山东省德州市2023届高三第三次模拟考试数学试卷（含解析）

山东省德州市2023届高三第三次模拟考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．若集合，，则（    ）．

A． B．

C． D．

2．当时，关于的不等式的解集是，则取得最值的充分条件是（    ）

A．有最大值， B．有最小值，

C．有最大值， D．有最小值，

3．已知扇形的半径为2，圆心角为，则扇形的弧长是（    ）

A．45 B． C． D．90

4．在极坐标中，点到圆的圆心的距离为（   ）

A． B． C． D．

5．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

6．设，若，则（    ）

A．8 B．9 C．10 D．11

7．已知直线双曲线相交于不同的两点A和B，F为双曲线C的左焦点，且满足，则双曲线C的离心率为（    ）

A． B．2 C． D．

8．已知函数，则（    ）

A．404 B．4044 C．2022 D．2024

二、多选题

9．已知复数、，其中，则下列结论正确的是（    ）

A．的虚部为

B．的共轭复数

C．是关于的方程的一个根

D．若，则在复平面内对应的点的集合是以为圆心，为半径的圆

10．已知函数，下列说法中正确的有（    ）

A．函数的极大值为，极小值为

B．当时，函数的最大值为，最小值为

C．函数的单调减区间为

D．曲线在点处的切线方程为

11．已知线段BC的长度为4，线段AB的长度为，点D,G满足，，且点在直线AB上，若以BC所在直线为轴，BC的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则（    ）

A．当时，点的轨迹为圆

B．当时，点的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为

C．当时，点的轨迹为双曲线，且该双曲线的渐近线方程为

D．当时，面积的最大值为3

12．我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体；如图2，已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2，若该几何体的所有顶点都在球的表面上，则（    ）

A．正四棱柱和正四棱锥的高均为

B．正四棱柱和正四棱锥组成的几何体的表面积为

C．球的表面积为

D．正四棱锥的侧面、侧棱与其底面所成的角分别为、，则

三、填空题

13．若，则=__________.

14．设是等差数列，且，，若，则___________.

15．一批电池(一节)用于无线麦克风时，其寿命服从均值为34.3小时，标准差为4.3小时的正态分布，随机从这批电池中任意抽取一节，则这节电池可持续使用不少于30小时的概率为______.(参考数据：，)

16．已知函数，，若，则的最小值为______．

四、解答题

17．如图，在中，，，，点M､N是边AB上的两点，.

(1)求的面积；

(2)当，求MN的长.

18．已知正项等比数列前项和为，且成等差数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)记，其前项和为，求数列的前项和．

19．盲盒，是指消费者不能提前得知具体产品款式的玩具盒子，具有随机性．因其独有的新鲜性，刺激性及社交属性而深受各个年龄段人们的喜爱．已知系列盲盒共有12个款式，为调查系列盲盒更受哪个年龄段的喜爱，向00前、00后人群各随机发放了50份问卷，并全部收回．经统计，有45%的人未购买该系列育盒，在这些未购买者当中，00后占．

(1)请根据以上信息填表，并分析是否有99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关？

附：，

(2)一批盲盒中，每个盲盒随机装有一个款式，甲同学已经买到3个不同款，乙、丙同学分别已经买到个不同款，已知三个同学各自新购买一个盲盒，且相互之间无影响，他们同时买到各自的不同款的概率为．

①求；

②设表示三个同学中各买到自己不同款的总人数，求的分布列和数学期望．

20．已知直线，平面，且，，．判断直线的位置关系，并说明理由．

21．已知分别为三个内角的对边，且，

(1)求；

(2)若，求的取值范围.

22．已知函数在点处的切线方程为．

(1)求函数的单调区间，

(2)若函数有三个零点，求实数m的取值范围．

参考答案：

1．B

【分析】解指数不等式求得集合A，根据集合的交集运算可得答案.

【详解】解不等式，即，

故，

故，

故选：B

2．C

【解析】计算得到，，计算，根据充分条件的定义得到答案.

