广东省普宁市2023届高三下学期第二次模拟考试数学试卷（含解析）

广东省普宁市2023届高三下学期第二次模拟考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知，且，其中，为实数，则（    ）

A．1 B．3 C． D．5

3．已知，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，，且.若函数f(m)(m∈R)的最小值为，则的最小值为（    ）

A．1 B． C． D．

5．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（    ）

A． B． C． D．

6．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

7．在数列中，，则（    ）

A．260 B．860 C．1011 D．2022

8．双曲线的左、右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线分别交双曲线的左、右两支于两点，且，则的离心率为（    ）

A． B．2 C． D．

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．命题“函数的定义域为”是真命题

B．“”是“”为成立的充要条件

C．“”是“函数只有一个零点”的充分不必要条件

D．命题“，”的否定是“，”

10．已知函数，则（    ）

A．在单调递增

B．有两个零点

C．曲线在点处切线的斜率为

D．是奇函数

11．已知函数，且与的值域相同；将图象上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ）

A． B．为偶函数

C．的单调增区间为 D．与的图象在区间内有2个交点

12．如图是一个正方体的侧面展开图，是顶点，是所在棱的中点，则在这个正方体中，下列结论正确的是（    ）

A．与异面

B．平面

C．平面平面

D．与平面所成的角的正弦值是

三、填空题

13．已知，则的值为___________.

14．已知函数，若直线与函数的图象都相切，则的最小值为__________.

15．已知数列中，，等比数列的公比满足，且，则________.

四、双空题

16．如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽cm，杯深8cm，称为抛物线酒杯．①在杯口放一个表面积为的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为______ cm；②在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为______(单位：cm)．

五、解答题

17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，.

(1)求角B；

(2)求的面积.

18．已知函数的图象按向量平移后得到的图象，数列满足（且）.

(1)若，且，证明：是等差数列；

(2)若，试判断中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项；若不存在，请说明理由.

19．如图，五棱锥中，，，，，，，，，O，H分别是线段的中点，．

(1)证明：平面；

(2)求二面角的正弦值．

20．2022年“五一”期间，为推动消费市场复苏，补贴市民，深圳市各区政府发放各类消费券，其中某区政府发放了市内旅游消费券，该消费券包含，，，，，六个旅游项目，甲、乙、丙、丁四人每人计划从中任选两个不同的项目参加，且他们的选择互不影响．

(1)求甲、乙、丙、丁这四个人中至少有一人选择项目的概率；

(2)记为这四个人中选择项目的人数，求的分布列及数学期望；

(3)如果将甲、乙、丙、丁四个人改为个人，其他要求相同，问：这个人中选择项目的人数最有可能是多少人？

21．已知椭圆：的离心率为，圆：与x轴交于点M、N，P为椭圆E上的动点，，面积最大值为．

(1)求圆O与椭圆E的方程；

(2)圆O的两条平行的切线分别与椭圆交于点A、B、C、D，求四边形的面积的取值范围．

22．设函数，已知直线是曲线的一条切线.

(1)求的值，并讨论函数的单调性；

(2)若，其中，证明：.

参考答案：

1．D

【分析】先求出集合A、B，再求出.

【详解】因为，，所以．

故选：D

2．C

【分析】先利用算出，则能通过得到关于，的方程组，解出，，即可求出答案

【详解】因为，所以，

所以，

所以由可得，解得，

所以，

故选：C

3．B

【分析】分别求出命题，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.

【详解】因为；，

所以，推不出，所以是的必要不充分条件.

故选：B.

4．C

【分析】由题意可得||的最小值为AB边上的高，由函数f(m)＝|－m|的最小值为，即点A到BC边的距离为，可求出∠ACB＝120°，即可求出||的最小值.

【详解】法一：由＝x＋y， 且x＋y＝1，可知A，O，B三点共线，

所以||的最小值为AB边上的高，又AC＝BC＝1，即O为AB的中点，

且函数f(m)＝|－m|的最小值为，即点A到BC边的距离为.

又AC＝1，所以∠ACB＝120°，在中，，

从而可得||的最小值为.

故选：C.

法二：由＝x＋y， 且x＋y＝1，可知A，O，B三点共线，

所以||的最小值为AB边上的高.

设的夹角为，所以

依题，可得，因为是钝角，所以.

在中，，

从而可得||的最小值为.

 故选：C.

5．D

【分析】利用三角函数定义和诱导公式六得出点与角的关系，再利用诱导公式一即可计算出结果.

【详解】因为，得到点在第四象限，即为第四象限角，

由三角函数定义得，

所以，

所以.

故选：D.

6．B

【分析】求得函数的定义域为，排除A项；设，令导数求得函数的单调性，结合选项，即可求解.

【详解】由题意，函数的定义域为，可排除A项；

设，则，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减，

可得，

所以函数在上单调递增，在单调递减，且.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数图象与性质，其中解答中根据函数的解析式求得函数的定义域，以及利用导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

7．C

【分析】由变形得出其周期为6，即可结合周期及对数运算性质化简求值.

