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    安徽省a10联盟2016高三(下)开学数学(文科)(解析版) 试卷

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    安徽省a10联盟2016高三(下)开学数学(文科)(解析版)

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    这是一份安徽省a10联盟2016高三(下)开学数学(文科)(解析版),共21页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    2015-2016学年安徽省A10联盟高三(下)开学数学试卷(文科)
     
    一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题分别给出四个选项,只有一个选项符合题意)
    1.已知集合A={﹣2,0,,4),B={x|≤1},则A∩B=(  )
    A.{4} B.{﹣2,4} C.{﹣2,0,4) D.{﹣2, }
    2.已知sinα=,且α∈(0,),则sin 2α=(  )
    A.﹣ B.﹣ C. D.
    3.已知复数z满足=i,i是虚数单位,则在复平面内z对应的点在(  )
    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
    4.已知双曲线﹣y2=1,则双曲线的离心率为(  )
    A. B. C. D.2
    5.f(x),g(x)是定义在[a,b]上的连续函数,则“f(x)的最大值小于g(x)的最小值”是“f(x)<g(x)对一切x∈[a,b]成立”的(  )
    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
    C.充要条件 D.非充分非必要条件
    6.已知||=1,与的夹角是,( +2)=3,则||的值是(  )
    A.1 B. C.2 D.3
    7.已知数列{an}满足a1=1,且anan+1=2n,n∈N*,则数列{an}的通项公式为(  )
    A.an=()n﹣1
    B.an=()n
    C.an=
    D.an=
    8.某无底仓库的三视图如图所示,则其表面积为(  )

    A.700π B.800π C.1000π D.l600π
    9.执行如图所示的程序框图,则输出S的值为(  )

    A. B. C.0 D.
    10.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,M(2,y0)为抛物线上一点,且|MO|=|MF|,其中O为坐标原点,则p=(  )
    A.2 B.3 C.4 D.8
    11.已知实数x,y满足不等式组,z=3x﹣y,则下列结论成立的是(  )
    A.z没有最大值,有最小值为﹣2
    B.z的最大值为﹣,没有最小值
    C.z的最大值为﹣2,没有最小值
    D.z的最大值为,最小值为﹣2
    12.已知f(x)=x3﹣ax2+2ax﹣的两个极值点为x1,x2(x1≠x2),且x2=2x1,则f(x)的零点个数为(  )
    A.2 B.3 C.1或2 D.1或3
     
    二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.)
    13.已知样本3,4,x,7,5的平均数是5,则此样本的方差为  .
    14.已知f(x)=2cos(x+φ)的一个对称中心为(2,0),φ∈(0,π),则φ=  .
    15.已知圆C:x2+y2+2x+4y+4=0,直线l:sinθx+cosθy﹣4=0,则直线,与圆C的位置关系为  .
    16.已知△ABC三内角的正弦值等于△A1B1C1的三内角的余弦值,角A、B、C所对应的边为a,b,c,且A为钝角,a=2.b=2,则△ABC的面积为  .
     
    三、解答题:(解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.)
    17.已知等差数列{an}的首项为a1=1,公差d≠0,其中a2,a5,a14成等比数列.
    (I)求数列{an}的通项;
    (Ⅱ)设cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
    18.某餐饮业培训学校对男、女各20名学员进行考评,考评成绩(满分100分)如茎叶图所示:
    (I)若大于或等于80分为优秀学员,80分以下为非优秀学员,根据茎叶图填写2×2列联表,并判断能否有95%的把握认为学员的优秀与性别有关?

    非优秀
    优秀
    总数



    20



    20
    总数


    40
    (Ⅱ)若从考评成绩95分以上(包括95分)的学员中任选两人代表学校参加上一级单位举办的服务比赛,求至少有一名男学员参加的概率.
    下面的临界值表供参考:
    P(K2≥k)
    0.15
    0.10
    0.05
    0.025
    0.010
    0.005
    0.001
    k
    2.072
    2.706
    3.841
    5.024
    6.635
    7.879
    10.828
    (参考公式:K2=)n=a+b+c+d.

    19.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠DAB=,AC与BD交于点O,BD⊥PC,AB=2;,BC=2,PA=6.
    (I)求证:AC⊥BD:
    (Ⅱ)若Q为PA上一点,且PC∥平面BDQ,求三棱锥P﹣BDQ的体积.

