题型七 函数的基本性质 类型一 一次函数（专题训练）-中考数学二轮复习讲练测（全国通用）

题型七 函数的基本性质

类型一 一次函数（专题训练）

1.一次函数的值随的增大而增大，则点所在象限为（  ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】根据一次函数的性质求出m的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断P点所处的象限即可．

【详解】∵一次函数的值随的增大而增大，

∴解得：∴在第二象限故选：B

【点睛】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．

2.已知点，在一次函数的图像上，则与的大小关系是（    ）

A． B． C． D．无法确定

【答案】C

【分析】

根据一次函数的增减性加以判断即可．

【详解】

解：在一次函数y=2x+1中，

∵k=2>0，

∴y随x的增大而增大．

∵2<，

∴．

∴m<n．

故选：C

【点睛】

本题考查了一次函数的性质、实数的大小比较等知识点，熟知一次函数的性质是解题的关键

3.已知一次函数y＝kx+3的图象经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（　　）

A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（2，3） D．（3，4）

【分析】由点A的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征求出k值，结合y随x的增大而减小即可确定结论．

【解析】A、当点A的坐标为（﹣1，2）时，﹣k+3＝3，

解得：k＝1＞0，

∴y随x的增大而增大，选项A不符合题意；

B、当点A的坐标为（1，﹣2）时，k+3＝﹣2，

解得：k＝﹣5＜0，

∴y随x的增大而减小，选项B符合题意；

C、当点A的坐标为（2，3）时，2k+3＝3，

解得：k＝0，选项C不符合题意；

D、当点A的坐标为（3，4）时，3k+3＝4，

解得：k0，

∴y随x的增大而增大，选项D不符合题意．

故选：B．

4.在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】令x=0，求出函数值，即可求解．

【详解】解：令x=0， ，

∴一次函数的图象与轴的交点的坐标为．故选：D

【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．

5.在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向左平移3个单位后，得到个正比例函数的图象，则m的值为（   ）

A．-5 B．5 C．-6 D．6

【答案】A

【分析】

根据函数图像平移的性质求出平移以后的解析式即可求得m的值．

【详解】

解：将一次函数的图象向左平移3个单位后

得到的解析式为：，

化简得：，

∵平移后得到的是正比例函数的图像，

∴，

解得：，

故选：A．

【点睛】

本题主要考查一次函数图像的性质，根据“左加右减，上加下减”求出平移后的函数解析式是解决本题的关键．

6.已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线yx+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（　　）

A．y＝x+2 B．yx+2 C．y＝4x+2 D．yx+2

【分析】求得A、B的坐标，然后分别求得各个直线与x的交点，进行比较即可得出结论．

【解析】∵直线y＝2x+2和直线yx+2分别交x轴于点A和点B．

∴A（﹣1，0），B（﹣3，0）

A、y＝x+2与x轴的交点为（﹣2，0）；故直线y＝x+2与x轴的交点在线段AB上；

B、yx+2与x轴的交点为（，0）；故直线yx+2与x轴的交点在线段AB上；

C、y＝4x+2与x轴的交点为（，0）；故直线y＝4x+2与x轴的交点不在线段AB上；

D、yx+2与x轴的交点为（，0）；故直线yx+2与x轴的交点在线段AB上；

故选：C．

7.在直角坐标系中，已知点，点是直线上的两点，则，的大小关系是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】因为直线，所以随着自变量的增大，函数值会减小，根据这点即可得到问题解答．

【详解】解：∵因为直线，∴y随着x的增大而减小，

∵32>，∴∴m<n，故选：A．

【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是正确判断一次函数的增减性并灵活运用．

8.如图，已知直线与坐标轴分别交于、两点，那么过原点且将的面积平分的直线的解析式为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据已知解析式求出点A、B的坐标，根据过原点且将的面积平分列式计算即可；

