查的是图形的相似以及“跳眼法”，正确估计出横向距离是解题的关键．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡的相应位置上）
9．（3分）若有意义，则x的取值范围是 　x≥1　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式x﹣1≥0，解不等式即可求得x的取值范围．
【解答】解：根据题意得x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
10．（3分）已知反比例函数的图象经过点（2，3），则该函数表达式为 　y＝　．
【分析】利用反比例函数的定义列函数的解析式，运用待定系数法求出函数的解析式即可．
【解答】解：令反比例函数为y＝（k≠0），
∵反比例函数的图象经过点（2，3），
∴3＝，
k＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝．
故答案为：y＝．
【点评】考查反比例函数的解析式，关键要掌握利用待定系数法求解函数的解析式．
11．（3分）分式方程＝1的解为 　x＝2　．
【分析】先把分式方程转化为整式方程，再求解即可．
【解答】解：方程的两边都乘以（2x﹣1），得x+1＝2x﹣1，
解得x＝2．
经检验，x＝2是原方程的解．
故答案为：x＝2．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决本题的关键．
12．（3分）如图，电路图上有A、B、C3个开关和1个小灯泡，闭合开关C或同时闭合开关A、B都可以使小灯泡发亮．任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率是 　　．

【分析】直接由概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵闭合开关C或者同时闭合开关A、B，都可使小灯泡发光，
∴任意闭合其中一个开关共有3种等可能的结果，小灯泡发光的只有闭合C这1种结果，
∴小灯泡发光的概率为．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．此题比较简单，注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（3分）如图，AB、AC是⊙O的弦，过点A的切线交CB的延长线于点D，若∠BAD＝35°，则∠C＝　35　°．

【分析】连接AO并延长交⊙O于点E，连接BE，根据切线的性质可得∠OAD＝90°，从而求出∠BAE＝55°，然后利用直径所对的圆周角是直角可得∠ABE＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可求出∠E的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等，即可解答．
【解答】解：连接OA并延长交⊙O于点E，连接BE，

∵AD与⊙O相切于点A，
∴∠OAD＝90°，
∵∠BAD＝35°，
∴∠BAE＝∠OAD﹣∠BAD＝55°，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠E＝90°﹣∠BAE＝35°，
∴∠C＝∠E＝35°，
故答案为：35．

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
14．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转，使得点B落在边CD上的点B'处，线段AB扫过的面积为 　　．

【分析】由旋转的性质可得AB'＝AB＝2，由锐角三角函数可求∠DAB'＝60°，由扇形面积公式可求解．
【解答】解：∵AB＝2BC＝2，
∴BC＝1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝1，∠D＝∠DAB＝90°，
∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转，
∴AB'＝AB＝2，
∵cos∠DAB'＝＝，
∴∠DAB'＝60°，
∴∠BAB'＝30°，
∴线段AB扫过的面积＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，扇形面积公式，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
15．（3分）若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是 　1≤n＜10　．
【分析】由题意可知﹣2＜m＜2，根据m的范围即可确定n的范围．
【解答】解：∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，
∴二次函数y＝x2+2x+2的图象开口象上，顶点为（﹣1，1），对称轴是直线x＝﹣1，
∵P（m，n）到y轴的距离小于2，
∴﹣2＜m＜2，
而﹣1﹣（﹣2）＜2﹣（﹣1），
当m＝2，n＝（2+1）2+1＝10，
当m＝﹣1时，n＝1，
∴n的取值范围是1≤n＜10，
故答案为：1≤n＜10．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的图象及性质．
16．（3分）《庄子•天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线l1：y＝x+1与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交直线l2：y＝x于点O1，过点O1作y轴的平行线交直线l1于点A1，以此类推，令OA＝a1，O1A1＝a2，…，On﹣1An﹣1＝an，若a1+a2+…+an≤S对任意大于1的整数n恒成立，则S的最小值为 　2　．

