2021北京理工大附中高一（下）期末数学（教师版）

2021北京理工大附中高一（下）期末

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．（4分）已知向量＝（3，4），则下列向量中与垂直的是（　　）

A．（﹣3，4） B．（﹣4，3） C．（4，3） D．（3，﹣4）

2．（4分）已知复数z满足zi＝1﹣i，则z对应的点位于复平面的（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．（4分）在△ABC中，cosA＝，cosB＝，则cos（A﹣B）＝（　　）

A． B．0 C． D．

4．（4分）已知向量＝（1，），向量＝（，），则向量与向量的夹角为（　　）

A．60° B．30° C．120° D．150°

5．（4分）已知α为锐角，，则（　　）

A．sinα＞cos2α B．sin2α＜cos2α 

C．sin2α＞tan2α D．cos2α＞tan2α

6．（4分）在△ABC中，a＝1，，A＝30°，则c＝（　　）

A．1 B．2 C．1或2 D．无解

7．（4分）函数y＝1﹣2sin2（x﹣）是（　　）

A．最小正周期为的奇函数 

B．最小正周期为的偶函数 

C．最小正周期为π的奇函数 

D．最小正周期为π的偶函数

8．（4分）已知tanβ＝3，tan（α﹣β）＝5，则tanα的值是（　　）

A． B． C． D．

9．（4分）△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，则“acosB＝bcosA”是“△ABC是等腰三角形”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

10．（4分）已知△ABC中，D是BC边上的点，AD平分∠BAC，且△ABD面积是△ADC面积的2倍．若AD＝1，DC＝，则AC的长为（　　）

A． B．1 C． D．

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

11．（4分）已知复数z＝1+i，则z2+z•＝　     　．

12．（4分）能说明“在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则A＝B”为假命题的一组A，B的值是　            　．

13．（4分）已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E为BC边的中点，F为CD边上的动点（可以与端点重合），则＝　 　，的最大值为　 　．

14．（4分）函数f（x）＝cos2x+cosx的最小值为　               　．

15．（4分）若△ABC的面积为，且C为钝角，则B＝　              　；的取值范围为 　              　．

三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16．（10分）已知，且．

（1）求的值；

（2）求的值．

17．（10分）已知函数f（x）＝cosx（2sinx+cosx）﹣sin2x．

（1）求函数f（x）的单调递增区间和最小正周期；

（2）若当x∈[0，]时，关于x的不等式f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．

18．（10分）如图，CM，CN为某公园景观湖畔的两条木栈道，∠MCN＝120°，现拟在两条木栈道的A，B处设置观景台，设BC＝a，AC＝b，AB＝c（单位：百米）．

（1）若b﹣a＝c﹣b＝4，求b的值；

（2）已知AB＝12，记∠ABC＝θ，试用θ表示路线A﹣C﹣B的长，并观察A﹣C﹣B长的最大值．

19．（10分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S△ABC，已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求a与sinC的值．

条件①：b＝3；条件②：；条件③：．

参考答案

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，得出结论．

【解答】解：∵向量＝（3，4），（﹣3，4）•（3，4）＝﹣9+16＝7≠0，故排除A；

∵（﹣4，3）•（3，4）＝﹣12+12＝0，故B满足条件；

∵（4，3）•（3，4）＝12+12＝24≠0，故排除C；

∵（3，﹣4）•（3，4）＝9﹣16＝﹣7≠0，故排除D，

故选：B．

【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．

2．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．

【解答】解：由zi＝1﹣i，得z＝，

∴z对应的点的坐标为（﹣1，﹣1），位于复平面的第三象限．

故选：C．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

3．【分析】利用同角三角函数关系式求出sinA，sinB，然后由两角差的余弦公式求解即可．

【解答】解：在△ABC中，，

所以，，

则cos（A﹣B）＝cosAcosB+sinAsinB＝＝．

故选：D．

【点评】本题考查了三角函数的化简求值问题，主要考查了同角三角函数关系式的运用以及两角和差公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．

