2023年四川省泸州市龙马潭区中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年四川省泸州市龙马潭区中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省泸州市龙马潭区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  下列各数中，比小的数是(    )A.  B.  C.  D. 2.  据新京报讯，为满足节能低碳要求，石景山区总长公里的“冬奥大道”照明工程全部安装新型高效节能电光源套．数字用科学记数法可表示为(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列运算，正确的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  下列图形中，不是如图的视图的是(    )A.
B.
C.
D. 5.  中国队在年至年间的六届冬奥会中获得的金牌数分别是，，，，，枚，则中国队在这六届冬奥会中所获得的金牌数的众数和中位数分别是(    )A. ， B. ， C. ， D. ，6.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )A.  B.
C.  D. 7.  在平面直角坐标系中，将线段平移后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为  (    )A.  B.  C.  D. 8.  如图，在▱中，于，于，若，，，则▱的面积为(    )
 A.  B.  C.  D. 9.  关于的方程无解，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 10.  数学兴趣小组活动时，小明将一块等腰直角三角板其中斜边上带有刻度的直角顶点放在上的任意一点，转动三角板，使其一条直角边经过圆心，此时小明发现三角板的斜边在上截得的线段长为厘米，已知三角板的直角边长为厘米，则的半径为(    )A. 厘米 B. 厘米 C. 厘米 D. 厘米11.  如图，在矩形中，，是的中点，与交于点，连接若，则的长为(    )A.
B.
C.
D. 12.  抛物线经过，对称轴为直线，关于的方程在的范围内有实数根，则的取值范围为(    )A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.  分解因式：______．14.  函数中自变量的取值范围是______．15.  已知，是一元二次方程的两个实数根，则______．16.  如图，在中，，，，以边的中点为圆心，作半圆与相切，点，分别是边包括端点和半圆上的动点，连接，则长的最大值与最小值的差是______ ．
 三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.  计算：．四、解答题（本大题共8小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.  本小题分
化简：．19.  本小题分
如图，已知，．
求证：．
20.  本小题分
根据“五项管理”文件精神，某学校优化学校作业管理，探索减负增效新举措，学校就学生做作业时间进行问卷调查，将收集信息进行统计分成、、、四个层级，其中：分钟以上；：分钟；：分钟；：分钟以下．并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计信息解答下列问题：
接受问卷调查的学生共有______人；
求扇形统计图中“”等级的扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；
全校约有学生人，估计“”层级的学生约有多少人？
学校从“”层级的名女生和名男生中随机抽取人参加现场深入调研，则恰好抽到名男生和名女生的概率是多少？

 21.  本小题分
某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐助给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量单位：个与销售单价 单位：元个之间的函数关系一次函数如图所示：
求出与之间的函数关系；
若许愿瓶的进价为元个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润 单位：元与销售单价 单位：元个之间的函数关系式；
在问的条件下，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．
22.  本小题分
如图，是一高为米的平台，是与底部相平的一棵树，在平台顶点测得树顶点的仰角，从平台底部向树的方向水平前进米到达点，在点处测得树顶点的仰角，求树高结果保留根号
23.  本小题分
如图在平面直角坐标系中反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点；
求反比例函数的表达式及点的坐标；
如图，过点作直线，交反比例函数图象另一支于点，直线与轴的交点为点当：：时，求的面积．
 
24.  本小题分
如图，为的直径，为上一点，为延长线一点，且，于点．
求证：直线为的切线；
设与交于点，的延长线与交于点，
求证：；
若，，求和的值．
25.  本小题分
如图，拋物线的图象经过点，交轴于点和，连接，直线与轴交于点，与上方的抛物线交于点，与交于点．
求抛物线的表达式及点的坐标；
求的最大值及此时点的坐标；
在的条件下，若点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点和点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，，，，
所给的各数中，比小的数是．
故选：．
正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
 2.【答案】 【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：、，故本选项符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：．
分别根据幂的乘方运算法则，合并同类项法则，同底数幂的除法法则以及同底数幂的乘法法则逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
 4.【答案】 【解析】解：根据物体的三视图可知，从物体正面看所得到的图形是；
侧面看所得到的图形是；
上面看所得到的图形是．
故选：．
考查三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形．
本题主要是了解物体的三视图，难度属一般．
 5.【答案】 【解析】解：将数据从小到大排列为：、、、、、，
众数为；
中位数为．
故选：．
先将数据从大到小从新排列，然后根据众数及中位数的定义求解即可．
本题考查了众数及中位数的知识，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就可能会出错．
 6.【答案】 【解析】解：
由得，；
由得，；
所以，不等式组的解集为．
故选：．
分别解两个不等式，然后求它们的公共部分即可得到原不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组的方法：分别解几个不等式，它们解的公共部分即为不等式组的解；按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于小的小于大的为空集”得到公共部分．
 7.【答案】 【解析】解：平移后得到点的坐标为，
向下平移了个单位，向左平移了个单位，
的对应点的坐标为，
即．
故选：．
根据点到确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点的坐标．
本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，

