2023年陕西省西安市长安重点中学高考数学二模试卷-普通用卷

这是一份2023年陕西省西安市长安重点中学高考数学二模试卷-普通用卷，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年陕西省西安市长安重点中学高考数学二模试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  设是虚数单位，若复数，则的共轭复数为(    )A.  B.  C.  D. 2.  已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 3.  已知向量，，且，则(    )A.  B.  C.  D. 4.  为了解我校今年报考飞行员的学生的体重情况将所得的数据整理后，作出了频率分布直方图如图组距已知图中从左到右的前个小组的频率之比为：：，第小组的频数为，则我校报考飞行员的学生总人数是(    )
A.  B.  C.  D. 5.  已知，则(    )A.  B.  C.  D. 6.  已知数列满足，，则等于(    )A.  B.  C.  D. 7.  执行如图所示的算法框图，则输出的的值为(    )

 A.  B.  C.  D. 8.  “蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆若椭圆：的离心率为，则椭圆的蒙日圆的方程为(    )A.  B.  C.  D. 9.  在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为(    )A.  B.  C.  D. 10.  已知从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，现从两袋中各摸出一个球，下列结论错误的是(    )A. 两个球都是红球的概率为 B. 两个球中恰有个红球的概率为
C. 两个球不都是红球的概率为 D. 至少有个红球的概率为11.  已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，点，在双曲线上，且点为线段的中点，，双曲线的离心率为，则(    )A.  B.  C.  D. 12.  已知函数及其导函数定义域均为，记函数，若函数的图象关于点中心对称，为偶函数，且，，则(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  若实数，满足约束条件，则的最大值为______ ．14.  某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物四个学科辅导课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名辅导课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的辅导课程，则恰有两位同学选择数学辅导课程的报名方法数为______ ．15.  已知函数的图象关于点中心对称，其最小正周期为，且，则的值为______ ．16.  若函数在和，两处取得极值，且，则实数的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
的内角，，的对边分别为，，已知．
求；
若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．18.  本小题分
如图，在三棱柱中，四边形是边长为的菱形．，点为棱上动点不与，重合，平面与棱交于点．
求证：；
若，平面平面，，求直线与平面所成角的正弦值．
19.  本小题分
年月日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，新晋“太空教师”刘洋用米长的吸管成功喝到了芒果汁，这是中国航天员首次在问天实验舱内进行授课，并通过网络向全国进行直播，这场直播极大地激发了广大中学生对航天知识的兴趣，为领悟航天精神，感受中国梦想某校高一年级组织了一次“寻梦天宫”航天知识比赛，比赛规则：每组两个班级，每个班级各派出名同学参加比赛，每一轮比赛中每个班级派出名同学代表其所在班级答题，两个班级都全部答对或者没有全部答对，则均记分；一班级全部答对而另一班级没有全部符对，则全部答对的班级记分，没有全部答对的班级记分，三轮比赛结束后，累计得分高的班级获胜设甲、乙两个班级为一组参加比赛，每轮比赛中甲班全部答对的概率为，乙班全部答对的概率为，甲、乙两班答题相互独立，且每轮比赛互不影响．
求甲班每轮比赛得分、分、分的概率；
两轮比赛后甲班得分为，求的分布列和数学期望．20.  本小题分
如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近线的距离为，左、右顶点分别为、曲线是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离心率为的椭圆，设在第一象限且在双曲线上，直线交椭圆于点，直线与椭圆交于另一点．
求椭圆及双曲线的标准方程；
设与轴交于点，是否存在点使得其中，为点，的横坐标，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
21.  本小题分
已知．
求在处的切线方程；
若，记，为函数的两个极值点，求的取值范围．22.  本小题分
在极坐标系中，，，，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，已知直线的参数方程为为参数，，且点的直角坐标为．
求经过，，三点的圆的极坐标方程；
求证直线与中的圆有两个交点，，并求的值．23.  本小题分
已知函数．
求的解集；
记集合的最大元素为，若、、都是正实数，且，求的最小值．
答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．
【解答】
解：，
．
故选：．  2.【答案】 【解析】解，
，