4．【分析】利用向量夹角数量积公式直接求解．

【解答】解：∵向量＝（1，），向量＝（，），

∴cos＜＞＝＝，

∵＜＞∈[0°，180°]，

∴向量与向量的夹角为60°．

故选：A．

【点评】本题考查向量夹角的求法，考查向量夹角数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

5．【分析】利用同角三角函数关系式求出cosα，由二倍角公式求出sin2α，cos2α，tan2α，然后比较大小即可得到答案．

【解答】解：因为α为锐角，，

则，，

所以sin2α＝2sinαcosα＝，

cos2α＝1﹣2sin2α＝，

tan2α＝＝，

因为＜，故sin2α＜cos2α，

又＜，故sin2α＜tan2α，

又＞，所以cos2α＜tan2α，

故选：B．

【点评】本题考查了三角函数的化简求值问题，主要考查了同角三角函数关系式的应用，二倍角公式的运用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．

6．【分析】由已知利用余弦定理可得c2﹣3c+2＝0，解方程即可得解c的值．

【解答】解：因为a＝1，，A＝30°，

所以由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得1＝3+c2﹣2×c×，整理可得c2﹣3c+2＝0，

解得c＝1或2．

故选：C．

【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于基础题．

7．【分析】利用二倍角公式，诱导公式化简函数解析式可得y＝sin2x，进而根据正弦函数的性质即可求解．

【解答】解：y＝1﹣2sin2（x﹣）＝1﹣[1﹣cos（2x﹣）]＝cos（2x﹣）＝sin2x，

可得函数最小正周期T＝＝π，

又f（﹣x）＝sin2（﹣x）＝﹣sin2x＝﹣f（x），函数为奇函数．

故选：C．

【点评】本题主要考查了二倍角公式，诱导公式以及正弦函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于基础题．

8．【分析】由已知tanα＝tan[（α﹣β）+β]，结合两角和的正切公式即可直接求解．

【解答】解：因为tanβ＝3，tan（α﹣β）＝5，

则tanα＝tan[（α﹣β）+β]＝＝＝﹣．

故选：A．

【点评】本题主要考查了两角差的正切公式，解题的关键是拆角技巧的应用，属于基础题．

9．【分析】由正弦定理，结合acosB＝bcosA，可得△ABC是等腰三角形．反之不成立．

【解答】解：由正弦定理可得：＝，若acosB＝bcosA，则tanB＝tanA，∵A，B为三角形的内角，∴A＝B．

∴a＝b，即△ABC是等腰三角形．

反之不成立，可能a＝c或b＝c．

∴“acosB＝bcosA”是“△ABC是等腰三角形”充分不必要条件．

故选：A．

【点评】本题考查了充要条件的判定方法、正弦定理、等腰三角形，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

10．【分析】如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD＝2DC，过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB＝2AC，令AC＝x，则AB＝2x，利用余弦定理即可解得AC的长．

【解答】解：如图，过A作AE⊥BC于E，

∵＝＝2

∴BD＝2DC＝2×＝．

过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，

∵AD平分∠BAC，

∴DM＝DN，

∴＝＝2，

∴AB＝2AC，

令AC＝x，则AB＝2x，

∵∠BAD＝∠DAC，

∴cos∠BAD＝cos∠DAC，

∴由余弦定理可得：＝，

∴x＝1，

∴AC＝1，

∴AC的长为1．

故选：B．

【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．

二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。

11．【分析】把z＝1+i代入z2+z•，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．

【解答】解：∵z＝1+i，

∴z2+z•＝（1+i）2+（1+i）（1﹣i）

＝2i+1﹣i2＝2+2i．

故答案为：2+2i．

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．

12．【分析】取A＝60°，B＝30°代入检验可得．

【解答】解：当A＝60°，B＝30°时，sin2A＝sin120°＝，sin2B＝sin60°＝，此时sin2A＝sin2B/

故答案为：A＝60°，B＝30°．

【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，属基础题．

13．【分析】画出图形，建立坐标系，然后求解向量的数量积，以及向量数量积的最大值即可．

【解答】解：如图，建立直角坐标系，则E（2，2），D（0，4），F（x，4），x∈[0，2]，

所以＝（2，2）•（﹣2，2）＝0，

当F在C处时，的最大值为（2，2）•（2，4）＝12．

故答案为：0；12．

【点评】本题考查平面向量的数量积的求法，考查数形结合以及计算能力，是中档题．

14．【分析】利用二倍角公式以及二次函数的性质，结合余弦函数的值域，求解函数的最小值即可．

【解答】解：函数f（x）＝cos2x+cosx＝2cos2x+cosx﹣1，

当cosx＝时，函数取得最小值：2×﹣1＝﹣．

故答案为：﹣．

【点评】本题考查三角函数的最值的求法，二次函数的简单性质的应用，是基础题．

15．【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，三角形的面积公式的应用，正弦定理的应用求出结果．

