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2023年辽宁省丹东市中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2023年辽宁省丹东市中考数学一模试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年辽宁省丹东市中考数学一模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −6的相反数是( )
A. −6 B. −16 C. 6 D. 16
2. 下列运算正确的是( )
A. a3⋅a4=a12 B. (a3)2=a5 C. (a2b3)2=a4b5 D. a7÷a3=a4
3. 右图是由几个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 某学校准备从甲，乙，丙，丁四名同学中选择一名同学代表学校参加市里举办的“古诗词大赛”，四名同学平时成绩的平均数(单位：分)及方差如下：x甲−=94，s甲2=0.7；x乙−=96，s乙2=1.5；x丙−=93，s丙2=1.1；x丁−=96，s丁2=0.7，如果要选出一个平时成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择的同学是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
5. 函数y= x−2x−3的自变量x的取值范围是( )
A. x≠3 B. x>0且x≠3 C. x≥0且x≠3 D. x>2且x≠3
6. 将含45°角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若∠2=60°，则∠1的度数是( )
A. 60°
B. 70°
C. 75°
D. 80°
7. 在某次体育测试中，九年级一班女同学的一分钟仰卧起坐成绩(单位：个)如下表：
成绩
45
46
47
48
49
50
人数
1
2
4
2
5
1
这此测试成绩的中位数和众数分别为( )
A. 47，49 B. 47.5，49 C. 48，49 D. 48，50
8. 如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=7，以B为圆心，以小于AB长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于12EF长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AD于点G，连接CG，则△CDG的周长为( )
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
9. 已知菱形ABCD边长为6，对角线AC和BD交于点O，以O为圆心，以OB长为半径的圆恰好经过菱形各边中点E，F，G，H，则阴影部分的面积为( )
A. 6π−9 3
B. 6π−8 3
C. 3π−92 3
D. 3π−4 3
10. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点C，且满足a+b+c=1，结合图象分析下列结论：①abc>0；②方程ax2+bx+c=b2a有两个不相等的实数根；③点E(52,1)在抛物线上，则7a+2b=0；④一次函数y=kx+m(k≠0)满足k+m=1，则一次函数的图象与抛物线总有公共点.其中正确的结论有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 火星围绕太阳公转的轨道半径长约为230000000km，数据230000000用科学记数法表示为______ ．
12. 分解因式：3x3−6x2+3x= ______ ．
13. 若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有实数根，则a的取值范围是______ ．
14. 在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为23，则黄球的个数为______．
15. 不等式组x+3<8,3x−1≥8的解集为______ ．
16. 某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示.当气体体积为1m3时，气压是______ kPa．
17. 如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为：A(−1,0)，B(3,0)，C(0, 3)，将△ABC绕顶点C逆时针旋转一个角度，使点A恰好落在x轴的A′点处，B点的对应点为B′点，则点B′的坐标为______ ．
18. 如图，已知在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，点M，N分别在边CD和AB上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A的对应点A′始终落在边BC上，点D的对应点为点D′，连接AA′，BD，则下列结论正确的有______ (填序号)．
①若点A′是BC边的中点，则tan∠AA′N=25；
②折痕MN长度的取值范围为4≤MN≤4 415；
③当A′D′//BD时，点M是边CD的一个四等分点；
④连接EN，当A′C= 10−1时，△A′EN是等腰直角三角形．
三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：3x+9x2+6x+9−2x−6x2−9÷2x+3，其中x=2sin30°−3．
20. (本小题14.0分)
某校团委要组织班级歌咏比赛，为了将一首喜欢人数最多的歌曲作为每班必唱歌曲，团委提供了代号为A，B，C，D四首备选歌曲让学生选择(每个学生只选择一首)，经过抽样调查后，将得到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图1，图2提供的信息，解答下列问题：
(1)在这次抽样调查中，抽取的人数为______ 人，图1中的m= ______ ；
(2)求出图1中D所在扇形的圆心角度数，并补全图2中的条形统计图；
(3)已知该校共有480名学生，据抽样调查结果，估计全校选择歌曲代号为D的学生人数．
(4)现从甲，乙，丙，丁四名学生中，任选两人担任“歌咏比赛宣传员”，求甲被选到的概率．
21. (本小题12.0分)
八年(1)班学生周末乘汽车到抗美援朝纪念馆参观，纪念馆距离学校60km.一部分学生乘慢车先行，出发0.5h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达纪念馆.已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．
22. (本小题12.0分)
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，点D是BC的中点，过点D作DE⊥AC交AC延长线于点E，DE所在直线交AB的延长线于点F，连接AD，CD．
(1)请判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AC⋅BF=12，求CD的长．
23. (本小题12.0分)
如图，大楼AB高30m，远处有另一大楼CD，某测绘小组在B处测得D点的仰角为47.5°，在A处测得D点的仰角为26.1°，求大楼CD的高及两楼之间的距离BC．
(参考数据：sin47.5°≈0.74，cos47.5°≈0.68，tan47.5°≈1.09，sin26.1°≈0.44，cos26.1°≈0.90，tan26.1°≈0.49)
24. (本小题12.0分)
草莓是深受大家喜爱的一种水果，某超市每天调运一批成本价为每千克20元的草莓，以不低于成本价且不超过每千克30元的价格销售，每天销售草莓的数量y(千克)与每千克的售价x(元)之间的函数关系如图所示：
(1)请直接写出y与x的函数关系式；
(2)该超市将草莓的每千克售价定为多少元时，每天销售草莓的利润可达到500元；
(3)当草莓的每千克售价定为多少元时，该超市每天获利最大？最大利润是多少元？
25. (本小题12.0分)
已知正方形ABCD和等腰直角三角形AEF，∠EAF=90°，连接BD，BE，BF，DE，点G，H，I分别为线段BD，BF，DE的中点，连接GH，GI，HI．
(1)如图1，当点B，A，F在一条直线上时，请直接写出线段GH与GI的关系；