【分析】由直线l1的解析式求得A，即可求得a1，把A的坐标代入y＝x求得O1的坐标，进而求得A1的坐标，即可求得a2，把A1的纵坐标代入y＝x求得O2的坐标，进而求得A2的坐标，即可求得a3，…，得到规律，即可求得On﹣1An﹣1＝an＝（）n﹣1，根据a1+a2+…+an≤S对任意大于1的整数n恒成立，则S的最小值为2．
【解答】解：把x＝0代入y＝x+1得，y＝1，
∴A（0，1），
∴OA＝a1＝1，
把y＝1代入y＝x得，x＝1，
∴O1（1，1），
把x＝1代入y＝x+1得，y＝×1+1＝，
∴A1（1，），
∴O1A1＝a2＝﹣1＝，
把y＝代入y＝x得，y＝，
∴O2（，），
把x＝代入y＝x+1得，y＝×+1＝，
∴A2（，），
∴O2A2＝a3＝﹣＝，
…，
∴On﹣1An﹣1＝an＝（）n﹣1，
∵a1+a2+…+an≤S对任意大于1的整数n恒成立，
∴S的最小，
∵S≥a1+a2＝1+++…+＝2﹣，
∴S的最小值为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合函数的解析式是解题的关键．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17．（6分）|﹣3|+tan45°﹣（﹣1）0．
【分析】先计算（）0，化简绝对值、代入tan45°，最后加减．
【解答】解：原式＝3+1﹣1
＝3．
【点评】本题考查了实数的运算，掌握零指数幂的意义、绝对值的意义及特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
18．（6分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①，得x≥1，
解不等式②，得x＜2，
故原不等式组的解集为：1≤x＜2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（8分）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．
【分析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入即可．
【解答】解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9
＝2x2﹣6x﹣7，
∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2﹣3x＝﹣1，
∴2x2﹣6x＝﹣2，
∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则、灵活运用整体思想是解题的关键．
20．（8分）某社区举行新冠疫情防控核酸检测大演练，卫生防疫部门在该社区设置了三个核酸检测点A、B、C，甲、乙两人任意选择一个检测点参加检测．求甲、乙两人不在同一检测点参加检测的概率．（用画树状图或列表的方法求解）
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人不在同一检测点参加检测的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人不在同一检测点参加检测的结果有6种，
∴甲、乙两人不在同一检测点参加检测的概率为＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（8分）小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发．两人离甲地的距离y（m）与出发时间x（min）之间的函数关系如图所示．
（1）小丽步行的速度为 　80　m/min；
（2）当两人相遇时，求他们到甲地的距离．

【分析】（1）用路程除以速度即可得小丽步行的速度；
（2）求出小华的速度，即可求出两人相遇所需的时间，进而可得小丽所走路程，即是他们到甲地的距离．
【解答】解：（1）由图象可知，小丽步行的速度为＝80（m/min），
故答案为：80；
（2）由图象可得，小华骑自行车的速度是＝120（m/min），
∴出发后需要＝12（min）两人相遇，
∴相遇时小丽所走的路程为12×80＝960（m），
即当两人相遇时，他们到甲地的距离是960m．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象中获取有用的信息．
22．（10分）证明：垂直于弦AB的直径CD平分弦以及弦所对的两条弧．

【分析】先根据已知画图，然后写出已知和求证，再进行证明即可．
【解答】如图，CD为⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M．
求证：AM＝BM，，．
证明：连接OA、OB，

∵OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BM，∠AOC＝∠BOC，
∴，．
【点评】本题考查了垂径定理，根据命题画出图形并根据圆的隐含条件半径相等进行证明是解题的关键．
23．（10分）如图，在△ABC与△A′B′C′中，点D、D′分别在边BC、B′C′上，且△ACD∽△A′C′D′，若 　③（答案不唯一）　，则△ABD∽△A′B′D′．
请从①＝；②＝；③∠BAD＝∠B′A′D′这3个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．


【分析】利用相似三角形的判定：两角对应相等的两个三角形相似可证明．
【解答】解：③．
理由如下：∵△ACD∽△A′C′D′，
∴∠ADC＝∠A'D'C'，
∴∠ADB＝∠A'D'B'，
∵∠BAD＝∠B'A'D'，∠ADC＝∠B+∠BAD，∠A'D'C'＝∠B'+∠B'A'D'，
∴∠B＝∠B'，
∴△ABD∽△A'B'D'．
同理，选①也可以．
故答案是：③（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定条件是解题的关键．
24．（10分）合理的膳食可以保证青少年体格和智力的正常发育．综合实践小组为了解某校学生膳食营养状况，从该校1380名学生中调查了100名学生的膳食情况，调查数据整理如下：