【解答】解：△ABC的面积为，

故＝，

整理得tanB＝，

由于0＜B＜π，

故B＝，

由于C为钝角，

所以，解得，

则：，

故．

故答案为：．

【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角形的面积公式的应用，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

三、解答题共4小题，共40分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16．【分析】（1）先利用同角三角函数关系式求出cosα，然后由两角和的余弦公式求解即可；

（2）利用二倍角公式将式子化简，然后代入数值求解即可．

【解答】解：（1）因为，且，

所以，

则＝＝；

（2）＝＝．

【点评】本题考查了三角函数的化简求值问题，涉及了同角三角函数关系式的应用，两角和差公式的运用，二倍角公式的运用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．

17．【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简f（x）的解析式，利用整体代换和正弦函数的单调增区间，即可求出f（x）的单调增区间，由周期的公式求解最小正周期即可．

（2）将不等式恒成立问题转化为m≤f（x）min，然后利用三角函数的性质求解最值，即可得到答案．

【解答】解：（1）函数f（x）＝cosx（2sinx+cosx）﹣sin2x

＝

＝

＝，

令，

解得，

所以函数f（x）的单调递增区间为；

函数f（x）的最小正周期为＝π；

（2）由题意可知，当x∈[0，]时，关于x的不等式f（x）≥m恒成立，即m≤f（x）min，

因为x∈[0，]，则，

所以当，即时，函数f（x）取得最小值，此时，

所以m≤﹣1，

故实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1]．

【点评】本题考查了三角恒等变换的应用，三角函数的单调性以及周期公式的应用，不等式恒成立问题的求解，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．

18．【分析】（1）由已知可得a，c用b表示，再由余弦定理可得b的值；

（2）由正弦定理可得a，b用θ的三角函数表示的解析式，由θ的范围求出a+b的最大值．

【解答】解：（1）因为b﹣a＝c﹣b＝4，可得：a＝b﹣4，c＝b+4，

∠MCN＝∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣2abcos∠ACB，

所以可得：（b+4）2＝（b﹣4）2+b2﹣2（b﹣4）•b•（﹣），

整理可得：b2﹣10b＝0，解得b＝10；

（2）在△ABC中，θ∈（0，），

由正弦定理可得：＝＝＝，

所以a＝8sin（60°﹣θ），b＝8sinθ，

所以a+b＝8[sin（﹣θ）+sinθ]＝8（cosθ+sinθ）＝8sin（θ+），

因为θ∈（0，），所以θ+∈（，），

所以sin（θ+）≤1，

所以a+b≤8，

所以A﹣C﹣B长的最大值为8．

【点评】本题考查三角形的正余弦定理的应用，属于中档题．

19．【分析】分别选①②，①③，②③用面积公式即正余弦定理可得a，sinC的值．

【解答】解：若①②时，由＝bcsinA，b＝3，c＝，

所以可得sinA＝＝，

因为是锐角△ABC中，所以cosA＝＝，

由余弦定理可得：a＝＝＝2，

由正弦定理可得：＝，所以sinC＝•sinA＝＝，

所以可得a＝2，sinC＝；

若①③时，cosB＝，所以在三角形中，sinB＝＝，

由正弦定理可得＝，b＝3，C＝，

所以sinC＝•sinB＝＝，

由余弦定理可得b2＝a2+c2﹣2accosB，即9＝a2+7﹣2a××，

所以可得：a2﹣a﹣2＝0，解得a＝2，

所以a＝2，sinC＝；

若②③时，条件③：．则可得sinB＝，

＝acsinB，c＝，所以可得a＝2，

由余弦定理可得b＝＝＝3，

由正弦定理可得：＝，

所以sinC＝•sinB＝×＝，

综上所述：a＝2，sinC＝．

【点评】本题考查正余弦定理及面积公式的应用，属于基础题．