(2)如图2，将△AEF绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)，判断线段GH与GI的关系，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，若AB=4，AE=3，△ADE，△ABF，△GHI的面积分别为S1，S2，S．
①请直接写出S1与S2大小关系；
②直接写出S−S1+S24的值．
26. (本小题14.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(−3,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点，过点P作直线PD⊥x轴，垂足为D，直线PD交直线BC于点E，过点P作直线PF⊥y轴，垂足为F，直线PF与直线BC的交点为G，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若−3
1.【答案】C
【解析】解：−6的相反数是6，
故选：C．
利用相反数的定义判断即可．
本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】D
【解析】解：A.a3⋅a4=a7，故选项A不正确，不符合题意；
B. (a3)2=a6，故选项B不正确，不符合题意；
C. (a2b3)2=a4b6，故选项C不正确，不符合题意；
D.a7÷a3=a4，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法法则逐一判断正误．
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法法则，掌握相应的运算法则准确计算是关键．
3.【答案】C
【解析】解：从上面向下看是4列，第1，2，3列有1个小正方形，第4列有2个小正方形，如图所示：
故选：C．
根据从上面向下看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单小立方体堆砌立体图形的三视图，解题时注意从上面向下看，得到的图形是俯视图．培养空间观念是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：由图表可知，乙、丁的平均成绩较好，应从乙、丁中选，
由于s乙2>s丁2，
故乙的方差大，波动大，
则选一个成绩较好且状态稳定的运动员去参赛，应选丁．
故选：D．
先找出乙、丁的平均成绩好且相等，再比较它的方差即可得出答案．
本题考查了方差，掌握平均数和方差的定义是解题的关键，方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意可得：x≥0x−3≠0，
解得：x≥0且x≠3
故选：C．
根据二次根式和分式有意义的条件，列出不等式组求解即可．
本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式有意义的添加以及分式有意义的条件是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：如图所示，
∵AB//FG，
∴∠2=∠ACD=60°，
∵∠D=45°，∠E=90°，
∴∠DCE=45°，
∴∠BCE=180°−∠ACD−∠DCE=75°，
∵AB//FG，
∴∠1=∠BCE=75°．
故选：C．
根据平行线的性质和三角板的性质求解即可．
本题考查了平行线的基本性质，本题的解题关键是找出角度的关系即可得出答案．
7.【答案】C
【解析】解：49出现的次数最多，出现了5次，所以众数为49，
第8个数是48，所以中位数为48，
故选C．
根据众数与中位数的定义，众数是出现次数最多的一个，中位数是第8个数解答即可．
本题主要考查众数与中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
8.【答案】C
【解析】解：由题意可得，BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠CBG，
∵矩形ABCD，AB=4，BC=7，
∴CD=AB=4，AD//BC，AD=BC=7，
∴∠AGB=∠CBG，
∴∠ABG=∠AGB，
∴AB=AG=4，
∴DG=AD−AG=3，
∵∠D=90°，
∴CG= DG2+CD2=5，
∴△CDG的周长为CD+DG+CG=4+3+5=12．
故选：C．
首先根据题意得到BG平分∠ABC，然后利用矩形的性质和平行线的性质得到DG=AD−AG=3，最后利用勾股定理求解即可．
此题考查了矩形的性质，尺规作角平分线，勾股定理等知识，解题的关键是得到BG平分∠ABC．
9.【答案】A
【解析】解：如图所示，连接OH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠AOD=90°，
∵以O为圆心，以OB长为半径的圆恰好经过菱形各边中点E，F，G，H，
∴OD=OH=HD=12AD=3，
∴△ODH是等边三角形，
∴∠HOD=60°，
∵菱形和圆都是轴对称图形，
∴四个位置的阴影面积都相等，
∴阴影部分的面积4×(S扇形ODH−S△ODH)=4×(60°×π×32360∘− 34×32)=6π−9 3．
故选：A．
连接OH，首先根据题意证明出△ODH是等边三角形，然后利用阴影部分的面积=4×(S扇形ODH−S△ODH)代入求解即可．
此题考查了菱形的性质，求阴影面积，直角三角形的性质等知识，解题的关键是证明出△ODH是等边三角形．
10.【答案】D
【解析】解：∵图象开口向下，
∴a<0，
∵对称轴为x=−b2a>0，
∴b>0，
∵图象与y轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，故①正确；
∵对称轴为x=−b2a>0，
∴b2a<0，
由图象可得，当y=b2a时，有两个对应的x的值，
∴方程ax2+bx+c=b2a有两个不相等的实数根，故②正确；
∵满足a+b+c=1，
∴当x=1时，y=a+b+c=1，
∴抛物线经过点(1,1)，
∵点E(52,1)在抛物线上，
∴抛物线的对称轴为1+522=74，
∴−b2a=74，整理得7a+2b=0，故③正确；
∵一次函数y=kx+m(k≠0)满足k+m=1，
∴当x=1时，y=k+m=1，
∴一次函数经过点(1,1)，
∵抛物线经过点(1,1)，
∴一次函数与抛物线有公共点(1,1)，故④正确．
综上所述，正确的结论有①②③④，共4个．
故选：D．
由抛物线开口方向可判断a的符号，由抛物线对称轴可得a与b的数量关系，由抛物线与y轴交点可判断c的符号，从而判断①，由y=b2a时的x的值可判断②，根据二次函数的对称性求出对称轴即可判断③，由直线和抛物线都经过点(1,1)可判断④．
本题主要考查函数图象的性质，函数图象与参数的关系，通过函数图象解不等式，函数图象与图象的关联，能够通过图象的性质列不等式是解题关键．
11.【答案】2.3×108
【解析】解：230000000=2.3×108．
故答案为：2.3×108．
根据科学记数法的表示方法求解即可．
本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】3x(x−1)2
【解析】解：3x3−6x2+3x
=3x(x2−2x+1)
=3x(x−1)2；
故答案为：3x(x−1)2．
先提公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解，即可得到答案．
本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解．
13.【答案】a≤1
【解析】解：因为关于x的一元二次方程有实根，
所以△=b2−4ac=4−4a≥0，
解之得a≤1．
故答案为a≤1．
在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：
(1)二次项系数不为零；
(2)在有实数根下必须满足△=b2−4ac≥0．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式．当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
14.【答案】4
【解析】
【分析】
此题主要考查了概率公式的应用，熟练利用概率公式是解题关键．根据白球个数除以小球总数进而得出得到白球的概率，进而得出答案．
【解答】
解：∵在一个不透明的盒子中装有8个白球，从中随机摸出一个球，它是白球的概率为23，
设黄球有x个，根据题意得出：
∴88+x=23，
解得：x=4．
故答案为4．
15.【答案】3≤x<5
【解析】解：x+3<8①3x−1≥8②，