【详解】

如图所示，

当时，，

解得：，

∴，

当时，，

∴，

∵C在直线AB上，

设，

∴，

，

∵且将的面积平分，

∴，

∴，

∴，

解得，

∴，

设直线的解析式为，

则，

∴；

故答案选D．

【点睛】

本题主要考查了一次函数的应用，准确计算是解题的关键．

9.如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．

【详解】

解：∵一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，

令x=0，则y=，令y=0，则x=，

则A（，0），B（0，），

则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，

∴AB==2，

过点C作CD⊥AB，垂足为D，

∵∠CAD=∠OAB=45°，

∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，

∴AC==x，

∵旋转，

∴∠ABC=30°，

∴BC=2CD=2x，

∴BD==x，

又BD=AB+AD=2+x，

∴2+x=x，

解得：x=+1，

∴AC=x=（+1）=，

故选A．

【点睛】

本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．

10.已知为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（　　 ）．

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】D

【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的条件，可以判断是否正确，从而可以解答本题．

【详解】解：∵直线y=−2x+3

∴y随x增大而减小，当y=0时，x=1.5

∵(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)为直线y=−2x+3上的三个点，且x1<x2<x3

∴若x1x2>0，则x1，x2同号，但不能确定y1y3的正负，故选项A不符合题意；

若x1x3<0，则x1，x3异号，但不能确定y1y2的正负，故选项B不符合题意；

若x2x3>0，则x2，x3同号，但不能确定y1y3的正负，故选项C不符合题意；

若x2x3<0，则x2，x3异号，则x1，x2同时为负，故y1，y2同时为正，故y1y2>0，故选项D符合题意．

故选：D．

【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．

11.一次函数的值随值的增大而减少，则常数的取值范围是______．

【答案】

【分析】

由题意，先根据一次函数的性质得出关于的不等式，再解不等式即可．

【详解】

解：一次函数的值随值的增大而减少，

，

解得：，

故答案是：．

【点睛】

本题考查了一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是：熟知一次函数的增减性．

12.若，且，则的取值范围为______．

【答案】

【分析】

根据可得y＝﹣2x+1，k＝﹣2＜0进而得出，当y＝0时，x取得最大值，当y＝1时，x取得最小值，将y＝0和y＝1代入解析式，可得答案．

【详解】

解：根据可得y＝﹣2x+1，

∴k＝﹣2＜0

∵，

∴当y＝0时，x取得最大值，且最大值为，

当y＝1时，x取得最小值，且最小值为0，

∴

故答案为：．

【点睛】

此题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．

13.当自变量时，函数（k为常数）的最小值为，则满足条件的k的值为_________．

【答案】

【分析】

分时，时，时三种情况讨论，即可求解．

【详解】

解：①若时，则当时，有，故，

故当时，有最小值，此时函数，

由题意，，

解得：，满足，符合题意；

②若，则当时，，

故当时，有最小值，此时函数，

由题意，，

解得：，不满足，不符合题意；

③若时，则当时，有，故，

故当时，有最小值，此时函数，

由题意，，方程无解，此情况不存在，

综上，满足条件的k的值为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了一次函数的性质，绝对值的性质，分类讨论是解题的关键．

14.如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数．下面表格中，是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值．

根据以上信息，解答下列问题：

(1)当输入的x值为1时，输出的y值为__________；

(2)求k，b的值；

(3)当输出的y值为0时，求输入的x值．

【答案】(1)8(2)(3)

【分析】对于（1），将x=1代入y=8x，求出答案即可；

对于（2），将（-2，2），（0，6）代入y=kx+b得二元一次方程组，解方程组得出答案；

对于（3），将y=0分别代入两个关系式，再求解判断即可．

(1)当x=1时，y=8×1=8；故答案为：8；

(2)将（-2，2），（0，6）代入，得，解得；

(3)令，由，得，∴．（舍去）

由，得，∴．

∴输出的y值为0时，输入的x值为．

【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，理解“函数求值机”的计算过程是解题的关键．

15.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）．

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．

【分析】

（1）先根据直线平移时k的值不变得出k＝1，再将点A（1，2）代入y＝x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；

（2）根据点（1，2）结合图象即可求得．

【解析】

（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝x平移得到，

∴k＝1，

将点（1，2）代入y＝x+b，

得1+b＝2，解得b＝1，

∴一次函数的解析式为y＝x+1；

（2）把点（1，2）代入y＝mx求得m＝2，

∵当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝x+1的值，

∴m≥2．

16.表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线1，如图．而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l'．