，
，
，
，
，，
▱的面积．
故选：．
由平行四边形的性质得到，因此，由锐角的正弦的长，由平行四边形的面积公式即可求解．
本题考查平行四边形的性质，关键是由锐角的正弦求出的长，即可解决问题．
 9.【答案】 【解析】【分析】
此题考查了分式方程的解，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于．
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到，求出的值，代入整式方程求出的值即可．
【解答】
解：去分母得：，
由分式方程无解，得到，即，
代入整式方程得：，
解得：，
故选A．  10.【答案】 【解析】【分析】本题主要考查了勾股定理，垂径定理，等腰直角三角形的性质，作出适当的辅助线，数形结合，建立等量关系是解答此题的关键．
利用垂径定理得，利用勾股定理和等腰三角形的性质得与的关系式，解得结果．
【解答】解：过点作，
，
设，，
为等腰直角三角形，，
，

，
，
在中，
，
，解得：舍去或，
故选：．  11.【答案】 【解析】解：如图，过点作，交于点，

四边形是矩形，
，，
，
，
，
∽，
，
是的中点，
，
，
，
，
经检验，，是原方程的解，
，
，，
，
，，
∽，
，
，
，
，
．
故选：．
如图，过点作，交于点，根据矩形的性质，得，；根据相似三角形的性质，通过证明∽，得，通过求解分式方程，从而计算得，根据勾股定理的性质计算得，；再通过证明∽，结合勾股定理的性质计算，即可得到答案．
本题考查了相似三角形、勾股定理、分式方程、矩形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．
 12.【答案】 【解析】解：由题意得，解得，
故抛物线的表达式为，
则抛物线的顶点坐标为，
函数的大致图象如下：

当时，，
比离对称轴远，故关于的方程在的范围内有实数根，
则在和顶点之间，
即，
故选：．
比离对称轴远，故关于的方程在的范围内有实数根，则在和顶点之间，进而求解．
本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 13.【答案】 【解析】解：原式．
故答案为：．
先提取公因式，再利用公式法把原式进行因式分解即可．
本题考查的是提公因式法与公式法的综合运用，熟记完全平方公式是解答此题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：根据题意得：，解得：．
分式有意义的条件是分母不等于，根据这一点就可以求出的范围．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为．
 15.【答案】 【解析】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
则原式，
故答案为：
利用根与系数的关系求出，，代入计算即可求出值．
此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系式是解本题的关键．
 16.【答案】 【解析】解：如图，设与相切于点，连接，作垂足为交于，
此时垂线段最短，最小值为，
，，，
，
，
，

，
，
，
最小值为，
如图，当在边上时，与重合时，经过圆心，经过圆心的弦最长，
最大值，
长的最大值与最小值的差是．
故答案为：．
如图，设与相切于点，连接，作垂足为交于，此时垂线段最短，最小值为，求出，如图当在边上时，与重合时，最大值，由此不难解决问题．
本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．
 17.【答案】解：原式
． 【解析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 18.【答案】解：



． 【解析】先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除法转化为乘法，进行约分，结果化为最简分式或整式即可．
本题考查了分式混合运算，熟练掌握运算步骤是解题的关键．
 19.【答案】解：，，
．
在与中，
，
≌，
． 【解析】【分析】
先根据题意得出，再由定理可得出≌，由此可得出结论．
本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．
【解答】
解：见答案．  20.【答案】 【解析】解：接受问卷调查的学生共有：人，
故答案为：；
扇形统计图中“”等级的扇形的圆心角的度数为：，
“”层级的人数为：人，
补全条形统计图如下：