，
故选：．
求解对数型函数的定义域化简集合，然后直接利用交集运算求解．
本题考查了交集及其运算，考查了对数函数的定义域，是基础题．
 3.【答案】 【解析】解：因为，
则，可得，
所以．
故选：．
根据向量平行的坐标表示可得，再结合齐次式问题分析运算．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：由图可知后两个组频率为，从左到右的前个小组的频率之比为：：，
所以第小组的频率为，第小组的频数为，
所以报考飞行员的学生人数是．
故选：．
求解后两个组频率，再根据前个小组的频率之比为：：可得前三组的频率，进而根据第小组的频数为求解即可．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：．
故选：．
因为，由诱导公式可得选项．
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：数列满足，
当时，，
当，，
两式相除得，
数列的奇数项是以为首项，以为公比的等比数列，
数列的偶数项是以为首项，以为公比的等比数列，
．
故选：．
由得到，则数列的奇数项和偶数项是等比数列，然后利用等比数列前项和公式求解，即可得出答案．
本题考查数列的递推式和等比数列的性质，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 7.【答案】 【解析】解：开始，，
，，为否；
，，为否；
，，为否；
，，为是；输出．
故选：．
根据框图逐步运算求解即可．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
 8.【答案】 【解析】解：因为椭圆：的离心率为，
则，解得，即椭圆的方程为，
于是椭圆的上顶点，右顶点，
经过，两点的椭圆切线方程分别为，，
则两条切线的交点坐标为，显然这两条切线互相垂直，
因此点在椭圆的蒙日圆上，
圆心为椭圆的中心，椭圆的蒙日圆半径，
所以椭圆的蒙日圆方程为．
故选：．
根据椭圆的离心率求出值，再同蒙日圆的定义，利用特殊位置求出蒙日圆上的一点，即可求出椭圆的蒙日圆方程．
本题考查椭圆的几何性质，方程思想，属中档题．
 9.【答案】 【解析】解：因为和为均以为斜边的直角三角形，则三棱锥的外接球的即为的中点，
由题意可得：，则外接球的半径，
所以外接球的表面积．
故选：．
根据题意可得：三棱锥的外接球的即为的中点，结合球的表面积公式运算即可．
本题考查了求解三棱锥的外接球的表面积问题，考查了学生的空间想象能力，属于中档题．
 10.【答案】 【解析】解：对于：两个球都是红球的概率为，故A正确；
对于：两个球中恰有个红球的概率为，故B正确；
对于：两个球不都是红球的对立事件为两个球都是红球，
所以概率为，故C错误；
对于：至少有个红球包含两个球都是红球、两个球中恰有个红球，
所以概率为，故D正确．
故选：．
根据独立事件的概率乘法公式，结合互斥事件、对立事件逐项分析运算．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了对立事件的概率关系，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
设出坐标，利用平方差法，结合直线的平行关系，转化求解双曲线的离心率即可．
【解答】
解：由题意知，，则．
设，，
则两式相减，得．
因为为线段的中点，
所以，，
又，所以，所以，所以，
两边平方得，两边同除以，可得，解得．
故选：．  12.【答案】 【解析】解：因为的图象关于点中心对称，
所以，则，
所以，即，
所以，
所以函数的图象关于直线对称，
又为偶函数，所以，
则，
所以的图象关于直线对称，
所以，
所以的周期为，
由，得，
又，所以，
故．
故选：．
由的图象关于点中心对称，可得，即函数的图象关于直线对称．由为偶函数，可得的图象关于直线对称，进而得到的周期为，从而求解．
本题主要考查了抽象函数的应用，考查了函数的奇偶性、对称性和周期性，属于中档题．
 13.【答案】 【解析】解：根据题意作出平面区域，如图所示，

因为表示斜率为，纵截距为的直线，
联立，可得，即点，
可得：当过点时，纵截距为取到最大值．
故答案为：．
做出平面区域，结合直线的几何意义分析运算．
本题主要考查了简单的线性规划，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
 14.【答案】 【解析】解：安排两人选择数学，共有种不同的安排方法，
另外两人选择其他课程剩余个课程，共有种不同的安排方法，
所以共有种不同的安排方法．
故答案为：．
先安排两人选择数学，再安排另外两人选择其他课程，结合分步乘法计数原理运算求解．
本题考查排列组合的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 15.【答案】 【解析】解：，
因为图象关于点中心对称，
所以，
所以，
所以，
又因为最小正周期为，且，
所以，则，
所以当时，的值为．
故答案为：．
先化简，然后由关于点中心对称可得到，结合即可求解．
本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．
 16.【答案】 【解析】解：因为，则，
令，且，整理得，
原题意等价于与有两个不同的交点，
构建，则，
令，解得；令，解得或；
则在上单调递增，在，上单调递减，且，
由图可得：若与有两个不同的交点，可得：，，，
因为，则，
由图可知：当增大时，则减小，增大，可得减小，
取，令，则，
因为，解得，
所以，则，
即实数的取值范围是．
故答案为：．
根据题意可得原题意等价于与有两个不同的交点，再数形结合分析两根的关系运算求解．
本题考查函数与导数的综合运用，考查数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．
 17.【答案】解：因为，
由正弦定理可得，整理得，
由余弦定理可得，
且，故．
由正弦定理可得，
可得，
则
，
因为，则，
且为锐角三角形，则，解得，
可得，则，
所以
故周长的取值范围为． 【解析】根据题意结合正、余弦定理分析运算即可；
由的结论，利用正弦定理结合三角恒等变换求解作答．
本题主要考查了正弦定理，和差角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
 18.【答案】证明：，
且平面，平面，
平面，
又平面，且平面平面，
；
连接，取中点，连接，，
在菱形中，，
是等边三角形，
又为中点，
，
平面平面，平面平面，平面，且，
平面，平面，
，
又，，
以点为原点，直线，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