    20.已知椭圆Cl的方程为+=1,椭圆C2的短轴为C1的长轴且离心率为.
    (I)求椭圆C2的方程;
    (Ⅱ)如图,M、N分别为直线l与椭圆Cl、C2的一个交点,P为椭圆C2与y轴的交点,△PON面积为△POM面积的2倍,若直线l的方程为y=kx(k>0),求k的值.

    21.已知函数f(x)=x﹣1+
    (I)求f(x)在点(e,f(e))处的切线方程;
    (Ⅱ)当0<x<l时,若不等式f(x)≤kx﹣1恒成立,求k的取值范围.
     
    解答题[选修4-1:几何证明选讲]
    22.如图,⊙O内接四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点M,AP为⊙O的切线,∠BAP=∠BAC
    (I)证明:△ABM≌△DBA;
    (II )若BM=2,MD=3,求BC的长.

     
    [选修4-4:坐标系与参数方程]
    23.已知在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t是参数,m是常数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C极坐标方程为ρ=asin(θ+),点M的极坐标为(4,),且点M在曲线C上.
    (I)求a的值及曲线C直角坐标方程;
    (II )若点M关于直线l的对称点N在曲线C上,求|MN|的长.
     
    [选修4-5:不等式选讲]
    24.设函数f(x)=|x﹣2|﹣|2x+l|.
    (I)求不等式f(x)≤x的解集;
    (II )若不等式f(x)≥t2﹣t在x∈[﹣2,﹣1]时恒成立,求实数t的取值范围.
     

    2015-2016学年安徽省A10联盟高三(下)开学数学试卷(文科)
    参考答案与试题解析
     
    一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题分别给出四个选项,只有一个选项符合题意)
    1.已知集合A={﹣2,0,,4),B={x|≤1},则A∩B=(  )
    A.{4} B.{﹣2,4} C.{﹣2,0,4) D.{﹣2, }
    【考点】交集及其运算.
    【分析】先解不等式化简B,再根据交集的定义求出即可.
    【解答】解:B={x|≤1}={x|x<0或x≥1},
    ∵A={﹣2,0,,4),
    ∴A∩B={﹣2,4},
    故选:B
     
    2.已知sinα=,且α∈(0,),则sin 2α=(  )
    A.﹣ B.﹣ C. D.
    【考点】二倍角的正弦.
    【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值,进而利用二倍角的正弦函数公式即可计算得解.
    【解答】解:∵sinα=,且a∈(0,),
    ∴cosα==,
    ∴sin 2α=2sinαcosα=2×=.
    故选:D.
     
    3.已知复数z满足=i,i是虚数单位,则在复平面内z对应的点在(  )
    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
    【考点】复数的代数表示法及其几何意义.
    【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出.
    【解答】解:复数z满足=i,∴z=i(4+2i)=﹣2+4i,
    则在复平面内z对应的点(﹣2,4)在第二象限.
    故选:B.
     
    4.已知双曲线﹣y2=1,则双曲线的离心率为(  )
    A. B. C. D.2
    【考点】双曲线的简单性质.
    【分析】根据双曲线的方程,求出a,b,c,即可求出双曲线的离心率.
    【解答】解:由双曲线的方程可知a2=4,b2=1,
    则c2=a2+b2=4+1=5,
    则a=2,c=,
    即双曲线的离心率e==.
    故选C.
     
    5.f(x),g(x)是定义在[a,b]上的连续函数,则“f(x)的最大值小于g(x)的最小值”是“f(x)<g(x)对一切x∈[a,b]成立”的(  )
    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
    C.充要条件 D.非充分非必要条件
    【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
    【分析】根据函数最值之间的关系,结合充分条件和必要条件的定义 进行判断即可.
    【解答】解:若“f(x)的最大值小于g(x)的最小值”是“f(x)<g(x)对一切x∈[a,b]成立,即充分性成立,
    反之不一定成立,比如g(x)=|x|+1,和f(x)=|x|,则不成立,
    即“f(x)的最大值小于g(x)的最小值”是“f(x)<g(x)对一切x∈[a,b]成立”的充分不必要条件,
    故选:A.

     
    6.已知||=1,与的夹角是,( +2)=3,则||的值是(  )
    A.1 B. C.2 D.3
    【考点】平面向量数量积的运算.
    【分析】根据所给条件进行向量数量积的运算即可得出,这样显然可以求出的值.
    【解答】解:根据条件:

    =
    =
    =3;
    ∴.
    故选:C.
     
