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安徽省a10联盟2016高三(下)开学数学(文科)(解析版)
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这是一份安徽省a10联盟2016高三(下)开学数学(文科)(解析版),共21页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2015-2016学年安徽省A10联盟高三(下)开学数学试卷(文科)
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题分别给出四个选项,只有一个选项符合题意)
1.已知集合A={﹣2,0,,4),B={x|≤1},则A∩B=( )
A.{4} B.{﹣2,4} C.{﹣2,0,4) D.{﹣2, }
2.已知sinα=,且α∈(0,),则sin 2α=( )
A.﹣ B.﹣ C. D.
3.已知复数z满足=i,i是虚数单位,则在复平面内z对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.已知双曲线﹣y2=1,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.2
5.f(x),g(x)是定义在[a,b]上的连续函数,则“f(x)的最大值小于g(x)的最小值”是“f(x)<g(x)对一切x∈[a,b]成立”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.非充分非必要条件
6.已知||=1,与的夹角是,( +2)=3,则||的值是( )
A.1 B. C.2 D.3
7.已知数列{an}满足a1=1,且anan+1=2n,n∈N*,则数列{an}的通项公式为( )
A.an=()n﹣1
B.an=()n
C.an=
D.an=
8.某无底仓库的三视图如图所示,则其表面积为( )
A.700π B.800π C.1000π D.l600π
9.执行如图所示的程序框图,则输出S的值为( )
A. B. C.0 D.
10.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,M(2,y0)为抛物线上一点,且|MO|=|MF|,其中O为坐标原点,则p=( )
A.2 B.3 C.4 D.8
11.已知实数x,y满足不等式组,z=3x﹣y,则下列结论成立的是( )
A.z没有最大值,有最小值为﹣2
B.z的最大值为﹣,没有最小值
C.z的最大值为﹣2,没有最小值
D.z的最大值为,最小值为﹣2
12.已知f(x)=x3﹣ax2+2ax﹣的两个极值点为x1,x2(x1≠x2),且x2=2x1,则f(x)的零点个数为( )
A.2 B.3 C.1或2 D.1或3
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.)
13.已知样本3,4,x,7,5的平均数是5,则此样本的方差为 .
14.已知f(x)=2cos(x+φ)的一个对称中心为(2,0),φ∈(0,π),则φ= .
15.已知圆C:x2+y2+2x+4y+4=0,直线l:sinθx+cosθy﹣4=0,则直线,与圆C的位置关系为 .
16.已知△ABC三内角的正弦值等于△A1B1C1的三内角的余弦值,角A、B、C所对应的边为a,b,c,且A为钝角,a=2.b=2,则△ABC的面积为 .
三、解答题:(解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.已知等差数列{an}的首项为a1=1,公差d≠0,其中a2,a5,a14成等比数列.
(I)求数列{an}的通项;
(Ⅱ)设cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
18.某餐饮业培训学校对男、女各20名学员进行考评,考评成绩(满分100分)如茎叶图所示:
(I)若大于或等于80分为优秀学员,80分以下为非优秀学员,根据茎叶图填写2×2列联表,并判断能否有95%的把握认为学员的优秀与性别有关?
非优秀
优秀
总数
男
20
女
20
总数
40
(Ⅱ)若从考评成绩95分以上(包括95分)的学员中任选两人代表学校参加上一级单位举办的服务比赛,求至少有一名男学员参加的概率.
下面的临界值表供参考:
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(参考公式:K2=)n=a+b+c+d.
19.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠DAB=,AC与BD交于点O,BD⊥PC,AB=2;,BC=2,PA=6.
(I)求证:AC⊥BD:
(Ⅱ)若Q为PA上一点,且PC∥平面BDQ,求三棱锥P﹣BDQ的体积.
20.已知椭圆Cl的方程为+=1,椭圆C2的短轴为C1的长轴且离心率为.
(I)求椭圆C2的方程;
(Ⅱ)如图,M、N分别为直线l与椭圆Cl、C2的一个交点,P为椭圆C2与y轴的交点,△PON面积为△POM面积的2倍,若直线l的方程为y=kx(k>0),求k的值.