，，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，所以，令，则，，
故，
又，
设与平面所成角为，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为． 【解析】首先证明平面，再根据线面平行的性质定理，即可证明线线平行；
取的中点，首先证明，，互相垂直，再以点为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用线面角的向量公式，即可求解．
本题主要考查直线与平面所成的角，考查转化能力，属于中档题．
 19.【答案】解：记事件为“甲班每轮比赛得分”，事件为“甲班每轮比赛得分”，事件为“甲班每轮比赛得分”，
则，
，
．
由题意可得，的所有取值可能为，，，，，
则由可得，，
，
，
，
，
所以的分布列为：           所以． 【解析】分别计算甲班全部答错且乙班全部答对、甲班乙班都全部答对或都全部答错、甲班全部答对且乙班全部答错的概率即可；
分别计算取，，，，的概率并写出分布列．
本题考查了离散型随机变量的分布列和期望，属中档题．
 20.【答案】解：由已知可设双曲线方程为，椭圆方程，
则双曲线的一条渐近线方程为，即，
故，即，又，
解得，所以双曲线方程：，
所以椭圆方程为：；
设，，，，，
、、三点共线，，
、、三点共线，，
相除：，
令，则设：，
联立，得，
由在椭圆内，故，所以，
，，
若存在，即，，得，
又在第一象限，所以，． 【解析】设双曲线方程为，椭圆方程，根据焦点到渐近线的距离和离心率求出，可得答案；
设，，，根据、、三点共线，、、三点共线可得，令得直线的方程，与椭圆方程联立利用韦达定理代入上式化简可得，若存在，即代入可得答案．
本题考查双曲线的几何性质，椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，化归转化思想，属难题．
 21.【答案】解：，
又切点，则切线方程为，即；
，
，为两个极值点，
有两个不等的正根，，
，，，得，则，
令，得，，
，则，则，
在递减，
，
即的取值范围为． 【解析】先对函数求导，利用导数的几何意义求解即可；
先对求导，问题转化为有两个不等的正根，，从而可得，令，构造函数，利用函数的单调性求解即可．
本题主要考查了导数几何意义在切线方程求解中的应用，还考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于中档题．
 22.【答案】解：由已知，，的极坐标和极直互化公式得，，的直角坐标分别为，，，
为直角．
经过，，三点的圆的圆心为，且经过原点，
则圆的半径为，
圆的方程为：，即，
化成极坐标方程则有，即．
将直线的参数方程代入圆的方程，并整理得：，
此方程的判别式，
此方程有两个不等实根，
直线与中的圆有两个交点．
设两个交点，所对应的参数值分别为，，则，是该方程的两个实数根，
，由直线的参数方程和点的坐标可知，． 【解析】利用极直互化公式求得，，三点的直角坐标，可得为直角三角形，可以判定过此三点的圆的直径为，从而得到圆的圆心坐标，再根据圆经过坐标原点，可得圆的一般方程．
将直线的参数方程代入圆的一般方程，化简得到关于参数的一元二次方程，利用判别式证明此方程有两个不等实数根，从而证明了直线和圆有两个不同的交点，进而利用参数的几何意义和一元二次方程的根与系数的关系证得为定值．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．
 23.【答案】解：由题意可得：，
对于不等式，则有：
当时，，解得，不合题意；
当时，，解得，可得；
当时，，解得，可得；
综上所述：的解集．
证明：由可得：，即，
由柯西不等式，
当且仅当时，等号成立，
所以，即的最小值为． 【解析】分类讨论解绝对值不等式即可；
由可得，利用柯西不等式分析运算．
本题主要考查不等式的证明，考查转化能力，属于中档题．