    7.已知数列{an}满足a1=1,且anan+1=2n,n∈N*,则数列{an}的通项公式为(  )
    A.an=()n﹣1
    B.an=()n
    C.an=
    D.an=
    【考点】数列递推式;数列的概念及简单表示法.
    【分析】根据数列的递推关系得到=2,即所有的奇数项和偶数项分别为等比数列,根据等比数列的通项公式进行求解即可.
    【解答】解:∵数列{an}满足a1=1,且anan+1=2n,n∈N*,
    ∴an+1an+2=2n+1,
    两式相比得=2,即数列中的奇数项是以1为首项,2为公比的等比数列,
    即当n是奇数时,an=()n﹣1,
    偶数项是以a2=2为首项,2为公比的等比数列,
    则当n是偶数时,an=2()n﹣1=()n,
    故数列的通项公式an=,
    故选:D.
     
    8.某无底仓库的三视图如图所示,则其表面积为(  )

    A.700π B.800π C.1000π D.l600π
    【考点】由三视图求面积、体积.
    【分析】由题意,几何体为圆柱上面放一半球,利用圆柱、球的面积公式可得结论.
    【解答】解:由题意,几何体为圆柱上面放一半球,其表面积为S==800π.
    故选:B.
     
    9.执行如图所示的程序框图,则输出S的值为(  )

    A. B. C.0 D.
    【考点】程序框图.
    【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.
    【解答】解:当i=1时,执行完循环体后:S=,满足继续循环的条件,故i=2;
    当i=2时,执行完循环体后:S=,满足继续循环的条件,故i=3;
    当i=3时,执行完循环体后:S=,满足继续循环的条件,故i=3;
    当i=4时,执行完循环体后:S=,满足继续循环的条件,故i=5;
    当i=5时,执行完循环体后:S=0,满足继续循环的条件,故i=6;
    当i=6时,执行完循环体后:S=0,满足继续循环的条件,故i=7;
    当i=7时,执行完循环体后:S=,满足继续循环的条件,故i=8;
    当i=8时,执行完循环体后:S=,满足继续循环的条件,故i=9;
    当i=9时,执行完循环体后:S=,不满足继续循环的条件,
    故输出结果为,
    故选:A
     
    10.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,M(2,y0)为抛物线上一点,且|MO|=|MF|,其中O为坐标原点,则p=(  )
    A.2 B.3 C.4 D.8
    【考点】抛物线的简单性质.
    【分析】判断M位置,利用抛物线的性质,求解p即可.
    【解答】解:抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,M(2,y0)为抛物线上一点,且|MO|=|MF|,
    可知M在OF的垂直平分线上,∴|OF|=4,∴,可得p=8.
    故选:D.
     
    11.已知实数x,y满足不等式组,z=3x﹣y,则下列结论成立的是(  )
    A.z没有最大值,有最小值为﹣2
    B.z的最大值为﹣,没有最小值
    C.z的最大值为﹣2,没有最小值
    D.z的最大值为,最小值为﹣2
    【考点】简单线性规划.
    【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,结合数形结合即可得到结论.
    【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:
    由z=3x﹣y得y=3x﹣z,
    平移直线y=3x﹣z由图象可知当直线y=3x﹣z经过点A时,直线y=3x﹣z的截距最大,
    此时z最小.
    由,解得,
    即A(0,2),
    此时z=0﹣2=﹣2,无最小值
    故选:C.

     
    12.已知f(x)=x3﹣ax2+2ax﹣的两个极值点为x1,x2(x1≠x2),且x2=2x1,则f(x)的零点个数为(  )
    A.2 B.3 C.1或2 D.1或3
    【考点】利用导数研究函数的极值.
    【分析】利用条件求出a=1时,f(x)的极值点为1,2,f(x)的极大值f(1)=>0,极小值f(2)=0,即可得出结论.
    【解答】解:由题意,f′(x)=x2﹣3ax+2a=0,可得△=9a2﹣8a>0,∴a<0或a>
    ∵x1+x2=3a,x1x2=2a,x2=2x1,∴a=1.
    a=1时,f(x)的极值点为1,2,f(x)的极大值f(1)=>0,极小值f(2)=0,
    ∴f(x)有2个零点.
    故选:A.
     
    二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.)
    13.已知样本3,4,x,7,5的平均数是5,则此样本的方差为 2 .
    【考点】极差、方差与标准差.
    【分析】根据平均数求出x的值,从而求出样本的方差即可.
    【解答】解:由题意得:
    =5,
    解得:x=6,
    ∴s2==2,
    故答案为:2.
     