【详解】由，得，两式相除可得，所以数列是以6为周期的周期数列，

又，

所以.

故选：C.

8．C

【分析】根据已知条件，利用余弦定理列方程，化简求得的关系式，从而求得双曲线的离心率.

【详解】圆的圆心为原点，半径为，

不妨设切线的倾斜角为，则为锐角，

，所以，

设，则，

根据双曲线的定义可知，

在三角形中，由余弦定理得：

①；

在三角形中，由余弦定理得：

②.

由①②整理得，即，

所以双曲线的离心率.

故选：C

9．AC

【分析】根据正切函数的定义域、充分与必要条件、全称量词命题与存在量词命题的知识确定正确答案.

【详解】A选项，由解得，

所以函数的定义域为，A选项正确.

B选项，时，，，所以B选项错误.

C选项，对于函数，

当时，只有一个解；

当时，要使只有一个零点，则.

所以“”是“函数只有一个零点”的充分不必要条件，C选项正确.

D选项，命题“，”的否定是“”，D选项错误.

故选：AC

10．AC

【分析】利用导数研究函数的单调性，结合单调性即可判断零点个数，根据导数的几何意义，以及奇偶性的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.

【详解】对A：，定义域为，则，

由都在单调递增，故也在单调递增，

又，故当时，，单调递减；当时，，单调递增；故A正确；

对B：由A知，在单调递减，在单调递增，又，

故只有一个零点，B错误；

对C：，根据导数几何意义可知，C正确；

对D： 定义域为，不关于原点对称，故是非奇非偶函数，D错误.

故选：AC.

11．AC

【分析】根据函数求导公式以及三角函数的值域，可得A的正误；

根据三角函数图象变换，整理函数解析式，结合三角函数的奇偶性，可得B的正误，

利用整体思想，根据正弦函数的单调性，建立不等式，可得C的正误；

利用五点作图法作图，可得D的正误.

【详解】由，则，由，则，故A正确；

由题意，可得，故B错误；

由，令，解得，故C正确；

由题意，作图如下：

则与的图象在区间内有3个交点，故D错误.

故选：AC

12．ABD

【分析】由展开图还原得到正方体，根据异面直线定义可知A正确；利用平行四边形证得，由线面平行判定可知B正确；假设两平面垂直，可知平面，由线面平行性质得，可知假设错误，即C错误；由线面角定义可知所求角为，由长度关系可求得D正确.

【详解】由展开图还原正方体如下图所示，其中分别为中点，

对于A，平面，平面，，

与为异面直线，A正确；

对于B，连接，

分别为中点，，，

又，，，，四边形为平行四边形，

，又平面，平面，平面，B正确；

对于C，假设平面平面成立，

平面，平面，平面，

平面，平面平面，，显然不成立，

假设错误，平面与平面不垂直，C错误；

对于D，连接，

直线与平面所成角即为直线与平面所成角，

平面，即为直线与平面所成角，

设正方体棱长为，

，

，即直线与平面所成角的正弦值为，D正确.

故选：ABD.

【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的线线、线面与面面关系有关命题的判断，解题关键是能够根据展开图准确还原正方体，从而确定平面图中的点的具体位置，结合平行与垂直关系相关判定与性质定理得到结果.

13．

【分析】赋值法求，根据二项式展开式通项求，即可求.

【详解】令，

由的展开式的通项为，

令，得，令，得，

所以，

所以.

故答案为：

14．

【分析】利用导数的几何意义可列出不等式组，得，再根据基本不等式即可求解.

【详解】根据题意作出草图如下：

设直线与函数图像分别相切与点和，

，，，，

则有和，

解得：，，

因为，所以，

，得，

，

当且仅当，即时取等号.

即的最小值为.

故答案为：.

15．

【分析】先由及求出，再由，求出，从而得到，进而得到，根据等比数列前项和公式即可求得．

【详解】，，

所以，，

所以，

故答案为：.

【点睛】本题考查等差、等比数列通项公式及等比数列的前项和公式，考查学生的运算能力．

16．         

【分析】根据题意，，进而得，，故最小距离为；进而建立坐标系，得抛物线的方程为，当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，此时设玻璃球轴截面所在圆的方程为，进而只需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，再根据几何关系求解即可.

【详解】因为杯口放一个表面积为的玻璃球，所以球的半径为，

又因为杯口宽cm，

所以如图1所示，有，

所以，所以，

所以，

又因为杯深8cm，即

故最小距离为

如图1所示，建立直角坐标系，易知，设抛物线的方程为，

所以将代入得，故抛物线方程为，

当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，如图2，

设玻璃球轴截面所在圆的方程为，

依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，即，

则有恒成立，解得，可得.

所以玻璃球的半径的取值范围为.

故答案为：；

【点睛】本题考查抛物线的应用，考查数学建模能力，运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于设出球触及酒杯底部的轴截面圆的方程，进而将问题转化为抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立求解.

17．(1)；

(2).

【分析】（1）根据正弦定理结合特殊角的三角函数即得；

（2）根据正弦定理，三角形面积公式进行求解即可.