【详解】不等式的解集是，故，.

，

当，即时等号成立，根据充分条件的定义知满足.

故选：.

【点睛】本题考查了充分条件，不等式的解，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

3．C

【分析】由弧长公式求解即可.

【详解】因为圆心角的弧度数为，所以扇形的弧长是.

故选：C

4．C

【分析】先把点的坐标和圆的方程都化成直角坐标方程，再求点到圆心的距离得解.

【详解】由题得，

所以点的坐标为，

因为，所以，

所以，即，

所以圆心的坐标为，

所以点到圆心的距离为，

故选：C.

5．C

【分析】根据对数函数、指数函数的单调性进行判断即可.

【详解】因为，，，

所以，

故选：C

6．D

【分析】根据二项展开式分别求出的表达式，解方程即可求得结果.

【详解】由题可知，，所以；

同理可得；

由可得，即，

所以，即，

解得.

故选：D

7．C

【分析】由题意设A，B的坐标，代入直线和双曲线的方程可得A，B的坐标，再由，可得数量积，可得a，c的关系，进而求出离心率.

【详解】设，

则①，

因为，

所以，

即，

可得②，

因为AB在直线上，所以③，

由①②③得，

解得，

所以，

故选：C

【点睛】本题考查双曲线的性质，及直线的垂直用数量积为0表示，属于中档题.

8．B

【分析】利用倒序相加法求得正确答案.

【详解】，

，

所以，

以替换得，

令，

则，

两式相加得.

故选：B

9．BCD

【分析】利用复数的概念可判断A选项的正误；利用共轭复数的定义可判断B选项的正误；解方程可判断C选项的正误；利用复数的几何意义可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，复数的虚部为，A错；

对于B选项，，B对；

对于C选项， 解方程，即，可得，

解得，C对；

对于D选项，设，则，

所以，，即，

故在复平面内对应的点的集合是以为圆心，为半径的圆，D对.

故选：BCD.

10．ACD

【分析】利用导数研究函数的极值、最值、单调性，利用导数的几何意义可求得曲线在点处的切线方程，根据计算结果可得答案.

【详解】因为

所以，

由，得或，由，得，

所以函数在上递增，在上递减，在上递增，故选项正确，

所以当时，取得极大值，

在时，取得极小值，故选项正确，

当时，为单调递增函数，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值，故选项不正确，

因为，所以曲线在点处的切线方程为，即，故选项正确.

故选：ACD.

【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值、最值、单调区间，考查了导数的几何意义，属于基础题.

11．BCD

【分析】根据题意可知：点A的轨迹为以B为圆心，半径为的圆B，点D为线段AB的中点，点为线段的中垂线与直线AB的交点，则，利用图形结合圆锥曲线定义理解分析．

【详解】根据题意可知：点A的轨迹为以B为圆心，半径为的圆B，点D为线段AB的中点，点为线段的中垂线与直线AB的交点，则

当时，线段为圆B的弦，则的中垂线过圆心B，点即点B，A错误；

当时，如图1，点在线段AB上，连接

则

∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的椭圆，即

则椭圆的离心率，B正确；

当为椭圆短轴顶点时，面积的最大

若时，则，最大面积为，D正确；

当时，过点作圆的切线，切点为

若点在劣弧（不包括端点）上，如图2，点在BA的延长线上，连接

则

∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的双曲线的左半支

若点在优弧（不包括端点）上，如图3，点在AB的延长线上，连接

则

∴点的轨迹为以B，C为焦点，长轴长为的双曲线的右半支

则点的轨迹为双曲线

∴，渐近线方程为，C正确；

故选：BCD．

12．BC

【分析】根据正四棱柱和正四棱锥的几何的性质，结合球的对称性、球的表面积公式、线面角、二面角的定义逐一判断即可.

