【解析版】湖南省湖南师范大学附属中学2018-2019学年高二上期中考试数学（理）试题

湖南师大附中2018－2019学年度高二第一学期期中考试~]

数学(理科)

一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.不等式x2－5x＋6<0的解集是[来源:中%@国#教育出~版网&]

A. {x|－2<x<3}    B. {x|－3<x<2}

C. {x|2<x<3}    D. {x|－3<x<－2}

【答案】C

【解析】[来源:中^国&@教育*出版网~]

【分析】[来源:中教^网%@~&]

根据二次不等式的解法得到答案.

【详解】不等式x2－5x＋6<0等价于（x-2）(x-3)<0,根据二次函数的性质得到，解集是(2，3)，

故选C[中&国教育*%出@#版网]

【点睛】与集合元素有关问题的思路：

（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．

（2）看这些元素满足什么限制条件．

（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．

2.在等差数列{an}中，若a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两根，则{an}的前11项的和为

A. 22    B. －33    C. －11    D. 11

【答案】D

【解析】[中国#教~^@育%出版网]

【分析】

a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两根,则a5＋a7＝2, S11＝=11 a6进而得到结果.

【详解】等差数列{an}中，若a5，a7是方程x2－2x－6＝0的两根，

则a5＋a7＝2，∴a6＝(a5＋a7)＝1，∴{an}的前11项的和为

S11＝＝11a6＝11×1＝11.

故选D.

【点睛】点睛：本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.

3.在△ABC中，c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆面积为

A.     B. π    C. 2π    D. 4π

【答案】B

【解析】

【分析】

根据正弦定理可得2R＝，解得R＝1，故△ABC的外接圆面积S＝πR2＝π.

【详解】在△ABC中，A＝75°，B＝45°，∴C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2R＝，解得R＝1，

故△ABC的外接圆面积S＝πR2＝π.

故选B.

【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

4.设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为（    ）

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

【答案】D

【解析】

如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z取得最大值，故，故选D．

点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．[www~.#zzst&e*%p.com]

5.若，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，，则    B. 若，则[中国教育&%出@版网*#]

C. 若，则    D. 若，则

【答案】D

【解析】

【分析】

根据不等式的基本性质以及特殊值法判断即可．

【详解】A．取a=1，b=-3，c=2，d=1，可知不成立，

B．取c=0，显然不成立，

C．取a=-3，b=﹣2，显然不成立，

D．根据不等式的基本性质，显然成立，

综上可得：只有B正确．

故选：D．

【点睛】本题考查了不等式的基本性质、举反例否定一个命题的方法，考查了推理能力，属于基础题．

6.在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝(　　)

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4[来%^~&源#:中教网]

【答案】A

【解析】

在△ABC中，设A、B、C所对的边分别为a，b，c，则由c2＝a2＋b2－2abcosC，得13＝9＋b2－2×3b×，即b2＋3b－4＝0，解得b＝1(负值舍去)，即AC＝1.故选A.[w~#ww.zz&st^ep.com@]

7.已知数列{an}满足：a1＝－13，a6＋a8＝－2，且an－1＝2an－an＋1(n≥2)，则数列的前13项和为[www.#zzst&e*~p.c@om]

A.     B. －    C.     D. －[来源:@~%*中国教育出版网#]

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题干变形可得到数列{an}为等差数列，再由等差数列的公式得到通项，最终裂项求和即可.

【详解】an－1＝2an－an＋1(n≥2)，可得an＋1－an＝an－an－1，

可得数列{an}为等差数列，设公差为d，由a1＝－13，a6＋a8＝－2，即为2a1＋12d＝－2，

解得d＝2，则an＝a1＋(n－1)d＝2n－15.

，

即有数列的前13项和为[中国教^#育出~&版网%]

＝×＝－.

故选B.

【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。[来&源:%中^国教育~出版网#]

二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．

8.在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sin A∶sin B∶sin C＝6∶5∶4，则sin B＝________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据正弦定理可得到三边的比例关系，再由余弦定理得到角B的余弦值，进而得到正弦值.[中国%^教*育@出~版网]

【详解】∵sin A∶sin B∶sin C＝6∶5∶4，∴a∶b∶c＝6∶5∶4，

不妨取a＝6，b＝5，c＝4，则cos B＝＝，B∈(0，π)．

则sin B＝＝.

故答案为：.

【点睛】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答

9.将等差数列1，4，7……，按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵.根据这个排列规则，数阵中第20行从左至右的第3个数是_______

【答案】577[来~源:z#zstep*.co&m%]

【解析】[中%&国教*育^出版~网]

【分析】

由等差数列的特征得到等差数列的通项公式,再根据三角形数阵的特点找出第20行3列的数代入公式计算即可.

【详解】由题意可得等差数列的通项公式为，由三角形数阵的特点可知第20行3列的数为：,过数阵中第20行3列的数是数列的第193项，中.