（1）本次调查采用 　抽样调查　的调查方法；（填“普查”或“抽样调查”）
（2）通过对调查数据的计算，样本中的蛋白质平均供能比约为14.6%，请计算样本中的脂肪平均供能比和碳水化合物平均供能比；
（3）结合以上的调查和计算，对照下表中的参考值，请你针对该校学生膳食状况存在的问题提一条建议．
中国营养学会推荐的三大营养素供能比参考值
蛋白质
10%﹣15%
脂肪
20%﹣30%
碳水化合物
50%﹣65%
【分析】（1）根据抽样调查，普查的定义判断即可；
（2）求出脂肪平均供能比和碳水化合物平均供能比的平均数即可；
（3）结合以上的调查和计算，对照上表中的参考值，提出建议即可．
【解答】解：（1）本次调查采用抽样调查的调查方法．
故答案为：抽样调查；
（2）∵（15.4%×35+15.5%×25+13.3%×40）÷（35+25+40）≈14.6，
样本中的脂肪平均供能比＝（36.6%×35+40.4%×25+39.2%×40）÷（35+25+40）≈38.6%．
碳水化合物平均供能比＝（48.0%×35+44.1%×25+47.5%×40）÷（35+25+40）≈46.8%；
（3）建议：减少脂肪类食物，增加碳水化合物食物．
【点评】本题考查条形统计图，抽样调查，扇形统计图等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．（10分）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．机械臂端点C到工作台的距离CD＝6m．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）求OD长．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）

【分析】（1）过点A作AE⊥CB，垂足为E，在Rt△ABE中，由AB＝5，∠ABE＝37°，可求AE和BE，即可得出AC的长；
（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，在Rt△ACF中，由勾股定理可求出AF，即OD的长．
【解答】
解：（1）如图，过点A作AE⊥CB，垂足为E，
在Rt△ABE中，AB＝5，∠ABE＝37°，
∵sin∠ABE＝，cos∠ABE＝，
∴＝0.60，＝0.80，
∴AE＝3，BE＝4，
∴CE＝6，
在Rt△ACE中，由勾股定理AC＝＝3≈6.7m．
（2）过点A作AF⊥CD，垂足为F，
∴FD＝AO＝1，
∴CF＝5，
在Rt△ACF中，由勾股定理AF＝＝2．
∴OD＝2≈4.5m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
26．（12分）【经典回顾】
梅文鼎是我国清初著名的数学家，他在《勾股举隅》中给出多种证明勾股定理的方法．图1是其中一种方法的示意图及部分辅助线．
在△ABC中，∠ACB＝90°，四边形ADEB、ACHI和BFGC分别是以Rt△ABC的三边为一边的正方形．延长IH和FG，交于点L，连接LC并延长交DE于点J，交AB于点K，延长DA交IL于点M．
（1）证明：AD＝LC；
（2）证明：正方形ACHI的面积等于四边形ACLM的面积；
（3）请利用（2）中的结论证明勾股定理．
【迁移拓展】
（4）如图2，四边形ACHI和BFGC分别是以△ABC的两边为一边的平行四边形，探索在AB下方是否存在平行四边形ADEB，使得该平行四边形的面积等于平行四边形ACHI、BFGC的面积之和．若存在，作出满足条件的平行四边形ADEB（保留适当的作图痕迹）；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据正方形的性质和SAS证明△ACB≌△HCG，可得结论；
（2）证明S△CHG＝S△CHL，所以S△AMI＝S△CHL，由此可得结论；
（3）证明正方形ACHI的面积+正方形BFGC的面积＝▱ADJK的面积+▱KJEB的面积＝正方形ADEB，可得结论；
（4）如图2，延长IH和FG交于点L，连接LC，以A为圆心CL为半径画弧交IH于一点，过这一点和A作直线，以A为圆心，AI为半径作弧交这直线于D，分别以A，B为圆心，以AB，AI为半径画弧交于E，连接AD，DE，BE，则四边形ADEB即为所求．
【解答】（1）证明：如图1，连接MG，

∵四边形ACHI，ABED和BCGF是正方形，
∴AC＝CH，BC＝CG，∠ACH＝∠BCG＝90°，AB＝AD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠GCH＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，
∴∠GCH＝∠ACB，
∴△ACB≌△HCG（SAS），
∴GH＝AB＝AD，
∵∠GCH＝∠CHI＝∠CGL＝90°，
∴四边形CGLH是矩形，
∴CL＝GH，
∴AD＝LC；
（2）证明一：∵∠CAI＝∠BAM＝90°，
∴∠BAC＝∠MAI，
∵AC＝AI，∠ACB＝∠I＝90°，
∴△ABC≌△AMI（ASA），
由（1）知：△ACB≌△HCG，
∴△AMI≌△HGC，
∵四边形CGLH是矩形，
∴S△CHG＝S△CHL，
∴S△AMI＝S△CHL，
∴正方形ACHI的面积等于四边形ACLM的面积；
证明二：∵四边形CGLH是矩形，