【详解】设正四棱柱和正四棱锥的高为，球的半径为，

根据正四棱柱和球的对称性可知：该几何体的外接球的球心为正四棱柱的中心，

球的直径即为正四棱柱的体对角线，

且正四棱柱的体心到正四棱锥的顶点的距离，

根据正四棱柱的体对角线公式得，

因此，所求球的表面积为，故选项A不正确，C正确；

在直角三角形中，，

所以正四棱柱和正四棱锥组成的几何体的表面积为：

，所以选项B正确，

如图所示：，

，显然有，

所以选项D不正确，

故选：BC

13．

【详解】

14．

【分析】根据等差数列的通项公式，结合代入法进行求解即可.

【详解】设该等差数列的公差为，因为，

所以由，

由，

故答案为：

15．0.84135

【分析】由题知，故，再结合正态分布原则求解即可得答案.

【详解】解：由题意知，，

所以，

故.

所以这节电池可持续使用不少于30小时的概率为0.84135.

故答案为：0.84135

16．

【分析】利用函数同构及函数单调性得到，问题转化为求（）的最小值，利用导函数，研究其单调性，求出最小值.

【详解】，则 ，因为，故，又当时，恒成立，即单调递增，所以，则，令（），，当时，，当时，，所以在处取得最小值，，的最小值为.

故答案为：

17．(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理，可求得，根据结合面积公式求解；（2）在中利用余弦定理求，在直角中根据求解．

【详解】（1）在中，，则

由正弦定理得：，，则

因为，则或（不合题意，舍去），

则

的面积为

（2）在中，，，

由余弦定理可得

则有，所以

在直角中，，

，则

18．(1)；

(2).

【分析】（1）设的公比为，列方程求得后可得通项公式；

（2）由题可得，，然后利用裂项相消法即得．

【详解】（1）设的公比为()，

因为，且成等差数列,

所以，

所以，即，又，

所以，

所以；

（2）由题可知，

所以，

，

所以.

19．(1)有99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关

(2)① 4；②见解析

【分析】（1）列出列联表，计算出然后判断.

（2）①利用概率的乘法公式计算；

②分析的取值后，由概率的加法公式和乘法公式计算，得到分布列，然后计算期望.

【详解】（1）由题意可得

则

所以有99%的把握认为购买该系列盲盒与年龄有关.

（2）①由题意三个同学同时买到各自的不同款的概率为，解得或，

因为，所以.

②由题的所有可能取值为0，1，2，3

；

；

；

其分布列为

所以数学期望.

20．它们是平行直线或异面直线；答案见解析．

【分析】利用反证法，根据两条直线交点的个数，可判断其位置关系；

【详解】直线的位置关系是平行直线或异面直线；

理由如下：由，直线分别在平面，内，

可知直线没有公共点．

因为若有公共点，那么这个点也是平面，的公共点，

这与是平面，平行矛盾．

因此直线不相交，它们是平行直线或异面直线．

21．(1)

(2)

【分析】（1）利用三角函数的基本关系式与正弦定理可得；

（2）由推得，再由设，将转化为，再引入，得，最后利用复合函数的单调性即可求解.

【详解】（1）因为，则，

所以，则，所以为直角三角形，

所以

（2），所以，而，

所以设，所以，

令，

又因为，所以，

所以，

令，

因为在上单调递增，所以在上单调递减，所以，

所以的取值范围为.

22．(1)单调递减区间是，单调递增区间是

(2)

【分析】（1）根据题意，列出方程组求得，得到，进而求得函数的单调区间；

（2）由题意得到，结合条件列出不等式组，即得.

（1）

由题可得，

由题意得，

解得，

所以，

由得或，

由得，

所以的单调递减区间是，单调递增区间是；

（2）

因为，

由（1）可知，在处取得极大值，在处取得极小值，

的单调递减区间是，单调递增区间是，

依题意，要使有三个零点，则，

即，

解得，经检验，，

根据零点存在定理，可以确定函数有三个零点，

所以m的取值范围为．