由不等式①可得x<5，
由不等式②可得x≥3，
∴不等式组解集为：3≤x<5．
故答案为：3≤x<5．
分别解两个不等式，得到解集，然后取解集的公共部分即可．
本题考查了不等式组的解集，掌握分别解出两个不等式的解集，然后取解集的公共部分是关键．
16.【答案】96
【解析】解：设pkv，
由题意知120=k0.8，
所以k=96，
故p=96v；
当v=1m3时，p=961=96(kPa)；
故答案为：96．
设出反比例函数解析式，把A坐标代入可得函数解析式，把v=1代入得到的函数解析式，可得p．
考查反比例函数的应用；应熟练掌握符合反比例函数解析式的数值的意义．
17.【答案】(3,2 3)
【解析】解：如图所示，作B′D⊥y轴交y轴于点D，
∵A(−1,0)，C(0, 3)，
∴AC= AO2+CO2=2，
∴AC=2AO，
∵∠AOC=90°，
∴∠ACO=30°，∠A=60°，
∵将△ABC绕顶点C逆时针旋转一个角度，使点A恰好落在x轴的A′点处，
∴AC=A′C，
∴△AA′C是等边三角形，
∴∠ACA′=60°，
∴∠A′CO=30°，
∵B(3,0)，C(0, 3)，
∴BC= OC^2+OB2，
∴BC=2OC，∠COB=90°
∴∠B=30°，∠OCB=60°，
∴∠ACB=90°，
∴∠A′CB′=∠ACB=90°，
∴∠DCB′=60°，
∵将△ABC绕顶点C逆时针旋转一个角度，使点A恰好落在x轴的A′点处，B点的对应点为B′点，
∴B′C=BC=2 3，
∵B′D⊥y轴，
∴CD=12B′C= 3，
∴B′D= B′C2−CD2=3，
∴OD=OC+CD=2 3，
∴点B′的坐标为(3,2 3)．
故答案为：(3,2 3)．
作B′D⊥y轴交y轴于点D，首先根据题意得到∠ACO=30°，∠A=60°，然后利用旋转的性质得到△AA′C是等边三角形，得到∠DCB′=60°，然后利用30°角直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
此题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
18.【答案】①②④
【解析】解：∵点A′是BC边的中点，BC=4，矩形ABCD，
∴A′B=A′C=2，∠ABC=90°，
∵AN=A′N，
∴∠AA′N=∠A′AN，
∴tan∠AA′N=tan∠A′AN=A′BAB=25，故①符合题意；
∵沿着MN折叠矩形ABCD，使点A的对应点A′始终落在边BC上，
∴当A′与B重合时，折痕MN⊥AB，此时折痕最短，且MN=BC=4，
当A′与C重合时，折痕MN最长，如图，连接AC，
由勾股定理可得：AC= 52+42= 41，
由折叠的性质可得：∠AON=90°，∠ANO=∠CNO，AO=CO= 412，
由矩形的性质可得：AB//CD，
∴∠CMN=∠ANM，
∴∠CMN=∠CNM，
∴CM=CN，
∴MO=NO，
∴tan∠CAB=45=ONAO=ON 412，
∴ON=2 415，
∴MN=4 415，
∴4≤MN≤4 415；故②符合题意；
如图，连接AM，A′M，
∵矩形ABCD，AB=5，BC=4，
∴∠ADC=∠C=90°，CD=AB=5，AD=BC=4，
∵A′D′//BD，
∴△CA′E∽△CBD，
∴A′CBC=CECD，即A′CCE=BCCD=45，
设A′C=4k，则CE=5k，A′E= 41k，
设DM=x(0≤x≤5)，则CM=5−x，
由对折可得：AM=A′M，DM=D′M=x，∠ADC=∠D′=∠C=90°，
∴D′E=4− 41k，
由AM2=DM2+AD2，A′M2=CM2+A′C2，
∴x2+42=(5−x)2+(4k)2，
∴16k2−10x+9=0，
∵∠D′=∠C=90°，∠D′EM=∠CEA′，
∴△D′EM∽△CEA′，
∴D′ECE=D′MA′C，
∴4− 41k5k=x4k，
∴k=16−5x4 41，
∴16×(16−5x4 41)2−10x+9=0，
∴5x2−114x+125=0，
∴x1=57+8 415>5(舍去)，x2=57−8 415，
∴DM=57−8 415≠14CD，故③不符合题意；
由折叠可得：A′N=AN，∠D′A′N=∠DAN=90°，
设BN=m(m>0)，AN=A′N=5−m，
∵A′C= 10−1，BC=4，
∴A′B=5− 10，
∴m2+(5− 10)2=(5−m)2，
解得：m= 10−1，
∴BN=A′C= 10−1，
∵∠ABC=∠C=90°，∠EA′N=90°，
∴∠A′EC+∠CA′E=90°=∠NA′B+∠EA′C，
∴∠A′EC=∠NA′B，
∴△NA′B≌△A′EC，
∴A′N=A′E，
∴△A′EN是等腰直角三角形，故④符合题意．
故答案为：①②④．
证明A′B=A′C=2，∠ABC=90°，∠AA′N=∠A′AN，可得tan∠AA′N=tan∠A′AN=A′BAB=25，故①符合题意；当A′与B重合时，折痕MN⊥AB，此时折痕最短，且MN=BC=4，当A′与C重合时，折痕MN最长，如图，连接AC，由矩形的性质可得：AB//CD，证明MO=NO，可得ON=2 415，可得4≤MN≤4 415；故②符合题意；如图，连接AM，A′M，证明△CA′E∽△CBD，可得A′CCE=BCCD=45，设A′C=4k，则CE=5k，A′E= 41k，设DM=x(0≤x≤5)，则CM=5−x，由AM2=DM2+AD2，A′M2=CM2+A′C2，可得x2+42=(5−x)2+(4k)2，则16k2−10x+9=0，证明△D′EM∽△CEA′，可得4− 41k5k=x4k，即k=16−5x4 41，则16×(16−5x4 41)2−10x+9=0，解方程可得DM=57−8 415≠14CD，故③不符合题意；由折叠可得：A′N=AN，∠D′A′N=∠DAN=90°，设BN=m(m>0)，AN=A′N=5−m，则m2+(5− 10)2=(5−m)2，BN=A′C= 10−1，证明△NA′B≌△A′EC，可得△A′EN是等腰直角三角形，故④符合题意．
本题考查的是矩形与折叠，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，本题难度大，综合程度高，是压轴题．
19.【答案】解：3x+9x2+6x+9−2x−6x2−9÷2x+3
=3(x+3)(x+3)2−2(x−3)(x−3)(x+3)×x+32
=3x+3−1
=3−x−3x+3
=−xx+3，
当x=2sin30°−3=2×12−3=1−3=−2时，
原式=−−2−2+3=2．
【解析】先根据分式的混合运算法则化简，然后根据特殊角的三角函数计算x，再代值计算即可．
本题考查了分式的化简求值和特殊角的三角函数，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】160 15
【解析】解：(1)由题意可得，本次抽样调查中，总人数为32÷20%=160人，
选择曲目代号为A的学生占抽样总数的百分比为：24÷160×100%=15%，
∴m=15，
故答案为：160，15；
(2)由题意可得，选择C的人数有：160−24−32−64=40(人)，
故补全的图如图所示，
360°×64160=144°，
∴D所在扇形的圆心角度数为144°；
(3)由题意可得，全校选择此必唱歌曲共有：480×64160=192人)，
答：估计全校选择曲目代号为D的学生有192名；
(4)
甲
乙
丙
丁
甲
(乙，甲)
(丙，甲)
(丁，甲)
乙
(甲，乙)
(丙，乙)
(丁，乙)
丙
(甲，丙)
(乙，丙)
(丁，丙)
丁
(甲，丁)
(乙，丁)
(丙，丁)
由表格可得，一共有12种等可能得情况，其中甲被选到的情况有6种，
∴甲被选到的概率为612=12．
(1)根据B的人数及其所占的百分比可以求得总人数，然后根据代号为A的学生人数和总人数即可求出占抽样总数的百分比；
(2)根据各项人数之和等于总数可以求得选择C的人数，从而可以将图2补充完整，根据选D的人数和总人数即可求出D所占的百分比，进而可求出所占的扇形的圆心角度数；
(3)根据D项目人数占总人数的比例可以估计全校选择曲目代号为D的人数；
(4)利用表格列举出所有的情况，再根据概率公式即可得出结果．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，列表法求概率，在解题时要注意灵活应用条形图列出式子得出结论是本题的关键．
21.【答案】解：设慢车的速度为x km/h，则快车的速度为1.5xkm/h，根据题意，得60x−601.5x=12，
解得：x=40．
经检验：x=40是原方程的解且符合题意；
答：慢车的速度为40km/h．
【解析】设慢车的速度为x km/h，则快车的速度为1.5x km/h，列方程即可．
