精品解析：湖南省长沙市雅礼中学高三下学期二模数学试题

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雅礼中学高三模拟考试（二）数学命题人：常君､唐炳乾､左辉霞､汤源 审题人：李云皇注意事项：1.本试卷分第I卷（选择题）和第I卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（    ）A  B. C. 或 D. 或2. 设，则在复平面内对应点位于（    ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 下列函数中，在R上为增函数的是（    ）A.  B.  C.  D. 4. 已知，则（    ）A.  B.  C.  D. 5. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位：）分别为，，，且，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/）分别为，，，且．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是A  B.  C.  D. 6. 已知，是两个具有线性相关的两个变量，其取值如下表：123454911其回归直线过点的一个充要条件是（    ）A.  B. C.  D. ，7. 已知函数的图象如图所示.则（    ）A. 0 B.  C.  D. 8. 函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则（    ）A. 是奇函数 B. 是偶函数C.  D. 二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知圆，则下列曲线一定与圆有公共点的是（    ）A. 过原点的任意直线B. C. D. 以为圆心且半径超过3的圆10. 某市教育局为了解双减政策的落实情况，随机在本市内抽取了A，B两所初级中学，在每一所学校中各随机抽取了200名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：由直方图判断，以下说法正确的是（    ）A. 总体看，A校学生做作业平均时长小于B校学生做作业平均时长B. B校所有学生做作业时长都要大于A校学生做作业时长C. A校学生做作业时长中位数大于B校学生做作业的中位数D. B校学生做作业时长分布更接近正态分布11. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，抛物线的焦点为，延长与抛物线相交于点，则下列结论正确的是（    ）A. 抛物线的准线方程为 B. C. 的面积为 D. 12. 著名的“河内塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下､从小到大套着n个中心带孔的圆盘.将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，视为一次操作.设将n个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为，则（    ）A.  B. C.  D. 第II卷三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量，若，则__________.14. 将4名志愿者全部分配到3个核酸检测点，每个检测点至少分配1名志愿者，则不同的分配方案有__________种.15. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点，双曲线的渐近线上存在一点，使得，，，顺次连接构成平行四边形，则双曲线的离心率______.16. 已知菱形的各边长为.如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时.则三棱锥的体积为__________，是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点的轨迹的周长为__________.
 四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知公差不为零的等差数列中，，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.18. 设的内角、、的对边分别为、、，且．（1）求角的大小；（2）若边上的高为，求．19. 如图，在正方体中，点在线段上，，点为线段上的动点.（1）若平面，求的值；（2）当为中点时，求二面角的正切值.20. 某特种商品生产企业的甲､乙两个厂区共生产产品4a件，其中共有不合格产品a件，下图为全部产品中甲､乙两厂区生产产品数的分布图（图1），以及不合格产品中甲､乙两厂区生产产品数的分布图（图2）：
 （1）求甲､乙厂区各自生产产品的不合格率；（不合格率）（2）用不合格率估计抽到不合格产品的概率，（i）用分层抽样方法在两厂区生产的产品中抽取容量为4的样本，记为样本中不合格品的件数，求的分布列.（ii）用简单随机抽样方法在两厂区生产的产品中抽取容量为4的样本，记为样本中不合格品的件数.比较的大小，并说说你对这一大小关系实际含义的理解.21. 如图，已知椭圆，其左､右焦点分别为，过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限的点，且.
 （1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.22. 已知.（1）求的最大值；（2）求证：（i）存在，使得；（ii）当存在，使得时，有.