    14.已知f(x)=2cos(x+φ)的一个对称中心为(2,0),φ∈(0,π),则φ=  .
    【考点】余弦函数的对称性.
    【分析】将(2,0),代入y=2cos(x+φ),求得x+φ=kπ+,k∈Z,由0<φ<π,即可求得φ的值.
    【解答】解:依题意得,当x=2时, x+φ=kπ+,即+φ=kπ+,
    ∵φ∈(0,π),
    ∴φ=.
    故答案是:.
     
    15.已知圆C:x2+y2+2x+4y+4=0,直线l:sinθx+cosθy﹣4=0,则直线,与圆C的位置关系为 相离 .
    【考点】直线与圆的位置关系.
    【分析】根据圆的标准方程求出圆心坐标和圆半径,代入点到直线距离公式,与半径比较后,可得直线与圆的位置关系.
    【解答】解:由圆C:x2+y2+2x+4y+4=0的标准方程(x+1)2+(y+2)2=1可得
    圆心坐标为C(﹣1,﹣2),半径r=1
    ∴圆心到直线的距离d=|sinθ+cosθ+4|=sin(θ+α)+4∈[4﹣,4+],
    ∵r=1,∴相离.
    故答案为相离.
     
    16.已知△ABC三内角的正弦值等于△A1B1C1的三内角的余弦值,角A、B、C所对应的边为a,b,c,且A为钝角,a=2.b=2,则△ABC的面积为 2 .
    【考点】正弦定理.
    【分析】设:sinA=cosA1,sinB=cosB1,sinC=cosC1,可得A1,B1,C1 都为锐角,又A为钝角,则B,C为锐角,结合诱导公式及三角形内角和定理可知:A=A1=A﹣90°,B1=90°﹣B,C1=90°﹣C,
    相加可解得A=,利用余弦定理可得c2+4c﹣12=0,解得c,利用三角形面积公式即可得解.
    【解答】解:∵△ABC三内角的正弦值等于△A1B1C1的三内角的余弦值,
    ∴不妨设:sinA=cosA1,sinB=cosB1,sinC=cosC1,
    ∵cosA1>0,cosB1>0,cosC1>0,
    ∴A1,B1,C1 都为锐角,
    又A为钝角,则B,C为锐角,结合诱导公式及三角形内角和定理可知:A=A1=A﹣90°,B1=90°﹣B,C1=90°﹣C,
    相加可得:A﹣B﹣C+90°=A1+B1+C1,
    解得:A=.
    由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,可得:20=8+c2+4c,即:c2+4c﹣12=0,解得:c=2,
    ∴S△ABC=bcsinA=2.
    故答案为:2.
     
    三、解答题:(解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.)
    17.已知等差数列{an}的首项为a1=1,公差d≠0,其中a2,a5,a14成等比数列.
    (I)求数列{an}的通项;
    (Ⅱ)设cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
    【考点】数列的求和.
    【分析】(I)根据等比数列列方程解出公差d即可得出an;
    (II)使用列项法求和.
    【解答】解:(I)∵an=1+d(n﹣1),∴a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,
    ∵a2,a5,a14成等比数列,
    ∴(1+4d)2=(1+d)(1+13d),
    解得d=0(舍)或d=2.
    ∴an=2n﹣1.
    (II)cn==(),
    ∴Tn=(1﹣+﹣+…+﹣)=(1﹣)=.
     
    18.某餐饮业培训学校对男、女各20名学员进行考评,考评成绩(满分100分)如茎叶图所示:
    (I)若大于或等于80分为优秀学员,80分以下为非优秀学员,根据茎叶图填写2×2列联表,并判断能否有95%的把握认为学员的优秀与性别有关?

    非优秀
    优秀
    总数



    20



    20
    总数


    40
    (Ⅱ)若从考评成绩95分以上(包括95分)的学员中任选两人代表学校参加上一级单位举办的服务比赛,求至少有一名男学员参加的概率.
    下面的临界值表供参考:
    P(K2≥k)
    0.15
    0.10
    0.05
    0.025
    0.010
    0.005
    0.001
    k
    2.072
    2.706
    3.841
    5.024
    6.635
    7.879
    10.828
    (参考公式:K2=)n=a+b+c+d.