本题主要考查了分式方程的应用，准确分析条件列方程是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：连接OD，如图所示，
∵点D是BC的中点，
∴CD=BD，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC//OD，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
(2)如图所示，连接BD，
∵∠ADB=∠ODF=90°，
∴∠ADO+∠ODB=∠BDF+∠ODB，
∴∠ADO=∠BDF，
∵∠OAD=∠ODA=∠CAD，
∴∠BDF=∠CAD，
又∵∠ACD+∠ABD=∠DBF+∠ABD=180°，
∴∠ACD=∠DBF，
∴△ACD∽△DBF，
∴ACBD=CDBF，
即AC⋅BF=BD⋅CD=CD2，
∴12=CD2，
解得CD=2 3．
【解析】(1)连接OD，根据等弧所对的圆周角相等可得∠CAD=∠BAD，从而利用角平分线和平行证明AC//OD，然后利用平行线的性质求出DE⊥OD，即可解答；
(2)连接BD，首先根据题意证明出△ACD∽△DBF，然后利用相似三角形的性质求解即可．
本题考查了圆周角定理，切线的判定与性质，相似三角形的性质和判定，熟练掌握圆周角定理，以及解直角三角形是解题的关键．
23.【答案】解：设BC=AE=x，
∴DC=BC⋅tan47.5°≈1.09x，
DE=AE⋅tan26.1°≈0.49x，
∵AB=CE=DC−DE=30，
∴1.09x−0.49x=30，
解得：x=50，
∴BC=50m．
∴CD=1.09×50=54.5(m)．
答：大楼CD高为54.5m，两楼之间的距离BC为50m．
【解析】根据题意得到矩形AECB，设BC为x，根据锐角三角函数列方程求解即可．
本题考查解直角三角形，解题关键是设未知数，然后根据锐角三角函数直接列方程求解．
24.【答案】解：(1)设函数解析式为：y=kx+b，代入(20,120)，(30,80)，
得120=20k+b80=30k+b，
解得k=−4b=200，
∴y与x的函数关系式为：y=−4x+200(20≤x≤30)．
(2)利润为：(x−20)(−4x+200)=500，
解得：x=25或45，
∵20≤x≤30，
∴x=25，
答：每千克售价定为25元时，每天销售草莓的利润可达到500元．
(3)设利润为W，
则W=(x−20)(−4x+200)，
令W=(x−20)(−4x+200)=0，
解得x1=20，x2=50，
∴对称轴为20+502=35，
∵20≤x≤30，
∴x=30时，Wmax=(30−20)(−4×30+200)=800(元)．
答：当草莓的每千克售价定为30元时，该超市每天获最大利润是800元．
【解析】(1)待定系数法直接求解即可；
(2)直接根据题意列方程求解即可；
(3)将利润用函数表达式表示出来，那么求利润的最大值即求二次函数的最大值．
此题考查二次函数的实际应用，根据题意列出表达式，将利润最大值转化为二次函数的最大值是解题关键．
25.【答案】解：(1)GH=GI且GH⊥GI，
如图，连接DF，延长BE交DF于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAC=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=AF，
在△BAE和△DAF中，
AB=AD∠BAE=∠DAFAE=AF，
∴△BAE≌△DAF(SAS)，
∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，
∵点G，H，I分别为线段BD，BF，DE的中点，
∴GI=12BE，GI//BE，
GH=12DF，GH//DF，
∴GI=GH；
∵∠ABE+∠BEA=90°，∠BEA=∠DEP，
∴∠ABE+∠DEP=90°，
∴∠ADF+∠DEP=90°，
∴BE⊥DF，
∴BE⊥GH，
∴GI⊥GH；
故GH=GI且GH⊥GI．
(2)GH=GI且GH⊥GI，
如图，连接DF交BE于Q，AD与BE交于M，
由(1)得：AE=AF，∠BAM=∠EAF=90°，
∴∠BAM+∠DAE=∠EAF+∠DAE，
∴∠BAE=∠DAF，
在△BAE和△DAF中，
AB=AD∠BAE=∠DAFAE=AF，
∴△BAE≌△DAF(SAS)，
∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，
∵点G，H，I分别为线段BD，BF，DE的中点，
∴GI=12BE，GI//BE，
GH=12DF，GH//DF，
∴GI=GH；
∵∠ABM+∠BMA=90°，∠BMA=∠DMQ，
∴∠ABM+∠DMQ=90°，
∴∠ADF+∠DMQ=90°，
∴BE⊥DF，
∴BE⊥GH，
∴GI⊥GH；
故GH=GI且GH⊥GI．
(3)①如图，过F作FO⊥BA，交BA的延长线于O，过E作EN⊥AD，
∴∠ANE=∠OAF=90°，
∴∠FAO+∠OAE=90°，∠EAN+∠OAE=90°，
∴∠FAO=∠EAN，
在△FAO和△EAN中，
∠ANE=∠OAF∠FAO=∠EANAF=AE，
∴△FAO≌△EAN(AAS)，
∴FO=EN，
∵S1=12AD⋅NE，S2=12AB⋅FO，
又∵AD=AB，
∴S1=S2．
②由(2)得：BE=DF，BE⊥DF，
∴S=12GI2
=12⋅(12BE)2
=18BE2，
S四边形BFED=12BE⋅DF=12BE2，
S△EAF=12AE2=92，
S△ABD=12AB2=12×42=8，
∴S1+S2=S四边形BFED−S△EAF−S△ABD
=12BE2−92−8
=12BE2−252，
∴S−S1+S24
=18BE2−12BE2−2524
=18BE2−18BE2+258=258．
【解析】(1)连接DF，延长BE交DF于P，可证△BAE≌△DAF，结合三角形中位线即可求解；
(2)连接DF交BE于Q，AD与BE交于M，可证△BAE≌△DAF，结合三角形中位线即可求解；
(3)①过F作FO⊥BA，交BA的延长线于O，过E作EN⊥AD，可证△FAO≌△EAN，即可求解；
②可求S=18BE2，由S1+S2=S四边形BFED−S△EAF−S△ABD即可求解．
本题考查了三角形全等的判定及性质，三角形中位线定理，面积转换，正方形的性质，旋转的性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(−3,0)，B(4,0)两点，代入得：
9a−3b+4=016a+4b+4=0，
解得：a=−13b=13，
∴抛物线为：y=−13x2+13x+4；
(2)令x=0，则y=−13x2+13x+4=4，
∴C(0,4)，
设BC为y=kx+4，把C点坐标代入得：
4k+4=0，
解得：k=−1，
∴BC为y=−x+4，
设点P的横坐标为m.−3
∴E(m,−m+4)，F(0,−13m2+13m+4)，
∴EP=|−13m2+13m+4+m−4|=|−13m2+43m|，
CF=|4+13m2−13m−4|=|13m2−13m|，
∵PE=2CF，
∴|−13m2+43m|=2|13m2−13m|=|23m2−23m|，
当−13m2+43m=23m2−23m时，即m2−2m=0，
解得：m1=2，m2=0(不符合题意舍去，
∴P(2,103)，
当−13m2+43m+23m2−23m=0时，即m2+2m=0，
解得：m1=−2，m2=0(不符合题意，舍去)，
∴P(−2,2)，
综上：P(2,103)或P(−2,2)；
(3)如图，0
∴OB=OC=4，AC= 32+42=5，∠OBC=∠OCB=45°，
过G作GK⊥x轴于K，则KG=KB，以K为圆心，KG为半径画圆交直线AC于Q，则∠BQG=12∠BKG=45°，
∴PD=GK，
∴当⊙K与AC相切时，BG最短，此时Q为切点，KQ⊥AC，连接QK，
设P(m,−13m2+13m+4)，
∵G在BC上，
∴−13m2+13m+4=−x+4，即x=13m2−13m，
∴G(13m2−13m,−13m2+13m+4)，K(13m2−13m,0)，
∴AK=13m2−13m+3，
而KQ=GK=−13m2+13m+4，
由sin∠CAO=COAC=45=QKAK，
∴−13m2+13m+413m2−13m+3=45，即3m2−3m−8=0，
解得：m1=3+ 1056，m2=3− 1056( 不符合题意，舍去)，
∴−13m2+13m+4=−13(m−12)2+4912=289，
∴P(3+ 1056,289)，
此时BG= 2KG= 2PD=289 2．
【解析】(1)把A(−3,0)，B(4,0)代入抛物线的解析式y=ax2+bx+4，再求解即可；
(2)先求解C(0,4)，BC为y=−x+4，设点P的横坐标为m.−3
