题型十一 综合探究题（复习讲义）-中考数学二轮复习讲练测（全国通用）

题型十一综合探究题（复习讲义）

【考点总结|典例分析】

一、命题内容及趋势：
(1)从数量角度反映变化规律的函数类题型：
(2)以直角坐标系为载体的几何类题型：

(3)以“几何变换”为主体的几何类题型：
(4)以“存在型探索性问题”为主体的综合探究题：
(5)以“动点问题”为主的综合探究题：
二、需要注意的问题及建义：
(1)在复习中要更多关注“几何变换”，强化对图形变换的理解。
加强对图形的旋转、平移、对称多种变换的研究，对不同层次的学生进行分层拔高，使每一个学生都有较大的提升空间。
(2)让学生参与数学思维活动，经历问题解决的整个过程。
复习中应多引导学生运用“运动的观点”来分析图形，要多引导学生学会阅读、审题、获取信息，养成多角度、多侧面分析问题的习惯，逐步提高学生的数学能力。

(3)要特别重视“函数图像变换型”问题教学的研究。
通过开展“函数图像变化”的专题教学，树立函数图像间相互转换的思维，尽量减少学生对函数“数形”认知的欠缺，比如，平时渗透抛物线的轴对称、旋转等知识点。当某个函数图像经过变换出现多个函数图像时，要引导学生从图形间的相互联系中寻找切入点，排除识图的干扰，对图像所蕴含的信息进行横向挖掘和纵向突破，将“有效探索”进行到底。此类试题考查的思路是从知识转向能力，从传统应用转向信息构建，这就提醒我们课堂上重要的不是讲解，而是点拨、引导、提升，一定要从重视知识积累转向问题探究的过程，关注学生自主探究能力的培养。
(4)突出数学核心概念、思想、方法的考查。
中学数学核心概念、思想方法是数学知识的精髓，也势必会成为考查综合应用能力的重要载体，这包括方程、不等式、函数，以及基本几何图形的性质、图形的变化、图形与坐标知识之间横纵向的联系，也包括中学数学中常用的重要数学思想。如：函数与方程思想、数形结合、分类讨论思想很化归与转换思想。而数学基本方法是数学的具体表现，具有模式化和可操作性，常用的基本方法有配方法、换元法、待定系数法、归纳法和割补法。
 

1.(2022·重庆市A卷)如图，在锐角中，，点，分别是边，上一动点，连接交直线于点．
如图，若，且，，求的度数；
如图，若，且，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，点是的中点，连接在点，运动过程中，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
若，且，将沿直线翻折至所在平面内得到，点是的中点，点是线段上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接在点，运动过程中，当线段取得最小值，且时，请直接写出的值．
 

2.(2022·广东省深圳市)发现：如图所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：≌；
探究：如图，在矩形中，为边上一点，且，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长．
拓展：如图，在菱形中，，为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交于点，求的长．
 

3.(2022·重庆市B卷)在中，，，为的中点，，分别为，上任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．
如图，点与点重合，且的延长线过点，若点为的中点，连接，求的长；
如图，的延长线交于点，点在上，且，求证：；
如图，为线段上一动点，为的中点，连接，为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段的长度的最小值．
 

4.(2021·四川省达州市)某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：

【观察与猜想】
如图，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，，则的值为______ ；
如图，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，且，则的值为______ ；
【类比探究】
如图，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：；

【拓展延伸】
如图，在中，，，，将沿翻折，点落在点处得，点，分别在边，上，连接，，．
求的值；
连接，若，直接写出的长度．

5.(2020·湖北省宜昌市)菱形的对角线，相交于点，，点是射线上一个动点，过点作交射线于点，以，为邻边作矩形．

如图，当点在线段上时，求证：；
若延长与边交于点，将沿直线翻折得到．
如图，当点在上时，求证：四边形为正方形；
如图，当为定值时，设，为大于的常数，当且仅当时，点在矩形的外部，求的值．

6.（2021·山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在中，，垂足为，为的中点，连接，，试猜想与的数量关系，并加以证明；

独立思考：（1）请解答老师提出的问题；

实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将沿着（为的中点）所在直线折叠，如图②，点的对应点为，连接并延长交于点，请判断与的数量关系，并加以证明；

问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将沿过点的直线折叠，如图③，点A的对应点为，使于点，折痕交于点，连接，交于点．该小组提出一个问题：若此的面积为20，边长，，求图中阴影部分（四边形）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．

7.（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦（分别是的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”．

（1）如图，点的横､纵坐标都是整数．在线段中，的以点为中心的“关联线段”是______________；

（2）是边长为1的等边三角形，点，其中．若是的以点为中心的“关联线段”，求的值；

（3）在中，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长．

8.（2021·湖南中考真题）如图，在中，点为斜边上一动点，将沿直线折叠，使得点的对应点为，连接，，，．

（1）如图①，若，证明：．

（2）如图②，若，，求的值．

（3）如图③，若，是否存在点，使得．若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．

9.（2021·浙江中考真题）（推理）

如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G．

（1）求证：．

（运用）

（2）如图2，在（推理）条件下，延长BF交AD于点H．若，，求线段DE的长．

（拓展）

（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若，，求的值（用含k的代数式表示）．