    【考点】独立性检验.
    【分析】(I)根据所给数据,可得2×2列联表;求出K2,与临界值比较,即可得到结论;
    (Ⅱ)考评成绩95分以上(包括95分)的男学员有2人,女学员有4人,任选两人,有=15种结果,全是女学员,有=6种结果,即可求得至少含1 名男学员的概率.
    【解答】解:(I)2×2列联表

    非优秀
    优秀
    总数

    13
    7
    20

    6
    14
    20
    总数
    19
    21
    40
    ∴K2=≈4.912>3.841,
    ∴有95%的把握认为学员的优秀与性别有关;
    (Ⅱ)考评成绩95分以上(包括95分)的男学员有2人,女学员有4人,任选两人,有=15种结果,全是女学员,有=6种结果,至少有一名男学员参加的概率为=.
     
    19.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠DAB=,AC与BD交于点O,BD⊥PC,AB=2;,BC=2,PA=6.
    (I)求证:AC⊥BD:
    (Ⅱ)若Q为PA上一点,且PC∥平面BDQ,求三棱锥P﹣BDQ的体积.

    【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的性质.
    【分析】(Ⅰ)推导出PA⊥BD,BD⊥PC,从而BD⊥平面PAC,由此能证明AC⊥BD.
    (Ⅱ)连结OQ,∵推导出PC∥OQ,AD=6,,由三棱锥P﹣BDQ的体积V=VP﹣ABD﹣VQ﹣ABD,能求出结果.
    【解答】证明:(Ⅰ)∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BD,
    又∵BD⊥PC,PA∩PC=P,
    ∴BD⊥平面PAC,
    ∵AC⊂平面PAC,
    ∴AC⊥BD.
    解:(Ⅱ)连结OQ,∵PC∥平面BDQ,PC⊂平面PAC,
    平面PAC∩平面BDQ=OQ,
    ∴PC∥OQ,
    在直角梯形ABCD中,
    ∵AC⊥BD,AB=2,BC=2,∠ABC=∠DAB=,
    ∴AC==4,BO===,
    OC==1,AO=4﹣1=3,
    ∵∠ABC=∠DAB=,∴BC∥AD,∴△BCO∽△DAO,
    ∴,∴AD==6.
    ∴,∴,
    ==12,
    VQ﹣ABD==9,
    ∴三棱锥P﹣BDQ的体积V=VP﹣ABD﹣VQ﹣ABD=3.

     
    20.已知椭圆Cl的方程为+=1,椭圆C2的短轴为C1的长轴且离心率为.
    (I)求椭圆C2的方程;
    (Ⅱ)如图,M、N分别为直线l与椭圆Cl、C2的一个交点,P为椭圆C2与y轴的交点,△PON面积为△POM面积的2倍,若直线l的方程为y=kx(k>0),求k的值.

    【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.
    【分析】(Ⅰ)根据椭圆的方程和离心率的定义,即可求出a,b的值,问题得以解决;
    (Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2),由△PON面积为△POM面积的2倍得|ON|=2|OM|,得到|x1|=2|x2|,即可得到关于k的方程,解得即可.
    【解答】解:(Ⅰ)椭圆C1的长轴在x轴上,且长轴长为4,
    ∴椭圆C2的短轴在x轴上,且短轴长为4,
    设椭圆C2的方程为+=1,(a>b>0),则有,
    ∴a=4,b=2,
    ∴椭圆C2的方程为+=1,
    (Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2),
    由△PON面积为△POM面积的2倍得|ON|=2|OM|,
    ∴|x1|=2|x2|,
    联立方程,消去y得x=±,
    ∴|x1|=,
    同理可求得∴|x2|=,
    ∴=2,
    解得k=±3,
    由k>0,得k=3
     
    21.已知函数f(x)=x﹣1+
    (I)求f(x)在点(e,f(e))处的切线方程;
    (Ⅱ)当0<x<l时,若不等式f(x)≤kx﹣1恒成立,求k的取值范围.
    【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程.
    【分析】(I)求导数,确定切线斜率、切点坐标,即可求f(x)在点(e,f(e))处的切线方程;
    (Ⅱ)当0<x<l时,若不等式f(x)≤kx﹣1恒成立,可以转化为k﹣1≥.求出右边的最大值,即可求k的取值范围.
    【解答】解:(I)∵f(x)=x﹣1+,
    ∴f′(x)=1﹣,
    ∴f′(e)=1﹣,
    ∵f(e)=e,
    ∴f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y﹣e=(1﹣)(x﹣e),即y=(1﹣)x+1;
    (Ⅱ)当0<x<l时,若不等式f(x)≤kx﹣1恒成立,可以转化为k﹣1≥.
    令g(x)=xlnx,则g′(x)=lnx+1,
    <x<1时,g′(x)>0,函数单调递增,0<x<时,g′(x)<0,函数单调递减,
    ∴g(x)的最小值为﹣,
    由0<x<1,g(x)<0,可得的最大值为﹣e,
    ∴k﹣1≥﹣e,
    ∴k≥1﹣e.
     