估计“”层级的学生约有：人；
画树状图得：

共有种等可能的结果，恰好抽到个男生和个女生的有种情况，
恰好抽到个男生和个女生的概率为，
由“”等级的人数除以所占百分比即可；
由乘以“”等级的人数所占的比例得出扇形统计图中“”等级的扇形的圆心角的度数，再求出”层级的人数，补全条形统计图即可；
由全校共有学生人数乘以“”层级的学生所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，恰好抽到个男生和个女生的有种情况，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图、扇形统计图等知识．
 21.【答案】解：将和代入
可得：
解得：

由题意可知：销售单价为：元，


当时，的最大值为，
销售单价定为每个元时，利润最大为元 【解析】根据图象将两点的坐标代入即可求出的解析式；
由于利润等于单价乘以销售量，所以求出许愿瓶的单价和销售量即可求出利润．
将中的的解析式进行配方即可求出最大利润．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出函数解析式，本题属于中等题型．
 22.【答案】解：作于点，设米，
在中，，
则，
在直角中，米，
在直角中，，则米．
，即．
解得：，
则米．
答：树高是米． 【解析】作于点，设米，在直角中利用三角函数用表示出的长，在直角中表示出的长，然后根据即可列方程求得的值，进而求得的长．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．
 23.【答案】解：一次函数的图象过点，
，
解得，
点，
又点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的关系式为，
由于方程组的解为，，
而点的坐标为，
点的坐标为；
过点，分别作轴、轴．
，，
∽，
，
点，即，，
，
即点的横坐标为，
当时，，
点，
设直线的解析式为，点点，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，即，
解得，
即，
，


． 【解析】由一次函数的图象过点，可确定点的坐标，进而确定反比例函数关系式，再利用方程组的解求出点坐标即可；
根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出点的坐标，利用进行计算即可．
本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数、反比例函数图象的交点坐标，掌握相似三角形的判定和性质，求出一次函数、反比例函数图象的交点坐标是正确解答的前提．
 24.【答案】证明：连接．
于点，
，

，
是的中点，
又是的中点，
是的中位线，
，
，
，
又是半径，
是圆的切线；
证明：连接，
，

，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
；
解：是直径，点在圆上，
，
，
∽，
，
，
又由的知：，
，
在中，． 【解析】说明是的中位线，利用中位线的性质，得到，从而得到是圆的切线；
通过证明∽，可得，可得结论；
通过证明∽，可得，从而得到然后求出的值．
本题是圆的综合题，考查了切线的判定、三角形的中位线定理、相似三角形的性质和判定等知识点．利用三角形相似，说明是解决本题的难点和关键．
 25.【答案】解：设，
将，代入中，
得：，
解得：，
抛物线的表达式为：，
点在轴上，
，
将代入中，得：，
解得：，不符合题意，舍去，
；
由题意知，点位于轴右侧，作轴交于点，
，
，
直线与轴交于点，
，
，
，
设直线的解析式为，
将，代入，得：，
解得：，
直线的解析式为，
设点，则，且，
，
，
，
当时，的值最大，最大值为，此时点的坐标为；
设直线的解析式为，将，代入，
得：，
解得：，
直线的解析式为，
设，
，，
，
，
，
以点、、、为顶点的四边形是菱形，
分两种情况：为边时或为对角线，
当为边时，如图或如图，
或，即或，
解得：或舍去或，
或或，
如图，当为对角线时，设的中点为，则，
四边形是菱形，
，，
，
，
解得：，
，
综上所述，点的坐标为或或或 【解析】运用待定系数法将点，的坐标代入求出抛物线解析式，再根据点在轴上，令，即可求出点的坐标；
由题意知，点位于轴右侧，作轴交于点，根据平行线截线段成比例可得，由于，即可将求的最大值转化为求的最大值，应用两点间距离公式即可；
设，用含的代数式表示出，，，再根据以点、、、为顶点的四边形是菱形分两种情况：以为边，或；以为对角线；分别进行讨论即可．
本题考查了二次函数综合题型，待定系数法，菱形性质，平行线截线段成比例，勾股定理等知识点，综合性较强有一定难度，熟练掌握待定系数法，二次函数图象和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想，方程思想和分类讨论思想是解题关键．