【点睛】本题考查学生的观察能力以及数列的简单知识.本题解题的关键是找到三角形数阵中数排列的规律.

10.若x，y均为正数，且9x＋y＝xy，则x＋y的最小值是________．

【答案】16

【解析】[www.z^z&s@tep*.co~m]

【分析】

根据题意，若9x＋y＝xy，则有＋＝1, 则x＋y＝(x＋y) ＝10＋＋再由均值得到结果.[来源@:&^z%zstep#.com]

【详解】根据题意，若9x＋y＝xy，则有＋＝1，

则x＋y＝(x＋y) ＝10＋＋≥10＋2＝16，

当且仅当＝时，等号成立，即x＋y的最小值是16，

故答案为16.

【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.

三、解答题：(本大题共4个小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

11.在中，角的对边分别为，已知.

（1）求角的大小；

（2）若，求的面积的最大值，并判断当最大时的形状．

【答案】（1）；（2）

【解析】

试题分析：（1）首先利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简已知条件等式，然后利用三角形内角和定理求得的值，从而求得角的大小；（2）首先根据三角形的面积公式得到三角形面积与间的关系式，然后利用余弦定理结合基本不等式求得的最大值，从而求得的面积的最大值，进而判断出三角形的形状．

试题解析：（1）

．

．

．

(2)由题可知

．[w#ww.zzs*tep.com@^~]

，

，

此时三角形为等边三角形

考点：1、正弦定理与余弦定理；2、三角形面积公式；3、两角和的正弦公式；4、基本不等式．

12.制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为和，可能的最大亏损率分别为和，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元？才能使可能的盈利最大？[来源#~^%:中教网*]

【答案】4,6．

【解析】

试题分析：(1)含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，解题时要注意题目中的各种制约的关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数；（2）平面区域的画法：线定界、点定线（注意实虚线）；(3)求最值：求二元一次函数的最值，将函数转化为直线的点斜式，通过求直线的截距的最值间接求出的最值，最优解在顶点或边界取得.

试题解析：解：设分别向甲、乙两组项目投资万元，万元，利润为万元

由题意知

目标函数作出可行域

作出可行域

作直线，并作平行直线的一组直线

，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的点点，且与直线的距离

最大，这里是直线和

解方程组，解得

此时（万元）当时最大

答:投资人投资甲项目4万元，乙项目6万元，获得利润最大

考点：利用线性规划求目标函数的最值.

13.已知函数.

（1）解不等式；

（2）若时，恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）分三种情况讨论，分别利用一元二次不等式的解法求解即可；（2） 即对恒成立， 令，等价于，利用基本不等式求解即可.

【详解】（1）由可得

即

当时，不等式解集为;

当时，不等式解集为;

当时，不等式解集为. [中@#国教育出~&版*网]

(2) 即对恒成立，

令，等价于对恒成立，

又，当且仅当即时等号成立[来~源#:%zzs@te^p.com]

的取值范围为

【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.

14.设数列是等差数列，数列是各项都为正数的等比数列，且，.

（1）求数列，的通项公式；[www.z@&zstep.c^#%om]

（2）设，数列的前项和为，求证：.[来%源&#*:中教^网]

【答案】（1），；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）设数列的公差为，数列的公比为，依题意题意，列出方程组，求得的值，即可得到数列的通项公式；

（2）由(1)知，利用乘公比错位相减法，即可求解数列的前项和.

试题解析：

（1）设数列的公差为，数列的公比为，依题意有，

解得，，又，∴，

于是，.

（2）易知,[中国&教育%出~版网^*]

∴，

，[中%#国教*育^出版网~]

两式相减，得

∴

∵，∴.

一、选择题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)

15.“”是“直线的倾斜角大于”的（    ）

A. 充分而不必要条件    B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件    D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

设直线的倾斜角为，则.

若，得，可知倾斜角大于；

由倾斜角大于得，或，即或，[来源~:zzs*^te@%p.com]

所以“”是“直线的倾斜角大于”的充分而不必要条件，故选A.[来源^:*&@中~教网]

16.已知函数 ．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是

A. [–1，0）    B. [0，+∞）    C. [–1，+∞）    D. [1，+∞）

【答案】C

【解析】

【分析】

由g（x）=0得f（x）=-x-a，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．

【详解】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，

再画出直线，之后上下移动，

可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，[中^国教#育出~版*&网]

并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，

即方程有两个解，

也就是函数有两个零点，

此时满足，即，故选C.