21.已知函数f(x)=x﹣1+
(I)求f(x)在点(e,f(e))处的切线方程;
(Ⅱ)当0<x<l时,若不等式f(x)≤kx﹣1恒成立,求k的取值范围.
解答题[选修4-1:几何证明选讲]
22.如图,⊙O内接四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点M,AP为⊙O的切线,∠BAP=∠BAC
(I)证明:△ABM≌△DBA;
(II )若BM=2,MD=3,求BC的长.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
23.已知在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t是参数,m是常数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C极坐标方程为ρ=asin(θ+),点M的极坐标为(4,),且点M在曲线C上.
(I)求a的值及曲线C直角坐标方程;
(II )若点M关于直线l的对称点N在曲线C上,求|MN|的长.
[选修4-5:不等式选讲]
24.设函数f(x)=|x﹣2|﹣|2x+l|.
(I)求不等式f(x)≤x的解集;
(II )若不等式f(x)≥t2﹣t在x∈[﹣2,﹣1]时恒成立,求实数t的取值范围.
2015-2016学年安徽省A10联盟高三(下)开学数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题分别给出四个选项,只有一个选项符合题意)
1.已知集合A={﹣2,0,,4),B={x|≤1},则A∩B=( )
A.{4} B.{﹣2,4} C.{﹣2,0,4) D.{﹣2, }
【考点】交集及其运算.
【分析】先解不等式化简B,再根据交集的定义求出即可.
【解答】解:B={x|≤1}={x|x<0或x≥1},
∵A={﹣2,0,,4),
∴A∩B={﹣2,4},
故选:B
2.已知sinα=,且α∈(0,),则sin 2α=( )
A.﹣ B.﹣ C. D.
【考点】二倍角的正弦.
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值,进而利用二倍角的正弦函数公式即可计算得解.
【解答】解:∵sinα=,且a∈(0,),
∴cosα==,
∴sin 2α=2sinαcosα=2×=.
故选:D.
3.已知复数z满足=i,i是虚数单位,则在复平面内z对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义.
【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出.
【解答】解:复数z满足=i,∴z=i(4+2i)=﹣2+4i,
则在复平面内z对应的点(﹣2,4)在第二象限.
故选:B.
4.已知双曲线﹣y2=1,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.2
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】根据双曲线的方程,求出a,b,c,即可求出双曲线的离心率.
【解答】解:由双曲线的方程可知a2=4,b2=1,
则c2=a2+b2=4+1=5,
则a=2,c=,
即双曲线的离心率e==.
故选C.
5.f(x),g(x)是定义在[a,b]上的连续函数,则“f(x)的最大值小于g(x)的最小值”是“f(x)<g(x)对一切x∈[a,b]成立”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.非充分非必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据函数最值之间的关系,结合充分条件和必要条件的定义 进行判断即可.
【解答】解:若“f(x)的最大值小于g(x)的最小值”是“f(x)<g(x)对一切x∈[a,b]成立,即充分性成立,
反之不一定成立,比如g(x)=|x|+1,和f(x)=|x|,则不成立,
即“f(x)的最大值小于g(x)的最小值”是“f(x)<g(x)对一切x∈[a,b]成立”的充分不必要条件,
故选:A.
6.已知||=1,与的夹角是,( +2)=3,则||的值是( )
A.1 B. C.2 D.3
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】根据所给条件进行向量数量积的运算即可得出,这样显然可以求出的值.
【解答】解:根据条件:
=
=
=3;
∴.
故选:C.
7.已知数列{an}满足a1=1,且anan+1=2n,n∈N*,则数列{an}的通项公式为( )
A.an=()n﹣1
B.an=()n
C.an=
D.an=
【考点】数列递推式;数列的概念及简单表示法.
【分析】根据数列的递推关系得到=2,即所有的奇数项和偶数项分别为等比数列,根据等比数列的通项公式进行求解即可.