    解答题[选修4-1:几何证明选讲]
    22.如图,⊙O内接四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点M,AP为⊙O的切线,∠BAP=∠BAC
    (I)证明:△ABM≌△DBA;
    (II )若BM=2,MD=3,求BC的长.

    【考点】与圆有关的比例线段.
    【分析】(I)运用圆的弦切角定理和相似三角形的判定定理:对应角相等,则三角形相似,即可得证;
    (II )由相似三角形的性质和圆的弦切角定理,可得AB=,∠BAP=∠BCA,再由等腰三角形的性质即可得到所求长.
    【解答】解:(I)证明:AP为⊙O的切线,
    可得∠BAP=∠BDA,又BAP=∠BAC,
    则∠BDA=∠BAC,
    又∠BAC=∠BDA,
    即∠BAM=∠BDA,
    在△ABM和△DBA中,∠BAM=∠BDA,∠MBA=∠ABD,
    则△ABM~△DBA;
    (II )由△ABM~△DBA,可得
    =,
    由BM=2,MD=3,
    可得AB2=DB•BM=5×2=10,
    解得AB=,
    AP为⊙O的切线,可得∠BAP=∠BCA,
    又∠BAP=∠BAC,
    即∠BCA=∠BAC,
    则BC=AB=.

     
    [选修4-4:坐标系与参数方程]
    23.已知在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t是参数,m是常数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C极坐标方程为ρ=asin(θ+),点M的极坐标为(4,),且点M在曲线C上.
    (I)求a的值及曲线C直角坐标方程;
    (II )若点M关于直线l的对称点N在曲线C上,求|MN|的长.
    【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.
    【分析】(I)将M的极坐标代入曲线C的极坐标方程,可得a,由两角和的正弦公式,结合极坐标和直角坐标的关系:x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得曲线C直角坐标方程;
    (II )求得曲线C表示的圆的圆心和半径,由点M关于直线l的对称点N在曲线C上,可得直线l经过圆心,求得m,进而得到直线l的普通方程,运用点到直线的距离公式,可得M到直线l的距离,进而得到所求MN的长.
    【解答】解:(I)将点M的极坐标(4,)代入曲线C极坐标方程ρ=asin(θ+),
    可得4=asin(+),解得a=4,
    由ρ=4sin(θ+)即ρ=4(sinθ+cosθ),
    即有ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ,即为x2+y2﹣2x﹣2y=0,
    即曲线C:(x﹣)2+(y﹣1)2=4;
    (II )曲线C:(x﹣)2+(y﹣1)2=4为圆心C(,1),半径为2,
    则点M关于直线l的对称点N在曲线C上,直线l过圆C的圆心,
    由,可得m=2,t=﹣,
    这时直线l:,消去t,可得x+y﹣2=0,
    点M的极坐标为(4,),可得M(2,2),
    即有M到直线l的距离为d==,
    可得|MN|的长为2.
     
    [选修4-5:不等式选讲]
    24.设函数f(x)=|x﹣2|﹣|2x+l|.
    (I)求不等式f(x)≤x的解集;
    (II )若不等式f(x)≥t2﹣t在x∈[﹣2,﹣1]时恒成立,求实数t的取值范围.
    【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法.
    【分析】(Ⅰ)根据绝对值的几何运用,分类讨论,求得f(x)≤x的解集.
    (Ⅱ)x∈[﹣2,﹣1]时,f(x)=x+3,最小值为1,再根据t2﹣t≤1,求得实数t的取值范围.
    【解答】解:(Ⅰ)x≤﹣时,x+3≤x,不成立;
    ﹣<x<2时,﹣3x+1≤x,解得x≥,∴≤x<2;
    x≥2时,﹣x﹣3≤x,∴x≥﹣,∴x≥2,
    综上所述,不等式f(x)≤x的解集为[,+∞);
    (II )x∈[﹣2,﹣1]时,f(x)=x+3,最小值为1.
    ∵不等式f(x)≥t2﹣t在x∈[﹣2,﹣1]时恒成立,
    ∴t2﹣t≤1,
    ∴≤t≤.
     

    2016年12月8日

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