（1）求直线1的解析式；

（2）请在图上画出直线l'（不要求列表计算），并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长；

（3）设直线y＝a与直线1，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．

【分析】

（1）根据待定系数法求得即可；

（2）画出直线l，求得两直线的交点，根据勾股定理即可求得直线l'被直线l和y轴所截线段的长；

（3）求得两条直线与直线y＝a的交点横坐标，分三种情况讨论求得即可．

【解析】

（1）∵直线l′：y＝bx+k中，当x＝﹣1时，y＝﹣2；当x＝0时，y＝1，

∴，解得，

∴直线1′的解析式为y＝3x+1；

∴直线1的解析式为y＝x+3；

（2）如图，解得，

∴两直线的交点为（1，4），

∵直线1′：y＝3x+1与y轴的交点为（0，1），

∴直线l'被直线l和y轴所截线段的长为：；

（3）把y＝a代入y＝3x+1得，a＝3x+1，解得x；

把y＝a代入y＝x+3得，a＝x+3，解得x＝a﹣3；

当a﹣30时，a，

当（a﹣3+0）时，a＝7，

当（0）＝a﹣3时，a，

∴直线y＝a与直线1，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则a的值为或7或．

17.如图，在平面直角坐标系中，直线yx﹣1与直线y＝﹣2x+2相交于点P，并分别与x轴相交于点A、B．

（1）求交点P的坐标；

（2）求△PAB的面积；

（3）请把图象中直线y＝﹣2x+2在直线yx﹣1上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x的取值范围．

【分析】

（1）解析式联立，解方程组即可求得交点P的坐标；

（2）求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；

（3）根据图象求得即可．

【解析】

（1）由解得，

∴P（2，﹣2）；

（2）直线yx﹣1与直线y＝﹣2x+2中，令y＝0，则x﹣1＝0与﹣2x+2＝0，

解得x＝﹣2与x＝1，

∴A（﹣2，0），B（1，0），

∴AB＝3，

∴S△PAB3；

（3）如图所示：

自变量x的取值范围是x＜2．

18.已知一次函数（k为常数，k≠0）和．

（1）当k=﹣2时，若>，求x的取值范围；

（2）当x<1时，>．结合图象，直接写出k的取值范围．

【解析】

（1）当时，，

根据题意，得，解得．

（2）当x=1时，y=x−3=−2，

把（1，−2）代入y1=kx+2得k+2=−2，解得k=−4，

当−4≤k<0时，y1>y2；

当0<k≤1时，y1>y2．

∴k的取值范围是：且．

19.如图，已知过点B（1，0）的直线l1与直线l2：y=2x+4相交于点P（-1，a）．

（1）求直线l1的解析式；

（2）求四边形PAOC的面积．

【解析】

（1）∵点P（-1，a）在直线l2：y=2x+4上，

∴2×（-1）+4=a，即a=2，

则P的坐标为（-1，2），

设直线l1的解析式为：y=kx+b（k≠0），

那么，

解得．

∴l1的解析式为：y=-x+1．

（2）∵直线l1与y轴相交于点C，

∴C的坐标为（0，1），

又∵直线l2与x轴相交于点A，

∴A点的坐标为（-2，0），则AB=3，

而S四边形PAOC=S△PAB-S△BOC，

∴S四边形PAOC=．

20.在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+1（k≠0）与直线x=k，直线y=-k分别交于点A，B，直线x=k与直线y=-k交于点C．

（1）求直线l与y轴的交点坐标；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域（不含边界）为W．

①当k=2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；

②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．

【解析】

（1）令x=0，y=1，

∴直线l与y轴的交点坐标（0，1）．

（2）由题意，A（k，k2+1），B（，-k），C（k，-k），

①当k=2时，A（2，5），B（-，-2），C（2，-2），

在W区域内有6个整数点：（0，0），（0，-1），（1，0），（1，-1），（1，1），（1，2）；

②直线AB的解析式为y=kx+1，

当x=k+1时，y=-k+1，则有k2+2k=0，

∴k=-2，

当0>k≥-1时，W内没有整数点，

∴当0>k≥-1或k=-2时W内没有整数点．