【解答】解:∵数列{an}满足a1=1,且anan+1=2n,n∈N*,
∴an+1an+2=2n+1,
两式相比得=2,即数列中的奇数项是以1为首项,2为公比的等比数列,
即当n是奇数时,an=()n﹣1,
偶数项是以a2=2为首项,2为公比的等比数列,
则当n是偶数时,an=2()n﹣1=()n,
故数列的通项公式an=,
故选:D.
8.某无底仓库的三视图如图所示,则其表面积为( )
A.700π B.800π C.1000π D.l600π
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由题意,几何体为圆柱上面放一半球,利用圆柱、球的面积公式可得结论.
【解答】解:由题意,几何体为圆柱上面放一半球,其表面积为S==800π.
故选:B.
9.执行如图所示的程序框图,则输出S的值为( )
A. B. C.0 D.
【考点】程序框图.
【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.
【解答】解:当i=1时,执行完循环体后:S=,满足继续循环的条件,故i=2;
当i=2时,执行完循环体后:S=,满足继续循环的条件,故i=3;
当i=3时,执行完循环体后:S=,满足继续循环的条件,故i=3;
当i=4时,执行完循环体后:S=,满足继续循环的条件,故i=5;
当i=5时,执行完循环体后:S=0,满足继续循环的条件,故i=6;
当i=6时,执行完循环体后:S=0,满足继续循环的条件,故i=7;
当i=7时,执行完循环体后:S=,满足继续循环的条件,故i=8;
当i=8时,执行完循环体后:S=,满足继续循环的条件,故i=9;
当i=9时,执行完循环体后:S=,不满足继续循环的条件,
故输出结果为,
故选:A
10.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,M(2,y0)为抛物线上一点,且|MO|=|MF|,其中O为坐标原点,则p=( )
A.2 B.3 C.4 D.8
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】判断M位置,利用抛物线的性质,求解p即可.
【解答】解:抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,M(2,y0)为抛物线上一点,且|MO|=|MF|,
可知M在OF的垂直平分线上,∴|OF|=4,∴,可得p=8.
故选:D.
11.已知实数x,y满足不等式组,z=3x﹣y,则下列结论成立的是( )
A.z没有最大值,有最小值为﹣2
B.z的最大值为﹣,没有最小值
C.z的最大值为﹣2,没有最小值
D.z的最大值为,最小值为﹣2
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,结合数形结合即可得到结论.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:
由z=3x﹣y得y=3x﹣z,
平移直线y=3x﹣z由图象可知当直线y=3x﹣z经过点A时,直线y=3x﹣z的截距最大,
此时z最小.
由,解得,
即A(0,2),
此时z=0﹣2=﹣2,无最小值
故选:C.
12.已知f(x)=x3﹣ax2+2ax﹣的两个极值点为x1,x2(x1≠x2),且x2=2x1,则f(x)的零点个数为( )
A.2 B.3 C.1或2 D.1或3
【考点】利用导数研究函数的极值.
【分析】利用条件求出a=1时,f(x)的极值点为1,2,f(x)的极大值f(1)=>0,极小值f(2)=0,即可得出结论.
【解答】解:由题意,f′(x)=x2﹣3ax+2a=0,可得△=9a2﹣8a>0,∴a<0或a>
∵x1+x2=3a,x1x2=2a,x2=2x1,∴a=1.
a=1时,f(x)的极值点为1,2,f(x)的极大值f(1)=>0,极小值f(2)=0,
∴f(x)有2个零点.
故选:A.
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.)
13.已知样本3,4,x,7,5的平均数是5,则此样本的方差为 2 .
【考点】极差、方差与标准差.
【分析】根据平均数求出x的值,从而求出样本的方差即可.
【解答】解:由题意得:
=5,
解得:x=6,
∴s2==2,
故答案为:2.
14.已知f(x)=2cos(x+φ)的一个对称中心为(2,0),φ∈(0,π),则φ= .
【考点】余弦函数的对称性.
【分析】将(2,0),代入y=2cos(x+φ),求得x+φ=kπ+,k∈Z,由0<φ<π,即可求得φ的值.