【详解】（1）因为，

所以，又，

所以，又，

所以；

（2）由正弦定理可知：，

又，

所以，

所以.

18．(1)证明见解析；

(2)存在，最大项与最小项.

【分析】（1）求出函数的解析式，进而求出数列相邻两项的关系等式，再根据已知推理计算作答.

（2）由（1）求出数列的通项公式，再分段讨论并结合单调性求解作答.

【详解】（1）函数的图象按向量平移后得到的图象对应的函数为，

则当且时，，，

由，得当且时，，则，

所以是以为首项，1为公差的等差数列.

（2）由（1）知，数列的通项公式为，

由，得，即，

显然当时，，，即，

因此当时，数列是递减的，，

当时，，而，，，即当时，数列是递减的，，

所以数列中存在最大项与最小项.

19．(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）由几何关系证，由线线垂直证线面垂直；

（2）建立空间直角坐标系如图所示，由向量法求二面角的余弦值，进而可求出正弦值.

【详解】（1）∵，，

∴AEDC为等腰梯形，

∵O，H分别是线段的中点，

∴，，

又∵，

∴，即共线，

∵，，

∴，，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵平面，

∴平面；

（2）建立空间直角坐标系如图所示，

则，

.

设是平面ABP的法向量，

则，取，则；

设是平面ACP的法向量，

则，取，则.

∴，

则二面角的正弦值为.

20．(1)

(2)分布列见解析，数学期望为

(3)答案见解析.

【分析】（1）由题得到每个人选择项目的概率，即可求解；

（2）根据题意可得到服从二项分布：，即可求其分布列和期望；

（3）设选择项目的人数最有可能为人，则通过可得，然后分被3除余2，被3除余1和能整除3，三种情况进行讨论

【详解】（1）由题意可知，每个人选择项目的概率为，则每个人不选择项目的概率为，

故甲、乙、丙、丁这4个人中至少有一人选择项目的概率为

（2）由（1）可知，每个人选择项目的概率为，且每个人是否选择项目相互独立，

故服从二项分布：，

所以，

，，

，，，

则的概率分布列为：

的数学期望．

（3）设选择项目的人数最有可能为人，

则，

，

，即，

即，即，

解得，

又，

所以当，时，则不等式为，

则当或，即当被3除余2时，选择项目的人数最有可能是人和人；

当，且时，则不等式为，

则，即当被3除余1时，选择项目的人数最有可能是人；

当，且时，则不等式为，

，即当被3整除时，选择项目的人数最有可能是人．

21．(1)圆的方程为，椭圆的方程为.

(2)

【分析】（1）由离心率公式和的关系，结合椭圆的定义可得即为椭圆的焦点，可得，再由位于椭圆短轴端点时，的面积取得最大值，解方程即可得到的值，从而得到圆和椭圆的方程；

（2）根据圆与椭圆的对称性，由两条平行的圆切线与椭圆交点构成的四边形为平行四边形，且两平行线间距离为，即可得四边形面积为.讨论直线的斜率不存在时，求得切线的方程，代入椭圆方程可得交点和弦长；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，运用直线和圆相切的条件可知与的关系，再由直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，将弦长化为关于的函数式，结合换元法和二次函数的最值求法，即可得到所求弦长的范围，进而得到四边形面积的范围．

(1)

由题意得，解得，①

因为，所以点、为椭圆的焦点，则，

设，则，所以，

当时，，代入①解得，所以，，

所以，圆的方程为，椭圆的方程为.

(2)

因为，平行，且与圆O相切，所以两条直线间的距离，且四边形为平行四边形，

设四边形的面积为，则，

①当直线的斜率存在时，

设直线的方程为，，，

因为直线与圆相切，所以，即，

联立消去可得，

，

，，

 ，

令，则，

所以，，

所以，所以，则；

②当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，

解得，，故，则．

综上，四边形的面积的取值范围的取值范围是．

【点睛】（1）解决直线与椭圆的题目时，时常需把两个方程联立，消去（或）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.

（2）涉及到直线方程的设法时，一定要考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.

22．(1)；在上单调递减，在上单调递增

(2)证明见解析.

【分析】（1）设切点为，利用导数几何意义和切线方程可构造方程组得到；设，利用导数可确定有唯一零点，由此可得；代入后，根据的正负可得单调区间；

（2）根据单调性和的正负可确定，将所证不等式转化为对任意恒成立；令，利用导数可求得单调递增，得到，由此可得结论.

(1)

设直线与曲线相切于点，

，；

又，，即；

设，则，在上单调递增，

又，有唯一零点，，，解得：；

，，

则当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增.

(2)

由（1）知：；

当时，；当时，，；

要证，只需证；

在上单调递减，只需证，

又，则只需证对任意恒成立；

设，

；

设，则，

在上单调递减，，

又当时，，，

在上单调递增，，

即在时恒成立，又，

，原不等式得证.

【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于（满足）的问题的基本步骤如下：

①求导确定的单调性，得到的范围；

②构造函数，求导后可得恒正或恒负；

③得到与的大小关系后，将置换为；

④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论.