2023年辽宁省丹东市中考数学一模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −6的相反数是( )
A. −6 B. −16 C. 6 D. 16
2. 下列运算正确的是( )
A. a3⋅a4=a12 B. (a3)2=a5 C. (a2b3)2=a4b5 D. a7÷a3=a4
3. 右图是由几个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
4. 某学校准备从甲，乙，丙，丁四名同学中选择一名同学代表学校参加市里举办的“古诗词大赛”，四名同学平时成绩的平均数(单位：分)及方差如下：x甲−=94，s甲2=0.7；x乙−=96，s乙2=1.5；x丙−=93，s丙2=1.1；x丁−=96，s丁2=0.7，如果要选出一个平时成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择的同学是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
5. 函数y= x−2x−3的自变量x的取值范围是( )
A. x≠3 B. x>0且x≠3 C. x≥0且x≠3 D. x>2且x≠3
6. 将含45°角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若∠2=60°，则∠1的度数是( )
A. 60°
B. 70°
C. 75°
D. 80°
7. 在某次体育测试中，九年级一班女同学的一分钟仰卧起坐成绩(单位：个)如下表：
成绩
45
46
47
48
49
50
人数
1
2
4
2
5
1
这此测试成绩的中位数和众数分别为( )
A. 47，49 B. 47.5，49 C. 48，49 D. 48，50
8. 如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=7，以B为圆心，以小于AB长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于12EF长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AD于点G，连接CG，则△CDG的周长为( )
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
9. 已知菱形ABCD边长为6，对角线AC和BD交于点O，以O为圆心，以OB长为半径的圆恰好经过菱形各边中点E，F，G，H，则阴影部分的面积为( )
A. 6π−9 3
B. 6π−8 3
C. 3π−92 3
D. 3π−4 3
10. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点C，且满足a+b+c=1，结合图象分析下列结论：①abc>0；②方程ax2+bx+c=b2a有两个不相等的实数根；③点E(52,1)在抛物线上，则7a+2b=0；④一次函数y=kx+m(k≠0)满足k+m=1，则一次函数的图象与抛物线总有公共点.其中正确的结论有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 火星围绕太阳公转的轨道半径长约为230000000km，数据230000000用科学记数法表示为______ ．
12. 分解因式：3x3−6x2+3x= ______ ．
13. 若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有实数根，则a的取值范围是______ ．
14. 在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为23，则黄球的个数为______．
15. 不等式组x+3<8,3x−1≥8的解集为______ ．
16. 某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示.当气体体积为1m3时，气压是______ kPa．
17. 如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为：A(−1,0)，B(3,0)，C(0, 3)，将△ABC绕顶点C逆时针旋转一个角度，使点A恰好落在x轴的A′点处，B点的对应点为B′点，则点B′的坐标为______ ．
18. 如图，已知在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，点M，N分别在边CD和AB上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A的对应点A′始终落在边BC上，点D的对应点为点D′，连接AA′，BD，则下列结论正确的有______ (填序号)．
①若点A′是BC边的中点，则tan∠AA′N=25；
②折痕MN长度的取值范围为4≤MN≤4 415；
③当A′D′//BD时，点M是边CD的一个四等分点；
④连接EN，当A′C= 10−1时，△A′EN是等腰直角三角形．
三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：3x+9x2+6x+9−2x−6x2−9÷2x+3，其中x=2sin30°−3．
20. (本小题14.0分)
某校团委要组织班级歌咏比赛，为了将一首喜欢人数最多的歌曲作为每班必唱歌曲，团委提供了代号为A，B，C，D四首备选歌曲让学生选择(每个学生只选择一首)，经过抽样调查后，将得到的数据绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图1，图2提供的信息，解答下列问题：
(1)在这次抽样调查中，抽取的人数为______ 人，图1中的m= ______ ；
(2)求出图1中D所在扇形的圆心角度数，并补全图2中的条形统计图；
(3)已知该校共有480名学生，据抽样调查结果，估计全校选择歌曲代号为D的学生人数．
(4)现从甲，乙，丙，丁四名学生中，任选两人担任“歌咏比赛宣传员”，求甲被选到的概率．
21. (本小题12.0分)
八年(1)班学生周末乘汽车到抗美援朝纪念馆参观，纪念馆距离学校60km.一部分学生乘慢车先行，出发0.5h后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达纪念馆.已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．
22. (本小题12.0分)
如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，点D是BC的中点，过点D作DE⊥AC交AC延长线于点E，DE所在直线交AB的延长线于点F，连接AD，CD．
(1)请判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AC⋅BF=12，求CD的长．
23. (本小题12.0分)
如图，大楼AB高30m，远处有另一大楼CD，某测绘小组在B处测得D点的仰角为47.5°，在A处测得D点的仰角为26.1°，求大楼CD的高及两楼之间的距离BC．
(参考数据：sin47.5°≈0.74，cos47.5°≈0.68，tan47.5°≈1.09，sin26.1°≈0.44，cos26.1°≈0.90，tan26.1°≈0.49)
24. (本小题12.0分)
草莓是深受大家喜爱的一种水果，某超市每天调运一批成本价为每千克20元的草莓，以不低于成本价且不超过每千克30元的价格销售，每天销售草莓的数量y(千克)与每千克的售价x(元)之间的函数关系如图所示：
(1)请直接写出y与x的函数关系式；
(2)该超市将草莓的每千克售价定为多少元时，每天销售草莓的利润可达到500元；
(3)当草莓的每千克售价定为多少元时，该超市每天获利最大？最大利润是多少元？
25. (本小题12.0分)
已知正方形ABCD和等腰直角三角形AEF，∠EAF=90°，连接BD，BE，BF，DE，点G，H，I分别为线段BD，BF，DE的中点，连接GH，GI，HI．
(1)如图1，当点B，A，F在一条直线上时，请直接写出线段GH与GI的关系；
(2)如图2，将△AEF绕点A顺时针旋转α(0°<α<90°)，判断线段GH与GI的关系，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，若AB=4，AE=3，△ADE，△ABF，△GHI的面积分别为S1，S2，S．
①请直接写出S1与S2大小关系；
②直接写出S−S1+S24的值．