∴PH＝PC，
∴∠CHG＝∠LCH，
∴∠CAB＝∠CHG＝∠LCH，
∵∠ACH＝90°，
∴∠ACK+∠LCH＝90°，
∴∠ACK+∠CAK＝90°，
∴∠AKC＝90°，
∴∠AKC＝∠BAD＝90°，
∴DM∥LK，
∵AC∥LI，
∴四边形ACLM是平行四边形，
∵正方形ACHI的面积＝AC•CH，▱ACLH的面积＝AC•CH，
∴正方形ACHI的面积等于四边形ACLM的面积；
（3）证明：由正方形ADEB可得AB∥DE，
又AD∥LC，
∴四边形ADJK是平行四边形，
由（2）知，四边形ACLM是平行四边形，
由（1）知：AD＝LC，
∴▱ADJK的面积＝▱ACLM的面积＝正方形ACHI，
延长EB交LG于Q，

同理有▱KJEB的面积＝▱CBQL的面积＝正方形BFGC，
∴正方形ACHI的面积+正方形BFGC的面积＝▱ADJK的面积+▱KJEB的面积＝正方形ADEB，
∴AC2+BC2＝AB2；
（4）解：如图2即为所求作的▱ADEB．

【点评】本题是四边形的综合题，考查的是全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，正方形的性质，勾股定理的证明等知识；熟练掌握正方形的性质和全等相似三角形的判定与性质，根据图形面积的关系证出勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．
27．（14分）【发现问题】
小明在练习簿的横线上取点O为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆，描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律．
【提出问题】
小明通过观察，提出猜想：按此步骤继续画圆描点，所描的点都在某二次函数图象上．

【分析问题】
小明利用已学知识和经验，以圆心O为原点，过点O的横线所在直线为x轴，过点O且垂直于横线的直线为y轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时，其坐标为 　（﹣3，4）或（3，4）　．
【解决问题】
请帮助小明验证他的猜想是否成立．
【深度思考】
小明继续思考：设点P（0，m），m为正整数，以OP为直径画⊙M，是否存在所描的点在⊙M上．若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
【分析】【分析问题】根据题意可知：该点的纵坐标为4，利用勾股定理，即可求出该点的横坐标，进而可得出点的坐标；
【解决问题】设所描的点在半径为n（n为正整数）的同心圆上，则该点的纵坐标为（n﹣1），利用勾股定理可得出该点的坐标为（﹣，n﹣1）或（，n﹣1），结合点横、纵坐标间的关系，可得出该点在二次函数y＝x2﹣的图象上，进而可证出小明的猜想正确；
【深度思考】设该点的坐标为（±，n﹣1），结合⊙M的圆心坐标，利用勾股定理，即可用含n的代数式表示出m的值，再结合m，n均为正整数，即可得出m，n的值．
【解答】【分析问题】解：根据题意，可知：所描的点在半径为5的同心圆上时，其纵坐标y＝5﹣1＝4，
∵横坐标x＝±＝±3，
∴点的坐标为（﹣3，4）或（3，4）．
【解决问题】证明：设所描的点在半径为n（n为正整数）的同心圆上，则该点的纵坐标为（n﹣1），
∴该点的横坐标为±＝±，
∴该点的坐标为（﹣，n﹣1）或（，n﹣1）．
∵（±）2＝2n﹣1，n﹣1＝，
∴该点在二次函数y＝（x2﹣1）＝x2﹣的图象上，
∴小明的猜想正确．
【深度思考】解：设该点的坐标为（±，n﹣1），⊙M的圆心坐标为（0，m），
∴＝m，
∴m＝＝＝＝n﹣1+2+．
又∵m，n均为正整数，
∴n﹣1＝1，
∴m＝1+2+1＝4，
∴存在所描的点在⊙M上，m的值为4．

【点评】本题考查了勾股定理、二次函数图象上点的坐标特征以及与圆有关的位置关系，解题的关键是：【分析问题】利用勾股定理，求出该点的横坐标；【解决问题】根据点的横、纵坐标间的关系，找出点在二次函数y＝x2﹣的图象上；【深度思考】利用勾股定理，用含n的代数式表示出m的值．
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