【解答】解:依题意得,当x=2时, x+φ=kπ+,即+φ=kπ+,
∵φ∈(0,π),
∴φ=.
故答案是:.
15.已知圆C:x2+y2+2x+4y+4=0,直线l:sinθx+cosθy﹣4=0,则直线,与圆C的位置关系为 相离 .
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】根据圆的标准方程求出圆心坐标和圆半径,代入点到直线距离公式,与半径比较后,可得直线与圆的位置关系.
【解答】解:由圆C:x2+y2+2x+4y+4=0的标准方程(x+1)2+(y+2)2=1可得
圆心坐标为C(﹣1,﹣2),半径r=1
∴圆心到直线的距离d=|sinθ+cosθ+4|=sin(θ+α)+4∈[4﹣,4+],
∵r=1,∴相离.
故答案为相离.
16.已知△ABC三内角的正弦值等于△A1B1C1的三内角的余弦值,角A、B、C所对应的边为a,b,c,且A为钝角,a=2.b=2,则△ABC的面积为 2 .
【考点】正弦定理.
【分析】设:sinA=cosA1,sinB=cosB1,sinC=cosC1,可得A1,B1,C1 都为锐角,又A为钝角,则B,C为锐角,结合诱导公式及三角形内角和定理可知:A=A1=A﹣90°,B1=90°﹣B,C1=90°﹣C,
相加可解得A=,利用余弦定理可得c2+4c﹣12=0,解得c,利用三角形面积公式即可得解.
【解答】解:∵△ABC三内角的正弦值等于△A1B1C1的三内角的余弦值,
∴不妨设:sinA=cosA1,sinB=cosB1,sinC=cosC1,
∵cosA1>0,cosB1>0,cosC1>0,
∴A1,B1,C1 都为锐角,
又A为钝角,则B,C为锐角,结合诱导公式及三角形内角和定理可知:A=A1=A﹣90°,B1=90°﹣B,C1=90°﹣C,
相加可得:A﹣B﹣C+90°=A1+B1+C1,
解得:A=.
由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,可得:20=8+c2+4c,即:c2+4c﹣12=0,解得:c=2,
∴S△ABC=bcsinA=2.
故答案为:2.
三、解答题:(解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.)
17.已知等差数列{an}的首项为a1=1,公差d≠0,其中a2,a5,a14成等比数列.
(I)求数列{an}的通项;
(Ⅱ)设cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
【考点】数列的求和.
【分析】(I)根据等比数列列方程解出公差d即可得出an;
(II)使用列项法求和.
【解答】解:(I)∵an=1+d(n﹣1),∴a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d,
∵a2,a5,a14成等比数列,
∴(1+4d)2=(1+d)(1+13d),
解得d=0(舍)或d=2.
∴an=2n﹣1.
(II)cn==(),
∴Tn=(1﹣+﹣+…+﹣)=(1﹣)=.
18.某餐饮业培训学校对男、女各20名学员进行考评,考评成绩(满分100分)如茎叶图所示:
(I)若大于或等于80分为优秀学员,80分以下为非优秀学员,根据茎叶图填写2×2列联表,并判断能否有95%的把握认为学员的优秀与性别有关?
非优秀
优秀
总数
男
20
女
20
总数
40
(Ⅱ)若从考评成绩95分以上(包括95分)的学员中任选两人代表学校参加上一级单位举办的服务比赛,求至少有一名男学员参加的概率.
下面的临界值表供参考:
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
(参考公式:K2=)n=a+b+c+d.
【考点】独立性检验.
【分析】(I)根据所给数据,可得2×2列联表;求出K2,与临界值比较,即可得到结论;
(Ⅱ)考评成绩95分以上(包括95分)的男学员有2人,女学员有4人,任选两人,有=15种结果,全是女学员,有=6种结果,即可求得至少含1 名男学员的概率.
【解答】解:(I)2×2列联表
非优秀
优秀
总数
男
13
7
20
女
6
14
20
总数
19
21
40
∴K2=≈4.912>3.841,
∴有95%的把握认为学员的优秀与性别有关;
(Ⅱ)考评成绩95分以上(包括95分)的男学员有2人,女学员有4人,任选两人,有=15种结果,全是女学员,有=6种结果,至少有一名男学员参加的概率为=.