26. (本小题14.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(−3,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点，过点P作直线PD⊥x轴，垂足为D，直线PD交直线BC于点E，过点P作直线PF⊥y轴，垂足为F，直线PF与直线BC的交点为G，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若−3
1.【答案】C
【解析】解：−6的相反数是6，
故选：C．
利用相反数的定义判断即可．
本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】D
【解析】解：A.a3⋅a4=a7，故选项A不正确，不符合题意；
B. (a3)2=a6，故选项B不正确，不符合题意；
C. (a2b3)2=a4b6，故选项C不正确，不符合题意；
D.a7÷a3=a4，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
根据同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法法则逐一判断正误．
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法法则，掌握相应的运算法则准确计算是关键．
3.【答案】C
【解析】解：从上面向下看是4列，第1，2，3列有1个小正方形，第4列有2个小正方形，如图所示：
故选：C．
根据从上面向下看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单小立方体堆砌立体图形的三视图，解题时注意从上面向下看，得到的图形是俯视图．培养空间观念是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：由图表可知，乙、丁的平均成绩较好，应从乙、丁中选，
由于s乙2>s丁2，
故乙的方差大，波动大，
则选一个成绩较好且状态稳定的运动员去参赛，应选丁．
故选：D．
先找出乙、丁的平均成绩好且相等，再比较它的方差即可得出答案．
本题考查了方差，掌握平均数和方差的定义是解题的关键，方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
5.【答案】C
【解析】解：根据题意可得：x≥0x−3≠0，
解得：x≥0且x≠3
故选：C．
根据二次根式和分式有意义的条件，列出不等式组求解即可．
本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式有意义的添加以及分式有意义的条件是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：如图所示，
∵AB//FG，
∴∠2=∠ACD=60°，
∵∠D=45°，∠E=90°，
∴∠DCE=45°，
∴∠BCE=180°−∠ACD−∠DCE=75°，
∵AB//FG，
∴∠1=∠BCE=75°．
故选：C．
根据平行线的性质和三角板的性质求解即可．
本题考查了平行线的基本性质，本题的解题关键是找出角度的关系即可得出答案．
7.【答案】C
【解析】解：49出现的次数最多，出现了5次，所以众数为49，
第8个数是48，所以中位数为48，
故选C．
根据众数与中位数的定义，众数是出现次数最多的一个，中位数是第8个数解答即可．
本题主要考查众数与中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
8.【答案】C
【解析】解：由题意可得，BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠CBG，
∵矩形ABCD，AB=4，BC=7，
∴CD=AB=4，AD//BC，AD=BC=7，
∴∠AGB=∠CBG，
∴∠ABG=∠AGB，
∴AB=AG=4，
∴DG=AD−AG=3，
∵∠D=90°，
∴CG= DG2+CD2=5，
∴△CDG的周长为CD+DG+CG=4+3+5=12．
故选：C．
首先根据题意得到BG平分∠ABC，然后利用矩形的性质和平行线的性质得到DG=AD−AG=3，最后利用勾股定理求解即可．
此题考查了矩形的性质，尺规作角平分线，勾股定理等知识，解题的关键是得到BG平分∠ABC．
9.【答案】A
【解析】解：如图所示，连接OH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠AOD=90°，
∵以O为圆心，以OB长为半径的圆恰好经过菱形各边中点E，F，G，H，
∴OD=OH=HD=12AD=3，
∴△ODH是等边三角形，
∴∠HOD=60°，
∵菱形和圆都是轴对称图形，
∴四个位置的阴影面积都相等，
∴阴影部分的面积4×(S扇形ODH−S△ODH)=4×(60°×π×32360∘− 34×32)=6π−9 3．
故选：A．
连接OH，首先根据题意证明出△ODH是等边三角形，然后利用阴影部分的面积=4×(S扇形ODH−S△ODH)代入求解即可．
此题考查了菱形的性质，求阴影面积，直角三角形的性质等知识，解题的关键是证明出△ODH是等边三角形．
10.【答案】D
【解析】解：∵图象开口向下，
∴a<0，
∵对称轴为x=−b2a>0，
∴b>0，
∵图象与y轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，故①正确；
∵对称轴为x=−b2a>0，
∴b2a<0，
由图象可得，当y=b2a时，有两个对应的x的值，
∴方程ax2+bx+c=b2a有两个不相等的实数根，故②正确；
∵满足a+b+c=1，
∴当x=1时，y=a+b+c=1，
∴抛物线经过点(1,1)，
∵点E(52,1)在抛物线上，
∴抛物线的对称轴为1+522=74，
∴−b2a=74，整理得7a+2b=0，故③正确；
∵一次函数y=kx+m(k≠0)满足k+m=1，
∴当x=1时，y=k+m=1，
∴一次函数经过点(1,1)，
∵抛物线经过点(1,1)，
∴一次函数与抛物线有公共点(1,1)，故④正确．
综上所述，正确的结论有①②③④，共4个．
故选：D．
由抛物线开口方向可判断a的符号，由抛物线对称轴可得a与b的数量关系，由抛物线与y轴交点可判断c的符号，从而判断①，由y=b2a时的x的值可判断②，根据二次函数的对称性求出对称轴即可判断③，由直线和抛物线都经过点(1,1)可判断④．
本题主要考查函数图象的性质，函数图象与参数的关系，通过函数图象解不等式，函数图象与图象的关联，能够通过图象的性质列不等式是解题关键．
11.【答案】2.3×108
【解析】解：230000000=2.3×108．
故答案为：2.3×108．
根据科学记数法的表示方法求解即可．
本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】3x(x−1)2
【解析】解：3x3−6x2+3x
=3x(x2−2x+1)
=3x(x−1)2；
故答案为：3x(x−1)2．
先提公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解，即可得到答案．
本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解．
13.【答案】a≤1
【解析】解：因为关于x的一元二次方程有实根，
所以△=b2−4ac=4−4a≥0，
解之得a≤1．
故答案为a≤1．
在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：
(1)二次项系数不为零；
(2)在有实数根下必须满足△=b2−4ac≥0．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根的判别式．当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
14.【答案】4
【解析】
【分析】
此题主要考查了概率公式的应用，熟练利用概率公式是解题关键．根据白球个数除以小球总数进而得出得到白球的概率，进而得出答案．
【解答】
解：∵在一个不透明的盒子中装有8个白球，从中随机摸出一个球，它是白球的概率为23，
设黄球有x个，根据题意得出：
∴88+x=23，
解得：x=4．
故答案为4．
15.【答案】3≤x<5
【解析】解：x+3<8①3x−1≥8②，
由不等式①可得x<5，
由不等式②可得x≥3，
∴不等式组解集为：3≤x<5．
故答案为：3≤x<5．
分别解两个不等式，得到解集，然后取解集的公共部分即可．
本题考查了不等式组的解集，掌握分别解出两个不等式的解集，然后取解集的公共部分是关键．