【点睛】本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键．

17.已知向量a，e满足：a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则(　　)[来#%源:^~中教网&]

A. a⊥e    B. a⊥(a－e)

C. e⊥(a－e)    D. (a＋e)⊥(a－e)

【答案】C

【解析】

由几何特性可知，为最小值，则，故选C。

点睛：本题考查平面向量的综合应用。本题中利用平面向量的几何特性，由题意可知，是的终点到所在直线的最短距离，则。本题也可采用计算的方法进行处理。

二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)

18.已知直线l1：2x－y＋6＝0和直线l2：x＝－1，F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点P在抛物线C上运动，当点P到直线l1和直线l2的距离之和最小时，直线PF被抛物线所截得的线段长是________．

【答案】20

【解析】

【分析】

由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1，0)的距离．点P到直线l1和直线l2的距离之和最小即转化为点P到点F(1，0)和直线l1的距离之和最小,此时PF⊥l1进而得到直线PF的方程，再由焦点弦的性质得到结果.[来^@~源*:zzstep.c&om]

【详解】直线l2为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1，0)的距离．点P到直线l1和直线l2的距离之和最小即转化为点P到点F(1，0)和直线l1的距离之和最小，当点P到点F(1，0)和直线l1的距离之和最小时，直线PF⊥l1，从而直线PF方程为y＝－ (x－1)，代入C方程得x2－18x＋1＝0，所以x1＋x2＝18，从而所求线段长为x1＋x2＋p＝18＋2＝20.

故答案为：20.

19.平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m、n所成角的正弦值为________．

【答案】

【解析】

【分析】

画出题目描述的图形，判断直线m、n的所成的角，通过解三角形即可.

【详解】如图:

α‖平面CB1D1, α∩平面ABCD=m, α∩平面ABA1B1=n,

可知:m//CD1,m//B1D1,

因为△CB1D1是正三角形.

所以m、n所成角就是∠CD1B1=60°

则m、m所成角的正弦值为:[来源:zz@st#e^*%p.com]

故选:A

【点睛】本题考查异面直线所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力，解决问题的关键是在空间图形中找到异面直线所成的平面角.[来@^%~源:中国教#育出版网]

三、解答题(本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

20.已知函数f(x)＝cos2，g(x)＝1＋sin 2x.

(1)设x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值．

(2)若函数h(x)＝f(x)＋g(x)在区间上的最大值为2，求m的最小值．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）根据二倍角公式得到函数表达式，由对称轴的性质得到2x0＋＝kπ，进而得到2x0＝kπ－，所以g(x0)＝1＋sin，分k为奇和偶两种情况得到结果；（2）)h(x)＝＝sin＋，因为x∈，所以2x＋∈，由题意得到sin在上的最大值为1，所以2m＋≥.

【详解】(1)由题设知f(x)＝ .

因为x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，所以2x0＋＝kπ，

即2x0＝kπ－ (k∈Z). [来源:*^zzst@ep.c&%om]

所以g(x0)＝1＋sin 2x0＝1＋sin.

当k为偶数时，g(x0)＝1＋sin＝1－＝，

当k为奇数时，g(x0)＝1＋sin＝1＋＝. [中~国&%教*育出^版网]

(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝ ＋1＋sin 2x

＝ ＋＝ ＋

＝sin＋.

因为x∈，所以2x＋∈.

要使得h(x)在上的最大值为2，即sin在上的最大值为1.

所以2m＋≥，

即m≥.所以m的最小值为

【点睛】本题考查了函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，是基础题目．一般 函数的对称轴为a， 函数的对称中心为（a,0）;对称性：利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x,利用y=sin x的对称轴为求解，令，得其对称轴.

21.已知椭圆：的离心率为，以的四个顶点为顶点的四边形的面积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设，分别为椭圆的左、右顶点，是直线上不同于点的任意一点，若直线，分别与椭圆相交于异于，的点、，试探究，点是否在以为直径的圆内？证明你的结论．

【答案】(1)；(2)点在以为直径的圆内，证明见解析.

【解析】

试题分析：(1)由已知条件的值,再写出椭圆方程；(2)要证明点在以为直径的圆内，只需证明为钝角即可,所以求出坐标,判断的符号得出为锐角，从而为钝角.

试题解析：（1）依题意得，，

又，由此解得，，所以椭圆的方程为．

（2）点在以为直径的圆内，证明如下：

由（1）得，，设．

因为点在椭圆上，所以．①

又点异于顶点、，所以．

由、、三点共线可得，[来源:@z~^#zstep.com%]

从而，，

所以．②

将①代入②，化简得，

因为，所以，于是为锐角，从而为钝角，

故点在以为直径的圆内．

考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的综合问题.

【思路点睛】本题主要考查直线,圆,椭圆等解析几何的基础知识,以及直线与椭圆的位置关系,属于中档题. 对于(1),求椭圆的标准方程,由已知条件和椭圆中关系式求出的值,代入椭圆方程即可；对于(2),可以这样分析:从结论出发,只需证明为钝角即可,可以转化求为锐角,利用向量数量积进行计算,得出,得出结论.