19.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠DAB=,AC与BD交于点O,BD⊥PC,AB=2;,BC=2,PA=6.
(I)求证:AC⊥BD:
(Ⅱ)若Q为PA上一点,且PC∥平面BDQ,求三棱锥P﹣BDQ的体积.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的性质.
【分析】(Ⅰ)推导出PA⊥BD,BD⊥PC,从而BD⊥平面PAC,由此能证明AC⊥BD.
(Ⅱ)连结OQ,∵推导出PC∥OQ,AD=6,,由三棱锥P﹣BDQ的体积V=VP﹣ABD﹣VQ﹣ABD,能求出结果.
【解答】证明:(Ⅰ)∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥BD,
又∵BD⊥PC,PA∩PC=P,
∴BD⊥平面PAC,
∵AC⊂平面PAC,
∴AC⊥BD.
解:(Ⅱ)连结OQ,∵PC∥平面BDQ,PC⊂平面PAC,
平面PAC∩平面BDQ=OQ,
∴PC∥OQ,
在直角梯形ABCD中,
∵AC⊥BD,AB=2,BC=2,∠ABC=∠DAB=,
∴AC==4,BO===,
OC==1,AO=4﹣1=3,
∵∠ABC=∠DAB=,∴BC∥AD,∴△BCO∽△DAO,
∴,∴AD==6.
∴,∴,
==12,
VQ﹣ABD==9,
∴三棱锥P﹣BDQ的体积V=VP﹣ABD﹣VQ﹣ABD=3.
20.已知椭圆Cl的方程为+=1,椭圆C2的短轴为C1的长轴且离心率为.
(I)求椭圆C2的方程;
(Ⅱ)如图,M、N分别为直线l与椭圆Cl、C2的一个交点,P为椭圆C2与y轴的交点,△PON面积为△POM面积的2倍,若直线l的方程为y=kx(k>0),求k的值.
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.
【分析】(Ⅰ)根据椭圆的方程和离心率的定义,即可求出a,b的值,问题得以解决;
(Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2),由△PON面积为△POM面积的2倍得|ON|=2|OM|,得到|x1|=2|x2|,即可得到关于k的方程,解得即可.
【解答】解:(Ⅰ)椭圆C1的长轴在x轴上,且长轴长为4,
∴椭圆C2的短轴在x轴上,且短轴长为4,
设椭圆C2的方程为+=1,(a>b>0),则有,
∴a=4,b=2,
∴椭圆C2的方程为+=1,
(Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2),
由△PON面积为△POM面积的2倍得|ON|=2|OM|,
∴|x1|=2|x2|,
联立方程,消去y得x=±,
∴|x1|=,
同理可求得∴|x2|=,
∴=2,
解得k=±3,
由k>0,得k=3
21.已知函数f(x)=x﹣1+
(I)求f(x)在点(e,f(e))处的切线方程;
(Ⅱ)当0<x<l时,若不等式f(x)≤kx﹣1恒成立,求k的取值范围.
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(I)求导数,确定切线斜率、切点坐标,即可求f(x)在点(e,f(e))处的切线方程;
(Ⅱ)当0<x<l时,若不等式f(x)≤kx﹣1恒成立,可以转化为k﹣1≥.求出右边的最大值,即可求k的取值范围.
【解答】解:(I)∵f(x)=x﹣1+,
∴f′(x)=1﹣,
∴f′(e)=1﹣,
∵f(e)=e,
∴f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y﹣e=(1﹣)(x﹣e),即y=(1﹣)x+1;
(Ⅱ)当0<x<l时,若不等式f(x)≤kx﹣1恒成立,可以转化为k﹣1≥.
令g(x)=xlnx,则g′(x)=lnx+1,
<x<1时,g′(x)>0,函数单调递增,0<x<时,g′(x)<0,函数单调递减,
∴g(x)的最小值为﹣,
由0<x<1,g(x)<0,可得的最大值为﹣e,
∴k﹣1≥﹣e,
∴k≥1﹣e.