16.【答案】96
【解析】解：设pkv，
由题意知120=k0.8，
所以k=96，
故p=96v；
当v=1m3时，p=961=96(kPa)；
故答案为：96．
设出反比例函数解析式，把A坐标代入可得函数解析式，把v=1代入得到的函数解析式，可得p．
考查反比例函数的应用；应熟练掌握符合反比例函数解析式的数值的意义．
17.【答案】(3,2 3)
【解析】解：如图所示，作B′D⊥y轴交y轴于点D，
∵A(−1,0)，C(0, 3)，
∴AC= AO2+CO2=2，
∴AC=2AO，
∵∠AOC=90°，
∴∠ACO=30°，∠A=60°，
∵将△ABC绕顶点C逆时针旋转一个角度，使点A恰好落在x轴的A′点处，
∴AC=A′C，
∴△AA′C是等边三角形，
∴∠ACA′=60°，
∴∠A′CO=30°，
∵B(3,0)，C(0, 3)，
∴BC= OC^2+OB2，
∴BC=2OC，∠COB=90°
∴∠B=30°，∠OCB=60°，
∴∠ACB=90°，
∴∠A′CB′=∠ACB=90°，
∴∠DCB′=60°，
∵将△ABC绕顶点C逆时针旋转一个角度，使点A恰好落在x轴的A′点处，B点的对应点为B′点，
∴B′C=BC=2 3，
∵B′D⊥y轴，
∴CD=12B′C= 3，
∴B′D= B′C2−CD2=3，
∴OD=OC+CD=2 3，
∴点B′的坐标为(3,2 3)．
故答案为：(3,2 3)．
作B′D⊥y轴交y轴于点D，首先根据题意得到∠ACO=30°，∠A=60°，然后利用旋转的性质得到△AA′C是等边三角形，得到∠DCB′=60°，然后利用30°角直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
此题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
18.【答案】①②④
【解析】解：∵点A′是BC边的中点，BC=4，矩形ABCD，
∴A′B=A′C=2，∠ABC=90°，
∵AN=A′N，
∴∠AA′N=∠A′AN，
∴tan∠AA′N=tan∠A′AN=A′BAB=25，故①符合题意；
∵沿着MN折叠矩形ABCD，使点A的对应点A′始终落在边BC上，
∴当A′与B重合时，折痕MN⊥AB，此时折痕最短，且MN=BC=4，
当A′与C重合时，折痕MN最长，如图，连接AC，
由勾股定理可得：AC= 52+42= 41，
由折叠的性质可得：∠AON=90°，∠ANO=∠CNO，AO=CO= 412，
由矩形的性质可得：AB//CD，
∴∠CMN=∠ANM，
∴∠CMN=∠CNM，
∴CM=CN，
∴MO=NO，
∴tan∠CAB=45=ONAO=ON 412，
∴ON=2 415，
∴MN=4 415，
∴4≤MN≤4 415；故②符合题意；
如图，连接AM，A′M，
∵矩形ABCD，AB=5，BC=4，
∴∠ADC=∠C=90°，CD=AB=5，AD=BC=4，
∵A′D′//BD，
∴△CA′E∽△CBD，
∴A′CBC=CECD，即A′CCE=BCCD=45，
设A′C=4k，则CE=5k，A′E= 41k，
设DM=x(0≤x≤5)，则CM=5−x，
由对折可得：AM=A′M，DM=D′M=x，∠ADC=∠D′=∠C=90°，
∴D′E=4− 41k，
由AM2=DM2+AD2，A′M2=CM2+A′C2，
∴x2+42=(5−x)2+(4k)2，
∴16k2−10x+9=0，
∵∠D′=∠C=90°，∠D′EM=∠CEA′，
∴△D′EM∽△CEA′，
∴D′ECE=D′MA′C，
∴4− 41k5k=x4k，
∴k=16−5x4 41，
∴16×(16−5x4 41)2−10x+9=0，
∴5x2−114x+125=0，
∴x1=57+8 415>5(舍去)，x2=57−8 415，
∴DM=57−8 415≠14CD，故③不符合题意；
由折叠可得：A′N=AN，∠D′A′N=∠DAN=90°，
设BN=m(m>0)，AN=A′N=5−m，
∵A′C= 10−1，BC=4，
∴A′B=5− 10，
∴m2+(5− 10)2=(5−m)2，
解得：m= 10−1，
∴BN=A′C= 10−1，
∵∠ABC=∠C=90°，∠EA′N=90°，
∴∠A′EC+∠CA′E=90°=∠NA′B+∠EA′C，
∴∠A′EC=∠NA′B，
∴△NA′B≌△A′EC，
∴A′N=A′E，
∴△A′EN是等腰直角三角形，故④符合题意．
故答案为：①②④．
证明A′B=A′C=2，∠ABC=90°，∠AA′N=∠A′AN，可得tan∠AA′N=tan∠A′AN=A′BAB=25，故①符合题意；当A′与B重合时，折痕MN⊥AB，此时折痕最短，且MN=BC=4，当A′与C重合时，折痕MN最长，如图，连接AC，由矩形的性质可得：AB//CD，证明MO=NO，可得ON=2 415，可得4≤MN≤4 415；故②符合题意；如图，连接AM，A′M，证明△CA′E∽△CBD，可得A′CCE=BCCD=45，设A′C=4k，则CE=5k，A′E= 41k，设DM=x(0≤x≤5)，则CM=5−x，由AM2=DM2+AD2，A′M2=CM2+A′C2，可得x2+42=(5−x)2+(4k)2，则16k2−10x+9=0，证明△D′EM∽△CEA′，可得4− 41k5k=x4k，即k=16−5x4 41，则16×(16−5x4 41)2−10x+9=0，解方程可得DM=57−8 415≠14CD，故③不符合题意；由折叠可得：A′N=AN，∠D′A′N=∠DAN=90°，设BN=m(m>0)，AN=A′N=5−m，则m2+(5− 10)2=(5−m)2，BN=A′C= 10−1，证明△NA′B≌△A′EC，可得△A′EN是等腰直角三角形，故④符合题意．
本题考查的是矩形与折叠，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的解法，本题难度大，综合程度高，是压轴题．
19.【答案】解：3x+9x2+6x+9−2x−6x2−9÷2x+3
=3(x+3)(x+3)2−2(x−3)(x−3)(x+3)×x+32
=3x+3−1
=3−x−3x+3
=−xx+3，
当x=2sin30°−3=2×12−3=1−3=−2时，
原式=−−2−2+3=2．
【解析】先根据分式的混合运算法则化简，然后根据特殊角的三角函数计算x，再代值计算即可．
本题考查了分式的化简求值和特殊角的三角函数，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】160 15
【解析】解：(1)由题意可得，本次抽样调查中，总人数为32÷20%=160人，
选择曲目代号为A的学生占抽样总数的百分比为：24÷160×100%=15%，
∴m=15，
故答案为：160，15；
(2)由题意可得，选择C的人数有：160−24−32−64=40(人)，
故补全的图如图所示，
360°×64160=144°，
∴D所在扇形的圆心角度数为144°；
(3)由题意可得，全校选择此必唱歌曲共有：480×64160=192人)，
答：估计全校选择曲目代号为D的学生有192名；
(4)
甲
乙
丙
丁
甲
(乙，甲)
(丙，甲)
(丁，甲)
乙
(甲，乙)
(丙，乙)
(丁，乙)
丙
(甲，丙)
(乙，丙)
(丁，丙)
丁
(甲，丁)
(乙，丁)
(丙，丁)
由表格可得，一共有12种等可能得情况，其中甲被选到的情况有6种，
∴甲被选到的概率为612=12．
(1)根据B的人数及其所占的百分比可以求得总人数，然后根据代号为A的学生人数和总人数即可求出占抽样总数的百分比；
(2)根据各项人数之和等于总数可以求得选择C的人数，从而可以将图2补充完整，根据选D的人数和总人数即可求出D所占的百分比，进而可求出所占的扇形的圆心角度数；
(3)根据D项目人数占总人数的比例可以估计全校选择曲目代号为D的人数；
(4)利用表格列举出所有的情况，再根据概率公式即可得出结果．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，列表法求概率，在解题时要注意灵活应用条形图列出式子得出结论是本题的关键．
21.【答案】解：设慢车的速度为x km/h，则快车的速度为1.5xkm/h，根据题意，得60x−601.5x=12，
解得：x=40．
经检验：x=40是原方程的解且符合题意；
答：慢车的速度为40km/h．
【解析】设慢车的速度为x km/h，则快车的速度为1.5x km/h，列方程即可．
本题主要考查了分式方程的应用，准确分析条件列方程是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：连接OD，如图所示，
∵点D是BC的中点，
∴CD=BD，
∴∠CAD=∠BAD，
∵OA=OD，
∴∠BAD=∠ADO，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC//OD，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
(2)如图所示，连接BD，
∵∠ADB=∠ODF=90°，
∴∠ADO+∠ODB=∠BDF+∠ODB，
∴∠ADO=∠BDF，
∵∠OAD=∠ODA=∠CAD，
∴∠BDF=∠CAD，
又∵∠ACD+∠ABD=∠DBF+∠ABD=180°，
∴∠ACD=∠DBF，
∴△ACD∽△DBF，
∴ACBD=CDBF，
即AC⋅BF=BD⋅CD=CD2，
∴12=CD2，
解得CD=2 3．
【解析】(1)连接OD，根据等弧所对的圆周角相等可得∠CAD=∠BAD，从而利用角平分线和平行证明AC//OD，然后利用平行线的性质求出DE⊥OD，即可解答；
(2)连接BD，首先根据题意证明出△ACD∽△DBF，然后利用相似三角形的性质求解即可．
本题考查了圆周角定理，切线的判定与性质，相似三角形的性质和判定，熟练掌握圆周角定理，以及解直角三角形是解题的关键．
23.【答案】解：设BC=AE=x，
∴DC=BC⋅tan47.5°≈1.09x，
DE=AE⋅tan26.1°≈0.49x，
∵AB=CE=DC−DE=30，
∴1.09x−0.49x=30，
解得：x=50，
∴BC=50m．
∴CD=1.09×50=54.5(m)．
答：大楼CD高为54.5m，两楼之间的距离BC为50m．
【解析】根据题意得到矩形AECB，设BC为x，根据锐角三角函数列方程求解即可．
本题考查解直角三角形，解题关键是设未知数，然后根据锐角三角函数直接列方程求解．
24.【答案】解：(1)设函数解析式为：y=kx+b，代入(20,120)，(30,80)，
得120=20k+b80=30k+b，
解得k=−4b=200，
∴y与x的函数关系式为：y=−4x+200(20≤x≤30)．
(2)利润为：(x−20)(−4x+200)=500，
解得：x=25或45，
∵20≤x≤30，
∴x=25，
答：每千克售价定为25元时，每天销售草莓的利润可达到500元．
(3)设利润为W，
则W=(x−20)(−4x+200)，
令W=(x−20)(−4x+200)=0，
解得x1=20，x2=50，
∴对称轴为20+502=35，
∵20≤x≤30，
∴x=30时，Wmax=(30−20)(−4×30+200)=800(元)．
答：当草莓的每千克售价定为30元时，该超市每天获最大利润是800元．
【解析】(1)待定系数法直接求解即可；
(2)直接根据题意列方程求解即可；
(3)将利润用函数表达式表示出来，那么求利润的最大值即求二次函数的最大值．
此题考查二次函数的实际应用，根据题意列出表达式，将利润最大值转化为二次函数的最大值是解题关键．
25.【答案】解：(1)GH=GI且GH⊥GI，
如图，连接DF，延长BE交DF于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAC=90°，
∴∠BAE=∠DAF，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=AF，
在△BAE和△DAF中，
AB=AD∠BAE=∠DAFAE=AF，
∴△BAE≌△DAF(SAS)，
∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，
∵点G，H，I分别为线段BD，BF，DE的中点，
∴GI=12BE，GI//BE，
GH=12DF，GH//DF，
∴GI=GH；
∵∠ABE+∠BEA=90°，∠BEA=∠DEP，
∴∠ABE+∠DEP=90°，
∴∠ADF+∠DEP=90°，
∴BE⊥DF，
∴BE⊥GH，
∴GI⊥GH；
故GH=GI且GH⊥GI．
(2)GH=GI且GH⊥GI，
如图，连接DF交BE于Q，AD与BE交于M，
由(1)得：AE=AF，∠BAM=∠EAF=90°，
∴∠BAM+∠DAE=∠EAF+∠DAE，
∴∠BAE=∠DAF，
在△BAE和△DAF中，
AB=AD∠BAE=∠DAFAE=AF，
∴△BAE≌△DAF(SAS)，
∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，
∵点G，H，I分别为线段BD，BF，DE的中点，
∴GI=12BE，GI//BE，
GH=12DF，GH//DF，
∴GI=GH；
∵∠ABM+∠BMA=90°，∠BMA=∠DMQ，
∴∠ABM+∠DMQ=90°，
∴∠ADF+∠DMQ=90°，
∴BE⊥DF，
∴BE⊥GH，
∴GI⊥GH；
故GH=GI且GH⊥GI．
(3)①如图，过F作FO⊥BA，交BA的延长线于O，过E作EN⊥AD，
∴∠ANE=∠OAF=90°，
∴∠FAO+∠OAE=90°，∠EAN+∠OAE=90°，
∴∠FAO=∠EAN，
在△FAO和△EAN中，
∠ANE=∠OAF∠FAO=∠EANAF=AE，
∴△FAO≌△EAN(AAS)，
∴FO=EN，
∵S1=12AD⋅NE，S2=12AB⋅FO，
又∵AD=AB，
∴S1=S2．
②由(2)得：BE=DF，BE⊥DF，
∴S=12GI2
=12⋅(12BE)2
=18BE2，
S四边形BFED=12BE⋅DF=12BE2，
S△EAF=12AE2=92，
S△ABD=12AB2=12×42=8，
∴S1+S2=S四边形BFED−S△EAF−S△ABD
=12BE2−92−8
=12BE2−252，
∴S−S1+S24
=18BE2−12BE2−2524
=18BE2−18BE2+258=258．
【解析】(1)连接DF，延长BE交DF于P，可证△BAE≌△DAF，结合三角形中位线即可求解；
(2)连接DF交BE于Q，AD与BE交于M，可证△BAE≌△DAF，结合三角形中位线即可求解；
(3)①过F作FO⊥BA，交BA的延长线于O，过E作EN⊥AD，可证△FAO≌△EAN，即可求解；
②可求S=18BE2，由S1+S2=S四边形BFED−S△EAF−S△ABD即可求解．
本题考查了三角形全等的判定及性质，三角形中位线定理，面积转换，正方形的性质，旋转的性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A(−3,0)，B(4,0)两点，代入得：
9a−3b+4=016a+4b+4=0，
解得：a=−13b=13，
∴抛物线为：y=−13x2+13x+4；
(2)令x=0，则y=−13x2+13x+4=4，
∴C(0,4)，
设BC为y=kx+4，把C点坐标代入得：
4k+4=0，
解得：k=−1，
∴BC为y=−x+4，
设点P的横坐标为m.−3
∴E(m,−m+4)，F(0,−13m2+13m+4)，
∴EP=|−13m2+13m+4+m−4|=|−13m2+43m|，
CF=|4+13m2−13m−4|=|13m2−13m|，
∵PE=2CF，
∴|−13m2+43m|=2|13m2−13m|=|23m2−23m|，
当−13m2+43m=23m2−23m时，即m2−2m=0，
解得：m1=2，m2=0(不符合题意舍去，
∴P(2,103)，
当−13m2+43m+23m2−23m=0时，即m2+2m=0，
解得：m1=−2，m2=0(不符合题意，舍去)，
∴P(−2,2)，
综上：P(2,103)或P(−2,2)；
(3)如图，0
∴OB=OC=4，AC= 32+42=5，∠OBC=∠OCB=45°，
过G作GK⊥x轴于K，则KG=KB，以K为圆心，KG为半径画圆交直线AC于Q，则∠BQG=12∠BKG=45°，
∴PD=GK，
∴当⊙K与AC相切时，BG最短，此时Q为切点，KQ⊥AC，连接QK，
设P(m,−13m2+13m+4)，
∵G在BC上，
∴−13m2+13m+4=−x+4，即x=13m2−13m，
∴G(13m2−13m,−13m2+13m+4)，K(13m2−13m,0)，
∴AK=13m2−13m+3，
而KQ=GK=−13m2+13m+4，
由sin∠CAO=COAC=45=QKAK，
∴−13m2+13m+413m2−13m+3=45，即3m2−3m−8=0，
解得：m1=3+ 1056，m2=3− 1056( 不符合题意，舍去)，
∴−13m2+13m+4=−13(m−12)2+4912=289，
∴P(3+ 1056,289)，
此时BG= 2KG= 2PD=289 2．
【解析】(1)把A(−3,0)，B(4,0)代入抛物线的解析式y=ax2+bx+4，再求解即可；
(2)先求解C(0,4)，BC为y=−x+4，设点P的横坐标为m.−3
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