解答题[选修4-1:几何证明选讲]
22.如图,⊙O内接四边形ABCD的两条对角线AC、BD交于点M,AP为⊙O的切线,∠BAP=∠BAC
(I)证明:△ABM≌△DBA;
(II )若BM=2,MD=3,求BC的长.
【考点】与圆有关的比例线段.
【分析】(I)运用圆的弦切角定理和相似三角形的判定定理:对应角相等,则三角形相似,即可得证;
(II )由相似三角形的性质和圆的弦切角定理,可得AB=,∠BAP=∠BCA,再由等腰三角形的性质即可得到所求长.
【解答】解:(I)证明:AP为⊙O的切线,
可得∠BAP=∠BDA,又BAP=∠BAC,
则∠BDA=∠BAC,
又∠BAC=∠BDA,
即∠BAM=∠BDA,
在△ABM和△DBA中,∠BAM=∠BDA,∠MBA=∠ABD,
则△ABM~△DBA;
(II )由△ABM~△DBA,可得
=,
由BM=2,MD=3,
可得AB2=DB•BM=5×2=10,
解得AB=,
AP为⊙O的切线,可得∠BAP=∠BCA,
又∠BAP=∠BAC,
即∠BCA=∠BAC,
则BC=AB=.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
23.已知在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t是参数,m是常数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C极坐标方程为ρ=asin(θ+),点M的极坐标为(4,),且点M在曲线C上.
(I)求a的值及曲线C直角坐标方程;
(II )若点M关于直线l的对称点N在曲线C上,求|MN|的长.
【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.
【分析】(I)将M的极坐标代入曲线C的极坐标方程,可得a,由两角和的正弦公式,结合极坐标和直角坐标的关系:x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得曲线C直角坐标方程;
(II )求得曲线C表示的圆的圆心和半径,由点M关于直线l的对称点N在曲线C上,可得直线l经过圆心,求得m,进而得到直线l的普通方程,运用点到直线的距离公式,可得M到直线l的距离,进而得到所求MN的长.
【解答】解:(I)将点M的极坐标(4,)代入曲线C极坐标方程ρ=asin(θ+),
可得4=asin(+),解得a=4,
由ρ=4sin(θ+)即ρ=4(sinθ+cosθ),
即有ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ,即为x2+y2﹣2x﹣2y=0,
即曲线C:(x﹣)2+(y﹣1)2=4;
(II )曲线C:(x﹣)2+(y﹣1)2=4为圆心C(,1),半径为2,
则点M关于直线l的对称点N在曲线C上,直线l过圆C的圆心,
由,可得m=2,t=﹣,
这时直线l:,消去t,可得x+y﹣2=0,
点M的极坐标为(4,),可得M(2,2),
即有M到直线l的距离为d==,
可得|MN|的长为2.
[选修4-5:不等式选讲]
24.设函数f(x)=|x﹣2|﹣|2x+l|.
(I)求不等式f(x)≤x的解集;
(II )若不等式f(x)≥t2﹣t在x∈[﹣2,﹣1]时恒成立,求实数t的取值范围.
【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法.
【分析】(Ⅰ)根据绝对值的几何运用,分类讨论,求得f(x)≤x的解集.
(Ⅱ)x∈[﹣2,﹣1]时,f(x)=x+3,最小值为1,再根据t2﹣t≤1,求得实数t的取值范围.
【解答】解:(Ⅰ)x≤﹣时,x+3≤x,不成立;
﹣<x<2时,﹣3x+1≤x,解得x≥,∴≤x<2;
x≥2时,﹣x﹣3≤x,∴x≥﹣,∴x≥2,
综上所述,不等式f(x)≤x的解集为[,+∞);
(II )x∈[﹣2,﹣1]时,f(x)=x+3,最小值为1.
∵不等式f(x)≥t2﹣t在x∈[﹣2,﹣1]时恒成立,
∴t2﹣t≤1,
∴≤t≤.
2016年12月8日
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